Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
1. Integral
1. Integral Tak Tentu
• Integral sebagai Anti Turunan F(x) = x3
→
F’(x) = 3x2 F(x) = x3+10→
F’(x) = 3x2 F(x) = x3-27→
F’(x) = 3x2 . .. F(x) = x3+ c (c=konstanta)→
F’(x) = 3x2Jadi fungsi F(x) = x3+ c (c=konstanta) dinamakan fungsi Anti Turunan dari F’(x) = 3x2
Contoh lain:
1) F’(x) = 12x5 mempunyai anti turunan F(x)=2x6+c, karena jika F(x) = 2x6 + c diturunkan (didiferensiasikan) akan menghasilkan F’(x) = 12x5
2) Anti turunan dari F’(x) = x11adalah F(x) = 12
12
1
x
+ cSelanjutnya istilah Anti Turunan dinamakan “Integral Tak Tentu”
• Notasi dan Rumus-rumus integral Tak Tentu Lambang integral tak tentu adalah “
∫
”Integral tak tentu dari fungsi F(x) = 3x2 , dapat ditulis:
∫
F(x)dx =∫
3x2dx = x3+ c (c=konstanta) Contoh berikutnya:∫
12x5dx = 2x6 + c∫
x11dx = 1212
1
x
+ cRumus-rumus integral tak tentu fungsi aljabar:
∫
kdx = kx + c∫
axndx =x
c
n
a
n+
+
+11
Standar Kompetensi:
1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar:
1.1 Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu
1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
∫
k.F(x)dx = k∫
F(x) dx
∫
{
F
(
x
)
+
G
(
x
)
}
dx
=∫
F(x) dx +∫
G(x) dx∫
{
F
(
x
)
−
G
(
x
)
}
dx
=∫
F(x) dx -∫
G(x) dx Integral fungsi khusus:Fungsi logaritma natural,
∫
dx
x
1
= ln x +c Fungsi eksponen,∫
exdx = ex + c Fungsi Trigonometri,∫
sin x dx = -cos x + c∫
cos x dx = sin x + c Contoh Penyelesaian: 1)∫
(6x-10)dx = 3x2- 10x + c 2)∫
(12-4x3)dx = 12x - x4 + c 3)∫
(x
x
dx
x
3
cos
)
3
2−
+
=∫
(3x 2 − -x2 1 +3 cos x)dx = -3x−−
x
+
3
sin
x
+
c
3
2
23 1 =−
−
x
x
+
x
+
x
3
3
sin
2
3
Soal Latihan:Tentukanlah hasil dari pengintegralan fungsi berikut: 1)
∫
(3x-2)2dx 2)∫
dx
x
x
x
x
x
+
−
4
100
12
2
3 3)∫
dx
x
x
x
−
+
2cos
2
sin
5
cos
4
………ingat,x
2cos
1
adalah turunan dari tan x• Contoh Penggunaan Integral Tak Tentu
Tentukan fungsi f(x) jika diketahui turunan pertama fungsi itu f’(x) = 6x – 5 dan f(1) = 10 ! Penyelesaian: F(x) =
∫
f’(x)dx =∫
(6x – 5)dx = 3x2- 5x + c F(1) = 3 – 5 + c = -2 + c F(1) = 10 -2 + c = 10a
c = 12Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
Kurva fungsi y = f(x) di sebarang titik (x,y) memiliki persamaan gradien y’ = 2x – 3. Jika kurva y melalui titik A(3,5) tentukanlah persamaan kurva fungsi tersebut!
Penyelesaian:
Persamaan gradien garis pada kurva identik dengan fungsi turunan pertama, maka Y =
∫
y’dx =∫
(4x-3)dx= 2x2- 3x + c Melalui titik A(3,5) artinya f(3) = 5 F(3) = 18 – 9 + c = 9 + c 9 + c = 5
⇒
c = -4Persamaan kurva, y = 2x2- 3x – 4
Sebuah partikel bergerak dengan laju v m/det pada saat t detik memenuhi persamaan v(t) = 8t-1. Pada saat t=1 detik posisi benda adalah s=6 meter. Tentukanlah posisi benda (s) sebagai fungsi waktu (dalam t)! Penyelesaian: S(t) =
∫
(8t-1)dt = 4t2-t + c t = 1⇒
s(1) = 4 – 1 + c s(1) = 6 c = 3 s(t) = 4t2-t + 3Pada soal di atas, jika ditanyakan berapa jauh posisi partikel pada t = 10 detik, maka nilai yang dimaksud sama dengan s(10)= 397 meter.
2. Integral Tentu
• Teorema Dasar Kalkulus dan Integral Tentu
Jika fungsi y=f(x) kontinu pada selang
[ ]
a,
b
dan F(x) merupakan integral tak tentu dari fungsi f(x), maka Teorema Dasar Kalkulus dapat dinyatakan sebagai:Notasi di atas selanjutnya menjadi rumus untuk Integral Tentu.
Sifat-sifat Integral Tentu:
(1)
∫
=
a adx
x
f
(
)
0
(2)∫
=
−
∫
b a a bdx
x
f
dx
x
f
(
)
(
)
(3)∫
=
∫
b a b adx
x
f
k
dx
x
f
k
.
(
)
(
)
(4)∫
{
±
}
=
∫
±
∫
b a b a b adx
x
g
dx
x
f
dx
x
g
x
f
(
)
(
)
(
)
(
)
[
(
)
]
(
)
(
)
)
(
x
dx
F
x
F
b
F
a
f
b a b a−
=
=
∫
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
(5)∫
+
∫
=
∫
c a b c b adx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
(
)
(
)
(
)
untuk a<c<b(6) a. Jika f(x)>0 pada
[ ]
a,
b
maka∫
>
ba
dx
x
f
(
)
0
b. Jika f(x)<0 pada
[ ]
a,
b
maka∫
<
b adx
x
f
(
)
0
Contoh Penyelesaian: 1)∫
1 04xdx
= 2x2]
1 0 = 2(1)2-2(0)2= 2 2)∫
−
=
∫
−
+
3 1 2 3 1 2)
1
2
(
)
1
(
x
dx
x
x
dx
=]
3 1 2 33
1
x
x
x
−
+
=
+
−
3
)
3
(
)
3
(
3
1
3 2-
+
−
(
1
)
1
)
1
(
3
1
3 2 = 23
2
3. Penggunaan Integral Tentu
• Perhitungan Luas Daerah Perhatikan gambar berikut!
Y=f(x) Luas =
∫
b adx
x
f
(
)
a b Contoh Penyelesaian : 1) y =4
−
x
2 1 2Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
Luas =∫
−
2 1 2)
4
(
x
dx
=[
4
x
−
13x
3]
12 =(
4
(
2
)
(
2
)
3)
(
4
(
1
)
31(
1
)
3)
3 1−
−
−
=(
8
)
(
4
13)
3 8−
−
−
=(
)
(
1231)
3 8 24−−
− = 53 2) 55
=
+
y
x
3 5 Luas =(
5
x)
dx
3 0∫
−
=[
5
x
−
12x
2]
30 =(
5
(
3
)
−
21(
3
)
2)
−
(
0
)
=(
15
−
29)
=212• Perhitungan Volum Benda Putar
Daerah diarsir, diputar 5 mengelilingi Sumbu X se-
x
+
y
=
5
jauh 360o, diperoleh bangun ruang dengan voluma b 5
Soal dan Contoh:
1) Pada gambar di atas,
x
y
y
x
+
=
5
⇔
=
5
−
⇔
y
2=
25
−
10
x
+
x
2Misalkan batas kiri dan kanan daerah yang diputar masing-masing x1=0 (Sumbu Y) dan x2=3
dx
x
x
V
(
25
10
)
3 0 2∫
−
+
=
π
∫
=
b adx
y
V
π
2Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
= 3 0 3 23
1
5
25
−
+
x
x
x
π
=(
3
)
{ }
0
3
1
)
3
(
5
)
3
(
25
(
2 3π
π
−
+
−
=π
(
75
−
45
+
9
)
= 39π
satuan volum2) Vomum benda putar yang dihasilkan dari daerah berikut yang diputar mengelilingi sumbu X 360o Y y =
2
x
1 2 y =2
x
⇔
y
2=
2
x
=
∫
2 12xdx
v
π
=π
[ ]
x
212 =π
{
2
2−
1
2}
=π
{ }
4
−
1
= 3π
satuan volum SOAL LATIHAN:Pilihlah jawaban yang paling tepat !
1. SIPENMARU 1985
dx
x
x
∫
adalah …. A.x
x
+
c
2
3
B.x
2x
+
c
2
5
C.x
x
+
c
2
3
D.x
x
+
c
5
2
E.x
2x
+
c
2
3
2. SIPENMARU 1984....
2
1
=
∫
dx
x
x
A.c
x
+
−
1
B.c
x
+
−
3
1
C.c
x
+
1
D.c
x
+
−
2
E.c
x
+
−
2
1
3. EBTANAS 1996 Diberikanf
'
(
x
)
=
6
x
2−
8
x
−
8
dan9
)
2
(
−
=
−
f
. Jikaf
'
(
x
)
adalah turunan darif
(
x
)
makaf
(
x
)
=
....
A.2
x
3−
4
x
2−
8
x
−
16
B.2
x
3−
4
x
2−
8
x
+
16
C.2
x
3−
4
x
2−
8
x
+
23
2 3−
−
+
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
E.
2
x
3−
4
x
2−
8
x
+
48
4. EBTANAS 1998
Gradien garis singgung kurva pada setiap titik (x,y) dinyatakan oleh
=
x
−
x
+
dx
dy
6
3
2 1.Kurva melalui titik (2,-3), maka persamaan kurva adalah …. A.
y
=
x
3−
3
x
2+
x
−
5
B.y
=
x
3−
3
x
2+
x
+
1
C.y
=
x
3−
3
x
2+
x
+
12
D.y
=
x
3−
3
x
2+
x
−
1
E.y
=
x
3−
3
x
2+
x
+
5
5. EBTANAS 1996Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah … satuan luas.
Y y=
x
2
1
y
=
x
X A.3
1
B.3
4
C.3
8
D. 1 E.3
5
6. EBTANAS 1998 Luas daerah yang dibatasi kurva4
2−
=
x
y
,Sumbu X dan garis x=3 adalah … A. 13 B.
3
25
C.3
21
D.2
7
E. 2 7. Nilai∫
− + 1 1 a (2x – 8) dx = -25, untuk a = …. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 7. UMPTN 1995 Jika=
+
∫
=
1 0,
1
)
(
,
)
(
x
ax
b
f
x
dx
f
dan∫
=
2 1,
5
)
(
x
dx
f
makaa
+
b
=
...
A. 3 B. 4 C. 5 D. -3 E. -4 8. EBTANAS 2000Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh parabola
y
=
x
2 dan parabolay
2=
8
x
diputar mengelilingi sumbu X sebesar 3600 adalah … satuan volum A.5
49
B.5
29
C.5
24
D.5
19
E.5
14
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
9. Daerah D terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh parabola
y
=
x
2, parabola2
4x
y
=
, dfan garis y=4. Volum bendaputar yang terjadi bila D diputar terhadap Sumbu Y sejauh 360o adalah …. A.3
π
B.4
π
C.6
π
D.8
π
E.12
π
10. UJIAN NASIONAL 2007Daerah yang dibatasi oleh kurva
,
3
,
1
,
4
−
=
=
=
x
x
x
y
dan sumbu X diputarmengelilingi sumbu X sejauh 360o, maka volum benda yang terjadi adalah ….
A. 4
π
3
2
satuan volum B. 6π
3
1
satuan volum C. 8π
3
2
satuan volum D. 10π
3
2
satuan volum E. 12π
3
1
satuan 13. UJIAN NASIONAL 2008 Nilai a yang memenuhi∫
+
=
1 2 214
)
1
(
12
adx
x
x
adalah …. A. -2 B. -1 C. 0 D. 12 E. 1 14. UJIAN NASIONAL 2008Jika daerah diarsir pada gambar diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 360o maka volume benda putar yang terjadi adalah ....
A.
π
15
123
satuan volume B.π
15
83
satuan volume C.π
15
77
satuan volume D.π
15
43
satuan volume E.π
15
35
satuan volumeModul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
4. Integral Lanjutan
a) Integral Fungsi Trigonometri Ingat pendiferensialan fungsi terigonometri, 1) Jika f(x) = sin x, maka f’(x) = cos x 2) Jika f(x) = cos x, maka f’(x) = -sin x
3) Jika f(x) = tan x, maka
x
x
f
x
x
f
x
x
f
2 2 2tan
1
)
(
'
sec
)
(
'
cos
1
)
(
'
+
=
=
=
a
ingat: tan x =x
x
cos
sin
4) Jika f(x) = cot x, maka
+
−
=
−
=
−
=
x
x
f
x
x
f
x
x
f
2 2 2cot
1
(
)
(
'
csc
)
(
'
sin
1
)
(
'
a
ingat: cot x =x
x
sin
cos
5) Jika f(x) = sec x, maka f’(x) = sec x tan c (ingat: sec x =
x
cos
1
)
6) Jika f(x) = csc x, maka f’(x) = -csc x cot x (ingat: csc x =
x
sin
1
) Dengan mengingat integral sebagai anti diferensial, maka dapat dinyatakan : (vii)
∫
cos
xdx
=
sin
x
+
c
(viii)
∫
sin
xdx
=
−
cos
x
+
c
(ix)
∫
sec
2xdx
=
tan
x
+
c
(x)
∫
csc
2xdx
=
−
cot
x
+
c
(xi)
∫
sec
x
tan
xdx
=
sec
x
+
c
(xii)
∫
csc
x
cot
xdx
=
−
csc
x
+
c
Contoh:
1)
∫
(
2
cos
x
+
sec
2x
−
3
csc
x
cot
x
)
dx
=
2
sin
x
+
tan
x
+
2
csc
x
+
c
2)
∫
(
5
sec
x
tan
x
−
2
csc
2x
)
dx
=
5
sec
x
+
2
cot
x
+
c
Soal latihan:
Tentukan penyelesaian dari integral bentuk trigonometri berikut! a.
∫
(sec
2x
−
7
cos
x
)
dx
b.dx
x
x
x
2
)
sin
3
cot
csc
4
(
+
2−
π
∫
c.∫
(
5
tan
2x
+
4
sin
x
+
5
)
dx
b) Integral dengan Substitusi Sederhana
Pandang bentuk integral berikut:
1
:
1
1−
≠
+
+
=
+∫
n
syarat
c
x
n
a
dx
ax
n nModul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
yang identik,1
:
1
.
1−
≠
+
+
=
+∫
n
syarat
c
u
n
k
du
u
k
n nMisalkan u = f(x) , maka bentuk integral tersebut dapat dinyatakan :
1
:
)}
(
{
1
))
(
(
)}
(
{
1−
≠
+
+
=
+∫
n
syarat
c
x
f
n
k
x
f
d
x
f
k
n nAgar mudah difahami, dapat dilihat dari contoh aplikasi rumus sebagai berikut: Contoh 1
Tentukan hasil dari
3
x
2(
x
3−
15
)
8dx
∫
! Penyelesaian Misalkan u = x3-15⇒
3x
2dx
du
=
⇔
du = 3x2dxdx
x
x
2(
315
)
83
−
∫
=(
x
3−
15
)
83
x
2dx
∫
=∫
u
8du
=u
9+
c
9
1
=(
x
3−
15
)
9+
c
9
1
Contoh 2 Selesaikanlah∫
+
−
−
5 23
1
)
4
(
)
3
8
(
x
x
dx
x
! Penyelesaian Misalkan u = x2- 3x + 1⇒
=
8
x
−
3
dx
du
dx
x
du
=
(
8
−
3
)
⇔
∫
+
−
−
5 2)
1
3
4
(
)
3
8
(
x
x
dx
x
=∫
5u
du
=∫
u
−52du
=u
+
c
−
− 2 32
3
1
=−
x
2−
x
+
−32+
c
)
1
3
4
(
3
2
=c
x
x
x
x
+
+
−
+
−
−
)
1
3
(
)
1
3
(
2
2 2Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
Bagaimana integral fungsi trigonometri dengan cara substitusi?
Pada prinsipnya sama, yaitu dengan memandang ada bagian fungsi yang turunannya identik dengan bagian fungsi lainnya.
Contoh
Selesaikan integral fungsi berikut ! a.
∫
12
sin
5x cos
xdx
b.∫
x
xdx
11cos
sin
c.∫
−
3
)
(tan
sec
2x
xdx
d.∫
sin
7x
cos
3xdx
Penyelesaian:a. misalkan u = sin x
⇒
du
=
cos
xdx
xdx
x
cos
sin
12
5∫
=∫
12
u
5du
=2u6+c =2 sin6x
+
c
b. misalkan u = cos x⇒
du
=
−
sin
xdx
xdx
du
=
sin
−
⇔
∫
x
xdx
11cos
sin
=∫
−
11u
du
=−
∫
u
−11du
=−
u
−10+
c
10
1
=c
u
+
−
1010
1
c. misalkan u = tan x - 3
⇒
du
=
sec
2dx
∫
−
)
3
(tan
sec
2x
xdx
= TIPS:Jika pada bagian integran (fungsi yang akan diintegralkan) terdapat bagian fungsi (factor) yang merupakan turunan/diferensial dari fungsi lainnya, maka integran tersebut dapat diselesaikan dengan cara substitusi.
Nyatakan bagian fungsi yang paling kompleks sebagai u, tentukan derivative u (du).
Lanjutkan! Contoh
pada
∫
3
x
2(
x
3−
15
)
8dx
;Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
c
x
c
u
c
u
du
u
u
du
+
−
=
+
=
+
=
=
∫
∫
−2
2
tan
3
2
1
1
2 1 2 1d.
∫
sin
7x
cos
3xdx
=∫
sin
7x
cos
x
cos
2xdx
=
∫
sin
7x
cos
x
(
1
−
sin
2x
)
dx
(ingat, cos2x
=
1
−
sin
2x
) =∫
(sin
7x
cos
x
−
sin
9cos
x
)
dx
= 8
x
−
sin
10x
+
c
10
1
sin
8
1
Catatan: kita bisa membuktikan kebenaran hasil integral ini dengan cara mendiferensialkannya. Soal Latihan:
Dengan mensubstitusi bagian fungsinya, selesaikanlah soal-soal berikut! a.
∫
(
3
x
2−
4
x
)(
x
3−
2
x
2+
5
)
6dx
b.∫
−
+
+
13 2)
100
3
2
(
)
9
12
(
x
x
dx
x
c.∫
x
3−
x
2 7dx
)
2
10
(
(
5
d.∫
12
cos
3x sin
xdx
e.∫
−
10
)
(tan
sec
3
2x
xdx
c) Integral ParsialIngat kembali pendiferensialan fungsi F(x) = u(x).v(x)
dv
x
u
du
x
v
dF
dx
dv
x
u
x
v
dx
du
dx
dF
)
(
)
(
)
(
)
(
+
⇔
=
+
=
Selanjutnya u(x) ditulis u dan v(x) ditulis v, diperoleh: dF = v.du + u.dv
∫
dF
=
∫
v
.
du
+
∫
u
.
dv
∫
⇔
F =∫
v.
du
+
∫
udv
⇔
u.v =∫
v.
du
+
∫
udv
Dari bentuk tersebut, diperoleh rumus integral parsial
Contoh 1
Tentukan hasil dari
∫
10
x cos
.
xdx
!TIPS
::::
Carilah bagian fungsi
yang jika
didiferensialkan
hasilnya identik
dengan bagian lain
integran, misalkan
sebagai u(x)
(1)
∫
v
.
du
=
u
.
v
−
∫
u
.
dv
;
atau(2)
∫
u
.
dv
=
u
.
v
−
∫
v
.
du
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
Penyelesaian
Misalkan u = 10x dan dv = cos x dx Maka dapat ditentukan
u = 10x ⇒du = 10 dx (didiferensialkan) dv = cos x dx
⇒
v = sin x (diintegralkan)∫
u
.
dv
=
u
.
v
−
∫
v
.
du
∫
10
x
.
cos
xdx
=
10
x
.
sin
x
−
∫
sin
x
.
10
dx
= 10x sin x – 10
∫
sin
xdx
= 10x sinx - 10 (-cos x) + c = 10x.sinx + 10 cos x + c
Contoh 2
Selesaikanlah dengan integral parsial
∫
6
x
2(
x
+
3
)
4dx
! Penyelesaian Misalkan u = 6x2⇒
du = 12x dx dv = (x+3)4 dx ⇒ v =(
3
)
55
1
+
x
dx
x
x
∫
2+
4)
3
(
6
= 6x2.(
3
)
55
1
+
x
-∫
(
3
)
55
1
+
x
.12x.dx = 6x2.(
3
)
55
1
+
x
-∫
(
3
)
55
12
+
x
x
.dxAda proses pengintegralan kembali menggunakan rumus integral parsial, untuk penyelesaian bagian akhir penyelesaian, Misalkan u =
5
12x ⇒
du =5
12
dx; dv = (x+3)5dx⇒
v=(
3
)
66
1
+
x
∫
5)
3
(
5
12
+
x
x
dx =5
12x
.(
3
)
66
1
+
x
-x
dx
5
12
)
3
(
6
1
+
6∫
=x
x
+
6−
)(
x
+
3
)
7+
c
7
1
(
5
2
)
3
(
5
2
Maka hasil akhir diperoleh:
dx
x
x
∫
2+
4)
3
(
6
= 6x2.(
3
)
55
1
+
x
-x
x
+
6+
(
x
+
3
)
7+
c
35
2
)
3
(
5
2
TIPS
::::
Integran yang dapat diselesaikan dengan cara parsial dapat
dilihat dari bentuk fungsinya yang terdiri dari perkalian
dua fungsi, dengan satu bagian dapat didiferensialkan
sampai nol, sedangkan satu bagian lain dapat diintegralkan
(dengan cara biasa).
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
SOAL LATIHAN : 1) Uraian
Selesaikanlah soal-soal berikut dengan menggunakan integral secara parsial! a.
∫
4
x sin
xdx
b.
∫
3
x cos
2xdx
c.
∫
(
x
2−
5
x
+
3
)(
2
x
−
1
)
4dx
d.
∫
2
x
(
5
−
2
x
)
dx
e.
∫
12
x
2cos(
4
x
−
π
)
dx
2) Soal Pilihan ganda
Pilihlah jawaban yang paling tepat 1. EBTANAS 1996
∫
(
x
+
1
)
cos
2
xdx
=
....
A.x
+
x
+
cos
2
x
+
c
4
1
2
sin
)
1
(
2
1
B. -x
+
x
−
cos
2
x
+
c
4
1
2
sin
)
1
(
2
1
C.2
(
x
+
1
)
sin
2
x
+
4
cos
2
x
+
c
D. -2
(
x
+
1
)
sin
2
x
−
4
cos
2
x
+
c
E.x
+
x
−
cos
2
x
+
c
4
1
4
sin
)
1
(
2
1
2. EBTANAS 1997 Hasil dari∫
+
8
9
3 2x
dx
x
=…. A.x
+
8
+
c
6
1
3TIPS
::::
Untuk menyederhankan prosedur, bias dicoba cara
berikut:
Untuk menyelesaikan
∫
6
x
2(
x
+
3
)
4dx
digunakan table berikut: u = 6x2 + dv= (x+3)4 12x -5
(
3
)
51
+
x
12 +30
(
3
)
61
+
x
0 7)
3
(
210
1
+
x
Maka:
dx
x
x
∫
2+
4)
3
(
6
=. 5 2)
3
(
5
6
+
x
x
-x
x
+
6+
(
x
+
3
)
7+
c
35
2
)
3
(
5
2
Keterangan:Tanda panah( ) mewakili perkalian sesuai arah panah.
TIPS
::::
Pastikan bahwa integran
berbentuk u(x).v(x), dan
u(x) atau v(x) dapat
diturunkan sampai nol,
sedangkan lainnya bisa
diintegralkan.
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
B.6
x
3+
8
+
c
C.x
+
8
+
c
2
3
3 D.18
x
3+
8
+
c
E. -x
+
8
+
c
2
3
3 3. EBTANAS 1997∫
3+
=
6....
)
sin
4
cos
6
(
π πdx
x
x
A. 3-2
3
B. -1+3
C. -5+5
3
D. 2+3
3
E. 1+5
3
4. EBTANAS 1988xdx
x cos
sin
6
5∫
adalah …. A.sin
6x
+
c
B.cos
6x
+
c
C. -sin
6x
+
c
D. -cos
6x
+
c
E. 30sin
4x
+
c
5. EBTANAS 2001 Hasil2
2+
1
=
...
∫
x
x
dx
A.2
x
+
1
+
c
2
3
2 B.c
x
+
1
+
2
1
2
3
2 C.c
x
+
1
+
2
1
3
2
2 D.(
2
x
+
1
)
2
x
+
1
+
c
3
2
2 2 E.(
2
x
+
1
)
2
x
+
1
+
c
6
1
2 2 6. EBTANAS 1988....
sin
2 0 2=
∫
x
xdx
π A. 2π
B.π
C.π
−
1
D.π
−
2
E. 1 F. 7. EBTANAS 1993...
)
1
4
(
)
2
(
+
2+
+
=
∫
x
x
x
dx
A.(
x
+
4
x
+
1
)
x
+
4
x
+
1
+
c
3
1
2 2 B.(
x
+
4
x
+
1
)
x
+
4
x
+
1
+
c
3
2
2 2 C.(
x
+
4
x
+
1
)
x
+
4
x
+
1
+
c
3
1
2 2 2 D.(
x
+
4
x
+
1
)
x
+
4
x
+
1
+
c
3
2
2 2 2 E.(
x
+
4
x
+
1
)
x
+
4
x
+
1
+
c
3
4
2 2 2 8. EBTANAS 2000...
5
3 2=
−
∫
x
dx
x
A.x
−
5
+
c
3
2
3 B.x
−
5
+
c
3
1
3 C.x
−
5
+
c
6
1
3 D.x
−
5
+
c
8
1
3 E.x
−
5
+
c
9
1
3 9. UJIAN NASIONAL 2008 Hasil....
4
2
3
3 2=
+
∫
dx
x
x
A.4
2
x
3+
4
+
C
B.2
2
x
3+
4
+
C
C.2
x
3+
4
+
C
D. 212
x
3+
4
+
C
E. 412
x
3+
4
+
C
Modul Pembelajaran Matematika 12A
Semester 1
10. UJIAN NASIONAL 2008
Hasil
∫
4
sin
5
x
.
cos
3
xdx
=
....
A.
−
2
cos
8
x
−
2
cos
2
x
+
C
B.
−
41cos
8
x
−
cos
2
x
+
C
C. 41cos
8
x
+
cos
2
x
+
C
D.
−
21cos
8
x
−
2
cos
2
x
+
C
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
2. Program Linear
1. Fungsi Linear dan Grafiknya a. Bentuk Umum
♦
y
=
ax
+
b
Grafik berbentuk garis lurus dengan gradien (m) = a
Gradien garis disebut juga koefisien arah.
Jika garis y membentuk sudut
α
terhadap sumbu X, makatan
α
=
a
.•
ax
+
by
=
c
Gradien garis/kurva m=b
a
−
Y ac
by
ax
+
=
⇔
c
=
ab
b X Contoh:Persamaan garis yang Y ditunjukkan gambar adalah
3
3
x
+
5
y
=
15
5 X
Berlaku secara umum, untuk semua a dan b bilangan Real.
• Persamaan garis yang mempunyai gradien m, melalui titik (p,q):
)
(
x
p
m
q
y
−
=
−
• Persamaan garis yeng melalui titik A(
x
1, y
1) dan titik B(x
2, y
2):1 2 1 1 2 1
x
x
x
x
y
y
y
y
−
−
=
−
−
Standar Kompetensi:
2. Menyelesaikan masalah program linear
Kompetensi Dasar:
2.1 Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear dua variabel 2.2 Merancang model matematika dari masalah program linear
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
• Titik potong grafik fungsi linear
ax
+
by
=
c
dengan sumbu-sumbu koordinat : - Memotong sumbu X pada (x
0,
0
) dengana
c
x
0=
−
- Memotong Sumbu Y pada (0 y
,
0) denganb
c
y
0=
−
b. Grafik Pertidaksamaan Linear
Pandang pertidaksamaan
ax
+
by
≠
c
!Misalkan diketahui grafik
ax
+
by
=
c
sebagaimana gambar (1) maka grafik/daerah yang ditunjukkan oleh pertidaksamaanax
+
by
≤
c
ditunjukkan oleh gambar (2).Y a
c
by
ax
+
=
⇔
c
=
ab
b Gambar (1)Y Daerah penyelesaian adalah yang diarsir.
a Ditentukan dengan sebarang titik uji, misalnya dengan
c
by
ax
+
≤
mensubstitusikan titik O(0,0) pada pertidaksamaanb Gambar (2) Contoh lain : Y Daerah diarsir 4 mempunyai pertidak- samaan:
4
x
−
5
y
≥
−
20
atau -55
y
−
4
x
≤
20
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
2. Sistem Pertidaksamaan Linear
Siatem pertidaksamaan linear adalah gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear.
Daerah penyelesaian (disebut daerah feasible) merupakan irisan dari daerah-daerah pertidaksamaan yang ada.
Contoh 1:
Tentukan daerah pertidaksamaan yang memenuhi sistem pertidaksamaan:
≤
+
≤
+
5
12
3
2
y
x
y
x
Penyelesaian:• Menggambar grafik persamaan masing-masing, Diperoleh titik-titik potong dengan sumbu koordinat:
- garis
2
x
+
3
y
=
6
mempunyai titik-titik potong: (0,4) dan (6,0);- garis
x
+
y
=
7
memotong titik (0,5) dan (5,0)• Daerah kedua grafik pertidaksamaan diarsir, maka persekutuan dari daerah arsir adalah penyelesaiannya. Y Daerah feasible
x
+
y
=
5
(penyelesaian)2
x
+
3
y
=
12
Contoh 2:Gambar daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan:
≥
≥
≤
+
≤
+
1
0
7
2
6
3
y
x
y
x
y
x
Dengan urutan langkah yang sama seperti pada contoh 1 (di atas) diperoleh daerah penyelesaian yang memenuhi empat kali arsiran sebagaimana pada gambar di bawah ini.
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
Y 63
x
+
y
=
6
2
7
x
+
2
y
=
7
X 2 73. Model Matematika dalam Program Linear
• Merupakan pemindahan dari permasalahan dalam bahasa sehari-hari ke dalam bahasa “matematik”
• Terdiri dari dua atau lebih pertidaksamaan linear, berbentuk :
≠
+
≠
+
≠
+
3 3 3 2 2 2 1 1 1:
c
y
b
x
a
c
y
b
x
a
c
y
b
x
a
⇒
tanda “≠
”mewakili tanda≤
atau
≥
• Terdapat 2 (dua) variabel/peubah, biasanya menggunakan variabel x dan y
• Daerah penyelesaian atau daerah himpunan jawab atau daerah feasible terletak pada kuadran pertama, memenuhi nilai x dan y tak negatif.
• Memuat fungsi obyektif berbentuk
f
(
x
)
=
ax
+
by
+
c
, yang merupakan fungsi maksimum atau fungsi minimim.Contoh1
Ibu akan membuat pempek untuk keluarga, yang terdiri dari dua macam pempek, jenis I dan jenis II. Pempek jenis I memerlukan 100 gram sagu dan 25 gram ikan, sedangkan pempek jenis II membutuhkan 50 gram sagu dan 50 gram ikan.Bahan yang sudah disiapkan Ibu adalah 2,5 kg sagu dan 1 kg ikan, dan Ibu ingin membuat pempek sebanyak-banyaknya.
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Penyelesaian:
Misalkan banyaknya pempek jenis I yang dibuat adalah x, dan pempek jenis II adalah y. Permasalahan dapat disederhanakan dalam bentuk tabel data sebagai berikut:
JENIS PEMPEK BANYAK PEMPEK KEBUTUHAN SAGU (g) KEBUTUHAN IKAN (g) I x 100 25 II y 50 50 PERSEDIAAN 2500 1000
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
Bahan yang digunakan tidak boleh lebih dari persediaan yang ada, sehingga dipakai lambang “
≤
“ Sistem pertidaksamaan yang diperoleh:
≤
+
⇔
≤
+
≤
+
⇔
≤
+
40
2
1000
50
25
50
2
2500
50
100
y
x
y
x
y
x
y
x
Banyaknya pempek tidak negatif sehingga x,y
≥
0
Model matematika lengkap untuk permasalahan yang ada menjadi:
≥
≥
≤
+
≤
+
0
0
40
2
50
2
y
x
y
x
y
x
Contoh2Luas areal parkir adalah 176 m2. Luas rata-rata mobil sedan dan bus masing-masing 4 m2dan 20 m2. Maksimum jumlah kendaraan yang dapat diparkir adalah 20 kendaraan dengan biaya parkir masing-masing Rp 1.000,00 per jam dan Rp 2.000,00 per jam. Dianggap dalam 1 jam tidak ada kendaraan yang pergi atau datang.
Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut?
Penyelesaian:
JENIS KENDARAAN BANYAKNYA
(m2)
KEBUTUHAN AREA (m2)
sedan x 4
bus y 20
AREA YANG TERSEDIA 20 176
.
Sistem pertidaksamaan linear yang diperoleh:
≥
≥
≤
+
≤
+
0
0
44
5
20
y
x
y
x
y
x
Fungsi Obyektif atau fungsi optimum:
y
x
y
x
f
z
=
(
,
)
=
1000
+
2000
Contoh 3Dari permasalahan pada Contoh 2 di atas misalkan akan ditentukan daerah penyelesaian, titik-titik ektstrem (titik verteks), dan nilai maksimum (pendapatan maksimum) diperoleh dengan urutan penyelesaian sbb:
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
20
44/5
(14,6)
20 44
Titik-titik ekstrem dari gambar diperoleh : O(0,0), A(20,0), B(14,6) Dan C(0,44/5)
Nilai maksimum ditentukan dengan substitusi nilai ekstrem, diperoleh:
600
.
17
)
5
44
,
0
(
000
.
26
)
6
,
14
(
000
.
20
)
0
,
20
(
0
)
0
,
0
(
=
=
=
=
f
f
f
f
Jadi nilaimaksimumnya adalah Rp. 26.000,-
SOAL-SOAL LATIHAN:
1. UMPTN 2000
Rokok A yang harganya Rp. 1.000,00 dijual dengan harga RP 1.100,00 per bungkus, sedangkan rokok B yang harga belinya Rp. 1.500,00 dijual dengan hargaRp. 1.700,00 per bungkus.
Seorang pedagang rokok yang mempunyai modal Rp. 300.000,00 dan kiosnya dapat menampung 250 bungkus, akan mendapatkan keuntungan maksimum jika ia membeli ....
A. 150 bungkus rokok A dan 100 bungkus rokok B.
B. 100 bungkus rokok A dan 150 bungkus rokok B.
C. 250 bungkus rokok A dan 200 bungkus rokok B
D. 250 bungkus rokok A saja E. 200 bungkus rokok B saja.
2. UJIAN NASIONAL 2005
Setiap hari seorang ibu diharuskan makan dua jenis tablet. Tablet jenis pertama mengandung 4 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B, sedangkan jenis kedua mengandung 3 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam suatu hari ibu tersebut memerlukan minimal 13 unit vitamin A dan 4 unit
600,00 per buah dan tablet jenis kedua Rp 800,00 per buah, maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah ....
A. Rp. 3.600,00 B. Rp. 3.000,00 C. Rp. 2.400,00 D. Rp. 2.000,00 E. Rp. 1.400,00 3. UJIAN NASIONAL2006
Perisahaan tas dan sepatu mendapat pasokan 8 unsur P dan 12 unsur K setiap minggu untuk produksinya. Setiap tas memerlukan 1 unsur P dan 2 unsur K, dan sepatu memerlukan 2 unsur P dan 2 unsur K. Laba untuk setiap tas adalah Rp. 18.000,00 dan setiap sepatu adalah Rp 12.000,00. Keuntunganmaksimum perusahaan yang diperoleh adalah ,,,, A. Rp 120.000,00 B. Rp. 108.000,00 C. 96.000,00 D. Rp. 84.000,00 E. Rp 72.000,00 5. EBTANAS 1999
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
≥
≥
≤
+
≤
+
0
0
6
8
2
y
x
y
x
y
x
adalah .... A. 4 B. 6 C. 10 D. 12 E. 16 6.UJIAN NASIONAL 2002Jika (x,y) terletak pada daerah yang dibatasi oleh
,
2
1
,
0
,
0
y
dan
y
x
y
x
≥
≥
+
≤
≤
−
maka nilai terbesar dari
2
x
+
y
adalah .... A. 3,5 B. 4 C. 4,5 D. 5 E. 5,5 7. SPMB 2002Nilai maksimum dari
z
=
x
+
y
−
6
yang memenuhidan
y
x
y
x
≥
0
,
≥
0
,
3
+
8
≤
340
,
280
4
7
x
+
y
≤
adalah .... A. 52 B. 51 C. 50 D. 49 E. 48 8. UJIAN NASIONAL 2008Tanah seluas 10.0002 akan dibangun toko untuk 2 tipe. Untuk toko tipe A diperlukan tanah seluas 1002 dan tipe B diperlukan 752. Jumlah toko yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan tiap tipe A awbwaR Rp 7.000.000,00 dan tiap tipe B sebesar Rp 4.000.000,00. Keuntungan maksimum yang diperoleh dari penjualan toko tersebut adalah .... A. Rp 575.000.000,00
B. Rp 675.000.000,00 C. Rp 700.000.000,00 D. Rp 750.000.000,00 E. Rp 800.000.000,00
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
3. Matriks
1. Pengertian, Notasi, dan Ordo
• Pengertian
Matriks adalah susunan objek-objek (elemen, unsur) dalam bentuk persegi panjang, yang terdiri dari baris dan kolom.
• Notasi
Nama matriks dalam huruf capital dan anggota/elemen/unsur matriks dibatasi tanda “kurung siku” atau “kurung besar”.
• Ordo matriks
Ordo matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom dari sebuah matriks.
Pandang matriks A berikut:
A =
mn m m m n n na
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3 2 1 3 33 31 31 2 23 22 21 1 13 12 11Matriks A mempunyai ordo (m X n), biasanya A(mXn)
11
a
menyatakan unsur matriks yang terletak pada baris ke-1 dan kolom ke-1. na
3 menyatakan unsur matriks pada baris ke-3 dan kolom ke-n2 m
a
menyatakan unsur matriks pada baris ke-m dankolom ke-2Dan seterusnya sehingga
a
mn menyatakan unsur matriks pada baris ke-m dan kolom ke-n.Standar Kompetensi:
3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar:
3.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain
3.2 Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2
3.3 Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel 3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah
3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah.
3.6 Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah
Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
Contoh1:
Berikut ini adalah contoh-contoh matriks berikut ordonya masing-masing:
A =
3
2
4
1
Ordo A( X2 2); B =
−
7
0
3
21
1
t
Ordo B( X3 2) C =
−
x
3
10
2
Ordo C( X4 1); D =
−
−
11
3
1
0
7
3
1
1
2
21 Ordo D( X2 5) Contoh2: Diketahui matriks A =
−
−
11
7
0
2
8
2
1
3
10
3
1
m
Dari matriks A( X4 3) tersebut dapat ditentukan hasil, misalnya: a.
a
11+
a
32−
a
43=
1
+
(
−
1
)
−
11
=
−
11
b.3
a
12−
a
21+
5
a
33=
3
(
3
)
−
3
+
5
(
2
)
=
16
c.(
)
(
11)
32
21
34
1
3
2 33−
a
=
−
=
−
=
a
• Beberapa Matriks Khusus
(1) Matriks persegi, mempunyai banyak baris dan kolom yang sama.
A =
3
2
4
1
; B =
5
9
1
5
2
3
8
9
1
; dst(2) Matriks baris, mempunyai tepat satu baris.
C =
[
2
1
2
]
; D =[
3
2
1
1
2
]
; dst (3) Matriks Kolom, mempunyai tepat satu kolom.E =
−
2
3
; F =
−
11
5
0
2
; dst(4) Matriks Nol, yaitu matriks persegi yang seluruh anggotanya nol.
G =
0
0
0
0
; H =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
; dst.Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1
(5) Matriks diagonal, yaitu matriks persegi yang anggotanya nol kecuali pada diagonal utamanya.
J =
5
0
0
2
; K =
−
5
0
0
0
1
0
0
0
2
; dst(6) Matriks satuan atau matriks identitas, yaitu matriks persegi yang unsur diagonal utamanya 1, sedangkan anggota lainnya nol.
Contoh matriks satuan:
I =
1
0
0
1
; I =
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
; dst2) Operasi Aljabar pada Matriks
• Perkalian matriks dengan bilangan Real Misalkan diketahui
k
bilangan real (skalar) danmatriks A =
i
d
c
h
e
b
g
f
a
maka,k
A =
=
ki
kd
kc
kh
ke
kb
kg
kf
ka
i
d
c
h
e
b
g
f
a
k
Sifat-sifat:Misalkan A dan B matriks, sedangkan
k
danl
scalar, (i)k
.
A
=
A
.
k
(ii)(
k
±
l
)
A
=
k
.
A
±
l
.
B
Contoh: Diketahui A =
−
1
3
4
2
maka (i)
−
=
3
1
4
2
3
3A
=
−
3
9
12
6
;
−
=
−
=
2 3 2 12
1
3
1
4
2
2
1
2
1
A
(ii)
−
=
=
−
=
−
9
3
12
6
3
)
2
5
(
2
5
A
A
A
A
• Penjumlahan dan Pengurangan pada Matriks Misalkan diketahui matriks-matriks:
A =
