Determinan Matriks Dengan Metode Minor-Kofaktor
Berbasis Baris Dan Kolom Matriks
Ila Desmawati¹, Khairani Ulfa¹, Hendra Kartika²
¹Mahasiswa Pendidikan Matematika (FKIP, Universitas Singaperbangsa Karawang)
²Dosen Pendidikan Matematika (FKIP, Universitas Singaperbangsa Karawang)
Email : iladesmawati@gmail.com
Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom dan dibatasi oleh kurung biasa atau kurung siku. Sebuah matriks terdiri dari baris dan kolom. Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks, sedangkan kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak (vertikal) dalam matriks.
Determinan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi n² elemen matriks bujur sangkar. Jika subskrip permutasi elemen matriks adalah genap (invers genap) diberi tanda positif (+) sebaliknya jika subskrip permutasi elemen matriks adalah ganjil (inversi ganjil) diberi tanda negatif (-). Inversi terjadi jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan subskrip permutasi elemen matriks. Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujur sangkar (matriks kuadrat). Notasi determinan matriks A : det (A) = |A| atau det A =|A|.
Kata Kunci : Determinan, Invers, Kofaktor, Matriks, Minor
I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan.
Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matriks ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua ini matrika dianggap sebagai sebuah permainan karena matriks dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925 matriks digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas kami menemukan permasalahan sebagai berikut :
1. Apa pengertian matriks dan determinan?
C. Tujuan Pembahasan
Berdasarkan uraian di atas diharapkan kami dapat :
1. Menjelaskan tentang pengertian matriks dan determinan.
2. Menjelaskan tentang bagaimana menentukan determinan matriks dengan metode minor-kofaktor berbasis baris dan kolom matriks.
D. Manfaat
Berdasarkan uraian di atas diharapkan kami dapat lebih memahami tentang pengertian matriks dan determinan dan juga tentang bagaimana menentukan determinan matriks dengan metode minor-kofaktor berbasis baris dan kolom matriks.
II. HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Pengertian Matriks dan Determinan.
Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom dan dibatasi oleh kurung biasa atau kurung siku. Sebuah matriks terdiri dari baris dan kolom. Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks, sedangkan kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak (vertikal) dalam matriks. Cara penulisan matriks adalah menggunakan dengan huruf besar, A, B, C dan sebagainya. Pada umumnya Aij akan menyatakan entri matriks A yang berada pada baris i dan kolom j.
Determinan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi n² elemen matriks bujur sangkar. Jika subskrip permutasi elemen matriks adalah genap (invers genap) diberi tanda positif (+) sebaliknya jika subskrip permutasi elemen matriks adalah ganjil (inversi ganjil) diberi tanda negatif (-). Inversi terjadi jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan subskrip permutasi elemen matriks. Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujur sangkar (matriks kuadrat). Notasi determinan matriks A : det (A) = |A| atau det A =|A|.
B. Determinan matriks dengan metode minor-kofaktor berbasis baris dan kolom matriks.
Perhitungan determinan matriks dengan metode minor dan kofaktor dapat diterapkan pada semua ukuran matriks bujur sangkar. Determinan matriks dapat dihitung dari minor dan kofaktor pada salah satu baris atau kolom matriks.
1) Penentuan Determinan Berbasis Baris Matriks
Menghitung determinan suatu matriks menggunakan salah satu baris matriks.
Jika diketahui suatu matriks A berukuran nχn:
A =[
]
Maka determinan matriks A:
det(A)= ∑ . j= indek kolom
Atau
det(A)= + + ... +
k = salah satu baris matriks
Contoh :
Tentukan determinan matriks berikut menggunakan minor dan kofaktor pada baris ke-1
A=[
]
Solusi :
det A = (1) ∙
+ (5) ∙ + (0) ∙
det A = (1) ∙ | |+ (5) ∙ | |+ (0) ∙ | |
= (1)(1)(0-2) + (5)(-1)(0-0) + (0)(1)(-4-0)
= -2 + 0 + 0 = -2
2) Penentuan determinan suatu matriks menggunakan salah satu kolom matriks. Jika diketahui suatu matriks A berukuran n n :
A = [
]
Maka determinan matriks A:
det(A) = ∑
det(A) = ∑
Atau
salah satu kolom matriks
Pemilihan kolom (atau baris) matriks untuk menghitung determinan suatu matriks usahakan pilih kolom atau baris yang elemennya banyak bernilai 0 atau 1 supaya mudah dalam perhitungannya.
Contoh:
Tentukan determinan matriks berikut menggunakan minor dan kofaktor pada kolom ke-1
[
]
det A = (1) ∙
+ (2) ∙ + (0) ∙
det A = (1) ∙ | | + (2) ∙ |
|+ (0) ∙ | |
det A
= -2 + 0 + 0 = -2
III. SIMPULAN DAN SARAN
A. SIMPULAN
Matriks merupakan susunan elemen-elemen yang berbentuk persegi panjang yang di atur dalam baris dan kolom dan di batasi sebuah tanda kurung di sebut matriks. Determinan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi n² elemen matriks bujur sangkar. Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujur sangkar (matriks kuadrat). Notasi determinan matriks A : det (A) = |A| atau det A =|A|.
Determinan matriks dapat ditentukan dengan metode minor-kofaktor berbasis baris dan kolom matriks. Pemilihan kolom (atau baris) matriks untuk menghitung determinan suatu matriks usahakan pilih kolom atau baris yang elemennya banyak bernilai 0 atau 1 supaya mudah dalam perhitungannya.
B. SARAN
Sehubungan dengan materi matriks, penggunaan alat peraga matematika sebagai media pembelajaran kami rasa dapat membantu proses pembelajaran menjadi lebih menyenangkan karena dengan menggunakan alat peraga dapat memberikan variasi terhadap belajar siswa sehingga siswa tidak mudah bosan dan kesulitan dalam memahami konsep matematika yang bersifat abstrak. Dengan adanya alat peraga konsep matematika yang bersifat abstrak tersebut dapat disajikan dalam bentuk kongkrit yang dapat dilihat, dicoba dan dipegang sendiri oleh siswa sehingga siswa dapat dengan mudah untuk memahami materi yang sedang dipelajari.
Sehingga seorang guru atau calon guru harus mempunyai sifat kreatif dan inovatif agar dapat membuat atau bahkan menciptakan alat peraga yang dapat membuat proses pembelajaran menjadi lebih efektif dan efisien.
UCAPAN TERIMA KASIH
Dalam kesempatan ini kami sampaikan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada :
1) ALLAH SWT yang telah memberikan rahmat
2) Kedua orang tua kami serta keluarga yang telah memberikan motivasi baik dalam Moril maupun Materil.
3) Hendra Kartika, S.Pd., M.Pd. selaku dosen pengampu mata kuliah Aljabar Linear.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Dr. Ruminta, “Matriks Persamaan Linear dan Pemrograman Linear”. Bandung : Rekayasa Sains, 2014, pp.96-100.
