BAB 3 MATRIKS A. Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom yang dibatasi oleh kurung biasa atau kurung siku.
B. Bentuk Umum Matriks
... ... ... ...
... ... ...
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a A
C. Elemen-elemen Matriks
Elemen-elemen matriks adalah bilangan-bilangan pada matriks.
Pada matriks A di atas, a12 berarti elemen matriks A yang terletak pada baris ke-1 sekaligus kolom ke-2.
D. Ordo matriks
Ordo matriks = banyak baris x banyak kolom
Jika suatu matriks tertulis ordo 2 x 3, berarti matriks tersebut terdiri dari 2 baris dan 3 kolom. E. Kesamaan Dua Matriks
Jika ordo (banyak kolom x banyak baris) dua matriks sama dan elemen-elemen yang seletak mempunyai nilai yang sama juga, maka disebut kesamaan dua matriks.
Contoh:
Diketahui A =
8 6
4 2
dan B =
8 2
2 2
y x
. Jika A = B, tentukan nilai x dan y ! Jawab:
A = B
8 6
4 2
=
8 2
2 2
y x
Sehingga: 2x = 4 x = 2
2y = 6 y = 3 F. Transpose Suatu Matriks
Transpose matriks A adalah suatu matriks baru yang dapat ditulis dengan AT dengan cara memindahkan elemen pada baris matriks A menjadi elemen kolom pada matriks baru (AT) dan elemen pada kolom matriks A menjadi elemen baris pada matriks baru (AT).
Contoh:
Tentukanlah tranpose dari matriks A =
6 5 4
3 2 1
! Jawab:
AT =
6 3
5 2
G. Operasi Hitung Matriks a. Penjumlahan Dua Matriks
b. Operasi Pengurangan Dua Matriks
c. Perkalian Skalar dengan Matriks
Jika A adalah suatu matriks dan k adalah suatu bilangan riil, maka kA adalah suatu matriks yang diperoleh dari hasil perkalian k dengan setiap elemen matriks A.
Contoh:
Jika P =
d. Perkalian Matriks dengan Matriks
Syarat: banyak kolom matriks A = banyak baris matriks B 1). Perkalian matriks berordo 1 x 2 dengan matriks berordo 2 x 1
11 11 12 21
2). Perkalian matriks berordo 2 x 1 dengan matriks berordo 1 x 2
3).Perkalian matriks berordo 2 x 2 dengan matriks berordo 2 x 1
4). Perkalian matriks berordo 2 x 2 dengan matriks berordo 2 x 2
5). Perkalian matriks berordo 3 x 3 dengan matriks berordo 3 x 1
H. Determinan Matriks berordo 2 x 2
I. Determinan Matriks berordo 3 x 3
Untuk menentukan determinan matriks berordo 3 x 3 digunakan metode Sarrus. B =
i h g
f e d
c b a
det (B) =
h g
e d
b a
i h g
f e d
c b a
= a.e.i + b.f.g + c.d.h – c.e.g – a.f.h – b.d.i J. Invers Matriks Berordo 2 x 2
Jika A dan B adalah matriks-matriks persegi yang ordonya sama dan berlaku AB = BA = I, maka B adalah invers dari A dan A invers dari B.
Jika A =
d c
b a
dan ad – bc 0, maka invers dari matriks A adalah:
A-1 =
c a
b d bc ad
1
K. Perkalian Bentuk Invers X.A = B
X = B.A-1 A.Y = B Y = A-1.B
L. Penerapan Matriks pada Penyelesaian Sistem Persamaan Linier 1) Menggunakan Metode Determinan Matriks
Contoh:
Diketahui sistem persamaan
8 3 2
17 2 3
y x
y x
. Nilai x dan y adalah .... Pembahasan:
8 17 3
2 2 3 8
3 2
17 2 3
y x y
x y x
D = 3.3 2.2 9 4 5
3 2
2 3
x
D = 17.3 2.8 51 16 35 3
8 2 17
y
D = 3.8 17.2 24 34 10
8 2
17 3
x = 7
5 35 D Dx
y = 2
5 10 D Dy
2) Menggunakan Metode Invers Matriks Contoh:
Diketahui sistem persamaan
8 3 2
17 2 3
y x
y x
. Nilai x dan y adalah .... Pembahasan:
8 17 3
2 2 3 8
3 2
17 2 3
y x y
x y x
8 17 . 3 2
2
3 1
y x
8 17 3 2
2 3 2 . 2 3 . 3
1 y
x
24 34
16 51 4 9
1 y x
10 35 5 1 y x
5 10 5 35 y
x
2 7 y
x
Jadi, x7 dan y2 Contoh:
1. Diketahui matriks A =
x 15
3 2
, B =
1 1 7 x
x
, C =
5 10 6
y , A + B = C. Nilai 2xy adalah .... Pembahasan:
A + B = C
x 15
3 2
+
1 1 7 x
x
=
5 10 6 y
1 1 15
10 2
x x
x
=
5 10 6 y
Berdasarkan elemen sesuai letak matriks kiri dan kanan, maka: 5
1 x
1 5 x
4 x
Untuk x4, maka: y
x
1
15
y x16
y
16 4
20
y
2. Diketahui matriks A =
6 3
7 5
, B =
5 4
3 2
, dan C = A + B. Nilai determinan matriks C adalah ....
Pembahasan:
C = A + B
=
6 3
7 5
+
5 4
3 2
=
5 6 4 3
) 3 ( 7 2 5
C =
11 7
4 7
C =
11 7
4 7
Determinan (C) = 7.11 – 4.7 = 77 – 28 = 49
3. Jika matriks A =
4 3
2 1
, B =
4 5
3 2
, dan X = A + B, maka invers matriks X adalah .... Pembahasan:
X = A + B
=
4 3
2 1
+
4 5
3 2
=
) 4 ( 4 5 3
3 2 2 1
X =
0 2
1 1
Invers matriks P ditulis P1 Jika P =
d c
b a
, maka P1 =
c a
b d c b d a. .
1 Sehingga:
X =
0 2
1 1
1
X =
2 1
1 0 2 ). 1 ( 0 . 1
1
1
X =
2 1
1 0 2 0
1
=
Pembahasan Soal-soal:
1. Diketahui perkalian matriks
Pembahasan:
, maka determinan matriks (AB – C) adalah ....
Pembahasan:
Pembahasan:
4. Matriks X yang memenuhi
Pembahasan:
8 5
8 4 3 2
2 1 . X
X =
1
3 2
2 1 8 5
8
4
=
1 2
2 3 2 . 2 3 . 1
1 . 8 5
8 4
=
2 1
2 3 8 5
8 4 . 2 . 2 3 . 1
1
=
5.3 8.( 2) 5.( 2) 8.1 1 . 8 ) 2 .( 4 ) 2 .( 8 3 . 4 . 4 3
1
=
15 16 10 8
8 8 16 12 . 1 1
=
2 1
0 4 1
X =
2 1
0 4
LATIHAN SOAL UN:
1. Diketahui matriks
1 3
3 2
A x ,
3 1
0 B
y y x
, dan
2 3
5 4
C . Jika C adalah transpos t
matriks C dan ABCt, maka nilai dari 3x2y adalah ....
A. –1 (kunci) B. –7
C. –11 D. –14 E. 25
2. Nilai abc yang memenuhi kesamaan matriks
b c
a c b a a
c a c
5 2
6 9
16 4 8 2
3 3 2
2 1
adalah .... A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6
3. Diketahui matriks
9 3c 5
3b 1 6
4 8 4a
A dan
9 b 5
3a 1 6
4 8 12
B . Jika A = B, maka nilai abc
adalah .... A. –7 B. –5
C. –1 kunci D. 5
4. Diketahui matriks A =
3 4 3
1 1 2
dan matriks B =
0 4
4 0
1 2
. Matriks A x B adalah ....
A.
13 3
6 8
B.
13 8 6 3
C.
13 6
8 3
D.
13 8
6 0
E.
13 18
6 0
5. Diketahui matriks
2 1
1 3 M dan , 0 3
1 1 L , 2 1
0 4
K . Determinan matriks K + L – 2M
adalah .... A. –8 B. –4 C. 4 D. 8 E. 12
6. Diketahui matriks A =
6 3
7 5
, B =
5 4
3 2
, dan C = A + B. Nilai determinan matriks C adalah ....
A. – 49 B. – 10 C. 49 D. 77 E. 105
7. Diketahui matriks A =
2 2
11 5
dan matriks B =
1 4
3 8
. Determinan matriks AB adalah .... A. – 67
B. – 13 C. – 3 D. 48 E. 67
8. Diketahui matriks
4 1
2 3 Y dan 1 3
0 5
X . Jika matriks A = X + Y, maka invers
matriks A = A1 adalah ....
A.
1
2 3 1 2
B.
1 2
3 1
C.
1 2
1 2 3
D.
2 1
1 2 3
E.
1 1
2 2 3
9. Jika matriks A =
4 3
2 1
, B =
4 5
3 2
, dan X = A + B, maka invers matriks X adalah ....
A.
2 1 1 0 2 1
B.
1 2
1 0 2 1
C.
0 2
1 1 2 1
D.
0 2
1 1 2 1
E.
1 2
1 0 2 1
10.Diketahui matriks
1 2
3 4 B dan 4 3
2 1
A . Jika matriks AX = B, maka matriks X adalah ....
A.
4 5
5 6
B.
4 5
5 6
C.
4 5
5 6
D.
4 5
5 6
E.
4 5
