Modul Pembelajaran MATRIKS SMA Kelas 12

Apakah Anda mengenal istilah kriptografi ? Ya, ini mungkin menjadi istilah yang baru bagi kalian. Secara umum kriptografi dapat diartikan sebagai ilmu dan seni penyandian yang bertujuan untuk menjaga keamanan dan kerahasiaan suatu pesan. William Stallings mendefinisikan kriptografi sebagai “the art and science of keeping messages secure”. Dengan adanya tulisan yang tersembunyi ini, orang-orang yang tidak mengetahui bagaimana tulisan tersebut disembunyikan tidak akan mengetahui bagaimana cara membaca maupun menerjemahkan tulisan tersebut. Kriptografi mau tidak mau harus diakui mempunyai peranan yang paling penting dalam peperangan sehingga algoritma kriptografi berkembang cukup pesat pada saat Perang Dunia I dan Perang Dunia II. Menurut catatan sejarah, terdapat beberapa algoritma kriptografi yang pernah digunakan dalam peperangan, diantaranya adalah ADFVGX yang dipakai oleh Jerman pada Perang Dunia I, Sigaba/M-134 yang digunakan oleh Amerika Serikat pada Perang Dunia II, Typex oleh

1

I K A

A

A T E M

M

T

3

Matriks

GRACE

PRIMAYANTI

Inggris, dan Purple oleh Jepang. Selain itu Jerman juga mempunyai mesin legendaris yang dipakai untuk memecahkan sandi yang dikirim oleh pihak musuh dalam peperangan yaitu, Enigm a< /i>.

Dalam pembelajaran kali ini, kita akan fokus dalam memahami materi mengenai :

 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain.

 Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2.

 Menggunakan determinan dan invers dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.

A. MENGENAL BENTUK DAN CIRI MATRIKS 1. Bentuk dan Ciri Matriks

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Mengubah persoalan ke dalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan yaitu dengan menampilkan data atau keterangan-keterangan tersebut dalam bentuk tabel atau daftar. Misalnya tabel hasil kuis matematika Adi, Ado, dan Ade.

Kuis 1 Kuis 2 Kuis 3

Adi 70 60 85

Ado 65 75 80

Ade 70 75 85

Jika data dari tabel di atas hanya dituliskan dalam bilangan saja, kemudian susunan lambang bilangan itu diberi tanda kurung, maka akan diperoleh:

[

70 60 85 65 75 80 70 75 85

]

Perhatikan contoh yang lain berikut ini,

Persamaan Ko efisien

x

Koefi sien y

3x+5y=8 3 5

x−y=−5 1 -1

Bila dituliskan dalam bilangan saja kemudian disusun lambang bilangan itu dengan tanda kurung, maka diperoleh :

[

3 5 1 −1

]

Perhatikan susunan bilangan dari kedua data tersebut.

[

70 60 85 65 75 80 70 75 85

]

dan

[

3 5 1 −1

]

Dari contoh sebelumnya dapat disimpulkan bahwa kelompok bilangan yang

Judul Baris

Judul Kolom

Susunan bilangan berbentuk persegi panjang

Judul Baris

Judul Kolom

Agar berbatas, maka bagian pinggir-pinggir dari kelompok bilangan itu dibubuhi dengan tanda kurung (kurung biasa atau kurung siku). Nama dari suatu matriks biasanya dilambangkan dengan menggunkan huruf besar atau huruf kapital, seperti A, B, C, . . ., dan seterusnya.

2

. Baris, Kolom, Elemen, dan Ordo Matriks

Ada beberapa istilah dalam matriks diantaranya sebagai berikut :

a. Baris dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituiskan mendatar atau horisontal dalam matriks. Perhatikan matriks berikut ini.

A=

[

1 0 9

2 −9 5 4 0 2

]

b. Kolom dari suatu matriks adalah bagian yang dituliskan tegak atau vertikal dalam matriks. Perhatikan matriks berikut ini.

A=

[

1_{2 −}0_{9 5}9

4 0 2

]

c. Elemen atau unsur suatu matriks adalah bilangan-bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu. Perhatikan matriks berikut ini.

4 Baris 1

Baris 2 Baris 3

Kolom3 Kolom2

kolom 1 3

0 2

CONTOH 1

Perhatikan kelompok bilangan berikut dan identifikasi apakah merupakan matriks.

a. Kelompok bilangan 3 0

1 −3

5 2 4 1

merupakan matriks sebab susunannnya berbentuk persegi dan tersusun atas baris dan kolom.

b. Kelompok bilangan

merupakan bukan matriks sebab susunannya berbentuk segitiga dan

tersusun atas baris dan kolom yang tidak jelas.

c. Kelompok bilangan

1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 −1 1

1 −1 0

merupakan matriks sebab susunannnya berbentuk persegi dan persegi panjang dan tersusun

A=

[

1 0 9

2 −9 5 4 0 2

]

d. Ordo atau ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolom dari matriks itu. Banyak elemen atau banyak unsur dari suatu matriks ditentukan leh hasil kali banyak baris dengan kolom dari matriks itu.

Misalkan matriks A terdiri dari m baris dan n kolom, maka matriks itu berordo

m× n dapat dituliskan sebagai A_{m × n} . Banyak elemen matriks A itu sama dengan (m× n) buah. Oleh karena itu matriks A yang berordo m× n dapat disajikan sebagai berikut.

A_{m × n}=

[

a11

a₂₁

⋯ ⋯

am1

a12

a₂₁

⋯ ⋯

am2

a13

a₂₁

⋯ ⋯

am3

… …

⋯ ⋯

… … …

⋯ ⋯

… a1n

a_2n

⋯ ⋯

amn

]

dengan a_mn adalah elemen matriks pada baris ke- m dan kolom ke- n .

3. Jenis Matriks

Matriks memiliki jenis-jenis berdasarkan bentuk maupun pola eleman di dalamnnya, yaitu:

a. Matriks Baris

Misalkan suatu matriks berordo m× n dengan nilai m=1, sehingga diperolah matriks yang berordo 1× n . Matriks 1× n terdiri atas satu baris dan memuat n elemen. Matriks yang berciri seperti ini disebut matriks baris. Misalnya matriks 0 0 0 10 1_Q

1×7=¿ 2] dan matriks

P_1×2=[8−4]

b. Matriks Kolom atau Matriks Lajur

Jika suatu matriks berordo m× n dengan nilai n=1 , sehingga dierolah matriks yang berordo m×1 . Matriks m×1 terdiri ats satu kolom dan

Elemen pada baris kedua kolom kedua Elemen pada baris ketiga kolom pertama

Banyak baris = m

Misalnya matriks G5×1=

[

1 5 −2 0 6

]

dan matriks H3×1=

[

2 4 1

]

c. Matriks Persegi

Misalkan suatu matriks berordo m× n dengan nilai m=n , sehingga diperoleh

matriks berordo n ×n dan untuk selanjutnya disingka dengan matriks berordo n saja. Pada matriks berordo n, banyak baris = banyak kolom. Matriks yang berciri demikian disebut sebagai matriks persegi berordo n.

Misalnya matriks T_3×3=T₃=

[

1 0 0 0 1 0 0 0 1

]

dan matriks K5×5=K5=

[

1 1 3 4 7 0 0 −2 5 7 1 3 6 8 0 9 5 −1 3 4 6 5 3 2 1

]

Dalam matriks persegi, elemen-elemen yang terletak pada garis hubung elemen a₁₁ dengan elemen a_nn dinamakan diagonal utama, sedangkan elemen-elemne yang terletak pada garis hubung elemen a_n1 dengan elemen a_1n

dinamakan sebagai diagonal samping. Diagonal utama dan diagonal samping dari suatu matriks persegi dapat ditampilkan dalam bentuk bagan berikut ini :

[

a₁₁ a₂₁

⋯ ⋯

an1

a₁₂ a₂₁

⋯ ⋯

an2

a₁₃ a₂₁

⋯ ⋯

an3

… … ⋯ ⋯ … … … ⋯ ⋯ … a_1n a_2n

⋯ ⋯

ann

]

d. Matriks Segitiga

Misalkan suatu matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks yang berada di bawah diagonal utama atau di atas diagonal utama semuanya bernilai nol. Matriks yang berciri demikian dinamakan matriks segitiga.

Misalnya matriks G=

[

Dan matriks T=

[

9 5 2 1

0 6 3

−4 0 0 2 5 0 0 0 4

]

e. Matriks Diagonal atau Matriks Identitas

Misalkan suatu matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks yang berada di bawah dan di atas diagonal utama semuanya bernilai nol. Ini berarti bahwa elemen-elemn matriks semuanya bernilai nol, terkecuali elemen-elemn yang terletak pada diagonal utama. Matriks yang berciri demikian dinamakan matriks diagonal, sebagaimana matriks berikut ini :

A=

[

1 0 0 0 1 0 0 0 1

]

dan matriks B=

[

1 0

0 3

]

Jika suatu matriks diagonal berordo n dengan elemen-elemen pada diagonal

utama semuanay berniali 1, maka matriks diagonal semacam ini dinamakan matriks identitas atau matriks satuan. Matriks identitas ordo n dilambangkan dengan I_n dan matriks ini akan sering dijumpai dalam pembahasan selanjutnya. Berikut ini adalah contoh matriks identitas.

I2=

[

1 0

0 1

]

matriks identitas berordo dua

dan I3=

[

1 0 0 0 1 0 0 0 1

]

matriks identitas berordo tiga

f. Matriks Datar dan Matriks Tegak

Misalkan suatu matriks berordo m× n dengan m<n , ini berarti banyak kolom lebih banyak dibandingkan dengan banyak baris. Oleh karena itu, maka susunan elemen-elemennya akan memanjang atau menadatar. Matriks yang berciri demikian disebut matriks datar. Sebaliknya, jika m>n maka banyak baris lebih banyak dibandingkan dengan banyak kolom, sehingga susunan eleman-elemennya membentuk persegi panjang tegak. Matriks yang berciri demikian disebut matriks tegak. Berikut ini contoh matriks tegak dan matriks datar.

P=

[

2 4 5

Q=

[

0 −1 1 0 0 −1

]

merupakan matriks tegak karena jumlah baris (m) > dari jumlah

kolom (n) (m = 3 dan n = 2 ) g. Martriks Transpos

Transpos dari suatu matriks A ditulis At _{atau A}' _{adalah suatu matriks yang}

diperoleh dengan cara mengubah setiap baris dari matriks A menjadi kolom pada matriks A' . Transpos dari matriks A berordo m× n adalah sebuah matriks

A' _{berordo n ×m , yang disusun sebagai berikut :}

- Baris pertama matriks A ditulis menjadi kolom pertama dalam matriks A' - Baris kedua matriks A ditulis menjadi kolom kedua dalam matriks A'

- Baris ketiga A ditulis menjadi kolom ketiga dalam matriks A'_{, . . .}

demikian seterusnya

- Baris ke-m matriks A ditulis menjadi kolom ke-m dalam matriks A'_.

Dari contoh di atas pada bagian c, kita melihat bahwa matriks C=C ' , jenis matriks

yang seperti ini disebut matriks simetris atau mariks setangkup. Dengan demikian

didefinisikan matriks setangkup sebagai berikut.

8

CONTOH 2

Tentukan transpos matriks-matriks berikut.

a. A=

[

2 4 6 8 10 5 3 −1 4 8

]

b. B=

[

0 −7

−6 9

]

c.

C=

[

1 −2 0 3 −2 8 9 0 0 9 1 4 3 0 4 1

]

Jawab :

a. A=

[

2 4 6 8 10 5 3 −1 4 8

]

, maka transpos matriks A adalah A'=

[

2

5 4 3 6 −1 8 4 10 8

]

b. B=

[

0 −7

−6 9

]

, maka transpos matriks B adalah B '=

[

0 −6

Misalkan matriks A adalah matriks persegi berordo n . Matriks A disebut matriks simetris atau matriks setangkup jika dan hanya jika elemne-elemen yang letaknya simetris terhadap diagonal utama bernilai sama, ditulis:

dengan i≠ j .

a_ij=a_ji

4x+y=12

1. Diketahui matriks – matriks : A=

(

2 1

1 2

)

dan B=

(

−2 2

−2 −2

)

Tentukan matriks X berordo 2×2 yang memenuhi persamaan- persamaan berikut ini.

a. AX=B b. XA=B

2. Jika X adalah matriks persegi berordo 2×2 , tentukanlah X pada tiap persamaan matriks berikut ini.

a. X

(

3 2 4 3

)

=

(

5

6

)

c.

(

4 3 9 6

)

X=

(

1 −5 1 6

)

b. X

(

3 2

5 3

)

=

(

¿−1 2

5 2

)

d. X

(

3 7 2 5

)

=

(

1 −5 1 6

)

3. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks persegi berordo 2×2

dengan B=

(

2 −3

−2 1

)

. Tentukan matriks A , jika : a. _AB=At

b. BA=At

4. Diketahui matriks A=

(

2 4

3 1

)

, B=

(

1 −2

1 2

)

, dan C=

(

7 10

−7 9

)

. Jika M=A+B dan MX=Ct _{, tentukan matriks X .}

5. Diketahui matriks A=

(

3 7

−5 2

)

dan B=

(

1 2

−3 5

)

. Jika

A+B3XT

=B , tentukan matriks X .

10 Misalkan diketahui matriks

Berapa banyak baris dan kolom matriks ?

Sebutkan elemen-elemen pada baris pertama, baris kedua, dan baris ketiga.

Sebutkan elemen-elemen pada kolom pertama, kolom kedua, kolom ketiga, kolom keempat, dan kolom kelima.

Tulisakan ordo matriks !

Tentukanlah matriks-matriks koefisien dari sistem-sistem persamaan berikut ini. Buatlah matriksnya.

a.

b.

L

L

A

A TT II H

H A

A N

N 1

1

3. Tuliskanlah ordo dan banyaknya elemen dari matriks-matriks berikut ini.

a. A=

[

0 4 5 2−1

]

b. B=

[

0 0 0_{1 1 1}

0 0 0

]

c. C=

[

₋15₇

23

]

d. D=

[

1 0 2 7 −9 4 0 1 5 6 0 1 3 −4 1 3 8 9 9 5 0 1 0 2 10 −2 1 3 1

−3

]

4. Misalkan Q adalah suatu matriks berordo m× n . Buatlah sebuah contoh matriks Q, jika diketahui :

a. m=0 dan n=10 b. m=4 dan n=6 c. m=5 dan n=5 d. m=6 dan n=2

5. Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut ini.

a. A=

[

4 3

2 1

]

b. B=

[

3 2 1 1 2 3 0 1 0

]

c. C=

[

−3 4 3

6. Dikehui matriks A=

(

2 0

1 4

)

, B=

(

1 3

4 2

)

, dan C=

(

26 18 21 33

)

. Jika AXB=C , tentukan mat

4. Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks yaitu matriks A dan B dikatakan sama yaitu A= B, jika dan hanya jika :

o Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B

o Semua elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama, a_ij=a_ji , untuk semua nilai i dan j .

CONTOH 3

Perhatikan matriks-mariks berikut ini. Matriks-matriks mana sajakah yang sama ?

E=

[

0 2

−3 4

7 1

]

F=

[

4 −1 3

2 0 6

]

G=

[

1 3 4

−2 0 2 6 7 5

]

H=

[

−12 0 23 4 6 7 5

]

I=

[

−03 42 7 1

]

J=

[

7 5 0 1

−3 8

10 6

−8 5 8 1

]

Jawab :

o Matriks E dan F , E dan G , E dan H , E dan J tidak sama karena memiliki ordo yang berbeda begitu pun eleman yang seletak.

o Matriks E dan I adalah matriks yang sama karena memiliki ordo yang sama yaitu 3×2 dan elemen yang seletak sama.

o Matriks F dan G , F dan H , F dan I , dan F dan J tidak sama karena memiliki ordo yang berbeda begitu pun eleman yang seletak.

o Matriks G dan H adalah matriks yang sama karena memiliki ordo yang sama yaitu 3×3 dan elemen yang seletak sama

o Matriks G dan I , G dan J , H dan I , H dan J , dan I

Kesamaan dua matriks dapat digunkakan untuk menentukan nilai peubah atau variabel yang ada pada elemen-elemen matriks. Perhatikan contoh berikut ini.

12 Dari matriks-matriks berikut ini, manakah yang sama ?

Tentukan nilai dan dari matriks yang sama berikut ini.

Diketahui matriks-matriks: dan

Tentukan transpos dari matriks atau Jika , carilah nilai dan .

Jika diberikan persamaan matriks berikut ini.

Maka hitunglah nilai

Jika , maka tentukan harga dan .

Diketahui dan . Jika menyatakan matriks transpos dari , maka tentukan nilai yang memenuhi persamaan .

L

L

A

A TT II H

H A

A N

N 2

2

P ad a m at ri ks y an g sa m a el em en ya ng s el et ak a da la h sa m a, y ai tu

Terlihat kesamaan dua matriks

CONTOH

4

Pada matriks yang sama elemen yang seletak adalah sama, yaitu

a=−4

1. Misalkan diketahui matriks P dan Q sebagai berikut.

P=

[

2 3

1 a] sama dengan matriks Q=

[

b 3

1 −4

]

, tentukan nilai a dan b ! Jawab :

[

2 3 1 a]=

[

b 3 1 −4

]

Jadi, nilai a=−4 dan b=2 .

2. Tentukan nilai a dan b jika diketahui matriks jika diketahui matriks M dan N adalah sama.

M=

[

a+2 6

−5 9

]

dan N=

[

4 6

−5 2b−1

]

, karena matriks M dan N adalah sama maka:

 a+2=4 (eleman yang seletak adalah sama)

a=4−2

a=2

 2b−1=9 (eleman yang seletak adalah sama) 2b=9+1

2b=10

b=5

Jadi nilai a=2 dan b=5 , sehingga diperoleh M=

[

2+2 6

−5 9

]

=

[

4 6

−5 9

]

dan N=

[

4 6 −5 2(5)−1

]

=

[

4 6

B. OPERASI PADA MATRIKS

Sebelumnya kita telah mengenal dan mmpelajari operasi-operasi hitung dalam matematika. Begitu pun dalam matriks, kita akan mempelajari bagaimana operasi hitung pada matriks dan aturan-aturan (sifat-sifat) yang beraku diantaranya penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan perpangkatan.

1. Penjumlahan pada Matriks

a. Definisi Penjumlahan pada matriks

Dua buah matriks dapat dijumlahkan jika keduanya memiliki ordo yang sama. Penjumalahan pada matriks dilakukan dengan cara menjumlahkan eleman-eleman yang seletak dari masing-masing matriks tersebut.

Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berordo m× n dengan elemen-eleman elemen a_ij dan a_ji . Jika matriks C adalah jumlah matriks

A dan matriks B atau C=A+B , maka matriks C juga berordo m× n

dengan eleman-eleman ditentukan oleh :

cij=aij+bij, untuk semua i dan j .

b. Matriks Nol

14

CONTOH

5

1. Diketahui matriks-matriks :

a. P=

[

1 0 1

2 −5 3

]

dan Q=

[

10 2 −1

−8 5 6

]

Tentukan penjumlahan matriks P dan matriks Q .

Jawab :

Jumlah matriks P dan matriks Q adalah

P+Q=

[

1+10 0+2 1+(−1)

2+(−8) −5+5 3+6

]

=

[

11 2 0

−6 0 9

]

Jadi, jumlah matriks P+Q=

[

11 2 0

−6 0 9

]

b. D=

[

a b

c d

]

dan E=

[

e f g h

]

Tentukan penjumlahan matriks D dan matriks E .

Jawab :

Jumlah matriks D dan matriks E adalah

D+E=

[

a+e b+f

c+g d+h

]

=

[

a+e b+f c+g d+h

]

Jadi, jumlah matriks D+E=

[

a+e b+f

Matriks Nol adlah matriks yang setiap elemannya 0. Matriks nol biasanya dinyatakan dengan O. Misalnya :

O2X2=

[

0 0

0 0

]

dan O3X2=

[

0 0 0 0 0 0

]

Pada penjumlahan matriks dengan salah satu matriks adalah matriks nol maka hasilnya adalah matriks bukan nol, ditunjukkan sebaga berikut :

A+O=A

[

2 −3 9 1

]

+

[

0 0 0 0

]

=

[

2 −3 9 1

]

Maka berlaku juga A+O=A+O=A c. Lawan suatu Matriks

Jika A dan B adalah dua matriks berordo sama, dan A+B=B+A=O , maka B disebut lawan A ditulis B=−A .

Misalnya matriks M=

[

m np o] , maka lawan matriks M adalah

−M=

[

−m −n

−p −o] , maka bila dijumlahkan diperoleh :

 M+ (−M)=

[

m n

p o

]

+

[

−m −n

−p −o]

 M+(−M)=

[

m+(−m) n+(−n)

p+(−p) o+(−o)

]

 M+(−M)=¿

[

0 0

0 0

]

 M+(−M)=O , sehingga dapat dilihat penjumlahan antara M dan

−M adalah matriks nol (O) M+(−M)=O

SIFAT PENJUMLAHAN

MATRIKS

Misalkan matriks A , B , dan C adalah matriks berukuran m× n , maka:

o A+B=B+A (sifat komutatif), sehingga kita dapat menukar urutan operasi.

o (A+B)+C=A+(B+C) (sifat asosiatif), sehingga kita dapat menuliskan A+B+C tanpa mempunayai arti lain.

o A+O=O+A=A , terdapat sebuah matriks nol yang berukuran m× n .

o A+B=O , dengan matriks B dsiebut lawan atau negatif matriks A, ditulis B=−A .

2. Pengurangan Matriks

Dengan pemahaman tentang lawan suatu matriks kita dapat menyatakan pengurangan matriks sebagai penjumlahan matriks. Jika A dan B merupakan dua matriks yang berordo sama, maka pengurangan matriks A dengan B dapat dinyatakan sebagai berikut.

A−B=A+(−B)

dengan −B adalah lawan dari matriks B .

16

CONTOH

6

1. Diketahui A=

[

a b

c d

]

dan G=

[

p q

r s

]

. Tentukan matriks A−G . Jawab :

A−G=A+(−G)

 A−G=

[

a b

c d

]

−

[

p q r s

]

 A−G=

[

a b

c d

]

+

[

−p −q

−r −s

]

 A−G=

[

a+(−p) b+(−q)

c+(−r) d+(−s)

]

 A−G=

[

a−p b−q

Misalkan A dan B adalah matriks-matriks yang berordo m× n dan masing-masing mempunyai eleman-eleman a_ij dan b_ij . Jika matriks C adalah hasil pengurangan matriks A dengan matriks B atau C=A−B , maka matriks C

berordo m× n dengan elemen-eleman ditentukan oleh :

ij−¿b_ij

¿

c¿

¿

, untuk semua i dan j .

Pengurangan dua matriks seringkali dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks berbentuk X+A=B , dengan A dan B adalah matriks-matriks yang diketahui, sedangkan X adalah matriks yang dipertanyakan. Dari X+A=B , maka

X=B−A

Diketahui matriks dan . Tentukan matriks yang diwakili oleh d. g.

e. h. ) f. i.

Diketahui , , , dan . Tentukan matriks yang diwakili oleh : b. c. d.

3. Tentukan nilai dan yang memenuhi persamaan berikut ! a.

b. c.

4. Tentukan matriks dari operasi matriks berikut ! a.

b. c. d.

L

L

A

A TT II H

H A

A N

N 3

3

SIFAT PERKALIAN

MATRIKS

Dengan k

Skalar

3. Perkalian Matriks

a. Perkalian Skalar dengan Suatu Matriks

Sebuah matriks dengan ordo m× n dapa dikalian dengan sebuah bilangan real tertentu. Bila real ini selanjutnya disebut dengan skalar. Agar lebih memahami perkalian matriks dengan skalar, maka perhatikan definisi berikut :

Misalkan k∈R dan A=

[

aij

]

adalah suatu matriks yang berordo m× n .

Perkalian bilangan k dengan matriks A adalah suatu matriks baru yang juga berordo m× n yang diperolah dengan mengalikan setiap elemen pada A dengan bilangan real k dan diberi matriks m× n sedemikian sehingga kA=[k_aij] _{. Dari}

definisi diperoleh sifat-sifat perkalian matriks yang penting kita ingat.

Jika k , l∈R , matriks-matriks A=[a_ij] _dan B=[b_ij] _berordo m× n , maka dalam perkalian matriks berlaku sifat-sifat berikut :

o (k+l)A=kA+lA

o (k−l)A=kA−lA

o k(lA)=(kl)A

o IA=A

5. Jika P=

[

5 −2

9 −4

]

, Q=

[

2 −1

x x+y

]

dan penjumlahan kedua matriks menghasilkan matriks identitas, maka tentukan nilai dari x−y .

6. Bila diketahui suatu matriks berordo 3 dengan elemen pada baris pertama dan kolom

pertama adalah satu sama dengan matrik G ¿

[

a b c d e f g h i

]

, maka tentukanlah hasil

b. Perkalian Matriks dengan Matriks

Apabila matriks matriks A=[a_ij] _{adalah matriks yang berordo} m× n dan matriks B=[bij] adalah matriks yang berordo p× q , maka perkalian matriks A

dan B yang dinotasikan dengan AB dapat dilakukan apabila n=p .

A=

[

a₁₁ a21

⋯ ⋯

am1

a₁₂ a21

⋯ ⋯

am2

a₁₃ a21

⋯ ⋯

am3

… … ⋯ ⋯ … … … ⋯ ⋯ … a_1n a2n

⋯ ⋯

amn

]

dan B=

[

a₁₁ a21

⋯ ⋯

ap1

a₁₂ a21

⋯ ⋯

ap2

a₁₃ a21

⋯ ⋯

ap3

… … ⋯ ⋯ … … … ⋯ ⋯ … a_1q a2q

⋯ ⋯

apq

]

Hasil kali matriks AB didefinisikan sebagai matriks c

[¿ ¿ij]

C=¿

yang berordo

m× q dengan eleman baris ke −i dan kolom ke −j adalah :

c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+a_i3b_3j+...+a_ipb_1n

dengan i=1,2,3,… , m dan j=1,2,3,…, n

Dari definisi perkalian matriks dengan matriks di atas, maka dapat disimpulkan bahwa dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua.

20

CONTOH

7

1. Diketahui matriks-matriks berikut.

P=

[

3 1

2 4

]

dan Q=

[

18 5

7 2

]

Tentukanlah matriks X berordo 2×2 yang memenuhi persamaan 3X+2Q=4P.

Jawab :

3X+2Q=4P

 3X+2

[

18 5

7 2

]

=4

[

3 1 2 4

]

 3X+

[

36 10

14 4

]

=

[

12 4

8 16

]

 3X=

[

12−36 4−10

8−14 16−4

]

 3X=

[

−24 −6

−6 12

]

, maka

(

1

3

)

3X=

(

1 3

)

[

−24 −6

−6 12

]

 X=

[

−8 −2

−2 4

]

, jadi matriks X=

[

−8 −2

SIFAT PERKALIAN

MATRIKS

DENGAN MATRIKS

1. AB ≠ BA , yaitu tidak berlaku sifat komutatif.

2. Untuk sembarang k∈R , a

[¿ ¿ij]

A=¿

, dan a

[¿ ¿ij]

B=¿

, maka

a. (kA)B=k(AB)

b. (Ak)B=A(kB)

c. (AB)k=A(Bk)

3. Untuk a

[¿ ¿ij]

A=¿

, a

[¿ ¿ij], B=¿

dan c

[¿ ¿ij]

C=¿

, maka :

a. A(BC)=(AB)C , jika AB dan BC terdefinisikan atau memenuhi sifat asosiatif,

b. A(B+C)=AB+AC , jika AB , AC , dan B+C

terdifinisikan.

Sifat ini biasanya disebut sifat distributif kiri perkalian terhadapat penjumlahan.

c. (A+B)C=AC+BC , jika AC , BC , dan A+B

CONTOH

8

1. Diketahui A=

[

3 4

−1 2

]

dan B=

[

1 0

]

. a. Tentukanlah AB dan BA . b. Apakah AB=BA ?

Jawab :

a. AB=

[

3 4 −1 2

][

1 0

]

=

[

3(1)+4(0) −1(1)+2(0)

]

=

[

3

−1

]

Berdasarkan definisi perkalian matriks dengan matriks, perkalian BA tidak dapat diselesaikan karena banyaknya kolom dari matriks B tidak sama dengan nbanyaknya baris pada matriks A .

b. AB=BA

Sifat ini biasanya disebut sifat distributif kanan perkalian terhadapat penjumlahan.

4. Dalam perkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks persegi dengan ordo yang sama, terdapat sebuah matriks identitas yakni matriks satuanI, yang bersifat IA=AI=A 5. a. Jika AB=O , belum tentu A=O atau O=A

b. Jika AB=AC , belum tentu B=C

6. Jika p dan q adalah bilangan-blangan real serta A dan B adalah matriks-matriks maka berlaku hubungan

(pA) (qB)=(pq)(AB)

Tentukan hasil dari perkalian-perkalian matriks berikut ini !

Tentukan matriks dari persamaan berikut !

Diketahui matriks-matriks : dan

Tentukan )(B) Tentukan dan Periksa apakah

L

L

A

A TT II H

H A

A N

N 4

4

7. Jika At dan Bt berturut-turut adalah transpos dari matriks

A dan matriks B , maka berlaku hubungan _(¿¿t)=AB_Bt_At

¿

23 4. Diketahui f(x , y)=2x2+3xy , A=

[

2 −1

3 4

]

, dan B=

[

−2 1

3 2

]

dengan I adalah matriks identitas. Tentukan matriks yang bersesuaian dengan :

a. f (A , B) c. f(A ,3I)

b. f (2B , A) d. f(A ,0)

5. Jika A=

[

−1 2

−3 1

]

dan B=

[

0 −1

3 2

]

, tentukan apakah (AB)

2

Diketahui matriks-matriks berikut. dan

Perlihatkan bahwa persamaan dapat dinyatakan sebagai Kemudian gunakan hasil ini untuk menetukan matriks

Dengan cara yang sama, tentukanlah matriks yang memenuhi !

AKU

BERANI

4. Perpangkatan Matriks

Misalkan A adalah suatu matriks persegi, maka : A2=AA

A3

=A2_A

=A A2

A4=A3A=A A3 dan seterusnya

An

=An−1_A

=A An−1

Sama halnya dalam perpangkatan pada operasi biasanya yang merupakan perkalian berulang dari suatu bilangan, dalam hal ini perpangkatan matriks adalah perkalian berulang suatu matriks.

Misalkan diketahui suatu matriks A=

[

1 0

2 −1

]

, maka akan ditentukan matriks dari hasil perpangkatan yaitu A2

+A .

 A2+A=

[

1 0

2 −1

][

1 0 2 −1

]

+

[

1 0 2 −1

]

 A2

+A=

[

1(1)+0(2) 1(0)+0(1)

2(1)+(−1)2 2(0)+(−1)(−1)

]

+

[

1 0 2 −1

]

 A2+A=

[

1 0

0 2

]

+

[

1 0 2 −1

]

 A2

+A=

[

2 0

2 −1

]

Jadi hasil dari A2+A adalah

[

2 0 2 −1

]

.

C. DETERMINAN SUATU MATRIKS

Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut deteminan. Determinan dari suatu matriks persegi A dinotasikan dengan

¿A∨¿ atau det A .

1. Determinan Matriks Berordo 2×2

Misalkan matriks A adalah matriks persegi yang berordo 2×2 yang ditulis : A=

[

a b

c d

]

Hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dikurangi dengan hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder, yaitu (ad−bc) disebut determinan matriks

A , sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:

|A|=

|

a bc d|=(ad−bc)

2. Determinan matriks berordo 3×3

Sama halnya dengan matriks persegi berordo 2×2 , matriks persegi berordo 3×3 juga mempunyai determinan. Dalam menentukan determinan matriks 3×3 , kita dapat menggunakan dua cara. Perhatikan cara berikut untuk menentukan determinan matriks 3×3 .

Cara Pertama: metode kofaktor

Nilai determinan matriks persegi 3×3 adalah penjumlahan dari hasil kali semua elemen suatu baris atau kolom matriks tersebut dengan kofaktor masing-masing. Jika A_mn∨¿ adalah minor a_mn dari matriks A , maka

(−1)m+n∨A_mn∨¿ disebut kofaktor a_mn ditulis α_mn.

α_mn=(−1)m+n∨A_mn∨¿

Misalkan A=

[

a11 a12 a13

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a31 a32 a33

]

maka determinan matriks A adalah

A=

|

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a31 a32 a33

|

det (A)=a₁₁(−1)1+1

|

a22 a23

a₃₂ a₃₃

|

+a12(−1) 1+2

|

a₂₁ a₂₃

a₃₁ a₃₃

|

+a13(−1) 1+3

|

a₂₁ a₂₂ a₃₁ a₃₂

|

det (A)=a₁₁

(

a₂₂. a₃₃−a_23.a₃₂

)

−a₁₂

(

a₂₁a₃₃−a₂₃. a₃₁

)

+a₁₃

(

a₂₁. a₃₂−a₂₂a₃₁

)

Diagonal utama Diagonal sekunder

det

a a

(¿¿13. a21. a32)+

(

a13.a22a31

)

(¿¿12. a₂₁a₃₃)+

(

a₁₂. a₂₃. a₃₁

)

+¿

(A)=

(

a₁₁. a₂₂. a₃₃

)

−

(

a₁₁. a_23.a₃₂

)

−¿

det

a

(¿¿13. a21. a32)+

(

a13. a22a31

)

(

a₁₂. a₂₃.a₃₁

)

+¿ ¿

a

(¿¿12. a21a33)

(

a11. a22. a33

)

+

(

a11.a23.a32

)

+¿

(A)=¿

Cara Kedua: metode Sarrus

Misalkan A=

[

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a31 a32 a33

]

maka determinan matriks A adalah

|

a11 a12 a13

a₂₁ a₂₂ a₂₃ a31 a32 a33

|

kemudian kolom 1 dan 2 dituliskan ulang dibelakang kolom 3

seperti berikut :

det A=

|

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a31 a32 a33

||

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ a31 a32

|

=

|

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a31 a32 a33

||

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ a31 a32

|

Setiap elemen-elemen diagonal utama dikalikan dan dikurangi dengan elemen-elemen diagonal sekundernya, sehingga seperti mencari determinan matriks ordo 2×2 , diperoleh nilai determinan matriks 3×3 , yaitu :

det

a

(¿¿13. a21. a32)+

(

a13. a22a31

)

(

a₁₂. a₂₃.a₃₁

)

+¿ ¿

a

(¿¿12. a21a33)

(

a11. a22. a33

)

+

(

a11.a23.a32

)

+¿

A=¿

Untuk lebih memahami bagaimana menentukan nilai determinan dari suatu matriks persegi maka perhatikan contoh berikut.

Tentukan determinan dari matriks-matriks berikut ! c. , jika

d., jika

Tentukan nilai jika matriks-matriks berikut ini merupakan matriks singular ! c.

d. D

Tentukan nilai yang memenuhi persamaan berikut !

Tentukan determinan dari matrks-matriks berikut !

Jika determinan dari matriks adalah maka tentukanlah nilai dari ! Tentukan determinan dari

b.

Buktikan bahwa

L

L

A

A TT II H

H A

A N

N 5

5

CONTOH 9

1. Tentukan nilai determinan dari matriks berikut : a. P=

[

1 −2

−1 2

]

b. Q=

[

3 2 0 1 6 −4 2 −2 1

]

Jawab :

a. P=

[

1 −2

−1 2

]

det P=¿P∨¿

|

1 −2

−1 2

|

 |P|=1.2−(−1)(−2)

 |P|=2−2=0 , jadi nilai determinan matriks P=0 . Matriks yang memiliki nilai detreminan 0 disebut juga matriks singular.

b . Q=

[

3 2 0

1 6 −4 2 −2 1

]

Cara pertama: metode kofaktor

det Q=3(−1)1+1

|

6 −4

−2 1

|

−2(−1)

1+2

|

1 −4

2 1

|

+0(−1)

1+3

|

1 −6

−2 −2

|

 det

−4 6.1—(¿) (−2)

¿

1.(1)−(2) (−4)+0(1.(−2)−(2.6))

Q=3¿

 det Q=3(−2)−2(9)+0

 det Q=−24

Cara Kedua: metode sarrus

det Q=

{

(3.6 .1)+2(−4)2

)

+0.1(−2)}−{(2.6 .0)+(−2) (−4) (3)+1.1 .2}  det Q=(18−16)−(24+2)

8.

|

1+a2

−b2 _2ab

−2b 2ab 1−a2+b2 2a

2b −2a 1−a2−b2

|

=

(

1+a2+b2

)

3

D. INVERS MATRIKS 1. Definisi Invers Matriks

Jika A dan B adalah dua matriks persegi berordo sama sedemikian sehingga berlaku AB=I=BA dengan I merupakan matriks identitas, maka :

o Matriks A disebut invers matriks B dan diberi notasi B−1

(A=B−1

)

o Matriks � disebut invers matriks A dan diberi notasi A−1

(B=A−1

)

Notasi A−1 _{tidak diartikan sebagai} 1

A sebab dalam aljabar matriks tidak didefinisikan adanya operasi pembagian.

Misalkan matriks A=

[

3 2

7 5

]

dan B=

[

5 −2

−7 3

]

.

Kalikan B dari kiri oleh A , sehingga : AB=

[

3 2

7 5

][

5 −2

−7 3

]

=

[

1 0 0 1

]

=I

Kalikan B dari kanan oleh A , sehingga : BA=

[

5 −2

−7 3

][

3 2 7 5

]

=

[

1 0 0 1

]

=I

Dari kedua perkalian matriks di atas diperolah bahwa AB=BA=I . Sehingga B disebut invers dari A dan ditulis dengan A−1 _{. Dapat pula dikatakan}

bahwa A disebut invers dari B dan ditulis B−1 _.

2. Invers Matriks 2×2

Jika A adalah matriks berordo dua yaitu A=

[

a b

c d

]

dengan determinan A |A|=ad−bc ≠0 , maka invers dari matriks A adalah

A−1

= 1

ad−bc

[

d −b

−c a

]

, dengan

[

d −b

−c a

]

adalah matriks adjoint dari A . Catatan : Jika determinan suatu matriks A=0 atau merupakan matriks singular, maka matriks A tidak mempunyai invers.

Untuk membuktikan bahwa A−1 _{adalah invers dari matriks A , maka}

cukup dibuktikan dengan mengalikan AA−1

=A−1_A

=I . Perhatikan pembuktian berikut ini :

o Jika matriks A dikalikan dari kanan dengan matriks A−1 _{, maka}

diperoleh hubungan :

SIFAT INVERS MATRIKS

Buktikan bahwa dalam perkalian dua matriks berordo 2 dengan invers dan , berlaku :

AKU

BERANI

 AA−1

=

[

a b

c d

]

{

1 ad−bc

[

d −b

−c a

]

}

 AA−1

= 1

ad−bc

[

a b

c d][ d −b

−c a

]

 AA−1

= 1

ad−bc

[

ad−bc 0 0 ad−bc

]

 AA−1

=

[

1 0

0 1

]

 _AA−1

=I

Untuk membuktikan bahwa matriks A dikalikan dari kiri dengan matriks A−1

akan sama dengan I adalah benar, kamu dapat membuktikannya seperti langkah pembuktian sebelumnya. Buktikan bahwa A−1

A=I !

1. Berdasarkan uraian di atas maka untuk menentukan invers dari suatu matriks berordo 2 dapat dilakukan dengan langkah-langkah :

o Elemen-elemen pada diagonal untama dipertukarkan

o Tanda elemen-elemen dari diaonal sekunder diganti dengan lawannya

2. Dalam perkalian dua matriks berordo 2 dengan invers A−1 _dan

B−1 _{, berlaku :}

o (AB)−1=B−1_A−1

o

A B¿

¿ ¿

 2k=−6

CONTOH 10

Diketahui matriks A=

[

2k+3 −12

6 7

]

, B=

[

1 1

−5 −2

]

, dan C=

[

5 11

−1 −2

]

. Nilai k yang memenuhi A+B=C−1 _{, adalah . . . .}

(EBTANAS 1998) Jawab :

A+B=C−1

, terlebih dahulu tentukan C−1 _{sehingga dapat menyelesaikan}

persamaan tersebut yaitu



C det¿

¿ ¿

C−1

=1

¿

 C−1= 1

(

5(−2)−11.(−1)

)

[

−2 −11

1 5

]

 C−1

=1

1

[

−2 −11

1 5

]

 C−1

=

[

−2 −11

1 5

]

Sehingga diperoleh nilai k yang memenuhi persamaan A+B=C−1 _adalah



[

2k+3 −12

6 7

]

+¿

[

1 1

−5 −2

]

=

[

−2 −11

1 5

]

Diketahui matriks dan . Matriks adalah matriks singular. Tentukan nilai !

(EBTANAS 1996) Buktikan apakah matriks dan berikut adalah saling invers.

dan dan

Tentukan invers matriks-matriks berikut ini ! c.

d.

Selesaikan soal-soal berikut !

Diketahui . Tentukan nilai yang memenuhi persamaan det (det (. Diketahui matriks dan . Jika , tentukan det

Tentukan jika matriks berikut merupakan matriks singular ! b.

Misalkan A adalah matriks non-singular , maka tentukan apakah sama dengan Jika A adalah matriks setangkup berordo 2, maka tentukan det

L

L

A

A TT II H

H A

A N

N 6

6

 k=−3 , jadi nilai k yang memenuhi persamaan tersebut adalah k=−3 ,

sehingga matriks A=

[

2k+3 −12

6 7

]

=

[

2(−3)+3 −12 6 7

]

=

[

−3 −12

6 7

]

3. PENYELESAIAN PERSAMAAN MATRIKS

Misalkan A dan B adalah matriks-matriks persegi berordo 2, dan A dan B adalah matriks tak-singular yaitu determinan matriks tidak sama dengan ( |A|≠0 , ¿B∨¿ ≠0 ) yang mempunyai invers matriks A−1 _atau

B−1 _{, dan misal terdapat matriks X sedemikian sehingga AX=B , maka}

X dapat ditentukan dengan mengalikan kedua ruas dengan persamaan dari kiri dengan A−1 _{. Perhatikan langkah-langkah penyelesaian berikut ini :}

Diketahui matriks A dan B adalah matriks-matriks persegi berordo 2, maka perhatikan persamaan yang ditulis :

 A X=B ( AX adalah perkalian dua matriks A dan X )

 A−1_AX

=A−1_{B ( setiap ruas dikalikan dengan persamaan kiri invers}

A yaitu A−1 ₎

 _X=A−1

B (Karena sifat invers A−1

A = I, maka A−1_{A X}

=X ), sehingga diperoleh penyelesaian matriks X=A−1_B

Demikiaan juga dengan persamaan XA=B , maka X dapat ditentukan dengan mengalikan kedua ruas dengan persamaan dari kanan dengan A−1 _,

maka penyelesaiannya sebagai berikut :

 XA=B ( XA adalah perkalian dua matriks A dan X )

 _{XA A}−1

=B A−1 _{( setiap ruas dikalikan dengan dengan persamaan}

kanan invers A yaitu A−1 ₎

 X=B A−1 _{(Karena sifat invers}

A−1

A = I, maka

A−1

A X=X ), sehingga diperoleh penyelesaian matriks

X=B A−1

Oleh karena perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif maka

A−1_{B tidak sama dengan B A}−1 _{. Dengan demikian, penyelesaian matriks}

Diketahui matriks – matriks : dan

Tentukan matriks berordo yang memenuhi persamaan- persamaan berikut ini.

Misalkan dan adalah matriks-matriks persegi berordo dengan . Tentukan matriks , jika :

Diketahui matriks-matriks:

dan Jika adalah matriks persegi berordo , tentukan matriks yang memenuhi persamaan dan .

Diketahui matriks , , dan . Jika dan , tentukan matriks . Diketahui matriks dan . Jika tentukan matriks

Diketahui matriks , , dan . Jika tentukan matriks

L

L

A

A TT II H

H A

A N

N 6

6

32

CONTOH 11

(Sifat XI=X¿

(Sifat _AA−1

=I¿

(Kalikan kedua ruas dari kiri

A−1

¿ Tentukan matriks X pada persamaan

[

1 1

2 4

]

X=

[

2 2

−1 4

]

.

Jawab: Misal A=

[

1 1

2 4

]

dan B=

[

2 2

−1 4

]

, maka dapat dituliskan AX=B , sehingga diperoleh:

[

1 1

2 4

]

X=

[

2 2

−1 4

]

, dengan A

−1

=1

2

[

4 −2 1 1

]

=

[

2 −1 1 2 1 2

]



[

2 −1 1 2

1 2

]

[

1 1 2 4

]

X=

[

2 −1 1 2

1 2

]

[

2 2

−1 4

]

 I X=

[

2 −1 1 2

1 2

]

[

2 2

−1 4

]

 X=

[

5 0 3

4. PENERAPAN MATRIKS PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR

1. Menentukan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Invers Matriks

Penggunaan lain dari invers matriks adalah untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan lienar dua variabel (SPLDV). Secara umum, penyelesaian SPLDV dengan menggunakan metode invers matriks dapat dikerjakan dengan algoritma sebagai berikut:

Sistem persamaan linear dua variabel secara umum berbentuk

Bentuk umum ini dapat kita nyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut.

[

a₁x+b₁y a₂x+b₂y

]

=

[

c₁ c₂

]

⇔

[

a₁ b₁ a₂ b₂₁

]

[

x y

]

=

[

c₁ c₂

]

Misalkan A=

[

a1 b1

a₂ b₂₁

]

; X=

[

xy]_;

dan B=

[

c1

c₂

]

, maka persamaan matriks di atas dapat ditulis sebagai :

AX=B

Sehingga sistem persamaan linear tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan matriks dalam bentuk

Dari persamaan di atas, kita dapat mencari penyelesaian matriks seperti yang telah kita pelajari sebelumnya, maka tentukan A−1 _{diperoleh :}

A=

[

a1 b1

a₂ b₂₁

]

 A−1= 1

|A|

[

b₂ −b₁

−a₂ a₁

]

, dengan |A|=determinan A

AX=B⟹X=A−1

Kemudian kalikan matriks yang diperoleh pada langkah 1 dengan invers matriks koefisiennya, diperoleh :

A−1

[

a₁ b₁ a₂ b₂

]

[

x y

]

=A

−1

[

c₁ c₂

]

 1

a₁b₂−a₂b₁

[

b₂ −b₁

−a₂ a₁

][

a₁ b₁ a₂ b₂

]

[

x y

]

=

1 a₁b₂−a₂b₁

[

b₂ −b₁

−a₂ a₁

][

c₁ c₂

]



(

1 0

0 1

)

[

x y

]

=

1 a₁b₂−a₂b₁

[

b₂c₁−b₁c₂

−a₂c₁+a₁c₂

]



[

x

y

]

= 1 a₁b₂−a₂b₁

[

b₂c₁−b₁c₂

−a₂c₁+a₁c₂

]

Tetapkan nilai x dan nilai y dengan mengacu pada persamaan matriks yang diperoleh, maka diperoleh :

x=b2c1−b1c2

a1b2−a2b1

y=−a2c1+a1c2

a1b2−a2b1

34

CONTOH 12

1. Havila dan Haryati membeli buku dan tas pada suatu toko yang sama. Bila Havila membeli 3 buku dengan harga x dan sebuah tas dengan harga y , sedangkan Haryati membeli 3 buku dan 3 tas yang masing-masing memiliki harga x dan y . Harga buku dan tas Havila adalah Rp18000 dan harga buku dan tas Haryati bila dijumlah yaitu Rp30.000 , dengan menggunakan matriks tentukan harga buku dan tas tersebut.

Jawab:

Dari permasalan di atas kita dapat tuliskan dalam model matematika:

 3x+y=18000 ...(1)

 3y+3y=30000 ...(2)

Dari persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk matriks,

[

3 1

3 3

][

xy]₌

[

18000 30000

]

diselesaikan dengan metode invers matriks sebagai berikut: Misalkan A=

[

3 1

3 3

]

, X=

[

x

y

]

dan B=

[

18000

30000

]

sehingga diperoleh persamaan:

AX=B

X=A−1

B

A=

[

3 3

1 3

]

, maka A

−1

= 1

3(3)−(1)(3)

[

3 −1

−3 3

]

 A−1

= 1

9−3

[

3 −1

−3 3

]

 A−1

=1

6

[

3 −1

−3 3

]

A−1

=

[

1 2 −1 6 −1 2 1 2

]

disubstitusi ke persamaan X=A−1_{B , sehingga}

 X=

[

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan matriks.

Diberikan sistem persamaan berikut.

Ubah sistem persamaan ke bentuk matriks Tentukan invers matriks koefisien A.

Gunakan untuk menetukan penyelesaian jika dan Gunakan untuk menetukan penyelesaian jika dan

L

L

A

A TT II H

H A

A N

N 8

8

1. Doni membeli 24 liter bensin dan 5 liter oli dengan harga Rp 258.000,00. Sedangkan Fida membayar Rp 381.000,00 untuk 18 liter bensin dan 10 liter oli. Tentukan harga bensin dan oli tiap lliternya.

2.

35 3. Suatu fungsi linear f(x)=ax+b , bernilai 7 untuk x=¿ 2 dan bernilai

−2 untuk x=−1 .

a. Tentukan rumus fungsi tersebut ! b. Tentukan nilai f (3) dan f (−2) !

4. Doni membeli 24 liter bensin dan 5 liter oli dengan harga Rp 258.000,00. Sedangkan Fida membayar Rp 381.000,00 untuk 18 liter bensin dan 10 liter oli. Tentukan harga bensin dan oli tiap lliternya.

5. Pada tahun ajaran baru, Ali mewakili beberapa temannya untuk membeli 5 buah buku matematika dan 4 buah buku biologi. Ali harus membayar sejumlah Rp 241.000,00. Pada saat yang hampir bersamaan, Badi mewakili teman-teman yang lainnya, membeli 10 buah buku biologi. Badu harus membayar sejumlah Rp 434.000,00. Misalkan bahwa harga satu buah buku matematika adalah x

3. Menentukan Penyelesaian SPLDV dan SPLTV dengan Metode Determinan Matriks

Penggunaan lain dari determinan matriks adalah untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan lienar dua variabel (SPLDV) dan juga sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) agar menjadi lebih mudah. Secara umum, penyelesaian SPLDV dan SPLTV dengan menggunakan metode determinan matriks dapat dikerjakan dengan algoritma sebagai berikut:

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) secara umum berbentuk

Dengan menggunakan eliminansi, bentuk umum ini dapat kita nyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut :

Sehingga x dapat dituliskan sebagai pembagian determinan sebagai berikut :

36 (

 x=

|

c₁ b₁ c₂ b₂

|

|

a₁ b₁

a2 b2

|

 _x=Dx D

Sama halnya dengan menetukan nilai x , nilai dari variabel y dapat ditentukan sebagai berikut :

 y₌

|

c₁ a₁ c₂ a₂

|

|

a₁ b₁

a2 b2

|

 _y=Dy

D

Penyelesaian x dan y dapat dinyatakan dengan notasi determinan, yaitu dengan menentapkan D , D_x, dan D_y sebagai berikut :

 D=

|

a1 b1

a₂ b₂

|

merupakan determinan dari koefisien-koefisien variabel x dan y

 Dx=¿

|

c₁ b₁

c₂ b₂

|

merupakan determinan D dengan bagian kolom pertamanya diganti oleh konstanta-konstanta c₁ dan c₂

 Dy=¿

|

c₁ a₁

c₂ a₂

|

merupakan determinan D dengan bagian kolom pertamanya diganti oleh konstanta-konstanta c₁ dan c₂

Hubungan inilah yang dikenal sebagai Aturan Cramer atau Kaidah Cramer bagi sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dan berlaku juga pada sistem persamaan lienar tiga variabel (SPLTV).

HUBUNGAN

DETERMINAN PADA

PENYELESAIAN

SPLDV&SPLTV

Maka penyelesaian sistem persamaan tiga variabel (SPLTV) tersebut adalah :

x=

|

d₁ b₁ c₁ d₂ b₂ c₂ d3 b3 c3

|

|

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

|

, y=

|

a₁ d₁ c₁ a₂ d₂ c₂ a3 d3 c3

|

|

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

|

,

dan z=

|

a₁ b₁ d₁ a₂ b₂ d₂ a3 b3 d3

|

|

a₁ b₁ c₁ a₂ b₂ c₂ a₃ b₃ c₃

|

Misalkan diketahui SPLDV berikut :

38 Tentukan penyelesaian SPLDV di bawah ini dengan menggunakan metode

determinan.

Jawab :

D=

|

4 5

2 3

|

=(4) (3)−(2) (5)=2

Dx=

|

17 5

11 3

|

=(17)(3)−(11) (5)=−4

Dy=

|

4 17

2 11

|

=(4) (11)−(2) (17)=10



x=Dx

D =

−4 2 =−2



y=Dy

D = 10

2 =5

Jadi penyelesaian SPLDV tersebut adalah x=−2 dan y=5 atau himpunan

Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode determinan.

b.

Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan metode determinan (Cramer).

Perhatikan SPLDV berikut ini.

L

L

A

A TT II H

H A

A N

N 8

8

1. D≠0 , maka himpunan penyeesaian tepat memiliki satu anggota.

2. D=0, D_x≠0 , dan D_y≠0 , maka himpunna penyelesaian tidak memiliki anggota.

3. D=D_x = D_y=0 , maka himpunan penyelesain memiliki anggota yang tak hingga banyaknya.

4. x−y=−1

Hal ini juga berlaku pada penyelasain sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV).

Himpunan penyelesaian SPLDV tersebut tidak mempunyai anggota.

a) Carilah hubungan antara p dan q , syarat bagi p , serta syarat bagi q

b) Jika p dan q masing-masing merupakan bilangan asli, carilah pasangan nilai

p dan q sehingga himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota. 2

2

uangnya kurang sebesar Rp 42.000 maka ia meminjam uang Ane. Pada saat itu Ane membawa uang sebesar Rp 50.000 dan ia hanya membeli 1 kotak makan dan 2 gelas sehingga sisa pembelian Ane tepat menutupi kekurangan uang Ana dan ia masih mendapat kemablian uang sebesar Rp 2000. Berapakah harga kotak makan dan botol minum tersebut ? (Gunakan aturan Cramer untuk menentukan harga kotak makan dan botol minum)

5. Diketahui

Dengan x= p

|

3 1

2 −3

|

.

Tentukan nilai p .

6. Lusi mempunyai uang Rp150.000,00 lebihnya dari uang Sinta. Jika tiga kali uang Lusi ditambah dua kali uangnya Sinta jumlahnya adalah Rp950.000,00. Tentukan besar masing-masing uang Lusi dan Sinta!

7. Irfan dan Roni bekerja di pabrik kaos bagian menyablon logo. Irfan dapat menyablon 300 kaos setiap jam, sedangkan Roni dapat menyablon 200 kaos setiap jam. Lama waktu mengerjakan Irfan dan Roni tidak sama. Jumlah jam kerja Irfan dan Roni adalah 50 jam dengan banyak kaos yang telah disablon sebanyak 12.400 kaos.

8. Sudut suatu segitiga yang berukuran sedang adalah 300 lebih besar daripada sudut yang terkecil. Sudut yang terbesar 100 lebih besar daripada sudut sedang. Berapakah besar tiap-tiap sudut?

9. Tomi dan Budi secara bersamaan membutuhkan waktu 12 menit untuk mencuci sepeda motor. Budi dan Benny secara bersamaan membutuhkan waktu 15 menit uk mencuci sepeda motor yang sama.

40 Tentukan berapa menit yang diperlukan oleh Tomi, Budi, dan Benny untuk mencuci sepeda motor ang sama secara bersama-sama.

1.

1. Jika matriks

[

❑loga

x

log(4a−14)

log(b−4) 1

]

=

[

logb 1

loga 1

]

maka x=¿ . . . . a. 1

b. 4 c. 6 d. 10

e. 106 (UM-UGM 2007)

2. Bilangan dari semua kemungkinan matriks ordo 3×3 dengan elemen yang hanya terdiri oleh 0 atau 1 adalah . . . .

a. 27 b. 18 c. 81 d. 512 e. 1536

(Highly order thingking question by Vidhyarian Institute)

3. Diberikan A=

[

a11 a12

a₂₁ a₂₂

]

dengan |A|=−10. Maka nilai dari a11c11 + a12c12

adalah . . . . ( c₁₁ dan c₁₂ adalah kofaktor a₁₁ dan a₁₂¿

a. 2 |A| b. −|A| c. |A|2 d. |A| e.

0

(Highly order thingking question by CBSE) 4. Jumlah dari ketiga bilangan adalah 2. Jika bilangan kedua dikurangkan bilangan

pertama, diperoleh sama dengan 3. Dengan menambahkan dua kali bilangan kedua dan bilangan ketiga diperoleh sama dengan 0. Bila dinyatakan dalam sistem aljabar dan menggunakan matriks, maka masing-masing bilangan yang digunakan

adalah . . .

a. x=1,y=–2,z=1 b. x=−1,y=–2,z=1 c. x=1,y=2,z=−1 d. x=−1,y=–2,z=−2

e. x=1,y=2,z=−2 (Highly order thingking question by CBSE)

5. Diketahui bahwa x=−9 adalah salah satu akar dari

|

x 3 7 2 x 2 7 6 x

|

akar-b. x₂=2atau x₃=−7 c. x₂=−2atau x₃=7

d. x₂=−2atau x₃=−7

(Highly order thingking question by CBSE)

6. Asumsikan X , Y , Z , W dan P adalah matriks-matriks yang berordo 2× n ,3× k ,2× p ,n ×3, dan p× k . Jika n=p maka ordo dari matriks 7X−5Z adalah .. . .

(Highly order thingking question by Vidhyarian Institute)

7. Jika A=

[

0 −tanα 2 tanα

2 0

]

dan I adalah matriks identitas berordo 2, maka

perlihatkan bahwa I+A=(I−A)

[

cosα −sinα

sinα cosα

]

.

(Highly order thingking question by CBSE)

8. Jika A=

[

1 1 1 1 1 1 1 1 1

]

maka buktikan bahwa An

=

[

3n−1

3n−1

3n−1

3n−1 ₃n−1 ₃n−1

3n−1 ₃n−1 ₃n−1

]

.

(Highly order thingking question by PISA)

9. Misalkan A=

[

1 −4

1 −3

]

, buktikan dengan induksi matematika bahwa : An

=

[

1+2n −4n

n 1−2n]

(Highly order thingking question by TIMMS) 10. Suatu rangkaian listrik terdiri dari