27
Menentukan Invers Drazin dari Matriks Singular
Dengan Metode Leverrier Faddeev
Suhendry
1, Irma Suryani
21,2
Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau
Jl. HR. Soebrantas No. 155 Simpang Baru, Panam, Pekanbaru, 28293
Email:
[email protected]
,
[email protected]
ABSTRAK
Ada beberapa metode untuk mencari invers Drazin dari matriks singular, salah satunya adalah metode Leverrier Faddeev. Pada makalah ini akan dibahas bagaimana menentukan invers Drazin dari matriks singular menggunakan metode Levverrier Faddeev. Metode Levverrier Faddeev merupakan metode yang digunakan untuk menentukan invers suatu matriks singular maupun non singular dengan cara menyederhanakan perhitungan koefesien polinomial karakteristik dari suatu matriks. Berdasarkan pembahasan tugas akhir ini dapat disimpulkan bahwa matriks singular juga mempunyai invers sama seperti matriks non singular.
Katakunci: Invers Drazin, Levverrier Faddeev.
ABSTRACT
There are a few method for drazin Invere search of the singular matrix, one of them are leverrier faddeev method. This .paper discussion how to determine drazin Inverse of matrix singular use leverrier faddeev method, Leverrier Faddeev method constitute the method that is used to determine inverse of the singular matrix devel non singular by the way simplify computation of characteristic polynomial koefesien of a matrix. Based on the delibirations of the final project inconclusive that singular matrix have inverse same as non singular matrix. Keywords: Drazin Inverse, Leverrier Faddeev.
PENDAHULUAN
Aljabar merupakan salah satu cabang ilmu yang membahas permasalahan pada bidang matematika, salah satunya adalah matriks. Matriks adalah bilangan-bilangan yang disusun dalam bentuk empat persegi panjang. Penyusunan bilangan-bilangan atau yang biasa disebut elemen-elemen dalam bentuk empat persegi panjang biasanya secara horizontal dan vertikal. Susunan bilangan-bilangan horizontal disebut baris dan susunan bilangan-bilangan vertikal disebut kolom dari suatu matriks, banyaknya baris dan banyaknya kolom suatu matriks disebut ukuran matriks.
Matriks dengan ukuran dikatakan mempunyai invers apabila matriks tersebut marupakan matriks nonsingular, atau dengan kata lain matriks tersebut memiliki determinan. Tetapi lain halnya dengan matriks singular yang membutuhkan sebuah invers matriks yang diperumum untuk mengetahui inversnya, dikarenakan determinan matriks tersebut adalah nol, dan invers matriks tersebut adalah invers Drazin.
Invers Drazin merupakan suatu invers yang khusus digunakan untuk matriks singular yang dilambangkan dengan Metode yang bisa digunakan untuk mencari invers Drazin beragam, seperti penelitian yang dilakukan oleh Lisnilwatil Khasanah dan Bambang Irawanto melalui jurnal yang berjudul ”Menentukan Invers Drazin dari Matriks Singular” tahun 2011 menggunakan metode bentuk kanonik jordan, tetapi masih ada metode lain yang bisa digunakan untuk menentukan invers Drazin, salah satunya adalah metode Leverrier Faddeev. Metode ini merupakan metode yang dimodifikasi khusus dari metode Leverrier oleh Faddeev untuk menentukan invers Drazin dengan cara menyederhanakan perhitungan koefesien polinomial karakteristik dari suatu matriks.
METODE PENELITIAN
Trace Matriks
Trace matriks adalah jumlah elemen diagonal utama pada matriks bujur sangkar. Jika matriks adalah matriks bujur sangkar (kuadrat) ukuran maka trace dinyatakan oleh .
Jika diketahui matriks
Maka trace dari matriks adalah:
28
Sehingga trace suatu matriks bujur sangkar adalah penjumlahan elemen-elemen pada diagonal utama dari matriks yang bersangkutan.
Contoh :
Diberikan matriks
Tentukan Trace dari matriks (
Penyelesaian:
Matriks Singular
Jika adalah matriks persegi dan , maka merupakan matriks singular atau non invertibel (tidak bisa dibalik).
Contoh :
Diberikan matriks
Kemudian dicari determinannya
Karena determinan dari matriks tersebut adalah maka matriks tersebut singular.
Invers Drazin
Michael P Drazin diketahui sebagai seseorang yang pertama kali memperkenalkan Invers Drazin pada tahun 1958 dengan definisi sebagai berikut:
Definisi 1 ( M. Catral, D.D Olesky and P.Van Den Drieesche, 2009): Jika matriks suatu bilangan riil atau bilangan kompleks maka indeks merupakan bilangan sehingga . Maka Invers
Drazin dari suatu matriks yang dituliskan dengan merupakan sebuah invers yang memenuhi: 1.
2. 3. dimana .
Metode Leverrier Faddeev
Metode leverrier faddeev merupakan salah satu metode yang juga dapat digunakan untuk mencari suatu invers Drazin, selain dari metode bentuk kanonik Jordan. Penjelasan mengenai metode ini akan ditunjukkan dengan menggunakan matriks polinomial dan dapat dilihat pada lemma dibawah ini:
Lemma Diberikan sebarang matriks polinomial dan akan ditunjukkan bahwa: det . Bukti: Diberikan matriks
Kemudian akan menentukan Penyelesaian:
29
Terbukti bahwaSebelum mencari invers Drazin, terlebih dahulu mengetahui nilai , yang mana nilai didapat dari koefisen matriks, yang mana:
Jika maka dan
Dan juga diasumsikan
Dengan
Dari kasus , invers Drazin untuk diberikan dalam bentuk
Kemudian untuk kasus dan maka
Diasumsikan matriks polinomial, maka langkah untuk mencari invers Drazinnya adalah:
Langkah Pertama:
Carilah dan serangkaian matrikspolinomial sebagai berikut:
Langkah Kedua: Diberikan Untuk dan invers Drazinnya adalah:
.
PEMBAHASAN DAN HASIL
Diberikan matriks singular sebagai berikut:
0
2
1
3
2
0
2
3
0
0
1
2
2
1
1
0
0
3
2
1
0
0
1
1
0
1
0
3
1
1
0
2
1
1
3
2
1
0
2
2
0
3
2
1
0
0
1
1
1
1
0
0
3
1
2
0
1
1
0
1
2
0
0
1
Tentukan invers Drazin dari matriks menggunakan metode Leverrier Faddeev?
30
Diperoleh: Kemudian, Maka, Diperoleh: Kemudian,31
3
1
5
0
9
0
5
3
3
5
5
8
5
0
5
0
2
8
9
7
2
3
2
2
3
2
6
11
1
3
2
1
2
11
12
8
2
1
6
16
2
8
9
7
2
3
2
2
2
1
11
0
0
0
0
10
1
1
8
2
3
0
3
11
19
0
0
0
0
0
0
0
0
19
0
0
0
0
0
0
0
0
19
0
0
0
0
0
0
0
0
19
0
0
0
0
0
0
0
0
19
0
0
0
0
0
0
0
0
19
0
0
0
0
0
0
0
0
19
0
0
0
0
0
0
0
0
19
Maka,
0
2
1
3
2
0
2
3
0
0
1
2
2
1
1
0
0
3
2
1
0
0
1
1
0
1
0
3
1
1
0
2
1
1
3
2
1
0
2
2
0
3
2
1
0
0
1
1
1
1
0
0
3
1
2
0
1
1
0
1
2
0
0
1
1
1
5
0
9
0
5
3
3
14
5
8
5
0
5
0
2
8
10
7
2
3
2
2
3
2
6
8
1
3
2
1
2
11
12
8
17
1
6
16
2
8
9
7
2
22
2
2
2
1
11
0
0
0
19
10
1
1
8
2
3
0
3
8
Diperoleh: Kemudian,32
Maka,
0
2
1
3
2
0
2
3
0
0
1
2
2
1
1
0
0
3
2
1
0
0
1
1
0
1
0
3
1
1
0
2
1
1
3
2
1
0
2
2
0
3
2
1
0
0
1
1
1
1
0
0
3
1
2
0
1
1
0
1
2
0
0
1
10
3
4
69
48
4
65
37
0
38
42
0
36
11
3
40
2
30
43
0
17
3
9
5
0
3
14
2
21
12
9
1
5
54
12
9
22
13
28
15
2
30
22
0
17
24
9
5
9
58
23
9
39
18
33
27
8
10
28
30
26
0
17
1
Diperoleh: kemudian,33
Maka, Diperoleh: kemudian,34
Maka, diperoleh: Kemudian,35
Maka, Diperoleh: kemudian,36
Maka, Diperoleh: Kemudian,1. Setelah menemukan nilai , selanjutnya dicari nilai untuk menentukan invers Drazinnya, yang mana
37
2. Mencari invers Drazinnya adalah :
0
2
1
3
2
0
2
3
0
0
1
2
2
1
1
0
0
3
2
1
0
0
1
1
0
1
0
3
1
1
0
2
1
1
3
2
1
0
2
2
0
3
2
1
0
0
1
1
1
1
0
0
3
1
2
0
1
1
0
1
2
0
0
1
271200
297920
317114
286464
303000
59622
388392
132208
20040
17104
70738
16192
33602
71642
48718
8820
26616
30800
94926
68288
17870
40838
71970
43220
60768
55232
278042
99072
66584
181370
88232
21872
68320
108224
37474
84736
102520
163458
132936
30512
26616
30800
567670
68288
17870
621758
71970
43220
39040
40704
33906
6144
32160
42482
81248
14272
82040
39600
171392
123584
85358
40120
137346
23700
38
217600
348160
413592
208896
298112
195992
450432
143616
23936
65280
65470
34816
39712
15422
8160
31552
10880
56576
50382
69632
51680
34482
29920
81600
43520
69632
109592
17408
89216
66072
119680
30464
60928
156672
120952
34816
80512
60024
93568
13056
10880
56576
50382
69632
51680
34482
29920
81600
34816
121856
416
104448
17408
34400
52224
34816
28288
30464
128110
121856
87584
25838
151776
64192
KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang dilakukan maka dapat disimpulkan bahwa matriks singular juga mempunyai invers sama halnya dengan matriks non singular. Bagi para pembaca, penulis menyarankan untuk menghitung invers Drazin menggunakan metode lain atau dengan menggunakan matriks yang berbeda, kemudian membandingkan hasil yang dilakukan penulis sebelumnya.
