Jadi, det ( ) = 30 2) Adjoin Matriks

(1)

1 Matriks A. Determinan, Adjoin, dan Invers Matriks

1) Determinan Matriks

Definisi (Pengertian)

Determinan Matriks dinotasikan dengan det (𝐴) = |𝐴|, misal: Jika 𝐴 = [𝑎 𝑏

𝑐 𝑑], maka det 𝐴 = |𝑎 𝑏𝑐 𝑑| atau det (𝐴) = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 Jika 𝐴_2×2 = [𝑎_𝑎11 𝑎12

21 𝑎22], maka det (𝐴) = |

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22| atau det (𝐴) = 𝑎11𝑎22− 𝑎21𝑎12

Contoh: Jika diketahui 𝐴 = [2 1

3 4], maka carilah det (𝐴) ! Jawab: 𝐴 = [2 1

3 4]

det (𝐴) = |2 1_{3 4|}

= (2)(4) − (3)(1) = 8 − 3

= 5

Jadi, det (𝐴) = 5

Jika 𝐴_3×3 = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33

], maka

det (𝐴) = |𝑎𝑎1121 𝑎𝑎1222 𝑎𝑎1323 𝑎31 𝑎32 𝑎33 |

det (𝐴) = |𝑎𝑎1121 𝑎𝑎1222 𝑎𝑎1323 𝑎31 𝑎32 𝑎33

| || |

𝑎11 𝑎21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

det (𝐴) = 𝑎11𝑎22𝑎33+ 𝑎12𝑎23𝑎31+ 𝑎13𝑎21𝑎32− 𝑎31𝑎22𝑎13− 𝑎32𝑎23𝑎11− 𝑎33𝑎21𝑎12 det (𝐴) = 𝑎11𝑎22𝑎33− 𝑎32𝑎23𝑎11+ 𝑎12𝑎23𝑎31− 𝑎33𝑎21𝑎12+ 𝑎13𝑎21𝑎32− 𝑎31𝑎22𝑎13 det (𝐴) = 𝑎11(𝑎22𝑎33− 𝑎32𝑎23) + 𝑎12(𝑎23𝑎31− 𝑎33𝑎21) + 𝑎13(𝑎21𝑎32− 𝑎31𝑎22) det (𝐴) = 𝑎11(𝑎22𝑎33− 𝑎32𝑎23) − 𝑎12(−𝑎23𝑎31+ 𝑎33𝑎21) + 𝑎13(𝑎21𝑎32− 𝑎31𝑎22) det (𝐴) = 𝑎11(𝑎22𝑎33− 𝑎32𝑎23) − 𝑎12(𝑎33𝑎21− 𝑎23𝑎31) + 𝑎13(𝑎21𝑎32− 𝑎31𝑎22) det (𝐴) = 𝑎11(𝑎22𝑎33− 𝑎32𝑎23) − 𝑎12(𝑎21𝑎33− 𝑎31𝑎23) + 𝑎13(𝑎21𝑎32− 𝑎31𝑎22)

det (𝐴) = 𝑎11|𝑎_𝑎22 𝑎23

32 𝑎33| − 𝑎12|

𝑎21 𝑎31

𝑎23 𝑎33| + 𝑎13|

𝑎21 𝑎22 𝑎31 𝑎32|

Contoh: Jika diketahui 𝐵 = [7 3 02 0 4 3 0 1]

(2)

2 Jawab:

Cara 1

𝐵 = [

7 3 0 2 0 4 3 0 1]

det (𝐵) = |7 3 02 0 4 3 0 1|

| | |

7 2 3

3 0 0

= 7 ⋅ 0 ⋅ 1 + 3 ⋅ 4 ⋅ 3 + 0 ⋅ 2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 0 ⋅ 0 − 0 ⋅ 4 ⋅ 7 − 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 0 + 36 + 0 − 0 − 0 − 6

= 30

Cara 2

𝐵 = [

7 3 0 2 0 4 3 0 1]

det (𝐵) = 7|0 4_{0 1}|− 3|2 4_{3 1}|+ 0|2 0_{3 0}|

= 7(0 ⋅ 1 − 0 ⋅ 4)− 3(2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 4)+ 0(2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 0) = 7(0 − 0)− 3(2 − 12)+ 0(0 − 0)

= 7(0)− 3(−10)+ 0(0) = 0 + 30 + 0

= 30

Jadi, det (𝐵) = 30

2) Adjoin Matriks

Definisi (Pengertian)

Adjoin Matriks dinotasikan dengan adj (𝐴) = [𝐴], misal: Jika 𝐴 = [𝑎 𝑏

𝑐 𝑑], maka adj (𝐴) = [ 𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎 ]

Jika 𝐴_2×2 = [𝑎_𝑎11 𝑎12

21 𝑎22], maka adj (𝐴) = [

𝑎22 −𝑎12 −𝑎21 𝑎11 ]

3 4], maka carilah adj (𝐴) ! Jawab: 𝐴 = [2 1

3 4]

adj (𝐴) = [ 4₋₃ −1_{2 ]}

Jadi, adj (𝐴) = [ 4 −1 −3 2 ]

Metode Minor-Kofaktor

(3)

3

kolom ke-𝑗. Jika 𝐴 adalah sebuah matriks bujur sangkar berordo 𝑛 × 𝑛, maka minor elemen 𝑎𝑖𝑗 yang dinotasikan dengan 𝑀𝑖𝑗, didefinisikan sebagai determinan dari sub matriks A berordo (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1) setelah baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 dihilangkan. Kofaktor matriks 𝐴 dilambangkan 𝑐_𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗det (𝑀_𝑖𝑗)

Misal 𝐴_3×3= [

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 ]

Minor elemen 𝑎₁₁ adalah [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

Sehingga

𝑀11 = [𝑎_𝑎22₃₂ 𝑎_𝑎23₃₃] jika dan hanya jika det (𝑀11) = |𝑎_𝑎22₃₂ 𝑎_𝑎23₃₃|

𝑐11= (−1)1+1det (𝑀11) = (−1)2|_𝑎𝑎22₃₂ _𝑎𝑎23₃₃| = |_𝑎𝑎22₃₂ 𝑎_𝑎23₃₃|

Minor elemen 𝑎₁₂ adalah [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 ]

Sehingga

𝑀12 = [𝑎_𝑎21₃₁ 𝑎_𝑎23₃₃] jika dan hanya jika det (𝑀12) = |𝑎_𝑎21₃₁ 𝑎_𝑎23₃₃|

𝑐12= (−1)1+2det (𝑀12) = (−1)3|_𝑎𝑎21₃₁ _𝑎𝑎23₃₃| = − |_𝑎𝑎21₃₁ 𝑎_𝑎23₃₃|

Minor elemen 𝑎₁₃ adalah [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 ]

Sehingga

𝑀13 = [𝑎_𝑎21₃₁ 𝑎_𝑎22₃₂] jika dan hanya jika det (𝑀13) = |𝑎_𝑎21₃₁ 𝑎_𝑎22₃₂|

𝑐13= (−1)1+3det (𝑀13) = (−1)4|_𝑎𝑎21₃₁ _𝑎𝑎22₃₂| = |_𝑎𝑎21₃₁ 𝑎_𝑎22₃₂|

Minor elemen 𝑎₂₁ adalah [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

Sehingga

𝑀21 = [𝑎_𝑎12₃₂ 𝑎_𝑎13₃₃] jika dan hanya jika det (𝑀21) = |𝑎_𝑎12₃₂ _𝑎𝑎13₃₃|

(4)

4 Minor elemen 𝑎₂₂ adalah [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33 ]

Sehingga

𝑀22 = [𝑎_𝑎11₃₁ 𝑎_𝑎13₃₃] jika dan hanya jika det (𝑀22) = |𝑎_𝑎11₃₁ _𝑎𝑎13₃₃|

𝑐22= (−1)2+2det (𝑀22) = (−1)4|_𝑎𝑎11₃₁ _𝑎𝑎13₃₃| = |_𝑎𝑎11₃₁ 𝑎_𝑎13₃₃|

Minor elemen 𝑎₂₃ adalah [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33 ]

Sehingga

𝑀23 = [𝑎_𝑎11₃₁ 𝑎_𝑎12₃₂] jika dan hanya jika det (𝑀23) = |𝑎_𝑎11₃₁ _𝑎𝑎12₃₂|

𝑐23= (−1)2+3det (𝑀23) = (−1)5|_𝑎𝑎11₃₁ _𝑎𝑎12₃₂| = − |_𝑎𝑎11₃₁ _𝑎𝑎12₃₂|

Minor elemen 𝑎₃₁ adalah [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

Sehingga

𝑀31 = [𝑎_𝑎12₂₂ 𝑎_𝑎13₂₃] jika dan hanya jika det (𝑀31) = |𝑎_𝑎12₂₂ _𝑎𝑎13₂₃|

𝑐31= (−1)3+1det (𝑀31) = (−1)4|_𝑎𝑎12₂₂ _𝑎𝑎13₂₃| = |_𝑎𝑎12₂₂ 𝑎_𝑎13₂₃|

Minor elemen 𝑎₃₂ adalah [

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

Sehingga

𝑀32 = [𝑎_𝑎11₂₁ 𝑎_𝑎13₂₃] jika dan hanya jika det (𝑀32) = |𝑎_𝑎11₂₁ _𝑎𝑎13₂₃|

𝑐32= (−1)3+2det (𝑀32) = (−1)5|_𝑎𝑎11₂₁ _𝑎𝑎13₂₃| = − |_𝑎𝑎11₂₁ _𝑎𝑎13₂₃|

Minor elemen 𝑎₃₃ adalah [

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

]

Sehingga

𝑀33 = [𝑎_𝑎11₂₁ 𝑎_𝑎12₂₂] jika dan hanya jika det (𝑀33) = |𝑎_𝑎11₂₁ _𝑎𝑎12₂₂|

(5)

5

maka diperoleh Matriks Kofaktor 𝐴 sebagai berikut 𝐶(𝐴) = [𝑐𝑐1121 𝑐𝑐1222 𝑐𝑐1323

𝑐31 𝑐32 𝑐33 ]

Adjoin dari Matriks 𝐴 adalah Transpose dari Matriks Kofaktor 𝐴 adj (𝐴) = [𝐶(𝐴)]𝑇

Contoh: Jika diketahui 𝐵 = [

7 3 0 2 0 4 3 0 1]

, maka carilah adj (𝐵)! Jawab:

Minor elemen 𝑎₁₁ adalah [7 3 02 0 4

3 0 1]

Sehingga

𝑀11 = [0 4_{0 1]} jika dan hanya jika det (𝑀11) = |0 4_{0 1|}

𝑐11= (−1)1+1det (𝑀11) = (−1)2|0 4_{0 1| = 0 − 0 = 0}

7 3 0

2 0 4

3 0 1]

Sehingga

𝑐12= (−1)1+2det (𝑀12) = (−1)3|2 4_{3 1| = − |}2 4_{3 1| = −(2 − 12) = 10}

Minor elemen 𝑎₁₃ adalah [7 3 02 0 4 3 0 1]

Sehingga

𝑐13= (−1)1+3det (𝑀13) = (−1)4|2 0_{3 0| = |}2 0_{3 0| = 0 − 0 = 0}

7 3 0

2 0 4

3 0 1]

Sehingga

(6)

6

Minor elemen 𝑎₂₂ adalah [

7 3 0

2 0 4 3 0 1]

Sehingga

𝑐22= (−1)2+2det (𝑀22) = (−1)4|7 0_{3 1| = |}7 0_{3 1| = 7 − 0 = 7}

7 3 0

2 0 4 3 0 1]

Sehingga

𝑐23= (−1)2+3det (𝑀23) = (−1)5|7 3_{3 0| = − |}7 3_{3 0| = −(0 − 9) = 9}

7 3 0

2 0 4

3 0 1]

Sehingga

𝑐31= (−1)3+1det (𝑀31) = (−1)4|3 0_{0 4| = |}3 0_{0 4| = 12 − 0 = 12}

7 3 0

2 0 4

3 0 1]

Sehingga

𝑐32= (−1)3+2det (𝑀32) = (−1)5|7 0_{2 4| = − |}7 0_{2 4| = −}(28 − 0) = −28

7 3 0

2 0 4

3 0 1]

Sehingga

(7)

7 Sehingga diperoleh

𝑐11= 0 𝑐12= 10 𝑐13= 0 𝑐21= −3 𝑐22= 7 𝑐23= 9 𝑐31= 12 𝑐32= −28 𝑐33= −6

maka diperoleh Matriks Kofaktor 𝐵 sebagai berikut 𝐶(𝐵) = [𝑐𝑐1121 𝑐𝑐1222 𝑐𝑐1323

𝑐31 𝑐32 𝑐33 ]

𝐶(𝐵) = [−30 107 09 12 −28 −6]

adj (𝐵) = [𝐶(𝐵)]𝑇

adj (𝐵) = [−30 107 09 12 −28 −6]

𝑇

adj (𝐵) = [100 −37 −2812

0 9 −6]

3) Invers Matriks

Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks persegi, dan berlaku 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼, maka dikatakan matriks 𝐴 dan 𝐵 saling invers. 𝐵 disebut invers dari 𝐴, atau ditulis 𝐴−1. Matriks yang mempunyai invers disebut matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

𝐴−1 ₌ 1

det (𝐴)[adj (𝐴)], dimana det (𝐴) ≠ 0

3 4], maka carilah 𝐴−1 ! Jawab: 𝐴 = [2 1

3 4]

det (𝐴) = |2 1_{3 4|}

= (2)(4) − (3)(1) = 8 − 3

(8)

8 adj (𝐴) = [ 4₋₃ −1_{2 ]}

𝐴−1₌ 1

det (𝐴)[adj (𝐴)] =1

5[ 4−3 −12 ]

= [ 4

5 −

1 5 −3₅ 2₅ ]

Jadi, 𝐴−1 = [ 4

5 −

1 5 −3₅ 2₅ ]

Contoh: Jika diketahui 𝐵 = [

7 3 0 2 0 4 3 0 1]

, maka carilah 𝐵−1 !

Jawab: 𝐵 = [

7 3 0 2 0 4 3 0 1]

det (𝐵) = 7|0 4_{0 1}|− 3|2 4_{3 1}|+ 0|2 0_{3 0}|

= 7(0 ⋅ 1 − 0 ⋅ 4)− 3(2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 4)+ 0(2 ⋅ 0 − 3 ⋅ 0) = 7(0 − 0)− 3(2 − 12)+ 0(0 − 0)

= 7(0)− 3(−10)+ 0(0) = 0 + 30 + 0

= 30

7 3 0

2 0 4

3 0 1]

Sehingga

𝑐11= (−1)1+1det (𝑀11) = (−1)2|0 4_{0 1| = 0 − 0 = 0}

7 3 0

2 0 4

3 0 1]

Sehingga

(9)

9 Minor elemen 𝑎₁₃ adalah [7 3 02 0 4

3 0 1]

Sehingga

𝑐13= (−1)1+3det (𝑀13) = (−1)4|2 0_{3 0| = |}2 0_{3 0| = 0 − 0 = 0}

7 3 0

2 0 4

3 0 1]

Sehingga

𝑐21= (−1)2+1det (𝑀11) = (−1)3|3 0_{0 1| = − |}3 0_{0 1| = −(3 − 0) = −3}

Minor elemen 𝑎₂₂ adalah [72 0 43 0 3 0 1]

Sehingga

𝑐22= (−1)2+2det (𝑀22) = (−1)4|7 0_{3 1| = |}7 0_{3 1| = 7 − 0 = 7}

7 3 0

2 0 4 3 0 1]

Sehingga

𝑐23= (−1)2+3det (𝑀23) = (−1)5|7 3_{3 0| = − |}7 3_{3 0| = −(0 − 9) = 9}

Minor elemen 𝑎₃₁ adalah [72 3 00 4

3 0 1]

Sehingga

(10)

10 Minor elemen 𝑎₃₂ adalah [72 30 04

3 0 1]

Sehingga

𝑐32= (−1)3+2det (𝑀32) = (−1)5|7 0_{2 4| = − |}7 0_{2 4| = −}(28 − 0) = −28

7 3 0

2 0 4

3 0 1]

Sehingga

𝑐33= (−1)3+3det (𝑀33) = (−1)6|7 3_{2 0| = |}7 3_{2 0| = 0 − 6 = −6}

Sehingga diperoleh 𝑐11= 0

𝑐12= 10 𝑐13= 0 𝑐21= −3 𝑐22= 7 𝑐23= 9 𝑐31= 12 𝑐32= −28 𝑐33= −6

maka diperoleh Matriks Kofaktor 𝐵 sebagai berikut 𝐶(𝐵) = [𝑐𝑐1121 𝑐𝑐1222 𝑐𝑐1323

𝑐31 𝑐32 𝑐33 ]

𝐶(𝐵) = [−30 107 09 12 −28 −6]

adj (𝐵) = [𝐶(𝐵)]𝑇

adj (𝐵) = [−30 107 09 12 −28 −6]

𝑇

adj (𝐵) = [100 −37 −2812

(11)

11 𝐵−1₌ 1

det (𝐵)[adj (𝐵)]

= 1 30[

0 −3 12

10 7 −28

0 9 −6]

= [ 0 30 − 3 30 12 30 10 30 7 30 − 28 30 0 30 9 30 − 6 30] = [

0 −101 2 5 1 3 7 30 − 14 15 0 ₁₀3 −1₅_]

Jadi, 𝐵−1= [

0 −101 2 5 1 3 7 30 − 14 15 0 ₁₀3 −1₅_]

B. Aplikasi Matriks

1) Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linier dua variabel adalah suatu sistem persamaan linier dengan dua variabel. Bentuk umum sistem persamaan linier dengan dua variabel 𝑥 dan 𝑦 adalah

𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 = 𝑏1 ⋯ (1) 𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 = 𝑏2 ⋯ (2) Sehingga dapat dibentuk matriks

[_𝑎𝑎11 𝑎12 21 𝑎22] [

𝑥

𝑦] = [𝑏_𝑏1₂]

Misal: 𝐴𝑋 = 𝐵 𝐴𝐴−1_{𝑋 = 𝐴}−1_𝐵 𝑋 = 𝐴−1𝐵

Sehingga

[𝑥_{𝑦] = [}𝑎_𝑎11 𝑎12 21 𝑎22]

−1 [𝑏_𝑏1

2]

Keterangan: 𝑎₁₁, 𝑎₂₁=koefisien 𝑥 𝑎12, 𝑎22=koefisien 𝑦 𝑏1, 𝑏2 =konstanta 𝑥, 𝑦 =variabel

Contoh: Selesaikanlah SPLDV 2𝑥 + 𝑦 = 3 dan 𝑥 + 𝑦 = 5! Diketahui: 𝑥 + 𝑦 = 3

(12)

12 Misal:

𝐴 = [2 1_{1 1]}

𝐴−1 ₌ 1

2 − 1 [−11 −12 ] = 1

1 [−11 −12 ] = [−11 −12 ] 𝑋 = 𝐴−1_𝐵

[𝑥_{𝑦] = [}₋₁1 −1_{2 ] [}3_5] [𝑥_{𝑦] = [}(1 ⋅ 3) + (−1 ⋅ 5)_{(−1 ⋅ 3) + (2 ⋅ 5)]} [𝑥_{𝑦] = [}_{−3 + 10]}3 − 5

[𝑥_{𝑦] = [}−2_{7 ]}

Jadi, 𝐻𝑃 = {(𝑥, 𝑦)|(−2,7), 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ}

2) Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV)

Sistem persamaan linier tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linier dengan tiga variabel. Bentuk umum sistem persamaan linier dengan tiga variabel 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 adalah

𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1 ⋯ (1) 𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2 ⋯ (2) 𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3 ⋯ (3)

Sehingga dapat dibentuk matriks

[𝑎𝑎1121 𝑎𝑎1222 𝑎𝑎1323 𝑎31 𝑎32 𝑎33

] [𝑥𝑦 𝑧] = [

𝑏1 𝑏2 𝑏3 ]

Misal: 𝐴𝑋 = 𝐵 𝐴𝐴−1_{𝑋 = 𝐴}−1_𝐵 𝑋 = 𝐴−1𝐵

Sehingga [𝑥𝑦

𝑧] = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 ]

−1 [𝑏𝑏12

𝑏3 ]

Keterangan: 𝑎₁₁, 𝑎₂₁, 𝑎₃₁ =koefisien 𝑥 𝑎12, 𝑎22, 𝑎32 =koefisien 𝑦 𝑎13, 𝑎23, 𝑎33 =koefisien 𝑧 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 =konstanta 𝑥, 𝑦, 𝑧 =variabel

Contoh: Selesaikanlah SPLDV 2𝑥 + 𝑧 = 5, 𝑥 + 𝑧 = 3, dan 𝑥 + 2𝑦 = 4! Diketahui: 2𝑥 + 𝑧 = 5

(13)

13 Jawab:

Misal:

𝐴 = [2 0 11 0 1 1 2 0]

det (𝐴) =2|0 1_{2 0}|− 0|1 1_{1 0}|+ 1|1 0_{1 2}|

=2(0 ⋅ 0 − 1 ⋅ 2)− 0(1 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1)+ 1(1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 0) =2(0 − 2)− 0(0 − 1)+ 1(2 − 0)

=2(−2)− 0(−1)+ 1(2) =−4 + 0 + 2

=−2

2 0 1

1 0 1

1 2 0]

Sehingga

𝑐11= (−1)1+1det (𝑀11) = (−1)2|0 1_{2 0| = 0 − 2 = −2}

2 0 1

1 0 1

1 2 0]

Sehingga

𝑐12= (−1)1+2det (𝑀12) = (−1)3|1 1_{1 0| = − |}1 1_{1 0| = −(1 − 0) = −2}

Minor elemen 𝑎₁₃ adalah [

2 0 1

1 0 1

1 2 0]

Sehingga

𝑐13= (−1)1+3det (𝑀13) = (−1)4|1 0_{1 2| = |}1 0_{1 2| = 2 − 0 = 2}

2 0 1

1 0 1

1 2 0]

Sehingga

(14)

14

𝑐21= (−1)2+1det (𝑀11) = (−1)3|0 1_{2 0| = − |}0 1_{2 0| = −(0 − 2) = 2}

Minor elemen 𝑎₂₂ adalah [21 0 10 1 1 2 0]

Sehingga

𝑐22= (−1)2+2det (𝑀22) = (−1)4|2 1_{1 0| = |}2 1_{1 0| = 0 − 1 = −1}

2 0 1

1 0 1 1 2 0]

Sehingga

𝑐23= (−1)2+3det (𝑀23) = (−1)5|2 0_{1 2| = − |}2 0_{1 2| = −}(4 − 0) = −4

2 0 1

1 0 1

1 2 0]

Sehingga

𝑐31= (−1)3+1det (𝑀31) = (−1)4|0 1_{0 1| = |}0 1_{0 1| = 0 − 0 = 0}

2 0 1

1 0 1

1 2 0]

Sehingga

𝑐32= (−1)3+2det (𝑀32) = (−1)5|2 1_{1 1| = − |}2 1_{1 1| = −}(2 − 1) = −1

2 0 1

1 0 1

1 2 0]

Sehingga

(15)

15

𝑐33= (−1)3+3det (𝑀33) = (−1)6|2 0_{1 0| = |}2 0_{1 0| = 0 − 0 = 0}

Sehingga diperoleh 𝑐11= −2

𝑐12= −2 𝑐13= 2 𝑐21= 2 𝑐22= −1 𝑐23= −4 𝑐31= 0 𝑐32= −1 𝑐33= 0

maka diperoleh Matriks Kofaktor 𝐴 sebagai berikut 𝐶(𝐴) = [𝑐𝑐1121 𝑐𝑐1222 𝑐𝑐1323

𝑐31 𝑐32 𝑐33 ]

𝐶(𝐴) = [−2 −22 −1 −42

0 1 0 ]

adj (𝐴) = [𝐶(𝐴)]𝑇

adj (𝐴) = [−2 −22 −1 −42

0 1 0 ]

𝑇

adj (𝐴) = [−2−2 −1 12 0 2 −4 0]

𝐴−1₌ 1

det (𝐴)[adj (𝐴)]

= 1 −2[

−2 2 0

−2 −1 1 2 −4 0]

= [

1 −1 0

1 1₂ −1₂

−1 2 0

]

𝑋 = 𝐴−1_𝐵

[𝑥𝑦 𝑧] = [

1 −1 0

1 1₂ −1₂

−1 2 0

] [53 4]

[𝑥𝑦 𝑧] = [

(1 ⋅ 5) + (−1 ⋅ 3) + (0 ⋅ 4) (1 ⋅ 5) + (1_{2 ⋅ 3) + (−}1_{2 ⋅ 4)}

(16)

16 [𝑥𝑦

𝑧] = [

5 − 3 + 0 5 +3_{2 − 2} −5 + 6 + 0

]

[𝑥𝑦 𝑧] = [

2 3 2 1

]

Jadi, 𝐻𝑃 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)| (2,3