CATATAN KULIAH Pertemuan IV: Model-model linier dan Aljabar Matriks (2)

CATATAN KULI AH

Pe r t e m u a n I V : M ode l- m ode l lin ie r

da n Alj a ba r M a t r ik s ( 2 )

A. M e n ca r i M a t r ik s I n ve r s

• Suatu matriks A (nxn) mempunyai invers bila terdapat suatu matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers matriks A, ditulis A-1, yang merupakan matriks bujur sangkar berdimensi n.

• Syarat keberadaan dari Matriks Invers adalah jika |A| ≠0

y Kita tertarik untuk mencari invers, karena matriks invers dapat digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linier Ax=d, yaitu: x= A- 1_d

• Cara mencari Matriks Invers:

1. Mencari invers melalui transformasi elementer dengan reduksi Gauss (Gau ssian Redu ct ion). Prosedurnya adalah:

a. Menggandengkan matriks A di depan matriks identitas: (A|I). b. Lakukan operasi baris elementer sehingga matriks A

bertransformasi menjadi matriks identitas (I); di mana A-1 dapat dilihat di sebelah kanan garis vertikal.

Contoh:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

_⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

3 2

7 5 1 0

0 1 |

3 2

0 3 / 1 1 0

3 / 7 1 |

1 3 / 2

0 3 / 1 3 / 1 0

3 / 7 1 |

1 0

0 3 / 1 5 2

3 / 7 1 |

1 0

0 1 5 2

7 3 |

5 2

7 3

I A

I A

I A

I A

I A A

Kalikan baris pertama dengan 1/3

Kalikan baris 1 dgn –2 dan tambahkan ke baris ke-2

Kalikan baris 2 dengan 3

2. Mencari Invers dengan Kofaktor. Prosedurnya adalah: a. Tentukan matriks kofaktor Ac dari matriks A

Ingat kembali bahwa:

Dan matriks Mij adalah matriks A tanpa baris ke-i dan kolom ke-j b. Tentukan adjoint matriks Aj yang merupakan transpose dari

Ac, sehingga: Aj = AcT

c. Invers dari A diperoleh dengan mengalikan adjoint matriks dengan determinan dari A, sehingga didapat:

Contoh:

• Carilah Matriks Invers dari matriks A dengan metode kofaktor, ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − =

1 2

3 4

A

• Jika matriks A berukuran (nxn),maka Mij merupakan suatu cubmatriks dari A yang berukuran (n-1) x (n-1), di mana baris ke-i dan kolom ke-j (dari A) dihilangkan.

4 ;

3

2 ;

1 1

2 3 4

22 21

12 11

= =

− = −

= ⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − =

M M

M M

maka A

• Minor dari suatu matriks A adalah |Mij| dan kofaktor dari A adalah:

Maka:

) int( 1

1 _{adjo A}

A A− =

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

=

nn n

n

n n

C

C C

C

C C

C

C C

C

A

" # #

#

" "

2 1

2 22

21

1 12

11

( )

ij

j i

ij M

C ≡ −1 +

( )

ij

j i

ij M

C ≡ −1 +

( )

111 1 1.( 1) 1

11 ≡ − − = − =−

+ C

( )

11 2 2 ( 1).( 2) 2

12 ≡ − − = − − =

• Maka:

B. At u r a n Kr a m e r ( Cr a m e r ’s Ru le )

• Pendekatan lain untuk mencari solusi bagi x dari SPL Ax = b : ATURAN CRAMER.

• Misalkan sistem persamaan linear Ax = b, apabila diasumsikan |A|≠0, maka untuk mencari solusi digunakan metode

determinan di mana:

Dimana |Aj|= determinan matriks A dengan kolom ke–j diganti vektor b.

• Contoh pecahkan sistem persamaan linear berikut ini:

A . x = b

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝

⎛− −

= =

=

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛− − =

= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

− − =

−

2 1

2 / 3 2 / 1 )

det( 1 Maka

2 | | Determinan

4 2

3 1 Adjoint

Matriks

4 3

2 1 Kofaktor

1 2

3 4

1

j T c j c

A A A

A

A A A

A

( )

12 13 ( 1).3 3

21 ≡ − = − =−

+ C

( )

12 2 4 1.4 4

22 ≡ − = =

+ C

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

= +

= +

80 80 4

2 2 3

80 4

2

80 2

3

2 1 2 1

2 1

x x x x

x x

Jawab:

C. Aplik a si pa da M ode l Pa sa r da n Pe n da pa t a n N a sion a l • Aplikasi dalam Model Pasar dan Pendapatan Nasional akan

dipecahkan dengan mudah menggunakan aturan Cramer atau matriks invers.

• Model Pasar (Market Model)

Model dua komoditi dapat ditulis sebagai suatu sistem dua persamaan linear, sbb:

Akan dipecahkan dengan metode matriks Invers:

• Model Pendapatan Nasional

Y= C + I0 + G0 (a>0, 0<b<1) C= a + b Y

Keterangan:

10

4 2

2 3

80 2

80 3 2

20

4 2

2 3

4 80

2 80 1

2 1

= =

∆ ∆ =

= =

∆ ∆ =

x x

o o P P

c P c P c

γ γ

γ + =−

− = +

2 2 1 1

2 2 1 1

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

o o

c P

P c c

γ γ

γ ₂

1

2 1

2 1

1 2 2 1 2 1

2

1 _{γ γ}

γ

γ c c

c c

A = = −

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

− =

1 2

1 2

c c

A_C γ γ _⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

− =

1 1

2 2

c c adjA

γ γ

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

− −

= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡

o o

c c

c c

c P P

γ γ

γ γ

γ _{1 1}

2 2

1 2 2 1 2

Variabel endogen= Y (pendapatan nasional), C (pengeluaran konsumsi)

Parameter = a, b

Variabel eksogen = I0 (investasi),G0(pengeluaran pemerintah) Nilai ekuilibrium pendapatan nasional Ye dan ekuilibrium pengeluaran konsumsi (Ce) akan dicari dengan Aturan Cramer.

Dengan Aturan Cramer:

Model Pendapatan Nasional dengan Pajak y Y=C+I0+G 1Y - 1C – 1G = I0 y C=a+b*(Y-T0) -bY + 1C + 0G = a-bT0

y G=g*Y -gY + 0C +1G = 0

=

Carilah nilai Y, C, G dengan (a) Matriks Invers (b) Aturan Cramer a. Dengan Matriks Matriks

⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡ −

−

a G I C Y b

0 0

1 1 1

b a G I

b a

G I

Ye

− + + =

− −

− +

=

1 1

1 1

1 1

0 0 0

0

(

)

b G I b a

b a b

G I

C_e

− + + =

− − −

+

=

1 1

1 1 1

0 0 0

0

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

1

0

0

1

1

1

1

g

b

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

G C Y

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

−

0

0 0

bT a

I

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

=

1

0

0

1

1

1

1

Maka:

Sehingga:

D . Aplik a si pa da M ode l I - O

• Model Input-Output (I-O) menjawab pertanyaan: “Berapa

tingkat output dari setiap industri n yang harus diproduksi dalam perekonomian, sehingga memenuhi total permintaan produk tersebut?”

• Susunan Model I-O adalah:

Dengan:

xi = tingkat output industri i

aij = input komoditi ke-i untuk menghasilkan output ke-j. di = permintaan akhir untuk output ke-i

y Selanjutnya dapat diturunkan solusi untuk Model I-O dengan Matriks invers sbb:

[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

[ ]

[ ]

[ ][ ]

[ ]

[ ] [ ]

[

ij

]

[ ] [ ]

i i i i ij i

i ij i i

i i

i ij

i i i ij

d x A I

d x A x I

x A x I d

x I d x A

x d x A

= −

= −

− =

= +

= +

n n nn n

n n

n n n n

d x a x

a x a x

d x a x

a x a x

d x a x a x a x

+ +

+ +

=

+ +

+ +

=

+ +

+ =

" #

" "

2 2 1 1

2 2 2

22 1 21 2

1 1

2 12 1 11 1

(

)

(

)

(

)

⎥⎥

⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

− − −

− −

− −

−

n n

nn n

n

n n

d d d

x x x

a a

a

a a

a

a a

a

# #

"

2 1

2 1

2 1

2 22

21

1 12

11

1 1

1

[ ]

x_i

[

I Aij

]

[ ]

di 1

• Contoh Model I-O dalam numerik

Maka Model I-O menjadi:

La t ih a n matriks invers

⎥

2000 1000 1700