BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
1. Pengertian matriks
Matriks kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur
dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi
panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.
2. Operasi dasar matriks
Berlaku Kaidah Komutatif : A +B = B+A
Kaidah Asosiatif : A + ( B+C) = (A + B) +C = A+B+C
b. Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka
matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan
mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
Berlaku kaidah Komutatif : kA = Ak
Kaidah Distributif : k (A+B) =kA +kB c. Perkalian Antarmatriks
Syarat perkalian Antarmatriks adalah jumlah banyaknya kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.
Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran
mxp dimana
Berlaku Kaidah Asosiatif : A (BC) = (AB)C = ABC Kaidah Distributif : A( B+C) = AB + AC
3. Transpose suatu matriks
adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.
3.1 Transpose Penjumlahan dan Pengurangan
Ubahan dari jumlah atau selisih beberapa matriks adalah jumlah atau selisih matriks-matriks ubahannya
(A
m x n+ B
m x n+ C
m x n)= A
t n x m+
B
t n x m+
C
t n x mkaidah komutatif : (A+B)t = (B+A)t atau At + Bt =Bt + At kaidah Asosiatif : { A + (B+C)}t = {(A+B)+C}t = At +Bt +Ct 3.2 Transpose Perkalian
Ubahan dari perkalian matriks dengan skalar adalah perkalian scalar dengan matriks ubahannya.
(kA)t = kAt
Ubahan dari perkalian antarmatriks adalah perkalian matriks-matriks ubahannya dengan urutan yang terbalik
(Am x n x Bn x p x Cp x q) t = Ctq x p x B t p x n x A t n x m
Matriks Balikan
Matriks balikan (inverse matrix) matriks yang apabila dikalikan dengan suatu matriks bujursangkar menghasilkan sebuah matriks satuan. Jika A merupakan sebuah matriks bujursangkar, maka balikannya ditulis dengan notasi A-1
Contoh:
Matriks Skalar
Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jika semua elemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya memiliki nilai yang sama, misalnya,
5
0
0
0
5
0
0
0
5
9
0
0
9
Referensi :1. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi
Pengarang : Dumairy
Penerbit : BPFE – Yogyakarta 2. http://p4tkmatematika.org/
E. TRANSFORMASI ELEMENTER DAN MATRIKS EKUIVALEN Yang dimaksud dengan transformai pada baris atau kolom suatu matriks A adalah sebagai berikut.
1. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran kolom ke-i dan kolom ke-j dan ditulis Hij(A) untuk
transformasi baris dan Kij(A) untuk transformasi kolom.
Contoh :
a. Penukaran baris
A= H12(A)
H12(A) berarti menukar baris ke-1 matriks A dengan
baris ke-2
b. Penukaran kolom
A= K23(A)
K13(A) berarti menukar kolom ke-2 matriks A dengan
kolom ke-3
2. memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h0, ditulis Hi(h)(A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar
k0, ditulis Ki(k)(A). Contoh : A= H2(-2)(A)= K3(1/2)(A)= 1 2 0 2 3 1 0 1 1 2 3 1 1 2 0 0 1 1 1 2 0 2 3 1 0 1 1 1 0 2 2 1 3 0 1 1 1 2 0 -4 -6 -2 0 1 1 1 2 0 2 3 1 0 1 1 1 2 0 2 3 1/2 0 1 1/2
3. Menambah kolom ke-i dengan k kali kolom ke-j, ditulis Kij(k)(A) dan menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j,
ditulis Hij(h)(A). Contoh : H23(-1)(A) A= H2 + (-1*H3) K31(2)(A) K3 + (2*K1) MATRIKS EKUIVALEN
Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer terhadap baris dan kolom. Kalau transformasi elementer hanya terjadi pada baris saja disebut ELEMENTER BARIS, sedangkan jika transformasi terjadi pada kolom saja disebut ELEMENTER KOLOM.
Contoh :
A= dan B=
A dan B adalah ekuivalen baris karena jika kita mempertukarkan baris ke-1 dengan baris ke-2 pada matriks A atau H12(A), maka akan didapat matriks B.
K12(1) A= K1+(1*K2) H12 1 2 0 2 3 1 0 1 1 1 2 0 2 2 0 0 1 1 1 2 2 2 2 5 0 1 1 2 3 1 4 1 0 4 1 0 2 3 1 3 0 2 1 4 1 3 1 3 0 2 1 5 1 3 1 3 0 2 1 5 1 3 1 5 1 3 1 3 0 2 1
6. Matriks persegi yang mempunyai baris atau kolom nol, determinannya adalah nol.
7. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris atau kolom yang sama adalah sama dengan nol.
8. Nilai determinan adalah nol jika semua unsurnya sama
= 8 + 8 + 8 – 8 – 8 – 8 = 0
9. Nilai determinan adalah nol jika unsur-unsur pada salah satu baris atau kolom semuanya nol
= 0 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 0
10. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasilkali unsur-unsur diagonalnya = 2 x 3 x 9 = 54 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 5 1 3 4 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 9
11. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers)
12. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya dikatakan non-singular dan mempunyai balikan (invers)
G. MINOR DAN KOFAKTOR
MINOR unsur aij determinan yang berasal dari
determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. Minor dinotasikan dengan Mij
Contoh:
KOFAKTOR dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A 33 32 23 22 11
a
a
a
a
M
44 43 42 41 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a A 44 43 42 34 33 32 24 23 22 11a
a
a
a
a
a
a
a
a
M
Contoh: A= 1 1 2 4 3 1 1 1 2 C11 = (-1) 1+1 M11 = (-1) 2 1 1 4 3 = 1 (7) = 7 C22 = M22 = 0 C12 = (-1) 1+2 M12 = (-1) 3 1 2 4 1 = (-1) (9) = -9 C23 = - M23 = 0 C13 = (-1)4 M13 = M13 = 1 2 3 1 = 5 C31 = M31 = 7 C21 = (-1)3 M21 = - M21 = - 1 1 1 1 = 0 C32 = - M32 = - 9 C33 = M33 = 5
H. Matriks Singular dan non-singular
Cara menentukan matriks tersebut Singular atau non-singular adalah :
Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya dikatakan singular dan tidak
mempunyai balikan (invers)
Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya dikatakan non-singular dan mempunyai balikan (invers)
J. Matriks Invers
Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang apabila dikalikan dengan matriks A memberikan satuan I
AB = I
Notasi matriks invers :
Sebuah matriks yang dikalikan matriks inversenya akan menghasilkan matrik satuan:
Contoh :
Maka atau
= adj. A = kofaktor yang di transpose kan Det A Det A
K. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Penyelesaian system persamaan linier menggunakan matriks dapat melalui metode balikan maupun metode Cramer. 1. Metode Balikan 1
A
I
A
A
1
d
c
b
a
A
a
c
b
d
bc
ad
A
11
1 A
2. Metode Cramer
Untuk menghitung variable x, dapat dilakukan dengan cara membagi determinan-determinannya
Contoh :
Referensi :
4. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi
Pengarang : Dumairy
Penerbit : BPFE – Yogyakarta 5. http://p4tkmatematika.org/
