MATRIKS Nuryanto, ST., MT.

MateMatika ekonomi

MATRIKS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks

2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers

6. Persamaan linier simultan

Deskripsi Singkat

• Dalam perkuliahan ini, anda akan mempelajari tentang matriks dan operasi matriks

• Bagian selanjutan akan membahas tentang jenis matriks dan determinan

• Bagian akhir perkuliahan akan membahas matriks invers dan

persamaan linier simultan

tugas

1.Diketahui :

A = 1 1 -1 B = 1 3 C = 1 2 3 -4

2 0 3 0 2 2 0 -2 1

3 -1 2 -1 4

• Buktikan : (AB)C = A(BC)

2.Diketahui :

a.Jika A = 2 4 -1  A^T = ? 3 5 7

6 0 8

b. Jika B = 1 0 B = 0 1 2  (AB)^T = ?

2 1 1 1 3

3.Hitung adjoint matriks dari :

a.2 4 -1 b. 1 2 3 c. 1 0 2 d. 5 0 0 2

3 5 7 0 1 2 2 1 0 1 1 0 2

6 0 8 0 1 1 3 2 1 0 0 2 1

1 0 0 1

Nuryanto, ST., MT.

matriks

• Matriks A ditulis sebagai berikut :

A = a

₁₁

a

₁₂

a

₁₃

contoh A = 1 3 5

a

₂₁

b

₂₂

a

₂₃

0 3 7

a

₃₁

a

₃₂

a

₃₃

6 4 8

• Artinya a

₂₃

menunjukkan unsur matriks A yang terletak pada baris ke 2 dan kolom ke 3. Arti a

_ij

menunjukkan nilai/angka dari suatu matriks A, misalnya yang terletak pada baris ke i dan kolom ke j. Demikian pula untuk A

_mxn

artinya matriks A berdimensi/berorder mxn. Matriks A

_nxn

dinamakan matriks bujur sangkar, ditulis A

_n

. Contoh : matriks A

_3x3

dapat ditulis dengan A

_3.

Ada 3 macam matriks :

1.Matriks baris, yaitu merupakan vektor baris

2.Matriks kolom, yaitu merupakan vektor kolom

Operasi matriks

1.Sama dengan, apabila dimensi atau order kedua matriks tersebut sama sehingga nilai unsur yang berindeks sama harus sama.

a

₁₂

= b

₁₂

; a

₂₃

= b

₂₃

2.Penjumlahan, dimana matriks A dapat ditambahkan dengan matriks B apabila kedua matriks tersebut mempunyai dimensi yang sama.

A = a

₁₁

a

₁₂

B = b

₁₁

b

₂₁

 A +B + C = a

₁₁

+ b

₁₁

a

₁₂

+ b

₁₂

a

₁₂

a

₂₂

b

₁₂

b

₂₂

a

₂₁

+ b

₂₁

a

₂₂

+ b

₂₂

3.Pengurangan, dimana pengurangan dalam matriks dapat dilakukan

dengan syarat kedua matriks tersebut mempunyai dimensi yang sama.

A = 4 6 B = 1 3  A – B = 4 - 1 6 - 3 = 3 3

7 5 0 2 7 - 0 5 – 2 7 3

4. Perkalian, apabila kedua matriks tersebut mempunyai kesamaan dalam jumlah kolom matriks yang dikalikan dengan jumlah baris matriks yang digunakan sebagai penggali.

A

_mxn

. B

_nxm

= C

_mxm

Jenis matriks

a.Identity matriks, yaitu jika nilai diagonal matriks tersebut adalah 1 dan nilai unsur lainnya nol. Null matrix (zero matrix) jika nilai semua unsur bernilai nol. Contoh :

I = 1 0 0 N = 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

b.Transpose suatu matriks, suatu matriks A ditulis A

_T

atau A’ ditentukan dengan mengubah tiap baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks A

_T

atau sebaliknya tiap kolom matriks A diubah menjadi baris-baris matriks A

_T

.

Contoh :

A = 4 6 A

_T

= 4 7 9

7 5 6 5 8

A = (a_ij)  A_T = (a_ij)

c. Matriks setangkup, yaitu transpose sendiri, misalnya matriks diagonal D dan matriks satuan I.

D’ = D I’ = I

keterangan : D = matriks diagonal I = matriks satuan Contoh :

I = 1 0  I’ = 1 0

0 1 0 1

d.Matriks satuan atau identitas I, yaitu matriks I adalah matriks bujur sangkar yang semua unsur diagonal utamanya = 1 dan semua unsur lainnya sama dengan nol.

Sifat : I

_mxn

. A

_mxn

= A

_mxn

I

_mxn

. A

_mxn

= tidak dapat dioperasikan

e. Sifat invers matriks, yaitu invers A

^-1

suatu matriks A memenuhi syarat : AA

^-1

= A

^-1

A = 1.

Matriks A harus bujur sangkar

• (A

^-1

)

^-1

= A

• (AB)

^-1

= B

^-1

A

^-1

• (A

^T

)

^-1

= (A

^-1

)

^T

Invers transposenya suatu matriks sama dengan transpose invers faktornya dengan urutan terbalik.

f. Matriks diagonal, yaitu matriks bujur sangkar yang setiap elemennya sama dengan nol; kecuali elemen diagonal pokoknya, minimal salah satu elemennya tidak sama dengan nol.

Contoh : A = 10 0 B = 0 0 0

0 ½ 0 1 0

0 0 0

g. Skalar, yaitu matriks bujur sangkar yang hanya mempunyai satu baris dan satu kolom saja.

3 = (3)

_1x1

= (3) ; 10 = (10)

_1x1

= (10)

h. Skalar matriks, yaitu matriks bujur sangkar yang nilai setiap elemen diagonal sebesar k (bilangan skalar) dan elemen lainnya sama dengan nol.

a

_ij

= k apabila i = j a

_ij

= 0 apabila i ≠ j

Contoh : S = k.I3 = k 0 0 ; S = 1/3 0

0 k 0 0 1/3

0 0 k

i. Matriks invers, yaitu matriks bujur sangkar dimana a

_ij

= a

_ji

Contoh : A = 2 4 ; B = 2 4 6 7

4 3 4 1 2 9

6 2 3 8

7 9 8 4

j. Vektor, yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu baris atau satu kolom saja.

Contoh : A = (1 4 6) B = 2 5 1 3

k. Matriks singular, yaitu matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers dan determinannya sama dengan nol.

l. Matriks nonsingular, yaitu matriks bujur sangkar yang mempunyai invers dan determinannya tidak sama dengan nol.

m. Matriks commute, yaitu bila AB = BA, maka kedua matriks tersebut

adalah commute.

determinan

• Determinan adalah sumbu bilangan (skalar) yang didefenisikan secara unik dalam hubungannya dengan suatu matriks bujur sangkar dan dinamakan determinan matriks, ditulis | A_n |.

Matriks bujur sangkar order 2x2

Bentuk umum :

Menguraikan determinan derajat tiga dengan cara sarrus

• Aturan sarrus hanya berlaku khusus untuk determinan berderajat tiga.

3 2 1 3 2 = (3.3.3 + 2.1.1 + 1.2.2) – (1.3.1 + 2.1.3 + 3.2.2) 2 3 1 2 3 (33) – (21) = 12

1 2 3 1 1 ( + )

( - )

( - ) ( - )

( + ) ( + )

Menguraikan determinan dengan cara menentukan terlebih dahulu determinan matriks minor tiap elemen dan kofaktor

• Menentukan minor elemen, kalau dari suatu determinan B matriks Bnxn dihapus baris I dan kolom j, maka determinan | M | orde (n-1) yang sisa dinamakan minor elemen bij pada potongan baris i kolom j. Minor unsur bij yang diberi tanda minus bila (i + j) ganjil, dinamakan kofaktor unsur bij determinan | B |.

b11 b12 b13 B = b12 b22 b23 b13 b23 b33

Minor elemen bij adalah sebagai berikut

b11 = | M11 | = b22 b23 ; b33 = | M33 | = b11 b12

b32 b33 b21 b22

b₁₃ = |M₁₃| = b₂₁ b₂₂ ; b₂₂ = |M₂₂| = b₁₁ b₁₃

b₃₁ b₃₂ b₃₁ b₃₃

b₃₁ = |M₃₁| = b₁₂ b₁₃ ; b₁₂ = |M₁₂| = b₂₁ b₂₃

b₂₂ b₂₃ b₃₁ b₃₃

Demikian pula untuk :

• |M₂₁| dihapus dari baris 2 dan kolom 1

• |M₂₃| dihapus dari baris 2 dan kolom 3

• |M₃₂| dihapus dari baris 3 dan kolom 2

Contoh matriks kofaktor

K = K₁₁ K₁₂ ; K = K₁₁ K₁₂ K₁₃ K₂₁ K₂₂ K₂₁ K₂₂ K₂₃

K₃₁ K₂₃ K₃₃ Kofaktor = K_ij = (-1)^i+j |M_ij|

Contoh :

K₁₁ = (-1)¹⁺¹ |M₁₁| = b₂₂ b₂₃ = b₂₂.b₃₃ – b₃₂.b₂₃ b₃₂ b₃₃

K₁₂ = (-1)¹⁺² |M₁₂| = b₂₁ b₂₃ = -b₂₁.b₃₃ + b₃₁.b₂₃ b₃₁ b₃₃

Nilai determinan |B| dapat diuraikan dalam kofaktor unsur bij suatu baris atau kolom sebagai berikut ;

• |B| = (terhadap sembarang baris i = 1,2…n) atau

• |B| = (terhadap sembarang kolom j = 1,2…n)

Contoh :

Terhadap baris 1



 n j

ij

ij

K

b

1



 n j

ij

ij

K

b

1

|B| = b₁₁(b₂₂.b₃₃– b₃₂.b₂₃) – b₁₂(b₂₁.b₃₃– b₃₁.b₂₃) + b₁₃(b₂₁.b₃₂– b₃₁.b₂₂) Dan seterusnya

Terhadap kolom 3

|B| = b₁₃K₁₃ + b₂₃K₂₃ + b₃₃K₃₃

|B| = b₁₃(b₂₁.b₃₂– b₃₁.b₂₂) – b₂₃(b₁₁.b₃₂– b₃₁.b₁₂) + b₃₃(b₁₁.b₂₂- b₂₁.b₁₂) Dan seterusnya

Contoh : B = 1 2 1 1 2 3 2 1 3

Misal terhadap baris ke 1 maka :

|B| = b₁₁K₁₁ + b₁₂K₁₂ + b₁₃K₁₃

= (1)(-1)¹⁺¹ 2 2 + (2)(-1)¹⁺² 1 3 + (1)(-1)¹⁺³ 1 2

1 3 2 3 2 1

= 6…..(1)

Misal terhadap kolom 2, maka

|B| = b₁₂K₁₂ + b₂₂K₂₂ + b₃₂K₃₂

= (2)(-1)¹⁺² 1 3 + (2)(-1)²⁺² 1 1 + (1)(-1)³⁺² 1 1

2 3 2 3 1 3

= (2)(3) + 2(1) + 1(-2) = 6…(2) Ternyata (1) = (2) yaitu |B| = 6

Contoh :

A = 1 4 , cari Ā 3 2

Jawaban :

A = a₁₁ a₁₂  K = K₁₁ K₁₂  K^T = K₁₁ K₁₂ a₂₁ a₂₂ K₂₁ K₂₂ K₂₁ K₂₂ A = adjoint A = Transpose dari matriks kofaktornya

A = K^T K₁₁ K₂₁ K₁₂ K₂₂

K₁₁ = (-1)¹⁺¹ |M₁₁| = 1|2| = 2 K₁₂ = (-1)¹⁺² |M₁₂| = -1|3| = -3 K₂₁ = (-1)²⁺¹ |M₂₁| = -1|4| = -4 K₂₂ = (-1)²⁺² |M₂₂| = 1|1| = 1 Jadi :

Ā = K^T = 2 -4 -3 1

Matriks invers

Contoh : hitung invers matriks 1 2 3

B = 2 1 4 2 1 3 Jawab :

|B| = 1 2 3 1 2 = (1.1.3 + 2.4.2 + 3.2.1) – (2.1.3 + 1.4.1 + 3.2.2) 2 1 4 2 1

2 1 3 2 1

K = K₁₁ K₁₂ K₁₃ B = K^T K₁₁ K₂₁ K₃₁ K₂₁ K₂₂ K₂₃ K₁₂ K₂₂ K₂₃ K₃₁ K₃₂ K₃₃ K₁₃ K₂₃ K₃₃ A^-1 = Ā invers = adjoint

|A| determinan

K₁₂ = (-1)¹⁺² |M₁₂| = -1 2 4 = 2 2 3

K₁₃ = (-1)¹⁺³ |M₁₃| = 1 2 1 = 0 1 1

K₂₁ = (-1)²⁺¹ |M₂₁| = 1 2 3 = -3 1 3

K₂₂ = (-1)²⁺² |M₂₂| = 1 1 3 = -3 2 3

K₂₃ = (-1)²⁺³ |M₂₃| = 1 1 2 = 3 2 1 K₃₁ = (-1)³⁺¹ |M₃₁| = 1 2 3 = 5

1 4 K₃₂ = (-1)³⁺² |M₃₂| = 1 1 3 = 2

2 4

K₃₃ = (-1)³⁺³ |M₃₃| = 1 1 2 = -3 2 1

-1 -3 5 B = 2 -3 2 0 3 -3

B^-1 = B = 1 -1 -3 5

|B| 3 2 -3 2 0 3 -3

1 -1 5

3 -3

= 2 -1 2

3 3

0 1 -1

Persamaan linier simultan

• Matriks dapat digunakan untuk mencari jawaban persamaan linier simultan.

Sistem n persamaan tak homogin dengan n/hasil yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai berikut :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁ a₂₁x₂ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

……….. --- I

an1x2 + an2x2 + … + annxn = bn

• Mengingat rumus defenisi hasil kali matriks baris dengan matriks kolom dan bahwa suatu matriks dapat juga dianggap terdiri atas sejumlah matriks baris maka sistem persamaan (I) dapat ditulis sebagai berikut :

a₁₁ a₁₂…a_1n x₁ b₁ a₂₁ a₂₂…a_2n x₂ b₂

……….. . = .  Ax = b

a_n1 a_n2…a_nn x_n b_n

A

_nxn

. X

_nx1

= b

_nx1

• Matriks pertama adalah matriks bujur sangkar A

_nxn

= A

• Matriks kedua adalah vektor kolom X

_nx1

= X

• Matriks ketiga adalah vektor kolom b

_nx1

= b

Sehingga sistem persamaan dapat ditulis sebagai berikut :

Cara I : mencari harga-harga x dengan invers A-1 A

^-1

A = I

I X = X

Persamaan : Ax = b, kalikan ruas kiri dan kanan dengan A-1, maka A

^-1

A X = A

^-1

b  A

^-1

b syarat |A| ≠ 0

Invers A-1 diperoleh dari matriks koefisien A persamaan-persamaan itu

Ax = b  x = b/A = A^-1b = Ā . b

|A|

Cara II : mencari harga-harga dengan kaidah Cramer

Keterangan :

|A| = determinan matriks A

|Aj| = determinan matriks A yang kolom ke j (=i) telah diganti oleh vektor kolom b

Contoh soal :

x₁ + 2x₂ – 3x₃ = 7 6x₁ + 4x₂ + x₃ = 37 5x₁ + 3x₂ + 2x₃ = 31 Jawaban :

Cara I dengan invers matriks koefisien 1 2 -3 x₁ 7

X₁ = |Āj| ; syarat A ≠ 0

|A|

A . X = b

|A| = 1(8-3) -2(12-5) -3(18-20) = -3 Matriks kofaktor A

K = K₁₁ K₁₂ K₁₃ 4 1 - 6 1 6 4 = 5 -7 -2 K₂₁ K₂₂ K₂₃ = 3 2 5 2 5 3 -13 17 7 K₃₁ K₃₂ K₃₃ 2 -3 1 -3 - 1 2 14 -19 -8

3 2 5 2 5 3

2 -3 - 1 -3 1 2

4 1 6 1 6 4

Ā = K^T = 5 -13 14 Ā = A^-1 = 1 -5 13 -14

|A| 3 7 -17 19

2 -7 8

X = A^-1.b = 1 -5 13 -14 7 3 7 -17 19 37

2 -7 8 31

Maka l

x₁ = 1 -7.5 + 37.13 – 31.14 4 x₂ 3 = 7.7 – 37.17 + 31.19 = 3 X₃ 7.2 – 37.7 + 31.8 1

Jadi diperoleh harga-harga x sebagai berikut ; x₁ = 4; x₂ = 3 dan x₃ = 1

Cara pemecahan II dengan kaidah Cramer Kolom 1 diganti matriks kolom b

|A1| = 7 2 -3 = 7(8-3) – (12(74-31) – 3(111-124) = -12 37 4 1

31 3 2

|A| = -3; jadi x1 = |A1| = -12 = 4

Kolom 2 diganti matriks kolom b

|A₂| = 1 7 -3 = 1(74-31) – 7(1-5) – 3(186-185) = -9 6 37 1

5 31 2

|A| = -3; jadi x₁ = |A₂| = -9 = 3

|A| -3

Kolom 3 diganti matriks kolom b

|A₃| = 1 2 7 = 1(124-111) – 2(186-185) + 7(18-20) = -3 6 4 37

5 3 31

|A| = -3; jadi x₃ = |A₃| = -3 = 1

|A| -3

Ternyata jawaban cara 1 dan cara 2 sama.

Terima kasih, Semoga Bermanfaat