Matriks & Ruang Vektor
Pertemuan 1
Sistem Persamaan Linier dan
Matriks
Matriks & Ruang Vektor
Outline Materi
• Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL)
• SPL & Matriks
Matriks & Ruang Vektor
Persamaan Linear
• Persamaan dimana variabel atau peubahnya tidak memuat
eksponensial, trigonometri, perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri
• N buah variable x1, x2, …, xn yang dinyatakan dalam bentuk :
a
1x
1+ a
2x
2+ ….+
a
nx
n= b
dengan b, a1, a2, ...., an adalah konstanta-konstanta riil
• Sekumpulan nilai sebanyak n yang disubtitusikan ke n variabel :
x1=k1, x2=k2 … xn=kn
sedemikian sehingga persamaan tersebut terpenuhi, maka himpunan nilai tersebut (k1, k2, … kn) disebut Himpunan Penyelesaian (solusi set).
Matriks & Ruang Vektor
Persamaan Linear
• Contoh
2x
1
+ x
2+ 3x
3=5
x1=1; x2=0; x3=1 (1,0,1) solusi x1=0; x2=5; x3=0 (0,5,0) solusi x1=2; x =1; x3=0 (2,1,0) solusi
Suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi >1
Matriks & Ruang Vektor
Sistem Persamaan Linear
• Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier didalam n variable: x1, x2,…..,xn disebut Sistem Persamaan Linier (SPL)
• Jika sistem m persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui x1, x2,…..,xn :
a11x1 + a12x2 + …. + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + …. + a2nxn = b2
………...………
………...…… am1x1 + am2x2 + ….+ amnxn = bm
Matriks & Ruang Vektor
SPL
• SPL dengan satu variabel
• SPL dengan dua variabel
Matriks & Ruang Vektor
Contoh SPL dengan Satu Variabel
•
5x + 12 =34
•
4t -33 = 21
•
7y + 56 = 105
•
Harga kamera canon ditambah pajak pembelian 10%
adalah Rp. 450000
Matriks & Ruang Vektor
Contoh SPL dengan 2 variabel
Jika perusahaan A membeli 1 Laptop (
x) dan 2 PC (y)
maka ia harus membayar $5.000, sedangkan jika
membeli 3 Laptop dan 1 PC maka ia harus membayar
$10.000.
Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL
x + 2y = 5000
Matriks & Ruang Vektor
SPL & Matriks
• Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom. Detil disini.
9
a
11x
1+ a
12x
2+ a
13x
3+…+
a
1nx
n= b
1a
21x
1+ a
22x
2+ a
23x
3+…+
a
2nx
n= b
2:
a
m1x
1+ a
n2x
2+ a
n3x
3+ …+
a
nnx
n= b
mx = b =
Matriks Koefisien
SPL Umum:
a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n
:
am1 am2 am3 amn
x1 x2
:
xm
A =
A
x = b
b1 b2
:
Contoh:
1. Kelompok bilangan
merupakan matriks, sebab susunannya berbentuk persegi dan bilangan-bilangan itu tersusun dalam baris dan kolom.
2. Kelompok bilangan
BEBERAPA ISTILAH DALAM MATRIKS
1. Baris
2. Kolom
3. Elemen/unsur
Baris, Kolom, dan Elemen
Baris dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar atau horisontal dalam matriks.
Kolom dari suatu matriks adalah bagian yang dituliskan tegak atau vertikal dalam matriks.
Ordo dan Banyak Elemen Matriks
Ordo atau ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolom dari matriks itu.
Banyak elemen atau banyak unsur dari suatu matriks
Contoh:
Matriks A dikatakan berordo atau berukuran 2 × 3
Notasi :
•
Matriks Baris
•
Matriks Kolom atau Matriks Lajur
•
Matriks Persegi
•
Matriks Segitiga
•
Matriks Diagonal
•
Matriks Identitas
•
Matriks Datar
•
Matriks Tegak
•
Matriks Skalar
Matriks Baris dan Matriks Kolom
Matriks berordo 1 × n terdiri atas satu baris dan memuat n
elemen disebut matriks baris.
Matriks berordo m × 1 terdiri atas satu kolom dan memuat m
elemen disebut matriks kolom atau matriks lajur.
Matriks Persegi dan Matriks Segitiga
Misalkan suatu matriks berordo m × n dengan nilai m = n,
sehingga diperoleh matriks berordo n × n disingkat matriks
berordo n disebut matriks persegi berordo n.
Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks
yang berada di bawah diagonal utama atau di atas diagonal utama semuanya bernilai nol disebut matriks segitiga
Contoh:
• Matriks Persegi
Matriks Diagonal dan Matriks Identitas
Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks yang berada di bawah dan di atas diagonal utama semuanya
bernilai nol disebut matriks diagonal.
Matriks diagonal berordo n dengan elemen-elemen pada diagonal utama semuanya bernilai 1 disebut matriks
Contoh:
• Matriks Diagonal
Matriks Datar dan Matriks Tegak
Matriks berordo m × n dengan m < n, berarti banyak kolom lebih banyak dibandingkan dengan banyak baris disebut
matriks datar.
Matriks berordo m × n dengan m > n, berati banyak baris
lebih banyak dibandingkan dengan banyak kolom, sehingga susunan elemen-elemennya membentuk persegi panjang
Matriks Skalar
• Matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.
Penyajian SPL sebagai Matriks Augmented
a
11x
1+ a
12x
2+ a
13x
3+… +
a
1nx
n= b
1a
21x
1+ a
22x
2+ a
23x
3+… +
a
2nx
n= b
2:
a
m1x
1+ a
m2x
2+ a
m3x
3+ … +
a
mnx
n= b
mMatriks Augmented
Matriks Koefesien dengan satu kolom tambahan, matrik B yang unsur-unsurnya adalah konstanta-konstanta dari ruas kanan SPL a11 a12 a13 … a1n b1
a21 a22 a23 … a2n b2
: .
am1 am2 am3 … amn bm
atau AX = B dengan A=(a
ij)
matriks koefisien
,
X=(x
1,x
2,…..,
x
n)
*dan B=(b
1
,b
2,…,
b
n)
*.
Matriks lengkap sistem tersebut adalah :
m m2
m1
2 2n
22 21
1 1n
12 11
b
....
...
a
a
....
....
...
....
....
b
a
...
a
a
b
a
...
a
a
Contoh
2x1 – x2 + 2x3 = 7 x1 + 3x2 – 5x3 = 0 - x1 + x3 = 4
Dng notasi matriks
Dng notasi matriks
A, matriks koefisien
Pembagian SPL
1. SPL Homogen
a
11x
1+ a
12x
2+ …….. +
a
1nx
n= 0
a
21x
1+ a
22x
2+ …….. +
a
2nx
n= 0
……….
……….
a
m1x
1+ a
m2x
2+ …….. +
a
mnx
n= 0
Contoh:
2. SPL Non Homogen
a
11x
1+ a
12x
2+ ….+
a
1nx
n= b
1a
21x
1+ a
22x
2+
…
.+ a
2nx
n= b
2
………
………
a
m1x
1+ a
m2x
2+
…
.+ a
mnx
n= b
mCONTOH
SPL Konsisten dan Inkonsisten
•
Apabila SPL mempunyai penyelesaian, maka
disebut sistem persamaan linear yang
konsisten
,
sebaliknya SPL tidak mempunyai penyelesaian
disebut sistem persamaan linear yang
inkonsisten
.
•
Suatu SPL yang konsisten mempunyai penyelesaian
tunggal atau penyelesaian sebanyak tak berhingga.
SPL
Mempunyai penyelesaian
disebut KONSISTEN
Tidak mempunyai penyelesaian
disebut INKONSISTEN
TUNGGAL
P2
Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalam
grafik, maka:
U2
X1
U2
X1
U2
X1
P1
P2
Inkonsisten
P1 P2
Konsisten
x + y = 7 x + y = 5 Var => sama Konst => tidak
berpotongan di 1 titik berimpit berpotongan di 1 titik
P1
SUSUNAN PERSAMAAN LINIER
HOMOGEN AX=0
NON HOMOGEN
AX=B, B≠0
SELALU ADA JAWAB TAK PUNYA JAWAB
R(a) ≠ r(A,B) MEMPUNYAI JAWAB
Hanya Jawab Trivial
(x1, x2, …xn =0); r=n
Selain Jawab Trivial, Ada Juga
Jawab Nontrivial r<n JAWAB UNIK (TUNGGAL) r = n
BANYAK JAWAB
r < n
Bentuk umum: Ax = B, dimana B≠0
Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila : Rank(A) = Rank(A|B)
Contoh ;
1. carilah titik persekutuan garis. -3x+6y = -9 dengan garis. x-2y = 3 Jawab:
Jadi jawabnya tidak tunggal.
Contoh
Jadi jawabnya tunggal
Matriks lengkap di atas menyatakan:
Sehingga sebagai penyelesaiannya :
Sistem Persamaan Linier Homogen
Contoh
1. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini :
Dimana : x
3dan x
4bebas.
Sehingga :
Berlaku untuk setiap bilangan riil a & b
b
didapat x
b
dan x
a
untuk x
Matriks & Ruang Vektor
Latihan
1. Yang manakah dari persamaan berikut yang merupakan persamaan linier dalam x1, x2, dan x3?
a. x1 + 2x1x2 + x3=2
b. x1 + x2 + x3= sin k (k adalah sebuah konstanta) c. x1 - 3x2 + 2x31/2=4
d. x1 = 2x3 - x2 + 7 e. x1 + x2-1 -3x
3=5
f. x1 = x3
2. Carilah himpunan penyelesaian untuk:
a. 6x-7y=3
b. 2x1 + 4x2 - 7x3=8
3. Carilah matriks augmented untuk tiap SPL berikut:
a. x1 - 2x2 = 0 b. x1 + x3 =1
3x1 + 4x2= -1 2x2 – x3 + x5 =2 2x1 - x2 = 3 2x3 +x4 =3
Matriks & Ruang Vektor
Latihan
4. Carilah sebuah SPL yang bersesuaian dengan setiap matriks
augmented berikut!
a. 12 01 −11 23
0 −1 2 4 b.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1 2 3 0 0 0 1 4
5. Definisikan SPL berikut sebagai ‘Konsisten’ atau ‘inkonsisten’ dengan menggambarkan garis persamaannya.
a. x + y =4 b. x + y = 4 2x – 2y = 8 2x + 2y = 6
