TEKNIK INFORMATIKA FENI ANDRIANI

TEKNIK INFORMATIKA

FENI ANDRIANI

Definisi:

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi

panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom.





























a mn ...

a m2

a m1 ... ...

... ... a 2n a 22

a 21 ... a 1n a 12

a 11

Matriks di atas disebut matriks ukuran m x n



Operasi Matriks

1.

Operasi Kesamaan

Dua matriks A dan B disebut sama, jika:

a) A dan B sejenis

b) Setiap unsur yang seletak sama.



















































 

 

1 3

2 C 1

1 , 3

2 B 1

1 , 3

2 A 1

A = B, A ≠ C, B ≠ C

2.

Penjumlahan dua matriks

Definisi:

Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalah sebuah matriks C yang sejenis pula dengan

unsur-unsur , dimana terdapat hubungan:

. c ij

bij aij

cij 















































  

 ,C cij

bij B

ij , a A















































  





 1 9

5 C 2

5 , 1

4 B 2

4 , 2

1 A 0









































































 







 

 





13 3

6 2

- 9

1

5 2

4 2

1 C 0

A

9 1

5 2

- 5

1

4 2

4 2

1 B 0

A

Sifat-sifat penjumlahan:

Komutatif : A + B = B + A

Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C 3. Perkalian dengan skalar ( )

Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( ) maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan

dengan skalar ( ).

, maka A = .



















a ij

A

_^











 a ij









Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar

1.

(A + B) = A + B

2.

( + β ) A = A + β A

3.

(β A) = β A





 







4. Perkalian dua matriks Definisi:

Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikan hasil kalinya, jika n = p , maka hasilkali adalah

matriks C (m x q) dengan unsur-unsur:

 













n 1

k b kj a ik

c ij

b nj a in

...

j b 3 3 a i j

b 2 2 a i j

b 1

1

a i

c ij

Catatan:



Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B.



Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks

dengan banyaknya baris = banyaknya baris matriks A

dan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B.



Pada umumnya AB ≠ BA Contoh:

  ^{, C}   ²⁰

4 3 2 B

, 3 2

1

A    

















B x A

1 x 3 3 x 1 1 x 1

i terdefinis

tdk B

x A

C 

 





  



























































9 5

4

1 0

0

5 3

2 10

5

3 2

9 5

4

1 0

0

5 3

2 B

10 , 5

3 A 2

2 x 2 3 x 3



Macam-macam matriks

1.

Matriks bujursangkar

Definisi: matriks bujursangkar adalah matriks dimana banyaknya baris = banyaknya kolom

2. Matrik satuan/ matriks identitas



Matriks bujur sangkar



Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1

















 



 







 

9 5 4

1 0 0

5 3 2 B

10 , 5

3 A 2

Contoh :

















 



 



 

1 0 0

0 1 0

0 0 1 I3

1 , 0

0 1 I2

A.I = I.A I.I = I

3. Matriks segitiga

• Matriks bujursangkar

• Unsur di atas/di bawah diagonal utama adalah nol

Contoh :

 

 



 

 







 







 7 8

0 B 1

, 9 0

0

7 4

0

3 2

1 A

4. Matriks Tranpose

• Tidak perlu bujursangkar

• Setiap baris ditukar tempat dengan kolom

Contoh :

 

 

 



 

 







 









 

 





 









1 7

2

0 5

B ~ 4 , 1 0

7 5

2 4

B

3 2

1 A ~

, 3

2

1

A

Sifat-sifat matriks transfose

T T

T T T

T T

T T

T

A B

4.(AB)

A )

(A 3.

A )

2.(A

B A

B) 1.(A













λ

λ

Contoh

 

 

   

T T T

T T

T T

T

A B (AB)

3 4

1 2

0 1

3 2

0 2

1 A

B

0 2

1 B

, 1 2

0 1

3 2

A

3 4

3 (AB) AB 4

0 2 1 B

1 , 0 3

2 1 A 2





 

















 



















 



 



 





















 



 

5. Matriks simetris

Matriks A disebut simetris apabila

• Matriks Bujur sangkar Contoh

A ~ A 

 







 







 

 





8 7

0

7 3

2

0 2

1 3

2

2

1 ,

6. Matriks skew simetris

Matriks A disebut matriks skew simetri jika

• Bujur sangkar Contoh

A~ A  

 







 









 



 



 

0 7

0

7 0

2

0 2

0 0 ,

2

2

0

Matriks Skew simetris , maka

Untuk I = j maka

Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0 A ~

A  

a ji a ij   a ii

a ii    0

2a ii

7.

Matriks Diagonal



Matriks bujursangkar



Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama

 







 







5 0

0

0 3

0

0 0

1

9. Matriks Nol



Tidak perlu matriks bujur sangkar



Semua unsurnya nol

 

 





0 0

0

0 0

0

A.0 = 0 A + 0 = A

A.B = 0, apakah A = 0 ?atau B = 0? atau kedua-

duanya nol

Transformasi Elamenter pada matriks adalah:

 Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i

dijadikan baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H (A)

 Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K (A)

 Memperkalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis H (A)

 Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K (A)

 Menambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H (A)



()

ij ij

i



^(_i ⁾

 ij

()

 Menambah kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis K (A)

Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah kali baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H (A)

Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4)

Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE)

 ()



 ij

1 2

i

) ( 

₁

j

( 

₂

)

Contoh:



























































































2 - 4 - 2 2 -

4 4 1 3

12 0 2 8

0 2 - 2 2 -

1 2 1 3

4 0 2 8

0 2 - 2 2 -

4 0 2 8

1 2 1 3

1 0 3 1

2 0 1 4

1 2 1 3

tersebut.

B Carilah .

elementer si

transforma sederetan

dihasilkan yang

B matrik carilah

1 0 3 1

2 0 1 4

1 2 1 3 A

41(1) K

3(2) K

H H H (2) K3

(1), K41

12, H (2), H2 (-1), H31

1 12 31

2 2 ) (

) (

,

Jika suatu transformasi elementer adalah:

 A = H (B) = H (B)

 A = K (B) = K (B)

 A = H (B) = H (B)

 A = K (B) = K (B)

 A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B)

( ) 

ij ij

ij -1

ij

i

-1

i -1 1/

i

( )

^-1

i 1/



ij

( )

^-1

ij

) (  

ij

( )

^-1

ij

)

(  

A 1

1 0

2

2 2

1 1

2 6

0 4

1 1

0 2

2 6

0 4

2 2

1 1

1 1

1 3

2 6 0 4

2 2

1 1

1 3

1 1

2 4 0 6

2 1 1 2

1 3

2 1

2 4 0 6

2 1 2 2

A.

.Carilah K

, K , H , H : turut -

berturut elementer

si transforma

sederetan dengan

A dari diperoleh ,

1 3

2 1

2 4 0 6

2 1 2 2 B

H12 1)

31( H

K13 (1/2)

K2

(2) 2 13 (1) 31 12

 

















 































































































Contoh

Penggunaan OBE

• Mencari Rank Matriks

Adalah jumlah maksimum baris/kolom yang bebas linier ( tidak semua unsur dalam suatu baris/kolom nol)

• Mecari invers matriks

( A:I ) ( I:A )

^-1

OBE

Contoh

 







 









3 4

4

2 1

2

1 3

2 A

dari matriks

rank 1.Cari

2) ( 31

1) ( 21

H H





 







 







3 1

0

2 2

- 0

1 3

2

₍₁₎

2 ) 2 (

H

3

 







 







4 0

0

2 2

- 0

1 3

2

(2)

2 ) 1 (

H

3

 







 







0 0

0

2 2

- 0

1 3

2

Maka rank matriks A = 2

• Misalkan

• Determinan hanya untuk matriks bujur sangkar

• Untuk order lebih dari 2, digunakan pengertian minor dan kofaktor.

• Ilustrasi:

• Minor komponen adalah

• Kofaktor komponen adalah

det A = | A | := ad-bc

Dengan cara yang sama diperoleh

Menentukan tanda + atau – pada kofaktor, diperhatikan skema berikut :

Diperoleh

Definisi determinan matriks 3 x 3:

Coba terapkan untuk menghitung determinan matriks A.

 Secara umum untuk matriks n x n:

 Atau dalam bentuk

 Atau dalam bentuk

 Contoh :

 Cara cerdas: pilih kolom kedua

 Pilih lagi kolom kedua



Misalkan A matriks n x n dengan kofaktor a

_ij

adalah C

_ij

maka matriks



Contoh:

disebut matriks kofaktor dari A, dan transposenya disebut adjoint A, ditulis adj(A).

Kofaktor A :



Invers matiks A adalah



Contoh: diperhatikan kembali matriks A

sebelumnya, mudah diperoleh det(A) = 64, jadi

 Misalkan SPL Ax = b maka

dimana A_j adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke j matriks A dengan vektor b.

 Contoh:

 Diperoleh Penyelesaiannya

Anton, Howard, 2000, Elementary Linear Algebra: Eight Edition, John Willey and Sons, Inc., New York.

Vanstone, Scott A. and van Oorschot, Paul C., 1989, An Introduction to Error Correcting Codes with Applications, Kluwer Academic Publishers, Massachusetts, USA.

REFERENSI