DAFTAR ISI
DAFTAR ISI
DAFTA
DAFTAR R ISI ISI ... ... iiiiii BAB
BAB I I MATRIKS MATRIKS DAN DAN OPERASINYA OPERASINYA ... ... 11 1.1
1.1 Konsepsi Konsepsi Matriks Matriks ... ... 11 1.2
1.2 Operasi Operasi Aljabar Aljabar Matriks Matriks ... ... 33 1.3
1.3 Transpose Transpose dari dari Suatu Suatu Matriks Matriks ... ... 55 1.4
1.4 Beberapa Beberapa Jenis Jenis Matriks Matriks Khusus Khusus ... ... 55 1.5
1.5 Transformasi Transformasi Elementer Elementer ... ... 88 1.6
1.6 Rank Rank Matriks Matriks ... ... 1010 BAB
BAB II II DETERMINADETERMINAN N ... .. 1313 2.1
2.1 Konsepsi Konsepsi Determinan Determinan ... . 1313 2.2
2.2 Determinan Determinan Matriks Matriks Ordo Ordo (2x20 (2x20 dan dan Ordo Ordo (3x3) (3x3) ... ... 1515 2.3
2.3 Sifat-sifat Sifat-sifat DeterminaDeterminan n ... .. 1717 2.4
2.4 Minor Minor dan dan Kofaktor Kofaktor ... ... 1818 2.5
2.5 Ekspansi Ekspansi Kofaktor Kofaktor ... ... 1919 2.6
2.6 Determinan Determinan Matriks Matriks Ordo Ordo Besar Besar ... ... 2020 BAB
BAB III III MATRIKS MATRIKS INVERS INVERS ... ... 2525 3.1
3.1 Konsepsi Konsepsi Matriks Matriks Invers Invers ... ... 2525 3.2
3.2 Matriks Matriks Invers Invers dengan dengan Adjoin Adjoin ... ... 2626 3.3
3.3 Matriks Matriks Invers Invers dengan dengan Metode Metode Penyapuan Penyapuan ... ... 2727 BAB
BAB IV IV SISTEM SISTEM PERSAMAAPERSAMAAN N LINIER LINIER ... ... 3131 4.1
4.1 Konsepsi Konsepsi Sistem Sistem Persamaan Persamaan Linier Linier ... ... 3131 4.2
4.2 PenyelesaPenyelesaian ian Sistem Sistem Persamaan Persamaan Linier ...Linier ... ... ... 3333 4.2.1
4.2.1 Eliminasi Eliminasi Gauss-Jordan Gauss-Jordan ... ... 3333 4.2.2
4.2.2 Kaidah Kaidah Cramer Cramer ... ... 3636 4.3
4.3 Sistem Sistem Persamaan Persamaan Linier Linier Homogen Homogen ... ... 3838 BAB
5.2
5.2 Operasi-operasi Operasi-operasi pada pada Vektor ...Vektor ... ... .. 4242 5.2.1
5.2.1 PenjumlahaPenjumlahan n dan dan PenguranPengurangan gan Vektor Vektor ... ... 4242 5.2.2
5.2.2 Perkalian Perkalian Vektor Vektor dengan dengan Skalar Skalar ... . 4343 5.3
5.3 Vektor Vektor pada pada Ruang Ruang Dimensi Dimensi n n (R(Rnn) ) ... ... 4343 5.3.1
5.3.1 Vektor Vektor pada pada Ruang Ruang Dimensi Dimensi Satu Satu (R(R11) ) ... ... 4343 5.3.2
5.3.2 Vektor Vektor pada pada Ruang Ruang Dimensi Dimensi Dua Dua (R(R22) ) ... ... 4444 5.3.3
5.3.3 Vektor Vektor pada pada Ruang Ruang Dimensi Dimensi Tiga Tiga (R(R33) ) ... ... 4545 5.3.4
5.3.4 Vektor Vektor pada pada Ruang Ruang Dimensi Dimensi n n (R(Rnn) ) ... .... 4646 5.4
5.4 Perkalian Perkalian Titik Titik dan dan Proyeksi Proyeksi Ortogonal Ortogonal ... .. 4747 5.5
5.5 Perkalian Perkalian Silang Silang ... ... 5151 5.6
5.6 Kebebesan Kebebesan Linier Linier ... ... 5454 5.7
5.7 Ruang Ruang Vektor Vektor dan dan Kombinasi Kombinasi Linier Linier ... ... 5555 5.8
5.8 Basis Basis dan dan Dimensi Dimensi Ruang Ruang Vektor Vektor ... .. 5757 5.8.1
5.8.1 Dimensi Dimensi Ruang Ruang Vektor Vektor ... ... 5757 5.8.2
5.8.2 Basis Basis Ruang Ruang Vektor Vektor ... .. 5858 5.9
5.9 Persamaan Persamaan Garis Garis dan dan Persamaan Persamaan Bidang Bidang ... ... 5959 5.9.1
5.9.1 Persamaan Persamaan Garis Garis ... ... 5959 5.9.2
5.9.2 Persamaan Persamaan Bidang Bidang Rata Rata ... ... 6060 BAB
BAB VI VI TRANSFORMATRANSFORMASI SI LINIER LINIER ... .... 6565 6.1
6.1 Konsepsi Konsepsi Transformasi Transformasi Linier Linier ... ... 6565 6.2
6.2 Kernel Kernel dan dan Jangkauan Jangkauan ... ... 6767 6.3
6.3 TransforTransformasi masi Linier Linier dari dari RRnn ke R ke Rmm ... ... 6868 6.4
6.4 Transformasi Transformasi Linier Linier Bidang Bidang ... ... 7070 6.4.1 Rotasi
6.4.1 Rotasi ... ... 7272 6.4.2 R
6.4.2 Refleksi efleksi ... ... 7373 6.4.3
6.4.3 Ekspansi Ekspansi dan dan Kompresi Kompresi ... ... 7474 6.4.4 Gese
6.4.4 Geseran ran ... ... 7575 BAB
BAB VII VII NILAI NILAI EIGEN EIGEN DAN DAN VEKTOR VEKTOR EIGEN EIGEN ... ... 7979 7.1
7.1 Konsepsi Konsepsi Eigen Eigen ... ... 7979
7.2
5.2
5.2 Operasi-operasi Operasi-operasi pada pada Vektor ...Vektor ... ... .. 4242 5.2.1
5.2.1 PenjumlahaPenjumlahan n dan dan PenguranPengurangan gan Vektor Vektor ... ... 4242 5.2.2
5.2.2 Perkalian Perkalian Vektor Vektor dengan dengan Skalar Skalar ... . 4343 5.3
5.3 Vektor Vektor pada pada Ruang Ruang Dimensi Dimensi n n (R(Rnn) ) ... ... 4343 5.3.1
5.3.1 Vektor Vektor pada pada Ruang Ruang Dimensi Dimensi Satu Satu (R(R11) ) ... ... 4343 5.3.2
5.3.2 Vektor Vektor pada pada Ruang Ruang Dimensi Dimensi Dua Dua (R(R22) ) ... ... 4444 5.3.3
5.3.3 Vektor Vektor pada pada Ruang Ruang Dimensi Dimensi Tiga Tiga (R(R33) ) ... ... 4545 5.3.4
5.3.4 Vektor Vektor pada pada Ruang Ruang Dimensi Dimensi n n (R(Rnn) ) ... .... 4646 5.4
5.4 Perkalian Perkalian Titik Titik dan dan Proyeksi Proyeksi Ortogonal Ortogonal ... .. 4747 5.5
5.5 Perkalian Perkalian Silang Silang ... ... 5151 5.6
5.6 Kebebesan Kebebesan Linier Linier ... ... 5454 5.7
5.7 Ruang Ruang Vektor Vektor dan dan Kombinasi Kombinasi Linier Linier ... ... 5555 5.8
5.8 Basis Basis dan dan Dimensi Dimensi Ruang Ruang Vektor Vektor ... .. 5757 5.8.1
5.8.1 Dimensi Dimensi Ruang Ruang Vektor Vektor ... ... 5757 5.8.2
5.8.2 Basis Basis Ruang Ruang Vektor Vektor ... .. 5858 5.9
5.9 Persamaan Persamaan Garis Garis dan dan Persamaan Persamaan Bidang Bidang ... ... 5959 5.9.1
5.9.1 Persamaan Persamaan Garis Garis ... ... 5959 5.9.2
5.9.2 Persamaan Persamaan Bidang Bidang Rata Rata ... ... 6060 BAB
BAB VI VI TRANSFORMATRANSFORMASI SI LINIER LINIER ... .... 6565 6.1
6.1 Konsepsi Konsepsi Transformasi Transformasi Linier Linier ... ... 6565 6.2
6.2 Kernel Kernel dan dan Jangkauan Jangkauan ... ... 6767 6.3
6.3 TransforTransformasi masi Linier Linier dari dari RRnn ke R ke Rmm ... ... 6868 6.4
6.4 Transformasi Transformasi Linier Linier Bidang Bidang ... ... 7070 6.4.1 Rotasi
6.4.1 Rotasi ... ... 7272 6.4.2 R
6.4.2 Refleksi efleksi ... ... 7373 6.4.3
6.4.3 Ekspansi Ekspansi dan dan Kompresi Kompresi ... ... 7474 6.4.4 Gese
6.4.4 Geseran ran ... ... 7575 BAB
BAB VII VII NILAI NILAI EIGEN EIGEN DAN DAN VEKTOR VEKTOR EIGEN EIGEN ... ... 7979 7.1
7.1 Konsepsi Konsepsi Eigen Eigen ... ... 7979
7.2
BAB I
BAB I
Matriks dan
Matriks dan Operasiny
Operasinyaa
1.1
1.1 KONSEPSI KONSEPSI MATRIKSMATRIKS Definisi
Definisi secara secara umum umum ::
Matriks adalah suatu himpunan bilangan yang berbentuk persegi panjang, atau Matriks adalah suatu himpunan bilangan yang berbentuk persegi panjang, atau Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau bilangan kompleks) yang Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau bilangan kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom atau
disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom atau
Suatu matriks adalah himpunan unsur-unsur yang disusun menurut baris dan Suatu matriks adalah himpunan unsur-unsur yang disusun menurut baris dan kolom, sehingga berbentuk empat persegi panjang, dimana panjangnya dan lebarnya kolom, sehingga berbentuk empat persegi panjang, dimana panjangnya dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan
ditunjukkan oleh banyaknya kolom-kolom dan baris-baris.baris-baris. Notasi matriks biasanya mengguna
Notasi matriks biasanya menggunakan huruf besar A, kan huruf besar A, B, C ...B, C ... Definisi secara khusus :
Definisi secara khusus : Misalkan A adal
Misalkan A adalah suatu matriks yanah suatu matriks yang terdiri dari g terdiri dari m buah baris dan m buah baris dan n buahn buah kolom, maka matriks A mempunyai ordo/dimensi/ukuran (mxn) dan a
kolom, maka matriks A mempunyai ordo/dimensi/ukuran (mxn) dan aijij merupakan merupakan
elemen-eleme
elemen-elemen/unsur-unsun/unsur-unsur pada r pada baris ke-i dan kolom baris ke-i dan kolom ke-j dari ke-j dari matriks A maka matriks A maka secarasecara lengkap sebuah matriks dapat ditulis dengan A = [
lengkap sebuah matriks dapat ditulis dengan A = [ aaijij]]
dimana a = elemen matriks dimana a = elemen matriks
i = nomor baris = 1,2,3, ... , m i = nomor baris = 1,2,3, ... , m j = nomor kol
j = nomor kolom = 1,2,3, ... , nom = 1,2,3, ... , n Suatu matriks biasanya ditulis dengan : A
Suatu matriks biasanya ditulis dengan : A == A A = = ( ( ) ) atau atau A A = = || || |||| Sehingga elemen-elem
Sehingga elemen-elemen suatu matriks en suatu matriks secara rinci dapat ditulis secara rinci dapat ditulis :: A = A =
nn 22 22 22 21 21 nn 11 12 12 11 11aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
aa
atau atauElemen a
Elemen a1111, a, a2222, a, a3333, ... , a, ... , annnndisebut sebagai elemen-elemen yang terletak padadisebut sebagai elemen-elemen yang terletak pada
diagonal utama
diagonal utama dari matriks A (yaitu elemen-elemen matriks dimana nomor baris dari matriks A (yaitu elemen-elemen matriks dimana nomor baris dengan nomor kolomnya sama).
dengan nomor kolomnya sama). Contoh : Contoh : A = A =
66
22
88
99
22
55
77
33
44
11
00
11
adalah suatu matriks A yang berordo (3x4) karena adalah suatu matriks A yang berordo (3x4) karena jumlah barisn
jumlah barisnya (m= 3) dan juya (m= 3) dan jumlah kolomnmlah kolomnya (n=4).ya (n=4).
Sedangkan elemen-elemen dari matriks tersebut adalah a
Sedangkan elemen-elemen dari matriks tersebut adalah a1111 = 1, = 1,
a
a1212 = 0, a = 0, a1313 = -1, a = -1, a1414 = 4, a = 4, a2121 = 3, a = 3, a2222 = 2, a = 2, a2323 = 5, a = 5, a2424 = 7, a = 7, a3131 = 9, a = 9, a3232 = 8, a = 8, a3333 = -2, dan = -2, dan
a
a3434 = 6. = 6.
Dua matriks (matriks A = [a
Dua matriks (matriks A = [aijij] dan matriks B = [b] dan matriks B = [bijij] ) dikatakan] ) dikatakan samasama (A = B)(A = B) jika jika
kedua matriks tersebut mempunyai ukuran (dimensi/ordo) yang sama (mxn) dan kedua matriks tersebut mempunyai ukuran (dimensi/ordo) yang sama (mxn) dan elemen-elemen yang bersangkutan (satu letak) di dalam kedua matriks tersebut sama elemen-elemen yang bersangkutan (satu letak) di dalam kedua matriks tersebut sama (a
(aijij= b= bijij) untuk setiap i = 1,2,…,m dan j = 1,2,…,n.) untuk setiap i = 1,2,…,m dan j = 1,2,…,n.
Contoh : Contoh : A = A =
22
44
11
22
, B = , B =
22
44
11
22
, C =, C =
44
22
, D =, D =
22
11
Disini A = B, karena matriks A dan matriks B mempunyai ordo yang sama yaitu (2x2) Disini A = B, karena matriks A dan matriks B mempunyai ordo yang sama yaitu (2x2) dan semua elemen-elemennya juga sama,
dan semua elemen-elemennya juga sama, sedangkan matriks Asedangkan matriks A
C dan matriks B C dan matriks B
C C karena ordonya tidak sama dan matriks C1.2 OPERASI ALJABAR MATRIKS
a. Penjumlahan dan pengurangan matriks
Syaratnya adalah matriks yang akan dijumlahkan/dikurangkan harus mempunyai o r d o y a n g s a m a .
Misalkan A = [ aij] , B = [ bij] , C = [ cij]
maka A
B = C [ aij]
[ bij] = [ cij]Sehingga : [ aij
bij] = [ cij](Matriks C merupakan hasil penjumlahan/pengurangan dari matriks A dan B yang satu posisi/satu letak). Contoh : A =
6
5
4
3
1
2
, B =
2
4
1
3
2
0
maka : A + B =
6
5
4
3
2
1
+
2
4
3
1
2
0
=
2
6
4
5
3
3
4
1
2
2
0
1
=
8
9
5
6
4
1
b. Perkalian skalar dengan matriks
Kalau
adalah skalar dan A = [ aij], maka
A =
[ aij] = [
aij] dengan kata lain bahwasemua elemen matriks A dikalikan dengan skalar
. Contoh : A =
2
0
4
3
2
1
maka 2A = 2
6
5
4
3
2
1
=
6
.
2
5
.
2
.
3
2
.
4
2
2
.
2
1
.
2
=
12
10
6
8
4
2
c. Perkalian Matriks dengan matriks
Syaratnya adalah ju m lah k o lo m pada matriks pertama (misal matriks A) sama dengan ju m lah b ar is pada matriks yang kedua (misal matriks B).
Definisi :
Jika A = [aij] berordo (p x q) dan B = [bij] berordo (q x r), maka perkalian matriks A
A x B = C (pxq) x (qxr) (pxr)
Elemen-elemen dari hasil perkalian yaitu elemen-elemen matriks C (elemen cij) dapat
dihitung dengan cara sebagai berikut : cij = ai1 b1j+ ai2b2j + ... + aiq bqj
q
cij =
ai k bk j k=1untuk i = 1,2, .... , p , j = 1,2, ... , r dan k = 1, 2, 3, ..., q Contoh : A =
1
3
2
1
, B =
4
2
(syarat : jumlah kolom matriks A adalah 2 dan jumlah baris matriks B adalah 2, sedangkan ordo matriks hasil perkalian adalah jumlah baris matriks A kali jumlah kolom matriks B yaitu ordonya 2x1) maka : A x B =
1
3
2
1
x
4
2
=
1
).(
2
)
3
.
4
(
4
.
2
)
2
.(
1
=
14
6
Beberapa hukum yang berlaku pada perkalian matriks : 1. A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA
2. A(BC) = (AB)C
3. Perkalian matriks tidak komutatif, artinya belum tentu AB = BA 4. Jika AB = 0 (matriks nol) kemungkinannya adalah :
a. A = 0 dan B = 0 b. A = 0 atau B = 0 c. A
0 dan B
01.3 TRANSPOSE DARI SUATU MATRIKS Definisi :
Jika suatu matriks A berordo m x n maka transpose dari matriks A adalah AT dimana matriks AT berordo n x m. Atau transpose matriks A adalah mengubah baris matriks A menjadi kolom serta mengubah kolom matriks A menjadi baris.
Contoh : A =
6
5
4
3
2
1
maka AT =
6
4
2
5
3
1
Beberapa sifat matriks transpose :
1). (A + B)T = AT + BT 2).
( AT) = (
AT) 3). (AT) T = A dan 4). (AB)T = BT AT1.4 BEBERAPA JENIS MATRIKS KHUSUS 1. Matriks Bujursangkar/Kuadrat (Square matrix)
yaitu matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama, jadi m = n. Contoh : A =
2
9
1
5
4
1
2
0
3
2. Matriks Nol (Null Matrix)
yaitu matriks yang semua elemen-elemennya bernilai nol. Contoh : O =
0
0
0
0
0
0
3. Matriks Diagonal (Diagonal Matrix)
yaitu matriks bujursangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya adalah nol, jadi aij = 0 jika i
j.Contoh : D =
4
0
0
0
0
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
3
4. Matriks Identitas (Identity Matrix (In))
yaitu matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya semua 1. Contoh : I3 =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
5. Matriks Skalar (Scalar Matrix)
yaitu matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya = k (suatu bilangan/scalar). Contoh : C =
2
0
0
0
2
0
2
0
0
6. Matriks Segitiga Bawah (Lower Triangular Matrix)
yaitu matriks bujursangkar yang semua elemen di atas diagonal utamanya = 0, yaitu aij = 0 jika i < j. Contoh : E =
4
1
1
3
0
2
0
0
1
7. Matriks Segitiga Atas (Upper Triangular Matrix)
yaitu matriks bujursangkar yang semua elemen di bawah diagonal utamanya = 0, yaitu aij = 0 jika i > j. Contoh : F =
2
0
0
7
3
0
1
2
1
8. Matriks Simetris/Setangkup (Symmetrix Matrix)
suatu matriks bujursangkar yang elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j nilainya sama dengan elemen-elemen pada baris ke-j dan kolom ke-i atau [aij]=
[a ji]. Contoh : G =
1
1
1
2
8
1
1
5
3
7
1
5
2
4
7
2
3
4
5
0
8
7
7
0
1
9. Matriks Anti-Simetris/miring setangkup (Skew Symmetric Matrix)
yaitu matriks yang transposenya sama dengan negatif dirinya sendiri atau AT = -A , atau
suatu matriks bujursangkar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 0 dan elemen-elemen diluar diagonal utamanya mempunyai hubungan [aij] = -[a ji] .
Contoh : H =
0
4
1
2
5
3
1
0
4
4
1
1
0
1
2
2
3
1
0
1
5
4
2
1
0
10. Matriks InversKalau matriks A dan B adalah bujursangkar sehingga AB = BA = In maka
dikatakan B invers dari matriks A biasanya ditulis dengan B = A-1 sehingga dapat ditulis A A-1 = A-1 A = In. Pembahasan matriks ini akan dibahas pada bab
selanjutnya.
Catatan : tidak semua matriks bujur sangkar yang mempunyai invers. Sebuah matriks yang inversnya adalah dirinya sendiri dengan perkataan lain AA = In disebut matriks yang involutory .
11. Matriks komutatif dan antikomutatif.
yaitu matriks jika A dan B adalah suatu matriks dan berlaku AB = BA dan jika AB = -BA dinamakan matriks antikomutatif.
Contoh : A =
2
1
1
2
dan B =
3
1
1
3
maka :AB =
2
1
1
2
x
3
1
1
3
=
7
5
5
7
dan BA =
3
1
1
3
x
2
1
1
2
=
7
5
5
7
maka AB = BA sehingga matriks A dan matriks B dinamakan matriks yang saling komutatif.
12. Matriks Idempoten, Periodik dan Nilpoten. Jika A adalah suatu matriks dan berlaku : A2 = A maka A dinamakan matriks idempoten.
Ap = A maka A dinamakan matriks periodik dengan periode (p-1)
Ar = 0 maka A dinamakan matriks nilpoten dengan indeks r (dimana r adalah bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi hubungan tersebut).
Contoh : A =
2
5
2
1
3
6
3
1
1
adalah matriks nilpoten dengan indeks = 3.
karena : A3=
2
1
3
6
2
5
3
1
1
x
2
1
3
6
2
5
3
1
1
x
2
1
3
6
2
5
3
1
1
=
1
1
3
9
3
3
0
0
0
x
2
1
3
6
2
5
3
1
1
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
= O1.5 TRANSFORMASI ELEMENTER (OPERASI ELEMENTER)
Transformasi elementer pada baris atau kolom suatu matriks A adalah sebagai berikut :
1. Menukar letak elemen baris ke-i dengan baris ke-j matriks A ditulis Hij(A)
atau Hij dan menukar letak elemen kolom ke-i dengan kolom ke-j matriks A
ditulis Kij(A) atau Kij.
Contoh : A =
9
8
7
5
6
4
3
2
1
maka H12(A) =
9
8
7
2
3
1
6
5
4
dan K23(A) =
8
9
7
6
5
4
2
3
1
2. Mengalikan baris ke-i dengan skalar
0 dari matriks A ditulis Hi()(A) atauHi() dan mengalikan kolom ke-i dengan skalar
0 dari matriks A ditulisKi()(A) atau Ki() Contoh : A =
9
8
7
5
6
4
3
2
1
maka H1(2)(A) =
9
8
7
5
6
4
6
4
2
dan K2(-1)(A) =
9
8
7
5
6
4
3
2
1
3. Menambah baris ke-i dengan
kali baris ke-j matriks A ditulis Hij()(A) atauHij() dan menambah kolom ke-i dengan
kali kolom ke-j matriks A ditulisKij()(A) atau Kij() Contoh : A =
9
8
7
6
5
4
3
2
1
maka H12(-1)(A) =
9
8
7
6
5
4
3
3
3
dan K32(-1)(A) =
1
8
7
1
5
4
1
2
1
Catatan :Kadang-kadang operasi (2) dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : menambah
1 kali baris ke-i dengan
2 kali baris ke-j dari matriks A, ditulis :Hi(1) j(2)(A) atau Hi(1) j(2) dan menambah
1 kali kolom ke-i dengan
2kalikolom ke-j dari matriks A, ditulis : Ki(1) j(2)(A) atau Ki(1) j(2).
Contoh : A =
1
0
3
1
1
2
4
1
3
maka : H2(2 ) 3(1)(A) =
1
0
3
3
2
7
4
1
3
Sedangkan : H2(2 ) 3(2)(A) =
1
2
3
1
4
2
4
8
3
Misalkan diketahui matriks B merupakan hasil transformasi linier dari matriks A, maka dapat dicari matriks A, disebut invers dari transformasi elementer tersebut.
Contoh : Misalkan B = H31(1)(A) =
1
0
1
2
11
4
0
1
2
maka A =
1
1
1
2
11
4
0
1
2
= 1 31 ) 1 (H
(B) 1.6 RANK MATRIKSRank dari suatu matriks menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris/kolom yang bebas linier.
Notasi untuk rank matriks A adalah : r(A) Petunjuk mencari rank suatu matriks :
(1) Pilih salah satu baris yang bukan vektor nol, kemudian beri tanda (*). Pilih salah satu elemen pada baris tadi yang bukan 0 (nol), elemen ini dinamakan elemen pivot. (Untuk mempermudah perhitungan sedapat mungkin dipilih baris yang terdapat angka 1 atau -1 untuk digunakan sebagai pivot).
(2) Jadikan nol semua elemen yang sekolom dengan pivot dengan menggunakan transformasi elemeneter secara baris.
(3) Sekarang baris yang tadi tidak usah diperhatikan lagi. Perhatikan baris-baris yang tersisa. kemudian kerjakan langkah (1), (2), dan (3).
(4) Proses ini akan berakhir jika langkah (1) tidak dapat dikerjakan lagi, yaitu apabila semua baris telah bertanda (*) dan atau menjadi baris nol. Rank dari matriks tersebut adalah banyaknya baris yang bertanda (*) atau banyaknya baris semua dikurangi banyaknya baris yang menjadi baris nol. .
Catatan :
Kalau hanya terdiri dari dua baris, maka jika berkelipatan maka rank = 1 tetapi jika tidak berkelipatan maka rank = 2.
Contoh :
Carilah rank dari matriks A =
3
4
4
1
2
2
1
3
2
maka :
3
4
4
1
2
2
1
3
2
H21(-2)
3
4
4
0
5
2
1
3
2
H31(-3)
0
5
2
0
5
2
1
3
2
H32(-1)
0
0
0
0
5
2
1
3
2
Karena sudah terdapat baris nol maka proses berhenti dan r(A) = 3 - 1 = 2 Soal-soal Latihan 1. Diketahui : A =
1
1
4
1
0
7
3
2
1
dan B =
2
2
0
1
0
1
5
1
3
Tentukan : (a) 2A - 3B (b) (3A - B) A 2. Diketahui : A =
1
1
4
1
0
7
1
2
3
dan B =
2
2
0
1
0
1
1
5
3
Apakah AB komutatif ? 3. Diketahui : A =
1
2
3
4
dan B =
3
3
7
7
Tentukan matriks C sedemikian sehingga AC = B.
4. Diketahui A =
1
3
2
2
Tentukanlah : a). A2 dan A3b). Kalau f(x) = x3 – 3x2 – 2x + 4I2 maka tentukanlah f(A).
5. Carilah harga a,b,c dan d, jika : 3
d
c
b
a
=
1
d
5
1
b
a
+
4
c
2
b
5
6. Diketahui : A =
2
1
2
1
dan B =
1 2 1 2 Tentukan :(a). (AB)T (b). BT AT (c) Apakah (AB)T = BT AT? 7. Tunjukkanlah bahwa A =
5
3
1
5
3
1
3
5
1
8. Tunjukkanlah bahwa matriks A =
0 1
1 0
adalah matriks periodik, dan berapa periodenya !
9. Carilah matriks hasil sederetan transformasi elementer dari : A =
5
2
3
2
2
1
4
3
1
0
2
1
yang berturut-turut : H21(-3), H31(2), K21(-2), K41(1), K23, H32(-2), K42(-5), K32(2), K3(1/11), K43(7).10. Carilah rank dari matriks berikut : (a).
8
6
2
4
3
1
(b).
5
22
105
1
21
104
3
20
103
(c).
5
7
5
2
1
0
6
5
1
9
3
2
1
3
4
1
Berfikir tentang orang lain dan melayaninya
dengan tulus merupakan kunci kebahagiaan hidup
BAB II
DETERMINAN
2.1 KONSEPSI DETERMINAN
Sudah dikenal bahwa fungsi f(x) = x2 mengasosiasikan sebuah bilangan riel f(x) dengan sebuah nilai riel dari variabel x. Karena x dan f(x) kedua-duanya hanya mempunyai nilai riel, maka fungsi-fungsi seperti itu dapat digambarkan sebagai fungsi yang bernilai riel dari sebuah variabel riel. Akan dikaji fungsi bernilai riel dari sebuah variabel matriks, yakni fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan riel f(X) dengan sebuah matriks X. Yang utama dari pengkajian ini diperuntukkan bagi satu fungsi yaitu fungsi determinan.
Setiap matriks bujursangkar A biasanya selalu dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut, dan ditulis dengan det(A) atau | A |. Untuk mencari harga determinan suatu matriks ada berbagai macam cara. Cara mencari determinan yang sudah banyak dikenal adalah mencari determinan matriks untuk matriks bujursangkar ordo (2X2) dan ordo (3X3) sangat umum.
Sebelum mampu mendefinisikan fungsi determinan, terlebih dahulu perlu diketahui beberapa definisi berikut ini.
Definisi :
Sebuah permutasi himpunan bilangan-bilangan bulat {1, 2, …, n} adalah sebuah susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan-bilangan tersebut.
Contoh :
Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan-bilangan bulat {1,2,3}, yaitu : {1,2,3}, { 2,1,3}, {3,1,2}, {1,3,2}, {2,3,1}, {3,2,1}.
Catatan :
Jika terdapat n buah bilangan asli 1, 2, 3, …, n, maka banyaknya permutasi yang dapat dibentuk adalah n! = n(n-1)(n-2) … 2,1.
Definisi :
Yang dimaksud dengan sebuah inversi pada suatu permutasi (j1, j2, …, jn)
adalah jk < ji (jk mendahului ji ) padahal ji < jk(i dan k= 1,2,…, n).
Contoh :
Misalkan ada permutasi (4,3,1,2), maka banyaknya inversi pada permutasi tersebut adalah 5 inversi karena :
(1) j1 = 4 mendahului j2= 3 padahal 3 < 4. (2) j1 = 4 mendahului j3= 1 padahal 1 < 4. (3) j1 = 4 mendahului j4= 2 padahal 2 < 4. (4) j2 = 3 mendahului j3= 1 padahal 1 < 3. (5) j2 = 3 mendahului j4= 2 padahal 2 < 3. Definisi :
Sebuah permutasi dinamakan genap (even) jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang genap dan dinamakan ganjil (odd) jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang ganjil. Pada permutasi (4,3,1,2) jumlah inversinya adalah 5 maka permutasi tersebut adalah ganjil .
Definisi :
Yang dapat diartikan sebagai hasil perkalian elementer dari matriks A adalah setiap perkalian n elemen dari A, yang tidak boleh dua diantaranya yang berasal dari baris yang sama atau kolom yang sama.
Jika sebuah matriks A yang berordo (nxn) mempunyai n! hasil perkalian elementer. Hasil-hasil perkalian elementer tersebut adalah hasil-hasil perkalian yang berbentuk a1j1a2j2 … anjn dimana (j1, j2, …, jn) adalah sebuah permutasi dari himpunan
{1,2,3,…,n}. Yang diartikan dengan sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari A adalah sebuah hasil perkalian elementer a1j1a2j2 … anjndikalikan dengan (+1) atau (-1).
Digunakan tanda (+1) jika (j1, j2, …, jn) adalah sebuah permutasi genap dan tanda (-1)
jika (j1, j2, …, jn) adalah sebuah permutasi ganjil.
Contoh : Diketahui matriks A =
21 22 23
13 12 11a
a
a
a
a
a
Hasil Perkalian Elementer Permutasi yang Diasosiasikan genap atau ganjil
Hasil Perkalian Elementer yang Bertanda a11a22a33 (1, 2, 3) genap a11a22a33 a11a23a32 (1, 3, 2) ganjil -a11a23a32 a12a21a33 (2, 1, 3) ganjil -a12a21a33 a12a23a31 (2, 3, 1) genap a12a23a31 a13a21a32 (3, 1, 2) genap a13a21a32 a13a22a31 (3, 2, 1) ganjil -a13a22a31 Definisi :
Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar maka fungsi determinan
(determinant function) yang dinyatakan dengan det(A), dan didefinisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari matriks A.
2.2 DETERMINAN MATRIKS ORDO (2X2) DAN ORDO (3X3) Diketahui suatu matriks A =
22 21 12 11a
a
a
a
, maka determinan dari matriks A yaitu det(A) atau
A
berdasarkan definisi diatas adalah :det(A) =
A
= 22 21 12 11a
a
a
a
= a11a22- a12 a21 Contoh :Hitunglah determinan dari matriks A =
2
4
1
3
! Jawab : det(A) =
A
=2
4
1
3
= 3.(-2) – 1.4 = –6 – 4 = –10Sedangkan untuk matriks yang berordo (3x3) dapat dihitung determinannya dengan menggunakan cara sebagai berikut :
Diketahui suatu matriks A =
33 32 31 23 22 21 13 12 11a
a
a
a
a
a
a
a
a
, maka determinan dari matriks A yaitu det(A) atau
A
berdasarkan definisi diatas adalah :det(A) =
A
= 33 32 31 23 22 21 13 12 11a
a
a
a
a
a
a
a
a
= a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32- a13a22a31- a12a21a33- a11a23a32Untuk memudahkan perhitungan dapat digunakan metode (yang dikenal dengan Metode Sarrus ) yaitu dengan cara menambahkan kolom pertolongan dengan menambahkan kolom kesatu dan kolom kedua diletakkan disebelah kanan kolom ketiga. Sehingga determinan dari matriks A diatas dapat diperoleh dengan cara :
(-) (-) (-) a11 a12 a13 a11 a12
A
= a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 (+) (+) (+) = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32- a13a22a31- a12a21a33- a11a23a32Peringatan : (Metode Sarrus hanya berlaku untu k m atriks yang b erordo (3x3), sedangkan un tuk m atriks yang berordo lebih d ari (3x3) metode tersebut tidak
berlaku.
Contoh :
Hitunglah determinan dari matriks A =
1
1
5
3
2
1
1
4
2
! Jawab : det(A) =
A
=1
1
5
3
2
1
1
4
2
2 -4 1 2 -4 = 1 -2 3 1 -2 5 1 -1 5 1 = 2.(-2).(-1) + (-4).3.5 + 1.1.1 – 1.(-2).5 – 2.3.(-1) – (-4).1.(-1) = 4 – 60 + 1 + 10 – 6 – 4 = – 552.3 SIFAT-SIFAT DETERMINAN
1. Jika A adalah sebarang matriks bujursangkar yang mengandung sebaris bilangan nol maka det(A) = 0.
2. Jika A adalah suatu matriks segitiga yang berordo (nxn), maka det(A) adalah haris perkalian dari elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama, yaitu det(A) = a11.a22.a33… ann. Contoh : det(A) =
2
0
0
6
1
0
2
1
8
= 8.(-1).2 = -163. Misalkan A adalah sebarang matriks bujursangkar yang berordo (nxn), maka : a. Jika A1 adalah matriks yang dihasilkan bila sebuah baris tunggal dari matriks
A dikalikan dengan sebuah konstanta k (operasi elementer Hi(k)(A)), maka
det(A1) = k det (A).
b. Jika A2 adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris dari matriks A
dipertukarkan tempatnya (operasi elementer Hij(A)), maka det(A2) = - det(A).
c. Jika A3 adalah suatu matriks yang dihasilkan bila sebuah kelipatan dari satu
baris matriks A ditambahkan kepada baris yang lain (operasi elementer Hij(k)(A)), maka det(A1) = det (A).
Contoh : A =
1
2
1
1
4
0
3
2
1
, A1 = H1(2)(A) =
1
2
1
1
4
0
6
4
2
, A2 = H12(A) =
1
2
1
3
2
1
4
1
0
dan A3 = H23(-2)(A) =
1
2
1
2
3
2
3
2
1
Dengan metode Sarrus dapat diperoleh :
det(A) = 1.1.1 + 2.4.1 + 3.0.2 – 3.1.1 – 1.4.2 – 2.0.1 = 1 + 8 + 0 – 3 – 8 – 0
= –2
Berdasarkan sifat 3a maka det(A1) = 2.det(A) = 2.( –2) = –4.
Berdasarkan sifat 3b maka det(A2) = – det(A) = –( –2) = 2.
4. Jika A adalah suatu matriks bujursangkar yang mempunyai dua baris yang sebanding, maka det(A) = 0.
5. Jika A adalah matriks bujursangkar, dan AT merupakan transpose dari matriks A, maka : det(A) = det(AT).
6. Jika A adalah matriks yang berordo (nxn) dan k adalah suatu skalar maka : det(k A) = k n det(A).
7. Misalkan A, A‟ dan A‟‟ adalah matriks yang berordo (nxn) yang hanya berbeda di dalam sebuah baris tunggal, katakanlah baris ke-r, dan anggaplah bahwa baris ke-r dari A‟‟ dapat diperoleh dengan menambahkan elemen -elemen yang bersangkutan di dalam baris ke-r dari A dan di dalam baris ke-r dari A‟, maka : det(A’’)=det(A)+det(A’). Contoh : det
0
4
1
7
(
1
)
1
3
0
2
7
5
1
= det
7
4
1
3
0
2
5
7
1
+ det
1
1
0
3
0
2
7
5
1
8. Jika A dan B adalah matriks bujursangkar yang ordonya sama, maka : det(AB) = det(A).det(B). Contoh : Diketahui : A =
1
2
1
3
, B =
8
5
3
1
dan AB =
14
3
17
2
maka dapat diperoleh det(A).Det(B) = 1.(-23) = -23 dan det(AB) = -23, sehingga det(AB) = det(A).det(B).2.4 MINOR DAN KOFAKTOR Definisi :
Jika terdapat suatu matriks Aij dengan ordo n x n maka terdapat suatu submatriks
Mij dengan ordo (n-1) x (n - 1) yang didapatkan dengan cara elemen baris ke-i
dan kolom ke-j dari matriks A dihilangkan atau
jika A adalah sebuah matriks bujursangkar yang berordo (nxn), maka m i n o r d a r i elemen a ij dinyatakan oleh Mij(A) dan didefinisikan sebagai determinan dari sub
matriks yang tersisa (tinggal) setelah baris ke-i dan kolom ke- j dicoret dari matriks A.
Sedangkan bilangan (-1)(i+j) Mij(A) dinyatakan oleh Cij(A) yang dinamakan
kofaktor d ari elemen a ij . Matriks K ofaktor dari matriks A yang dinyatakan dengan Kof(A) adalah suatu matriks elemen-elemennya merupakan kofaktor dari elemen aij. Jadi Kof(A) = [Cij(A)] =
nn 2 n 1 n n 2 22 21 n 1 12 11C
C
C
C
C
C
C
C
C
.Sedangkan A d j o i n dari matriks A yang dinyatakan dengan Adj(A) adalah tranposisi dari Matriks Kofaktor, jadi Adj(A) = [Kof(A)]T.
Jadi Adj(A) = [C ji(A)] =
nn n 2 n 1 2 n 22 12 1 n 21 11C
C
C
C
C
C
C
C
C
. Contoh : Misalkan A =
8
4
1
6
5
2
1
4
3
maka : M11(A) =4
5
8
6
= 40 – 24 = 16,M32(A) =
2
3
6
4
= 18 – ( –8) = 26. Sedangkan Kofaktor dari elemen a11 adalahC11(A) = (-1)1+1 M11(A) = 1.16 = 16, dan Kofaktor dari elemen a32 adalah C32(A) =
(-1)3+2 M11(A) = (-1).26 = –26.
Sebagai latihan dapat dihitung Minor dan Kofaktor untuk elemen-elemen a12, a13,
a21,a22, a23, a31 dan a33,Setelah semua Minor dan Kofaktor dari elemen matriks A
diperoleh dapat ditentukan Matriks Kofaktor dan Adjoinnya.
2.5 EKSPANSI KOFAKTOR Teorema Laplace :
Determinan sebuah matriks A yang berordo (nxn) dapat dihitung dengan cara mengalikan elemen-elemen di dalam suatu baris (kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil perkalian yang dihasilkan; yakni, untuk setiap 1
i
n dan 1
j
n, maka :=
n 1 i(A)
C
a
ij ij untuk j = 1,2,…,n. (Ekspansi kofaktor sepanjang kolomke-j)
dan
det (A) = ai1 Ci1(A) + ai2 Ci2(A) + … + ain Cin(A)
=
n 1 j(A)
C
a
ij ij untuk i = 1,2,…,n. (Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i) Contoh : Diketahui matriks A =
8
4
1
6
5
2
4
1
3
, hitunglah determinannya dengan Ekspansi Kofaktor sepanjang baris ke-1 !
Jawab :
Det(A) = a11C11(A) + a12C12(A) + a13C13(A)
= 3.(-1)(1+1)
8
4
6
5
+ 1.(-1)(1+2)8
1
6
2
+ (-4).(-1)(1+1)4
1
5
2
= 3.(40-24)-(16-6)-4(8-5) = 3.16-10-12 = 26.Dengan cara yang sama dapat dicari determinan dari matriks A dengan Ekspansi Kofaktor sepanjang baris ke-2, baris ke-3, kolom ke-1, kolom ke-2 dan kolom ke-3 yang hasilnya sama dengan 26. Bandingkan dengan Metode Sarrus!
2.6 DETERMINAN MATRIKS ORDO BESAR (ORDO LEBIH DARI (3X3))
Untuk menentukan determinan matriks ordo besar dapat digunakan Ekspansi Kofaktor, tetapi akan memakan waktu yang lama dan membutuhkan perhitungan angka yang besar pula. Agar perhitungannya tidak begitu besar dan waktu penyelesaiannya lebih singkat dapat mengkombinasikan Operasi Elementer, sifat-sifat determinan dan Ekspansi Kofaktor . Adapun caranya adalah sebagai berikut :
1. Carilah baris (kolom) yang sudah banyak elemen nol-nya, atau kalau belum ada carilah baris (kolom) yang banyak mengandung elemen 1 atau (-1),
elementer (Hi()) sehingga mendapatkan elemen 1 atau (-1) dengan
memperhatikan sifat-sifat determinan.
2. Jadikan nol semua elemen yang satu baris atau satu kolom dengan elemen 1 atau ( –1) dengan operasi elementer (Hij()), kemudian ekspansikan kofaktor
sepanjang baris (kolom) yang memuat elemen nol paling banyak tadi. Catatan :
Matriks yang mempunyai determinan = 0 dinamakan matriks singular sedangkan matriks yang mempunyai determinan
0 dinamakan matriks nonsingular.Contoh : Hitunglah :
1
1
3
2
2
0
2
3
1
1
1
2
1
3
0
3
1
2
1
2
1
2
3
1
2
! Jawab :Menurut cara nomor (1) dapat dipilih kolom ke-1 yang memuat elemen 1, maka sisa elemen pada kolom ke-1 yaitu elemen a21, a41, dan a41dijadikan nol dengan
operasi elementer H21(-2), H41(-1), dan H51(-2), sehingga diperoleh :
1
1
3
2
2
0
2
3
1
1
1
2
1
3
0
1
2
1
3
2
2
1
3
2
1
=3
1
3
2
0
2
1
0
1
0
1
2
1
3
0
5
4
1
1
0
2
1
3
2
1
(dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom
ke-1 diperoleh)
= a11C11+ a21C21+ a31C31+ a41C41+ a51C51
(dimana nilai dari a21, a31, a41 dan a51 adalah nol, sehingga tidak
perlu mencari C21, C31, C41dan C51 sehingga diperoleh)
= 1. (-1)1+1
3
1
3
2
2
1
0
1
1
2
1
3
1
1
4
5
(dengan memilih baris ke-3 maka dapat dijadikan nol elemen-elemen a33 dan a34 dengan operasi
=
1
3
3
2
0
0
0
1
1
5
5
3
9
1
4
5
(dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3 maka dapat diperoleh)
= (-1).(-1)3+1
1
3
3
5
5
1
9
1
4
=-1
0
0
5
10
14
9
21
23
=-10
14
21
23
= -(-230 + 294) = -64. Soal-soal Latihan :1. Carilah banyaknya inversi di dalam setiap permutasi dari {1,2,3,4,5} yang berikut kemudian klasifikasikan ke dalam permutasi genap atau ganjil :
a. (3,4,1,4,2) b. (4,2,5,3,1) c. (5,4,3,2,1) d. (1,2,3,4,5) e. (1,3,5,4,2) f. (2,3,5,4,1) 2. Hitunglah determinan dari matriks berikut ini :
a.
3
1
2
1
b. 3 2 4 6 c.3
8
7
1
d. 4 (k 3) 2 ) 1 k (
e. 8 3 4 1 5 3 7 2 1
f. 2 7 1 6 4 3 1 2 8
g. 6 8 2 1 0 4 3 0
h. 3 k 1 ) 1 k ( 4 2 9 3 k
3. Carilah semua nilai dari
jika det(A) = 0. a. A = ) 4 ( 1 2 ) 1 (
b. A = ) 4 ( 4 0 1 0 0 0 ) 6 (
4. Hitunglah determinan dari matriks-matriks berikut ini berdasarkan sifat-sifat determinan ! a. 3 0 0 11 1 0 17 40 2
b. 3 2 1 6 7 3 3 2 1 c. 3 7 1 4 2 6 2 1 3
d. d. 2 2 7 7 5 5 4 4 0 0 8 8 7 7 12 12 0 0 0 0 1 1 9 9 0 0 0 0 0 0 1 1
e.e. 15 15 12 12 3 3 9 9 4 4 1 1 8 8 5 5 2 2 5 5 2 2 6 6 5 5 4 4 1 1 3 3
5. 5. Misalkan Misalkan A A ==
44
11
33
11
77
22
33
66
11
, maka tentukanlah : , maka tentukanlah : a.a. Semua Semua Minornya Minornya !! b.
b. Semua Semua Kofaktornya Kofaktornya !! c.
c. Matriks Matriks Kofaktor Kofaktor !! d.
d. Adjoin Adjoin dari dari matriks matriks A A !! e.
e. Determinan Determinan dengan dengan Metode Metode Sarrus Sarrus !! f.
f. Determinan Determinan dengan dengan Ekspansi Ekspansi Kofaktor Kofaktor sepanjang sepanjang baris baris ke-2 !ke-2 ! g.
g. Determinan Determinan dengan Edengan Ekspansi Kkspansi Kofaktor sepaofaktor sepanjang njang kolom ke-2 kolom ke-2 !! 6.
6. Hitunglah Hitunglah determinan determinan dari dari :: a. a. 3 3 5 5 7 7 3 3 5 5 1 1 4 4 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 6 6 2 2 5 5 3 3
b. b. 4 4 1 1 2 2 1 1 9 9 3 3 7 7 5 5 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 2 2 4 4 5 5
c.c. 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 4 4 1 1 1 1 2 2 1 1 0 0 3 3 2 2 3 3 1 1 2 2
d.d. 2 2 2 2 3 3 4 4 2 2 3 3 2 2 1 1 5 5 2 2 3 3 2 2 4 4 1 1 1 1 2 2
7. 7. Hitunglah Hitunglah ::33
33
33
00
00
22
22
22
11
11
44
66
44
33
00
22
44
22
33
00
22
99
11
33
44
8.8. Anggaplah Anggaplah detdet
ii
hh
gg
ee
f f
dd
cc
bb
aa
= 5. Carilah : = 5. Carilah : a). det a). det
cc
bb
aa
ii
hh
gg
f f
ee
dd
b). b). detdet
ii
hh
gg
f f
22
ee
22
dd
22
aa
bb
cc
c). det c). det
ii
hh
gg
f f
ee
dd
dd
bb
ee
cc
f f
aa
d). d). detdet
ii
22
hh
22
gg
22
cc
33
f f
bb
33
ee
aa
33
dd
aa
bb
cc
9.
9. Anggaplah Anggaplah det(A) = det(A) = 5, 5, dimana dimana : : A A ==
ii
hh
gg
f f
ee
dd
cc
bb
aa
. Carilah : . Carilah : a).a). det(3A) det(3A) b). b). det(2Adet(2A-1-1) ) c). c). det((2A)det((2A) – –11) d). det) d). det
f f
ii
cc
ee
hh
bb
dd
gg
aa
10. 10. Buktikan Buktikan ::cc
11
ab
ab
11
bb
ca
ca
aa
11
bc
bc
= = 22 22 22cc
cc
11
bb
bb
11
aa
aa
11
= (c - a) (c - = (c - a) (c - b) (b - a) !b) (b - a) !Karakter seseorang tidak datang lewat ilham atau mimpi.
Karakter seseorang tidak datang lewat ilham atau mimpi.
Dibentuk melalui usaha keras dan masa penempaan yang panjang.
Dibentuk melalui usaha keras dan masa penempaan yang panjang.
James A. Froude)
James A. Froude)
BAB III
BAB III
MATRIKS INVERS
MATRIKS INVERS
3.1
3.1 KONSEPSI KONSEPSI MATRIKS MATRIKS INVERSINVERS Definisi :
Definisi :
Sebuah matriks bujursangkar A berordo (nxn) disebut mempunyai invers jika ada Sebuah matriks bujursangkar A berordo (nxn) disebut mempunyai invers jika ada suatu matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I
suatu matriks B sedemikian sehingga AB = BA = Inn dimana dimana IInn adalah adalah matriksmatriks
identitas dengan ordo (nxn). Matriks B dinamakan
identitas dengan ordo (nxn). Matriks B dinamakan invers dari matriks A, ditulis Ainvers dari matriks A, ditulis A
--1 1
, sehingga : , sehingga :
AA
AA-1-1 = A = A-1-1 A = I A = Inn
Matriks-matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang non singular Matriks-matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang non singular (determinannya tidak nol), dan bila inversnya ada maka inversnya adalah tunggal (determinannya tidak nol), dan bila inversnya ada maka inversnya adalah tunggal (hanya ada satu).
(hanya ada satu). Sifat-sifatnya adalah : Sifat-sifatnya adalah : 1. (A
1. (A-1-1))-1-1 = A = A 2. (AB)
2. (AB)-1-1 = B = B-1-1 A A-1-1 Contoh :
Contoh :
Carilah invers dari A = Carilah invers dari A =
33
44
11
22
Jawab : Jawab : Misalkan A Misalkan A-1-1 = =
dd
cc
bb
aa
maka akan berlaku : A.A maka akan berlaku : A.A-1-1 = I = I22
Sehingga : Sehingga :
33
44
11
22
dd
cc
bb
aa
= =
11
00
00
11
, jika dikalikan akan diperoleh :, jika dikalikan akan diperoleh :
33
cc
44
aa
33
dd
aa
44
22
aa
cc
22
bb
dd
= =
11
00
00
11
atau atau 2a + c = 1 ……..(i)40 + 3c = 0 ……(iii)
40 + 3c = 0 ……(iii) 4a + 3d = 4a + 3d = 1 ……(iv)1 ……(iv)
dan jika dilakukan substitusi diperoleh : a = 3/2; b = -1/2; c = -2 ;d = 1 dan jika dilakukan substitusi diperoleh : a = 3/2; b = -1/2; c = -2 ;d = 1 Sehingga : A Sehingga : A-1-1 = =
dd
cc
bb
aa
= =
22
11
22 // 11 22 // 33 = = 2 2 1 1
33
44
22
11
3.23.2 MATRIKS MATRIKS INVERS INVERS DENGAN DENGAN ADJOINADJOIN Definisi :
Definisi :
Sebuah matriks A
Sebuah matriks A yang bujursangkaryang bujursangkar dapat dibalikdapat dibalik jika dan hany jika dan hanya jika det(A)a jika det(A)
0. 0. Akibat :Akibat :
Jika A dapat dibalik maka : det(A Jika A dapat dibalik maka : det(A-1-1) =) =
det(A) det(A) 1 1 Definisi : Definisi :
Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka : Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka : A A-1-1== det(A) det(A) 1 1 .. Adj(A). Adj(A). Contoh : Contoh : Diketahui A = Diketahui A =
55
11
11
22
44
00
44
33
22
Tentukanlah : Tentukanlah : a.a. DeterminanDeterminannya nya dengan dengan Ekspansi Kofaktor Ekspansi Kofaktor sepanjang baris sepanjang baris ke-2 ke-2 !! b.
b. Matriks Matriks KofaktornyKofaktornya a atau atau Kof(A) Kof(A) !! c.
c. Matriks Matriks Adjoin Adjoin dari dari A aA atau tau Adj(A) Adj(A) !! d.
d. Matriks Matriks Inversnya Inversnya !! Jawab : Jawab : a. a. det(A) det(A) = = 0. 0. (-1)(-1)2+12+1
55
11
44
33
+ (-4) (-1) + (-4) (-1)2+22+211
55
44
22
+ + 2.(-1)2.(-1)2+32+311
11
33
22
= 0 = 0 – – 4.6 4.6 – – 2.(-5) = -14. 2.(-5) = -14. b.b. CC1111(A) = (-1)(A) = (-1)1+11+1
44
11
55
22
= -18, C = -18, C1212(A) = (-1)(A) = (-1)1+21+200
11
55
22
= 2, = 2,44
C22(A) = (-1)2+2
2
1
5
4
= 6, C23(A) = (-1)2+32
1
3
1
= 5, C31(A) = (-1)3+1
4
3
4
2
= 22, C32(A) = (-1)3+20
2
4
2
= -4, C33(A) = (-1)3+30
2
4
3
= -8. Maka Kof(A) =
8
4
22
5
6
19
4
2
18
. c. Adj(A) = (Kof(A))T =
8
5
4
4
6
2
19
22
18
d. A-1=det(A)
1
. Adj(A) =(-14)
1
8
5
4
2
6
4
22
19
18
=
7 / 4 7 / 2 7 / 2 7 / 3 7 / 1 7 / 9 14 / 5 14 / 19 11/73.3 MATRIKS INVERS DENGAN METODE PENYAPUAN Catatan 1 :
Dengan mengalikan matriks elementer baris H (matriks yang didapat dari satu kali transformasi elementer baris terhadap matriks In) dengan suatu matriks A, maka
HA = matriks hasil transformasi elementer terhadap A dari jenis H yang sama. Contoh : A =
1
0
2
1
3
1
3
1
2
H21(1)
1
0
2
4
4
3
3
1
2
= B, sedangkan matriks elementer H21(1)(I3) =
1
0
0
0
1
1
0
0
1
= H, terlihat bahwa : HA =
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
2
1
3
1
1
3
2
=
1
0
2
4
4
3
1
3
2
= B. Catatan 2 :Misalkan K merupakan matriks elementer kolom (yang didapat dari satu kali transformasi elementer pada kolom dari matriks In), maka A K = matriks hasil
