3. Matriks

(1)

3. MATRIKS

A. Transpose Matriks

Jika A =

(

a b

c d

)

_{, maka transpose matriks A adalah A}T₌

(

a c

b d

)

B. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen–elemen yang seletak

Jika A =

(

a b

c d

)

_{, dan B =}

(

k l

m n

)

_{, maka A + B =}

(

a b

c d

)

₊

(

k l

m n

)

₌

(

a

+

k

b

+

l

c

+

m d

+

n

)

C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n

Jika A =

(

a b

c d

)

_{, maka nA = n}

(

a b

c d

)

₌

(

an bn

cn dn

)

D. Perkalian Dua Buah Matriks

 Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B (Am×n × Bp×q, jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m × q.  Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen–elemen baris A dengan kolom B.

Jika A =

(

a b

c d

)

_{, dan B =}

(

k l m

n o p

)

_{, maka}

A × B =

(

a b

c d

)

_×

(

k l m

n o p

)

₌

(

ak

+

bn al

+

bo am

+

bp

ck

+

dn cl

+

do cm

+

dp

)

E. Matriks Identitas (I)

 I =

(

1 0

0 1)

 Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga I×A = A×I = A

F. Determinan Matriks berordo 2×2

Jika A =

(

a b

c d

)

_{, maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) =}

|

a b

c d

|

_{= ad – bc}

Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar 1. det (A ± B) = det(A) ± det(B)

2. det(AB) = det(A)  det(B)

(2)

4. det (A–1_{) =}

det

(

A

)

G. Invers Matriks

 Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila A×B = B×A = I, dengan demikian A adalah

invers matriks B atau B adalah invers matriks A.

Bila matriks A =

(

a b

c d

)

_{, maka invers A adalah:}

A

−1

=

1

Det

(

A

)

Adj

(

A

)=

1

ad

−

bc

(

d

−

b

−

c

a

)

_{, ad – bc ≠ 0}  Sifat–sifat invers dan determinan matriks

1) (A×B)–1_{= B}–1 _×A–1 2) (B×A)–1_{= A}–1 _×B–1

H. Matriks Singular

matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama dengan nol

I. Persamaan Matriks

Bentuk–bentuk persamaan matriks sebagai berikut:

1) A × X = B  X = A–1_{× B}

2) X × A = B  X = B × A–1

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2007 PAKET B

Diketahui matriks A =

(

x

+

y

x

y

x

−

y

)

_,

B =

(

1 −1₂x

−2y 3

)

_{, dan A}T_{= B dengan} AT_{menyatakan transpose dari A.}

Nilai x + 2y adalah … A. –2 D. 1 B. –1 E. 2 C. 0 Jawab : C

2. UN 2007 PAKET A

Diketahui persamaan matriks A = 2BT_(BT adalah transpose matriks B), dengan

A =

(

a

4

(3)

SOAL PENYELESAIAN

(

2

c

−

3

b

2

a

+

1

a

b

+

7

)

_{. Nilai a + b + c = …} A. 6

B. 10 C. 13 D. 15 E. 16 Jawab : D 3. UN 2012/B25

(

3

y

5

−

1

)

_,

B =

(

x

5

−

3 6

)

_{, dan C =}

(

−

3

−

1

y

9

)

_.

Jika A + B – C =

(

8

5

x

−

x

−

4

)

_, maka nilai x + 2xy + y adalah ... A. 8

B. 12 C. 18 D. 20 E. 22 Jawab : E

4. UN 2010 PAKET A

(

4

a

8

4

6

−

1

−

3

b

5

3

c

9

)

dan B =

(

12 8

4

6

−

1

−

3

a

5

b

9

)

Jika A = B, maka a + b + c = … A. –7

B. –5 C. –1 D. 5 E. 7 Jawab : E 5. UN 2005

(

2

−

3

−

1 0

)

_,

B =

(

−

4 2

1

2

)

_{, dan C =}

(

−

1 0

1

−

1

)

_. Hasil dari A+(B×C) = …

A.

(

8

−

5

(4)

B.

(

8

−

9

0

−

1

)

_E.

(

1

2

−

2

)

C.

(

2

0

−

2

)

Jawab : A

6. UN 2010 PAKET B

Diketahui matriks–matriks A =

(

−

c

2

1

0

)

_,

B =

(

4

a

b

+

5

−

6

)

_{, C =}

(

−

1 3

0 2

)

_, dan

D =

(

4

b

−

2 3

)

_.

Jika 2A – B = CD, maka nilai a + b + c = …

A. –6 B. –2 C. 0 D. 1 E. 8 Jawab : C 7. UN 2004

Diketahui persamaan matriks

(

1 3

2 5

)(

4

−

3

−

1

2

)

=

(

−

1

a

2

b

3

)

+

(

2

b

1 1

)

Nilai a dan b adalah … A. a = 1, b = 2

B. a = 2, b =1 C. a = 5, b = –2 D. a = –2 , b = 5 E. a = 4, b = –1 Jawab : B

8. UN 2008 PAKET A/B

Diketahui matriks P =

(

12

4

0

−

11

)

_,

Q =

(

x

2

y

−

3

4

)

_{, dan R =}

(

96

−

20

66

−

44

)

.

Jika PQT_{= R (Q}T_{transpose matriks Q),} maka nilai 2x + y = …

A. 3 B. 4 C. 7 D. 13 E. 17 Jawab : E

9. UN 2008 PAKET A/B

Diketahui matriks P =

(

2 5

(5)

SOAL PENYELESAIAN

Q =

(

5 4

1 1

)

_{. Jika P}–1_{adalah invers} matriks P dan Q–1_{adalah invers matriks Q,} maka determinan matriks Q–1_P–1_{adalah …} A. 209 B. 10 C. 1

D. –1 E. –209 Jawab : C 10. UN 2006

(

6

x −

10

x

−1 2

)

_dan

B =

(

x

2

5 3

)

_{. Jika A}T_{= B}–1_dengan AT_{= transpose matrik A, maka nilai 2x =} …

A. –8 B. –4 C.

1 4

D. 4 E. 8

Jawab : E

11. UAN 2003

Nilai x2_{+ 2xy + y}2_{yang memenuhi}

persamaan :

(2 6 1 −3)

x y ¿ righ ¿ ¿ ¿ 2 −5 ¿ righ ¿ ¿ ¿ (¿)¿

¿¿ adalah

…

A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. 9 Jawab : A 12. UN 2011 PAKET 12

Diketahui persamaan matriks

(

5

−

2

9

−

4

)(

2

−

1

x x

+

y

)

=

(

1 0

0 1

)

_. Nilai x – y = …

A. 5 2 B. 15 2 C. 19 2 D. 22 2 E. 23 2

Jawab : E 13. UN 2011 PAKET 46

Diketahui persamaan

(

2 3

1 4

)(

x

1

x

+

y z

−

2

)

=

(

21 8

23 9

)

_. Nilai x + y – z = …

A. –5 B. –3 C. 1 D. 5 E. 9 Jawab : C 14. UN 2011 PAKET 12

(

3 2

0 5

)

_dan

B =

(

−

3

−

1

(6)

determinan matriks X = … A. –5 B. –1 C. 1 D. 5 E. 8 Jawab : B 15. UN 2011 PAKET 46

(

1 2

3 5

)

_dan

B =

(

3

−

2

1

4

)

_{. Jika A}t_{adalah transpose} dari matriks A dan AX = B + At_{, maka} determinan matriks X = …