TUGAS MEMBUAT MAKALAH ALJABAR LINIER DET (2)

TUGAS MEMBUAT MAKALAH

“ALJABAR LINIER”

DETERMINAN MATRIKS

DISUSUN OLEH :

SINTA NOVIANTI

NASITA SYAFRIANA

SEMESTER II

SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN

INFORMATIKA DAN KOMPUTER

PELITA NUSANTARA LUBUK PAKAM

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan Makalah ini yang alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul “DETERMINAN MATRIKS” Makalah ini berisikan tentang informasi DETERMINAN MATRIKS atau yang lebih khususnya membahas penerapan DETERMINAN MATRIKS, perspektif Diharapkan Makalah ini dapat memberikan informasi kepada kita semua tentang

quantum DETERMINAN MATRIKS

Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan

makalah ini.

Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.

Daftar isi

Halaman

Kata pengantar...i

Daftar isi...ii

Bab. I Pendahuluan

...1

1.1 Latar belakang...1

1.2 Tujuan...1

Bab.II Isi

...2

2.1 Definisi Determinan...2

2.2 Sifat-Sifat Determinan...2

2.3 Determinan Minor dan Kofaktor...10

Bab.III PENUTUP

...11

BAB I

Pendahuluan

1 . 1 L a t a r b e l a k a n g

B a n y a k o r a n g y a n g b e r a n g g a p a n b a h w a M a t e m a t i k a i t u r u m i t , k a r e n a alasan itulah banyak orang yang menghindari Matematika. Padahal Matematikadapat kita jumpai di dalam kehidupan sehari-hari, dan mau tidak mau kita pastimenggunakan Matematika. Oleh karena itu saya membuat makalah ini denganmaksud membantu pemahaman agar mereka tidak menilai Matematika adalahsesuatu yang buruk. Secara khusus dalam ilmu pengetahuan Determinan matriks.

1 . 2 T u j u a n

Makalah ini dibuat dengan tujuan utama untuk memenuhi tugas , yang diberikan oleh dosen

saya. dan

BAB II

2.1 Defenisi Determinan

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.

Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2

A = tentukan determinan A untuk mencari determinan matrik A maka,

detA = ad – bc

Determinan Matriks

Suatu Matriks mempunyai determinan jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi. Untuk lebih jelasnya mengenai matriks persegi. Determinan matriks A bisa ditulis det(A) atau |A|.

2.2 Sifat-Sifat Determinan Matriks

Berikut disajikan beberapa sifat determinan matriks

1. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan matriks itu nol.

Misal :

2. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.

Misal B = (Karena elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 sama).

3. Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.

Misal A = (Karena elemen-elemen baris ke-3 sama dengan kelipatan elemen-elemen baris ke-1).

4. |AB| = |A| ×|B|

5. |AT| = |A|, untuk AT adalah transpose dari matriks A.

7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k suatu konstanta. Sifat-sifat di atas tidak dibuktikan di sini. Pembuktian sifat-sifat ini akan kalian pelajari di jenjang yang lebih tinggi.

Determinan matriks 2×2 Misalkan matriks

A

=(

acbd

)

det(A) = |A| =

a

×

d

−

b

×

c

Determinan matriks

3×3

cara Sarrus

Untuk menentukan determinan matriks

3×3

dapat menggunakan cara Sarrus yaitu dua kolom pertama dipindahkan ke sebelah kanan matriksnya

Misalkan matriks

A

=

⎛⎝⎜

a

11

a

21

a

31

a

12

a

22

a

32

a

13

a

23

a

33

⎞⎠⎟

determinan matriks A adalah :

Catatan : Metode Sarrus hanya bisa digunakan untuk matriks

3×3

saja. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar, bisa mengggunakan Metode Kofaktor . Metode kofaktor ini bisa digunakan untuk menentukan determinan semua ukuran matriks persegi.

Contoh :

Tentukan nilai determinan dari matriks-matriks berikut :

A=(2415)

dan

B=

⎛⎝⎜

2−1213−3304

⎞⎠⎟

Penyelesaian :

*). determinan matriks A ,

|A|=2.5−1.4=10−4=6

Determinan matriks menggunakan Metode Kofaktor

Metode kofaktor merupakan metode umum yang dapat digunakan untuk menentukan determinan dan invers suatu matriks. Sebelum menentukan kofaktornya, kita harus menentukan sub matriksnya atau minornya terlebih dahulu.

Pengertian Minor suatu matriks

Minor suatu matriks A dilambangkan dengan

M

ij

adalah matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-

i

dan elemen-elemen pada kolom ke-

j

.

Misalkan matriks

A=

⎛⎝⎜

a

11

a

21

a

31

a

12

a

22

a

32

a

13

a

23

a

33

⎞⎠⎟

Adapun Minor matriks A pada baris satu :

M

11

,M

12

,

dan

M

13 merupakan submatriks (minor) hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks A. Pengertian kofaktor suatu matriks

Kofaktor suatu elemen baris ke-

i

dan kolom ke-

j

dari matriks A dilambangkan dengan

k

ij

=(−1)

(i+j)

×|

M

ij

|

. Bentuk

|

M

ij

|

menyatakan determinan dari minor

M

ij

. Untuk menentukan nilai determinan matriks A dengan metode kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja, misalkan ekspansi baris ke-1.

|A|=a

11

.k

11

+a

12

.k

12

+a

13

.k

13

|A|=a

11

.(−1)

(1+1)

.|M

11

|+a

12

.(−1)

(1+2)

.|M

12

|+a

13

.(−1)

(1+3)

.|M

13

|

|A|=a

11

.(−1)

(1+1)

.

∣∣∣

a

22

a

32

a

23

a

33

∣∣∣

+a

12

.(−1)

(1+2)

.

∣∣∣

a

21

a

31

a

23

a

33

∣∣∣

+a

13

.

(−1)

(1+3)

.

∣∣∣

a

21

a

31

a

22

a

32

∣∣∣

|A|=a

11

.(−1)

2

.

∣∣∣

a

22

a

32

a

23

a

33

∣∣∣

+a

12

.(−1)

3

.

∣∣∣

a

21

a

31

a

23

a

33

∣∣∣

+a

13

.

(−1)

4

.

∣∣∣

a

21

a

31

a

22

a

32

∣∣∣

|A|=a

11

.1.

∣∣∣

a

22

a

32

a

23

a

33

∣∣∣

+a

12

.

(−1).

∣∣∣

a

21

a

31

a

23

a

33

∣∣∣

+a

13

.1.

∣∣∣

a

21

a

31

a

22

a

32

∣∣∣

|A|=a

11

.

∣∣∣

a

22

a

32

a

23

a

33

∣∣∣

−a

12

.

∣∣∣

a

21

a

31

a

23

a

33

∣∣∣

+a

13

.

∣∣∣

a

21

a

31

a

22

a

32

∣∣∣

Catatan : menentukan determinan dengan metode kofaktor dapat menggukanan sembarang ekspansi, misalkan ekspansi baris ke-1, atau baris ke-2, atau baris ke-3, atau bisa juga menggunakan ekspansi kolom ke-1, atau kolom ke-2 atau kolom ke-3.

Contoh : Tentukan determinan matriks

B=

⎛⎝⎜

2−1213−3304

⎞⎠⎟

Penyelesaian : metode kofaktor berdasarkan ekspansi baris ke-1 *). Menentukan minor baris ke-1

*). Menentukan kofaktor ekspansi baris ke-1

k

11

=(−1)

(1+1)

.|M

11

|=(−1)

2

.12=12

k

12

=(−1)

(1+2)

.|M

12

|=(−1)

3

.(−4)=(−1).(−4)=4

k

13

=(−1)

(1+3)

.|M

13

|=(−1)

4

.(−3)=−3

*). Menentukan determinan ekspansi baris ke-1

|B|=b

11

.k

11

+b

12

.k

12

+b

13

.k

13

=2.12+1.4+3.(−3)=24+4+(−9)=19

Jadi determinan matriks B adalah 19.

Invers Matriks

Invers suatu matriks dilambangkan

A

−1 ,

A

−1 melambangkan invers dari matriks A. Secara umum hanya matriks persegi yang mempunyai invers. Berikut penjelasannya tentang invers.

Invers matriks

2×2

det(A) = |A| =

a

×

d

−

b

×

c

invers matriks A adalah

A

−1

=

1|A|

(

d

−

c

−

ba

)

Contoh :

Tentukan invers dari matriks

A=(3221)

? Penyelesaian :

*). Determinan matriks A :

|A|=3.1−2.2=3−4=−1

*). Invers matriks A :

A

−1

=

1|A|

(d−c−ba)=

1−1

(1−2−23)=−1(1−2−23)=(−122−3)

Jadi, invers matriks A adalah

A

−1

=(−122−3)

Invers matriks

3×3

dengan metode kofaktor

Secara umum, invers suatu matriks misalkan matriks A adalah

A

−1

=

1|A|

.

adj

(

A

)

adj

(

A

)

artinya adjoin dari matriks A yang diperoleh dengan cara mentranspose matriks kofaktor.

Misalkan matriks kofaktornya :

K

=⎛⎝⎜

k

11

k

21

k

31

k

12

k

22

k

32

k

13

k

23

k

33

⎞⎠⎟

dengan

k

ij

=(−1)

(i+j)

×|

M

ij

|

maka adjoin matriks A adalah

adj

(

A

)=

K

t

.

Menentukan invers semacam ini disebut menggunakan metode kofaktor. Catatan :

Rumus invers matriks A adalah

A

−1

=

1|A|

.adj(A)

, dari rumus ini diperoleh :

*). Jika

|A|=0

(determinan = 0) , maka matriks tidak punya invers (disebut matriks singular) *). Jika

|A|≠0

(determinan

≠

0) , maka matriks punya invers (disebut matriks non singular)

Contoh :

Tentukan invers dari matriks

A=

⎛⎝⎜

01431−220−1

⎞⎠⎟

? Penyelesaian :

*). Menentukan determinan matriks A

*). Menentukan matriks kofaktornya :

k

ij

=(−1)

(i+j)

×|M

ij

|

k

11

=(−1)

(1+1)

.|M

11

|=(−1)

2

.(−1)=−1

k

12

=(−1)

(1+2)

.|M

12

|=(−1)

3

.(−1)=1

k

13

=(−1)

(1+3)

.|M

13

|=(−1)

4

.(−6)=−6

k

21

=(−1)

(2+1)

.|M

21

|=(−1)

3

.(1)=−1

k

22

=(−1)

(2+2)

.|M

22

|=(−1)

4

.(−8)=−8

k

23

=(−1)

(2+3)

.|M

23

|=(−1)

5

.(−12)=12

k

31

=(−1)

(3+1)

.|M

31

|=(−1)

4

.(−2)=−2

k

32

=(−1)

(3+2)

.|M

32

|=(−1)

5

.(−2)=2

k

33

=(−1)

(3+3)

.|M

33

|=(−1)

6

.(−3)=−3

*). Menentukan adjoin matriks A

adj(A)=K

t

=

⎛⎝⎜

−11−6−1−812−22−3

⎞⎠⎟

*). invers matriks A

A

−1

=

1|A|

.adj(A)=

1−9

⎛⎝⎜

−11−6−1−812−22−3

⎞⎠⎟

A

−1

=

⎛⎝⎜⎜⎜

19−19691989−12929−2939

⎞⎠⎟⎟⎟

Bahkan dengan Sifat-sifat determinan dan invers matriks akan mampu membantu kita mempercepat dalam menyelesaikan suatu soal-soal yang berkaitan dengan determinan dan invers. Untuk soal-soal-soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi, banyak sekali soal-soal matriks harus kita selesaikan dengan sifat-sifatnya. Jadi, penting bagi teman-teman untuk menguasai sifat-sifat determinan dan invers matriks.

Sifat-sifat determinan matriks

Misalkan ada matriks A, B, dan C yang memiliki nilai determinan. Berikut beberapa sifat-sifat determinan :

1).

|

A

t

|=|

A

|

2).

|

A

.

B

|=|

A

|.|

B

|

3).

|

A

n

|=|

A

|

n

4).

|

A

−1

|=

1|A|

5).

|

k

×

A

m×m

|=

k

m

×|

A

|

Untuk sifat nomor 2, bisa juga diperumum untuk perkalian lebih dari dua matriks, misalkan

|

A

.

B

.

C

|=|

A

|.|

B

|.|

C

|

dan seterusnya.

Contoh :

1). Diketahui matriks

A=(4523)

dan

B=(−2−3−11)

Tentukan nilai dari

a).

|A|

dan

|B|

b).

|A

t

|

c).

|A.B|

d).

|A

5

|

e).

|A

−1

|

f).

|3A|

Penyelesaian : Kita akan menggunakan sifat-sifat determinan a).

|A|=4.3−2.5=12−10=2

dan

|B|=(−2).1−(−1).(−3)=−2−3=−5

b). untuk menentukan nilai

|A

t

|

kita menggunakan sifat nomor 1, artinya determinan transpsosenya sama dengan determinan matriks awalnya.

sehingga

|A

t

|=|A|=2

c). Sifat determinan nomor 2, artinya kita tidak perlu mencari hasil perkalian

AB

lalu mencari determinannya.

sehingga

|A.B|=|A|.|B|=2.(−5)=−10

e). sifat nomor 4, kita tidak perlu mencari nilai

A

−1 (inversnya). sehingga

|A

−1

|=

1|A|

=

12

f). Sifat nomor 5 , kita tidak mengalikan 3 dengan matriks A. sehingga

|3A

2×2

|=3

2

.|A|=9.2=18

2). Suatu matriks A berordo

3×3

memiliki nilai determinan 5, tentukan nilai determinan 2A? Penyelesaian :

Berdasarkan sifat nomor 5,

|2A|=|2A

3×3

|=2

3

.|A|=8.5=40

Jadi, determinan matriks 2A adalah 40.

3). Dari persamaan matriks berikut

(4523)(1223)A(2126)=(40210)(0133)

tentukan nilai determinan matriks A ? Penyelesaian :

Untuk menyelesaikan soal ini, kita tidak perlu mencari matriks A terlebih dahulu karena akan sulit dan butuh waktu yang lama. Kita langsung menggunakan sifat determinan nomor 2 dengan cara ruas kiri dan ruas kanan kita kasih determinan.

(4523)(1223)A(2126) (4523)(1223)

∣∣∣

A(2126)

∣∣∣∣∣∣

4523 . 1223 .|

∣∣∣ ∣∣∣

∣∣∣

A|. 2126 (4.3−2.5).(1.3−2.2).|

∣∣∣

∣∣∣

A|.(2.6−2.1)(12−10).(3−4).|A|.(12−2)2.

(−1).|A|.(10)(−20).|A||A|=(40210)(0133)= (40210)

∣∣∣

(0133) = 40210 . 0133 =(4.10−0.2).(0.3−3.1)=(40−0).(0−3)=(40).

∣∣∣ ∣∣∣

∣∣∣ ∣∣∣

∣∣∣

(−3)=−120=−120−20=6

2.3 Determinan dengan Minor dan kofaktor

A = tentukan determinan A Pertama buat minor dari a11

M11 = = detM = a22a33 x a23a32 Kemudian kofaktor dari a11 adalah

c11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 x a23a32

kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=±Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini

Begitu juga dengan minor dari a32

M32 = = detM = a11a23 x a13a21 Maka kofaktor dari a32 adalah

c32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 x a13a21

Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah

BAB III

3.1 Daftar Pustaka

1. Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 1

2. Dasar-Dasar Aljabar Linear Jilid 2

3. wikipedia.com

4. www.google.co.id

5. Anton , H .( 1991)Elementary Linear Algebra.John Wiley and Sons

6. Leon , S.J.( 2001 ) .

7. Aljabar Linear Dan Aplikasinya edisi 5. Penerbit Erlangga

8. Mursita D. ( 2000 ).Diktat Kuliah Aljabar Linear Elementer.STT Telkom

9. Zulaikha Linear