Aljabar Linier | shuLtOn's Site

(1)

Nama Sulton Arfansyah Mata Kuliah Math 4

NRP 7406 030 185 Bab Aljabar Linier

1). Diketahui :

100 1000

600 x1 600

A B

x2 x4

100 C x3 D 500 1000 400

Ditanya :

a. Buat persamaan Linier b. Tulis Augmented matrix-nya

c. Gauss/ Gauss Jordan/ Gauss Seidae Jawab :

400 0

1000 0

4

500 100

0 0

3

0 1000 0

100 2

0 0

600 600 1

 

x x x x

D C

B A

900 4

400 3

500

1100 3

100 2

1000

1600 4

1000 1

600

700 2

100 1

600

 



 



x x

   

 

   

 



 

900 | 400 500

0 0

1100 |

0 100 1000

0

1600 |

1000 0

0 600

700 | 0 0

100 600

   

 

5900 |

0 100 0

0

2300 |

1000 0

100 0

700 |

0 0

100 600 1

) 1 (

2 b

(2)

   

 

   

 



 

5720 |

180 0

0 0

5900 |

0 100 0

0

2300 |

1000 0

100 0

700 |

0 0

100 600

-180x4 = -5720 x4 = 31.78

-100x3 = -5900 x3 = 59

100x2 – 1000x4 = 2300 100x2 – 1000 (31.78) = 2300 100x2 – 31780 = 2300 100x2 = 34080

x2 = 340.8

-600x1 + 100x2 = 700 -600x1 + 100 (340.8) = 700 -600x1 + 34080 = 700

-600x1 = -33.380

x1 = 55.633

3 5

4 _b

(3)

1) Diketahui : Users

(y) Bytes (χı) Avg (χ2)

χı² χı y χ2² χ2 y χı χ2

714 14.01 19.62 196.2801 10003.14 384.9444 14008.68 274.8762

0 27.60 0 761.76 0 0 0 0

623 11.5 18.47 132.25 7164.5 341.1409 11506.81 212.405 630 9.24 14.67 85.3776 5821.2 215.2089 9242.1 135.5508 697 13.45 19.30 180.9025 9374.65 372.49 13452.1 259.585 668 10.63 15.92 112.9969 7100.84 253.4464 10634.56 169.2296 458 10.91 23.82 119.0281 4996.78 567.3924 10909.56 259.8762 508 12.41 24.44 154.0081 6304.28 597.3136 12415.52 303.3004 476 11.11 23.35 123.4321 5288.36 545.2225 1114.6 259.4185

0 7.44 0 55.3536 0 0 0 0

4774 128.3 159.59 1921.389 56053.75 3277.1591 93283.93 1874.2417

y

  x1  x2 _x₁2

  x1y  x22  x2y  x1x2

Ditanya : Regresi Linier ? Jawab :           93 . 93283 | 1591 . 3277 2417 . 1874 59 . 159 75 . 56053 | 2417 . 1874 389 . 1921 3 . 128 4774 | 59 . 159 3 . 128 2                4 . 287657 | 32495 . 9457 4568 . 8363 0 35 . 250198 | 4568 . 8363 056 . 6309 0 4774 | 59 . 159 3 . 128 2           

8363.4568 9457.32495 | 287657.4 0 657 . 39 | 3256 . 1 1 0 4774 | 59 . 159 3 . 128 2           206 . 44012 | 273 . 1629 0 0 657 . 39 | 3256 . 1 0 0 4774 | 59 . 159 3 . 128 2           

2 ₁ ₂

1 1 2 1 x x x x x x n       1 0   = _       y x y 1 b1 – 64.15 b1

b3 – 79.795 b1

056 . 6309 2  b

(4)

    

273 . 1629 0

0

3256 . 1 1

0

59 . 159 3

. 128 2

    

3 2 1

  

=

    

206 . 44012

657 . 39

4774

1629.273 2 = 44012.206 2 = 27

1 + 1.3256 2 = 39.657 1 + 1.3256 (27) = 39.657

1 + 35.7912 = 39.657

1 = 3.866 2 0 + 128.3 1 + 159.59 2 = 4774 2 0 + 128.3 (3.866) + 159.59 (27) = 4774 2 0 + 496.008 + 4308.93 = 4774

2  0 = 4774 – 4804.938 2 0 = - 30.938

(5)

2) Merangkum Determinan & contoh Jawab :

DETERMINAN

Determinan adalah sekumpulan bilangan dalam baris & kolom membentuk bujur sangkar dibatasi dengan garis tegak

12 21 22

11 22

21

12 11

a

A



21 32 13 31

23 12 33

22 11 33

32 31

23 22

21

13 12

11

a

A



32 23 11 33

12 21 13

22

31

a



)

(

)

(

)

(

a

₁₁

a

₂₂

a

₃₃

a

₁₁

a

₂₃

a

₃₂

a

₁₂

a

₂₃

a

₃₁

a

₂₁

a

₁₂

a

₃₃

a

₁₃

a

₃₂

a

₂₁

a

₃₁

a

₂₂

a

₁₃

A



)

(

)

(

)

(

₂₂ ₃₃ ₂₃ ₃₂ ₁₂ ₂₃ ₃₁ ₂₁ ₃₃ ₁₃ ₂₁ ₃₂ ₃₁ ₂₂

11

a



)

(

)

(

)

(

₂₂ ₃₃ ₃₂ ₂₃ ₁₂ ₂₁ ₃₃ ₃₁ ₂₃ ₁₃ ₂₁ ₃₂ ₃₁ ₂₂

11

a



32 31

22 21

13 33

31

23 21

12 33

32

23 22

11

a



M

₁₁

M

₁₂

M

₁₃



ij ij

n

j i

M

a

M

a

M

a

M

a

1 . 13

13 12

12 11

(6)

Hubungan antara kofaktor dengan minor:

ij j

i

ij

M

A



(

1

)

maka:

11 11

2 11

1 1

11

(

1

)

M

(

1

)

M

A



12 12

3 12

2 1

12

(

1

)

M

(

1

)

M

A



13 13

4 13

3 1

13

(

1

)

M

(

1

)

M

A



Jadi penyelesaian determinan dalam notasi minor:



ij ij

n

j i

M

a

M

a

M

a

M

a

A

1 . 13

13 12

12 11

11

dalam notasi kofaktor menjadi:

13 13 12

12 11

11

A

a

A

a

A

a

A



atau

n

j ij ij

A

a

A

1



untuk setiap baris: i= 1,2,….,n

n

j ij ij

A

a

A

1



untuk setiap kolom: j= 1,2,….,n

- Pembalikan matriks dengan Adjoin dan Determinan

(7)

Contoh: Tentukan balikan dari:

1)



8

2

7

3

A

2)



2

3

5

1

2

5

4

A

Sifat-sifat balikan: 1)

 

A

1 1



A

2)

A

1



1

3)

   

A

' 1



A

1 '

(8)

3) Merangkum matriks dan operasinya Jawab :

MATRIKS

“Kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang/bujursangkar, serta termuat di antara sepasang tanda kurung”

A =

    

 

    

 

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

... . .

.

... 2

...

2 1

2 22

21

1 12

11

=

   

 

   

 

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

... . .

.

... ...

2 1

2 22

21

1 12

11

A

mn 



a

ij



mn 



a

ij



mn

Unsur matriks : a ij  unsur matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j. Contoh:

               



5 1

8 0 5 1

8 0

2 2

A

    

        

 

  



9 8 7

6 5 4

3 2 1

9 8 7

6 5 4

3 2 1

3 3

B

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

A



B = C dimana

c

_ij 

a

_ij 

b

_ij

KK: A + B = B + A

(9)

Perkalian Matriks dengan skalar

Dimana

b

ij 



a

ij

Contoh:

   

  

3 2 3

4 5 2

A



4



  

   

12 8 12

16 20 8

B A



Perkalian Antar-matriks

Contoh:

A= 

  

 

6 9 6

6 7 3

B=

    

8 4 8

0 5 4

4 7 2

Maka AB = C = 

  

 

6 9 6

6 7 3

    

8 4 8

0 5 4

4 7 2

=

    

  

 



  

 



8 . 6 0 . 9 4 . 6 4 . 6 5 . 9 7 . 6 8 . 6 4 . 9 2 . 6

8 . 6 0 . 7 4 . 3 4 . 6 5 . 7 7 . 3 8 . 6 4 . 7 2 . 3

= 

  

 

72 111 96

60 80 82

BENTUK-BENTUK KHAS MATRIK

B

A



C

B

A

mn np  mp

KK:



A



A



KD:



A



B



A



B

(10)

1. Matriks Satuan/Matriks Identitas (I n)



1

0

1

0

1

0

1

0

1

5

I

2. Matriks Diagonal



4

0

2

0



3

0

7

0

2



1

0

1

1. Matriks nol



0

2 2



0

3 3

2. Matriks Ubahan (transpose matrix)

__

  



a

A

m n ij ubahannya: _

  

 



a

A

n m ji

'

5. Matriks Simetrik A = A’

6. Matriks Simetrik Miring (skew symmetric matrix)

A = -A’

7. Matriks Balikan (inverse matrix)

A

1

A

1



I

8. Matriks Skalar, matriks diagonal yang unsur-unsurnya sama atau seragam (



).



4

0

4

0

4



3

0

3

0

3

0

3



1

0

1

0

1

(11)

10. Matriks Singular: matriks bujursangkar yang determinannya sama dengan nol.



2

7

14

4

A



7

.

4



14

.

2



₀

11. Matriks Nonsingular: matriks bujursangkar yang determinannya tidak nol.



14

3

6

2

(12)

Pengubahan Matriks

Matriks Asli Matriks Ubahan



2

4

5

0

3

3 2

Y



4

5

2

0

2

3

2 3 '

Y



2

4

5

0

3

)

(

'

3 2

Y

ubahan dari matriks ubahan adalah matriks aslinya.



9

2

9

7

2 2

Z



9

2

9

7

'

2 2

Z

 ubahan dari matriks bujursangkar adalah matriks bujursangkar juga.

 Matriks bujursangkar = matriks ubahannya matriks simetrik.



3

0

7

0

2

0

3 3

A



3

0

7

0

2

'

3 3

A

ubahan dari matriks diagonal adalah matriks diagonal itu sendiri.



1

3

5

2

1

4

d

D



2

5

3

1



' 4

1 '



d

D

ubahan dari suatu vektor kolom adalah vektor baris.

(13)



7

3

1

8

4



5 1



Q



4

8

1

3

7

'

1

5

q

Q

ubahan dari suatu vektor baris adalah vektor kolom.

 Ubahan dari jumlah atau selisih beberapa matriks adalah jumlah atau selisih matriks-matriks ubahannya.

Contoh:



5

7

1

3

6

2

A



8

2

4

1

3

5

B



1

2

4

5

3

6

C

maka:



    

 

    

      

  



15

8

5

9

13

18

15

5

13

9

8

18

'

C

B

A

    

 

    

 

     

         

   



15

8

5

9

13

18

1

5

3

2

4

6

8

1

2

3

4

5

6

2

1

3

5

7

' '

'

C

B

A

Jadi (A+B+C)’ = A’ + B’ + C’ Terbukti.

 Ubahan dari perkalian matriks dengan skalar adalah perkalian skalar dengan



A

m n

B

m n

C

m n



A

n m

B

n m

C

n m

' '

'

 



(14)

Contoh:



5

maka:

 



30

10

5

15

35

25

30

5

25

15

10

35

6

1

5

2

3

7

5

' '

'

A



30

10

15

5

25

35

6

2

1

3

5

7

5

6

1

5

3

2

7

5

'

A



Jadi



A



'



A

' Terbukti

 Ubahan dari perkalian antar-matriks adalah perkalian matriks-matriks ubahannya dengan urutan yang terbalik.

Contoh:



4

3

1

2

A



3

2

7

5

4

3

6

1

B



2

5

1

3

C

(A

mxn

X B

nxp

X C

pxq

)’ = C’

qxp

X B’

pxn

X A’

nxm

KK:



A



'



A



'

atau



A

'



A

'



KD:



A

B

 

'

A

B



'

A

'

B

'



(15)



2

5

1

3

10

16

27

11

29

17

15

12

2

5

1

3

6

4

7

3

5

3

1

2

1

4

2

3

ABC



160

180

ABC

(

ABC

)

'



180

160



atau alternatifnya:



180

160



'

1

2

4

3

48

28

1

2

4

3

6

1

3

4

7

5

3

2

5

1

3

'



A

B

C

A

B

C

(ABC)’ = C’B’A’ TERBUKTI

MATRIKS BERSEKAT

Matriks



(

)



(

)'

'

)

(

)

(

'

)'

(

' '

'

B

C

A

C

BC

AC

C

B

A

C

A

B

AC

AB

C

B

A

B

C

ABC

C

AB

BC

A



(16)

Garis-garis horizontal dan/atau vertical

Matriks-matriks skalar-skalar yang lebih kecil

Contoh 1:

A4x4disekat dengan satu sekatan horizontal menjadi

A1; 2x4 dan A2; 2x4.



3

5

6

7

6

9

2

3

7

5

3

9

8

6

4

10

2

1

A



3

2

3

4

5

9

5

6

7

6

8

9

3

7

10

'

A

1

A

2

A

(17)

B3x4 disekat dengan satu sekatan vertikal menjadi B1;3x2 dan B2; 3x2



7

3

2

5

4

1

3

7

2

8

1

8

2 1

B



7

4

2

3

1

8

2

3

1

5

7

8

'

2 1

B

 Jika sebuah matriks berorde mxn disekat dengan satu sekatan vertikal, maka akan diperoleh dua buah matriks berorde mxn1dan mxn2, dimana n1+n2=n.

Penyekatan paling umum adalah sekali secara horizontal dan sekali secara vertikal.



2

9

3

8

0

7

6

1

4

3

5

2

22 21

12 11

C



2

8

6

3

9

0

1

5

3

7

4

2

'

22 12

21 11

C

C11 berorde m1 x n1 C12 berorde m1 x n2

C21 berorde m2 x n1 C22 berorde m2 x n2

(18)

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS BERSEKAT Sekatan Vertikal



A

1

A

2



A

mn



B

mn



B

1

B

2



(A1 dan B1 berorde mxn1; A2 dan B2 berorde mxn2) maka:



A

1

A

2

 

B

1

B

2

 

A

1

B

1

A

2

B

2



B

A



contoh:



6

12

4

6

1

9

6

3

5

3

2

8

5

2

0

1

6

7

8

4

8

0

5

4

6

9

6

7

3

A



4

7

1

6

1

5

3

5

3

2

5

2

7

1

4

3

6

3

6

9

5

8

7

B



2

5

3

0

8

1

0

3

0

7

6

5

3

4

1

2

6

1

0

1

4

(19)



2 1

A

_m _n



2 1

B

_m _n

(A1 dan B1 berorde m1 x n ; A2 dan B2 berorde m2 x n)

maka:



2 2

1 1

2 1 2

1

B

A

B

A

B

A

B

A

contoh:



5

1

6

2

4

6

12

8

7

5

1

3

4

1

2

7

1

3

6

9

5

7

10

8

A



2

3

4

5

1

8

7

6

10

5

4

3

9

2

8

7

8

6

5

4

7

3

2

1

B

maka:



7

4

10

7

5

14

19

14

17

10

5

6

13

1

10

14

9

11

13

12

10

12

9

B

A

Perkalian Antar Matriks Bersekat



A

1

A

2



A

_m__n



A1berorde m x n1 ; A2 berorde m x n2



1

B

(20)

maka:



A

B

A

B



_m _p

B

A

AB



_



₁ ₁ ₂ ₂

2 1 2 1



8

5

1

6

3

2

6

2

1

8

4

3

7

4

3

5

2

1

2 1

A



3

4

2

6

7

2

5

3

1

2 1

B



33

41

45

55

23

32

2

.

6

5

.

3

.

2

5

.

6

3

.

3

1

.

2

.

8

5

.

4

3

.

3

5

.

8

3

.

4

1

.

3

2

.

5

.

2

3

.

1

5

.

5

3

.

2

1

.

1

2

5

3

1

6

3

2

8

4

3

5

2

1

1 1

B

A



50

49

32

35

55

57

3

.

8

4

.

5

6

.

1

4

.

8

2

.

5

7

.

1

3

.

6

4

.

2

6

.

1

4

.

6

2

.

2

7

.

1

3

.

7

4

.

4

6

.

3

4

.

7

2

.

4

7

.

3

4

2

6

7

8

5

1

6

2

1

7

4

3

2 2

B

A



83

90

77

90

78

89

2 2 1

1

B

A

B

A

AB

(21)



 22 21 12 11

B

_n _p

 B11berorde n1 x p1

 B12 berorde n1 x p2  B21 berorde n2 x p1  B22berorde n2 x p2

maka



22 21 12 11 22 21 12 11

B

A

AB



22 22 12 21 21 22 11 21 22 12 12 11 21 12 11 11

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

Contoh:



2

7

5

9

3

8

4

6

5

2

1

3

A



12

7

6

1

3

4

7

4

3

8

5

2

8

5

1

4

2

7

6

4

2

1

3

5

B



1

3

4

8

5

2

3

8

5

2

4

2

7

1

3

5

4

6

1

3

21 12 11

11

B

A

B

A



89

75

86

28

36

46

67

49

28

21

25

24

22

26

58

7

11

22



12

7

6

7

4

3

8

5

2

8

5

1

6

4

2

4

6

1

3

22 12 12

11

B

A

B

(22)

   

  

   

      

  

160 97

58

100 60

43

92 53

42

74 43

36 68

44 16

26 17

7



1

3

4

8

5

2

7

4

2

7

1

3

5

9

21 22 11

21

B

A

B

A



102 78 87



58 41

22 29

37 80



 



12

7

6

7

4

3

2

7

8

5

1

6

4

2

5

9

22 22 12

21

B

A

B

A



56 103 167



73 42

33 94

61 23



 



22 22 12

21 21

22 11

21

22 12 12

11 21

12 11

11

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

AB



167

103

56

87

78

102

160

97

58

89

75

86

100

60

43

28

36

46

AB

ADJOIN MATRIKS

Adjoin matriks adalah ubahan dari matriks kofaktor-kofaktornya.

 

'

.

A

_ij

Adj



(23)



7

5

3

8

4

2

9

6

1

A

maka

7

5

3

8

4

2

9

6

1



A

12

7

5

8

4

11



M

10

7

3

8

2

12



M

2

5

3

4

2

13



M

3

7

5

9

6

21



M

20

7

3

9

1

22



M

13

5

3

6

1

23



M

12

8

4

9

6

31



M

10

8

2

9

1

32



M

8

4

2

6

1

33



M

Karena

A

_ij



(



1

)

ij

M

_ij , maka:

12

)

12

(

)

1

(

2

11



A

₁₂



(



1

)

3

(



10

)

A



₁₃

10



(



1

)

4

(



2

)



2



3



3

)

1

(

3

21



A

₂₂



(



1

)

4

(



20

)

A



23



20



(



1

)

5



13



13

 

12

)

1

(

4

31



A

₃₂



(



1

)

5



10



A

10

₃₃



(



1

)

6



8



8

 



8

10

12

13

20

3

2

10

12

33 32

31

23 22

21

13 12

11

A

(24)

 



8

13

2

10

20

10

12

3

12

8

10

12

13

20

3

2

10

12

.

' '

ij

A

(25)

PEMBALIKAN MATRIKS

Membalik sebuah matriks berarti mencari suatu matriks balikan yang bila dikalikan dengan matriks aslinya menghasilkan matriks satuan.

- Pembalikan matriks berorde 2 x 2

Misalkan



22 21

12 11

a

A



22 21

12 11

1

b

B

A

,

maka:

A

a

b

22

12 21 22

11

22

11



A

a

b

12

12 21 22

11

12



A

a

b

21

12 21 22

11

21



A

a

b

11

12 21 22

11

22



Contoh: Tentukan, kalau ada, balikan dari :

1)



8

2

7

3

A

2)



6

4

3

2

A

3)



4

2

10

7

A

I AB

I AA

 

(26)

Contoh: Tentukan balikan dari:

1)



8

2

7

3

A

2)



2

3

5

1

2

5

4

(27)

Sifat-sifat balikan: 6)

 

A

1 1



A

7)

A

1



1