DAFTAR ISI
BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKSBAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
BAB I. MATRIKS
Matriks berupa sekelompok bilangan yang disusun empat persegi dan dibatasi tanda
terdiri dari baris dan kolom
Notasi matriks: Satu huruf besar atau huruf kapital : A, B, C Contoh:
baris ke-1 baris ke-2 ↓ ↓ ↓
k1 k2 k3
Bilangan yang menyusun disebut elemen matrik. Elemen matrik : 2, 5, 7, 1, 3, 4
Ukuran matriks ditunjukkan dengan jumlah baris x jumlah kolom
Secara umum :
aA ij dimana : aij
i = 1, 2, 3, …, m
j = 1, 2, 3, …, n m : jumlah baris n : jumlah kolom
4 5 7
Penulisan :
mn m3
m2 m1
2n 23
22 21
1n 13
12 11
a a
a a
a a
a a
a a
a a A
Macam-macam matrik 1. Matrik Bujur Sangkar
Jika m =n
2 2
2 11 2
3 3
5 1 2
4 7 2
1 2 1
2. Matrik Segitiga Atas Jika aij = 0 untuk i > j
5 0 0
4 7 0
1 2 1
3. Matrik Segitiga Bawah Jika aij = 0 untuk setiap i < j
1 5
2
0 7 2
0 0 1
5 0 0
0 7 0
0 0 1
5. Matrik Skalar
Jika aij= 0 untuk i ≠ j dan aij bernilai sama untuk i = j
7 0 0
0 7 0
0 0 7
6. Matrik Satuan (Identitas)
Jika aij= 0 untuk i ≠ j dan aij = 1 untuk i = j
1 0 0
0 1 0
0 0 1 I3
In = matrik identitas dengan ukuran n x n
OPERASI MATRIKS
1. Kesamaan dua matrik A = [aij]
B = [bij]
A = B jika aij = bij untuk setiap i dan j dan kedua matrik mempunyai ukuran yang
sama.
2. Penjumlahan A = [aij]
B = [bij]
A + B = C jika aij + bij = cij untuk setiap i dan j dan kedua matrik mempunyai
ukuran yang sama.
18 16 14
10 11 9 12 11 10
9 8 7 6 5 4
1 3 2
3. Perkalian
(a) Perkalian dengan bilangan skalar
28 20
12 8 7 5
3 2 4
α = bilangan skalar A = [aij]
B = [bij]
B = αA jika bij= α × aij untuk setiap i dan j
(b) Perkalian dua matrik A = [aij]
B = [bij]
C = [cij]
C = A × B jika
n
1 k
kj ik ij a b
c untuk setiap i dan j
Syarat untuk dilakukan perkalian antar matrik adalah jumlah kolom matrik pertama = jumlah baris matrik kedua.
71 31 4
7 3 6 5 4
1 3 2
A(2×30) B(3×1) C(2×1)
c11 = a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31
n
1 k
kj ik ij a b
c ; n adalah jumlah kolom matrik I atau jumlah baris matrik II. Cij = ai1 b1j + ai2 b2j+ … + ain bnj
k=1 k=2 k=n
57 38 20 71
23 19 9 31 4
1 1 4
5 4 2 7
2 3 1 3 6 5 4
1 3 2
Secara umum : AB ≠ BA
4. Matrik transpose A = [aij]
B = [bij]
B = AT jika bij = aji untuk setiap i dan j
4 1
3 2 4
3 1
2 T
A B
b11 = a11; b12 = a21; b21 = a12; b22 = a22
9 6 3
8 5 2
7 4 1
9 8 7
6 5 4
3 2
1 T
Soal! Hitunglah: a. 4A + AB b. ATB - BI3
12 2 1
5 16 9
9 4 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
13 2 1
5 17 9
9 4 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 3 1
4 1 2
3 2 1
2 3 1
4 1 2
3 2 1 I A 3
BAB II
DETERMINAN
Determinan matrik A diberi lambang atau notasi det A atau |A| Nilai determinan suatu matrik merupakan bilangan skalar. Determinan didefinisikan pada matriks bujur sangkar.
Cara menghitung nilai determinan:
I. Ukuran 2 2
d c
b a A
Nilai |A| = det A = ad – bc Contoh:
2 3 2 4 1 4 3
2 1
II. Ukuran 3 3
Perkalian elemen searah diagonal
i h g
f e d
c b a A
bdi -afh -ceg -cdh bfg aei
h g
i h g
e d
f e d
b a
c b a
Keterangan:
= dijumlahkan
= dikurangkan
Catatan: Menghitung nilai determinan dengan cara ini hanya berlaku untuk matrik 3x3, tidak dapat dilakukan bila ukuran 4x4 atau lebih.
SOAL
7 5 3
4 3 2
3 2 1
= ?
Penyelesaian: 1 2 3 1 2
2 3 4 2 3 21 24 30 27 20 28 0 3 5 7 3 5
Matrik yang determinannya = 0 disebut matrik singular
7 5 3
4 3 2
3 2 1
Sifat determinan:
1. Nilai determinan suatu matriks tidak berubah jika matriks tersebut ditranspose |AT| = |A|
2. Nilai determinan akan berubah tanda bila salah satu baris atau kolom dipertukarkan dengan baris atau kolom lain.
0 5 2
4 2 1
1 2 3
4 2 1
0 5 2
1 2 3
4 2 1
1 2 3
0 5 2
3. Nilai determinan akan berubah menjadi k kali jika setiap elemen suatu baris atau kolom dikalikan dengan k.
4 7 2 1
1 7 2 3
0 7 5 2
4 2 1
1 2 3
0 7 5 7 2 7 7 4 2 1
1 2 3
0 5 2
MINOR DAN KOFAKTOR
Minor
Minor dari matrik A [aij] = Mij
Mij adalah matrik yang berasal dari matrik yang baris ke-I dan kolom ke-j
dihilangkan.
Misal:
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
A ; M12 = ?
M12 : dari matrik A, baris ke-1 dan kolom ke-2 dihilangkan.
33 31
23 21 12
a a
32 31
12 11 23
a a
a a M
23 22
13 12 31
a a
a a M
Kofaktor Aij = (-1)i+j |Mij|
Dengan i : nomor baris j : nomor kolom
Misal:
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a A
Maka:
33 21 31 23
31 23 33 21
33 31
23 21 2 1 12
a a a a
a a a a
a a
a a ) 1 ( A
12 13 3 1
31
22 23 12 23 13 22
a a
A ( 1)
a a
a a a a
Nilai determinan matrik A dapat dihitung dengan menggunakan minor Mij dan
kofaktor Aij
23 23 22 22 21 21
13 13 12 12 11 11
A a A a A a A
A a A a A a A
Ekspansi kolom pertama
32 32 22 22 12
12A a A a A
a
A
CONTOH SOAL
1. Hitung determinan matriks di bawah ini dengan minor dan kofaktor
1 5 1
4 3 2
3 2 1
Penyelesaian:
Cara 1
Mengitung nilai minor dan kofator dilanjutkan dengan ekspansi baris
1 4 3
3 2 A
13 1 5
3 2 A
17 1 5
4 3 A
31 21 11
8
1
1
13
2
)
17
(
1
A
a
A
a
A
a
A
11 11 21 21 31 31
8
1 10 1
3 2
2 1 1 4 2
3 1 5 4 3
3 2 1 A
2. Hitung determinan dari (4x4)
2 0 3 1
3 1 1 2
5 2 0 1
1 3 1 2
Penyelesaian
2 0 3 1
3 1 1 2
5 2 0 1
1 3 1 2
Ekspansi baris ke-2
1 3 1 2 3 1 2 1 1 2 1 3
A 1 1 1 3 0 2 1 3 2 2 1 3 5 2 1 1
3 0 2 1 0 2 1 3 2 1 3 0
1 3 1 1 3 2 1 1 2 1 2 1 3 2 1
1 1 3 1 1 2 2 1 3 2 1 5 2 1 1 2 1
3 0 2 3 0 1 3 2 1 3 1 3 0 1 3
(1 1 2 3 3 3 1 1 3 3 1 2) 2(2 1 2 1 3 1 1 2 3 1 1 1 2 3 3 1 2 2) 5(1 1 1 3 2 3 3 1 1 2 1 3)
(2
27 3 6) 2(4 3 6 1 18 4) 5(1 18 3 6) 20 20 50
50
2 1 3 2
3 2 0 1
1 1 2 2
0 1 3 0
Penyelesaian:
2 1 3 2
3 2 0 1
1 1 2 2
0 1 3 0
Ekspansi baris ke-1
2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 A 0 0 2 3 3 1 2 3 1 1 0 3 0 1 0 2 3 1 2 2 1 2 2 3 2 2 3 1
2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 3 1 2 3 1 2 1 1 0 3 1 0 2 1 2 2 1 2 3 2 2 3
3(2 2 2 1 3 2 1 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 2) 1(2 3 2 1 1 3 2 3 3 2 1 2) 3(8 6 1 4 6 2) 1(12 3 18 4)
9 7 16
2 1 1 3 1 0 3 1 0 3 1 0 A 0 0 2 3 2 0 2 3 1 2 1 1 2 2 1 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 0 2 3
3 1 0 3 1 3 1 0 3 1 3 1 0 3 1 2 0 2 3 0 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 0 2 3 0 2
2(3 2 2 1 3 3 3 3 1) (3 1 2 1 1 3 3 1 1 1 2 2) 2(3 1 3 3 1 2 1 2 3) 2(12 9 9) (6 3 3 4) 2(9 6
6)
24 2 6 16
OPERASI BARIS ATAU KOLOM
Nilai determinan tidak berubah jika salah satu baris / kolom, elemennya ditambah dengan suatu bilangan skalar dikalikan elemen baris atau kolom yang lain.
Contoh:
7 5 1
4 3 2
3 2 1
Hitung determinannya!
Operasi baris: Ob(21)(-2) elemen baris ke-2 ditambah dengan (-2) kali elemen baris pertama
7
Dengan determinan biasa 1 2 3 1 2
Dengan ekspansi kolom ke-1
2
Dengan Ob (31)(-1) untuk hasil (matrik) Ob (21)(-2)
Penyelesaian:
Dengan ekspansi kolom ke-1
2
Hitunglah determinannya!
Penyelesaian:
2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 6 3 1 1 6 3 1 6
2 0 2 2 0 2 2 0
1 [2 ( 6) 2 ( 1) 3 2 1 ( 6) 2 ( 1) 1 2] 24 6 12 2
16
2. Dari soal contoh setelah Ob (310(-1) dilakukan Ob(32)(3)
4 3 0
2 1 0
3 2 1
Penyelesaian:
2 0 0
2 1 0
3 2 1
) 2 ( ) 3 ( 4 ) 1 ( 3 3 0 ) 3 ( 0
2 1
0
3 2
1
Dengan sifat matrik segitiga atas |A| : elemen diagonal Maka:
|Matrik di atas| = 1(-1)(-2) = 2
3. Hitunglah determinan dari
2 3 2 4
4 2 3 1
2 5 4 2
3 3 2 3
dengan Ok (13)(-1) dan Ok(43)(-1)
1 3 2
2 2 3 3
3 5 4 3
0 3 2 0
3 ) 1 ( 2 3 2 3 ) 1 ( 4
2 ) 1 ( 4 2 3 2 ) 1 ( 1
5 ) 1 ( 2 5 4 5 ) 1 ( 2
3 ) 1 ( 3 3 2 3 ) 1 ( 3
Dengan ekspansi baris ke-1
3 5 3 3 4 3 3 5 3 3 5 3 4 3 3 4 2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 3 3 3 2 3 3 1 3 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2
28
BAB III
INVERS MATRIKS
A = [aij]
B = [bij]
B dikatakan invers A jika AB = BA = I Invers matrik A diberi simbol A-1 atau
A 1
Misal:
A = 2 B = ½
AB = 2 · ½ = 1 BA = ½ ·2 = 1
Ax = B x = B/A Ax = B x = A-1B Sifat:
1. (A-1)-1 =A 2. (AB)-1 = B-1A-1
Cara menghitung matrik invers
A det
A adjoin
1
A
Contoh:
Menghitung kofaktor
18
Menghitung adjoin A:
Adjoin
46
1(-10) A
Contoh:
1. Berapa matrik invers untuk matrik
adjoint A11 = 4
A12 = -3
A22 = 1
Det A = -2
Maka:
2 1 2 3
1 2
1 3
2 4 2 1 A 1
Cek!
1 0
0 1 4 3
2 1
2 1 2 3
1 2
Rumus sederhana untuk 2x2:
a c
b d bc ad
1 d c
b a A
1 1
2. Berapa invers matrik dari
7 5 2
6 4 1
2 3 1
Jawaban
1
7 5 2
6 4 1
2 3
1
Cek! A-1 A = I
1 0 0
0 1 0
0 0 1
7 5 2
6 4 1
2 3 1
7 1 7 1 7 3
7 4 7 3 7 5
7 10 7 11 7 8
3. Berapa invers matrik dari
7 5 1
4 3 2
3 2 1 B
Jawaban
7 5 1
4 3 2
3 2 1 B
1 7 5
4 3 B11
10 7 1
4 2
B12
7 5 1
3 2 B13
1 7 5
3 2 B21
4 7 1
3 1 B22
3 5 1
2 1
B23
1 4 3
3 2
B31
2 4 2
3 1 B32
1 3 2
2 1
1 adjoint
33 adjoint B
Metode Operasi Baris
Dengan operasi baris diupayakan agar terbentuk matrik sebagai berikut
Dengan demikian matrik B = [bij] merupakan invers dari matriks A = [aij]
Contoh:
Hitunglah nilai invers dari matriks berikut
Langkah Operasi baris
1. Membentuk matriks segitiga atas. 2. a21 dijadikan nol.
3. Baris ke-2 ditambah dengan (-2) baris ke-1 (baris ke-2 + baris ke-1 kali –2 atau O21(-2))
III.
IV
III III
III III
32
VII VII
VII VII
VIII 2 1 VIII
2 3 VIII
2 7 VIII
13 VIII.
Hitung matrik invers dari
BAB IV
PENYELESAIAN PERSAMAAN
LINEAR SIMULTAN
Persamaan Linear
Persamaan yang memunyai pangkat tertinggi variabel = 1
Contoh:
ax b 0 (1.1)
ax by cz d (1.2)
1 1 2 2 n n
a x a x ... a x b (1.3)
x : variabel persamaan 1.1 x, y dan z : variabel persamaan 1.2
1 2 n 1 2 n
x , x , , x : variabel
a , a , , a : koefisien persamaan 1.3 b : konstanta (ruas kanan)
Persamaan Linear Simultan:
Beberapa persamaan linier yang penyelesaiannya harus dilakukan secara serentak (simultan).
Penulisan persamaan linear simultan secara umum: 11 1 12 2 n n 1
21 1 22 2 2n n 2
n1 1 n 2 2 nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Dapat ditulis
11 12 1n 1 1 21 22 2n 2 2
n1 n 2 nn n n
a a a x b
a a a x b
a a a x b
AX = B Keterangan:
A = Matrik koefisien X = Matrik variabel B = Matrik konstanta
Macam persamaan linear AX =B Jika: B = 0 homogen
B ≠ 0 non homogen
Penyelesaian persamaan linear simultan:
Menghitung nilai masing-masing variabel yang memenuhi semua persamaan yang ada.
Metode penyelesaian:
1. eliminasi dan substitusi 2. cramer
3. invers matrik 4. iterasi
Macam penyelesaian: Jika (det ≠ 0) persamaan mempunyai jawab tunggal. Jika (det = 0) persamaan bisa mempunyai jawab banyak atau bisa tidak punya jawab.
CONTOH SOAL
3x + 5 y = 13 x + y = 3 Penyelesaian:
Eliminasi
3x 5y = 13 1 x + y = 3 3
3x 5y = 13 3x 3y = 9 2y = 4 y = 2 x = 1
Subtitusi
3x 5y = 13
x + y = 3 x = 3 - y
3 (3 y) 5y = 13 9 3y 5y 13 2y 4
y 2 x 1
Cramer : untuk determinan ≠ 0.
3x 5y 13 x y 3
3 5 x 13
1 1 y 3
13 5
3 1 2
x 1
3 5 2
1 1
3 13
1 3 4
y 2
3 5 2
1 1
Invers Matrik
Ax = B x = A-1 B
1
1 5
5 1
1 5
1 3 1 2 2
A
3 5 2 1 3 1 3
2 2
1 1
5 1
x 2 2 13
y 1 3 3
2 2
13 15
2 2
13 9
2 2
1 2
Persamaan linier simultan terdiri dari 3 persamaan dengan 3 variabel 1. Selesaikanlah:
2x 5y 2z 7 x 2y 4z 3 3x 4y 6z 5
Eliminasi:
2x 5y 2z 7 1 2x 5y 2z 7 2x 4y 8z 6
x 2y 4z 3 2 ... (iv) 9y + 10z = 1
x 2y 4z 3 3 3x 6y 12z 9 3x 4y 6z 5
3x 4y 6z 5 1 ... (v) 10y 6z = 4
9y 10z 1 10 90y ( 100)z 10 90y 54z 36 10y 6z 4 9
46z = 46 z 1
Substitusi nilai z ke dalam persamaan
10y 6z 4 10y 6 1 4 10y 10
y 1
Substitusi nilai z dan y ke dalam persamaan x 2y 4z 3
x 2 1 4 1 3 x 2 4 3 x 5
Jadi penyelesaian persamaan di atas, x = 5; y = 1 dan z = 1. Contoh beberapa macam penyelesaian:
1. Selesaikan 3x 2y 5
x y 2
Penyelesaian
3x 2y 5 1 3x 2y 5 x y 2 2 2x 2y 4 x 1 y 1
Jawab tunggal
2x 3y 7 4x 6y 13
Penyelesaian
2x 3y 7 2 4x 6y 14 4x 6y 13 1 4x 6y 13 0x 0y 1
Tidak punya jawab Dua garis lurus sejajar.
3.
3x 2y 8 2 6x 4y 16 6x 4y 16 1 6x 4y 16
0x 0y 0
Jawab banyak nilai x dan y yang memenuhi. Dua garis berimpit.
3x 2y 8
x y
0 4
8 0
3
Maka dimisalkan: x p
8 3p y
2
Cramer, syaratnya determinan ≠ 0 3x 2y 5
det 1 x y 2
2x 3y 7
det 0 4x 6y 13
Dalam koordinat x - y, persamaan linear dapat digambarkan sebagai garis lurus.
garis lurus berimpit dengan satu bidang datar garis lurus pada koordinat x - y
5 2
1 2
x y 0 1 1 2
x y 0 2 1 1 2 0
Contoh:
1. Selesaikanlah x 2y 3z 12
3x 6y z 42 det 0 y z 5
(1) ... x 2y 3z 12 3 (2) ... 3x 6y z 42 1
3x 6y 9z 36 3x 6y z 42 8z 6 3
z 4
y z3 5y 4 5
3
y 5 4
23 4
23 x 2y 3z 123x 2 4 3 4 12
23 9
x 2 12 12
11
x 4
