INVERS MATRIKS
Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien sehingga didapatkan bentuk matriks lain, dengan melakukan operasi pada matriks tersebut kita dapat menemukan solusi SPL.
Sebelum kita membahas permasalahan tersebut, akan diberikan terlebih dahulu macam-macam matriks dan sifatnya.
Matriks Bujur sangkar adalah suatu matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom, dinotasikan dengan An = ( aij ) ; i = j = 1,2,3,…n. Bilangan n merupakan bentuk pendek dari penulisan n x n yang merupakan ukuran matriks tersebut. Bila suatu elemen matriks bujur sangkar nomor baris sama dengan nomor kolom maka elemen tersebut dinamakan elemen diagonal utama, yaitu aij , i = j.
Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar dengan semua elemen dibawah atau di atas elemen diagonal utama sama dengan nol. Bila semua elemen di atas elemen diagonal utama sama dengan nol maka lebih dikenal dengan Matriks segitiga bawah, sedangkan sebaliknya dikenal dengan Matriks segitiga atas. Bila semua elemen di atas dan dibawah elemen diagonal utama sama dengan nol dinamakan Matriks diagonal.
Keadaan khusus dari matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama sama dengan satu dinamakan Matriks Identitas, dinotasikan dengan In, n = 1,2,3,…
Untuk lebih memperjelas diberikan beberapa matriks dan jenisnya.
A= B C I
−
−
=
−
−
= −
=
3 0 0
0 1 0
4 2 0
0 1 2
0 1 3
0 0 5
2 0 0
0 1 0
0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
; ; ;
Kempat matriks merupakan matriks bujur sangkar, secara khusus A matriks segitiga bawah dan B matriks segitiga atas. Sedang matriks C dan I merupakan matriks diagonal tetapi I dapat secara lebih khusus merupakan matriks identitas.
Operasi aljabar pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan dan perkalian.
Dua buah matriks atau lebih dapat dilakukan operasi penjumlahan atau pengurangan bila ukuran matriksnya sama. Sedangkan operasi perkalian dibedakan menjadi dua yaitu perkalian matriks dengan skalar ( bilangan riil ) dan perkalian matriks dengan matriks lain. Perkalian matriks dengan skalar k menghasilkan suatu matriks dengan ukuran sama dan semua elemen dikalikan dengan skalar k. Perkalian matriks dengan matriks lain, misal matriks A dikalikan di sebelah kiri matriks B, yakni AB dapat dilakukan bila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.
Dari uraian tersebut dapat diberikan kesimpulan bahwa pada penjumlahan matriks berlaku sifat komutaif, asosiatif dan distributif. Sedang pada perkalian matriks dengan matriks tidak berlaku sifat komutatif. Untuk lebih memperjelas diberikan contoh berikut.
Contoh
Diketahui matriks berikut :
A= B C D
−
− −
= −
−
=
−
−
=
−
1 0 2
3 1 0
3 2 4
1 2
0 3
1 0
1 2
0 3
2 1
0 2
0 3
2 1
; ; ;
Hitung :
1. B - 2 C + 2 D 2. B - 2 ( C - D ) 3. AB - AC 4. A ( B - C )
Jawab :
1.
1 2
0 3
1 0
2
1 2
0 3
2 1
2
0 2
0 3
2 1
1 2
0 9
1 0
−
−
−
−
−
+
−
=
−
−
2.
1 2
0 3
1 0
2
1 2
0 3
2 1
0 2
0 3
2 1
1 2
0 9
1 0
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
3.
−
− −
−
−
−
−
− −
−
−
=
− −
− −
1 0 2
3 1 0
3 2 4
1 2
0 3
1 0
1 0 2
3 1 0
3 2 4
1 2
0 3
2 1
6 6
0 9
12 16
4.
−
− −
−
−
−
−
−
=
− −
− −
1 0 2
3 1 0
3 2 4
1 2
0 3
1 0
1 2
0 3
2 1
6 6
0 9
12 16
Perkalian suatu dengan matriks identitas akan menghasilkan matriks itu sendiri.
Hal ini memotivasi pengertian dari matriks berikut. Bila suatu matriks bujursangkar A dikalikan dengan matriks bujursangkar B menghasilkan matriks identitas, yaitu AB=BA=I maka dikatakan A merupakan invers B atau B merupakan invers A. Misal B merupakan invers dari A. Maka notasi yang digunakan B = A-1. Suatu matriks yang mempunyai invers dikatakan matriks invertibel ( dapat dibalik ).
Sifat yang dapat diturunkan dari matriks invertibel yaitu bila dua buah matriks A dan B invertibel maka Hasilkalinya, AB juga invertibel, dan invers dari hasilkalinya merupakan perkalian invers-inversnya dalam urutan dibalik, ( AB )-1 = B-1A-1. Bila diambil B = A maka didapatkan hubungan ( A2 )-1 = ( A-1)2. Secara umum untuk n bilangan bulat positif dapat ditunjukkan secara induktif berlaku : ( An )-1 = ( A-1)n.
Dari matriks identitas bila dilakukan satu kali OBE akan didapatkan suatu matriks yang disebut matriks Elementer. Matriks elementer merupakan matriks invertibel. Contoh matriks elementer diberikan berikut.
E1 2 0 E2 E3 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
3 0 0 1
=
=
−
=
; ;
Matriks E1 didapatkan dari I2 dengan OBE ( 2 b1 ), matriks E2 didapatkan dari I3 dengan OBE ( -b2 + b3 ), matriks E3 didapatkan dari I4 dengan OBE ( 3 b1 + b4 ).
Bila matriks A dilakukan sebanyak hingga OBE sehingga didapatkan matriks B maka dikatakan A ekivalen baris B atau B ekivalen baris A. Dari definisi tersebut dapat diturunkan suatu sifat, bila suatu matriks A ekivalen baris dengan I maka A merupakan matriks invertibel ( punya invers ). Hal ini menunjukkan bahwa dengan melakukan OBE pada A didapatkan matriks I dan dengan OBE yang sama pada matriks I didapatkan A-1. Untuk lebih memberikan gambaran dalam menentukan invers suatu matriks invertibel diberikan contoh berikut.
Contoh
Tentukan invers matriks berikut bila ada !
a. A=
2 6 6
2 7 6
2 7 7
b. B=
1 0 0 0
1 3 0 0
1 3 5 0
1 3 5 7
Jawab :
a.
2 6 6 2 7 6 2 7 7
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 3
1 1 0
0 1 1
0 3
1 1 0
0 1 1
72
1 72
→
−
−
−
⇒ =
−
−
−
A−
b.
1 0 0 0 1 3 0 0 1 3 5 0 1 3 5 7
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0
0 0
0 0
0 0
13 1 3 15 1
5 17 1
7
→
⇒
−
−
−
B−
−
−
−
=
1 1
3 1 13
5 1 5 17 1
7
1 0 0 0
0 0
0 0
0 0
Misal diberikan SPL dengan n peubah dan n persamaan dengan A X = B. Maka SPL mempunyai solusi tunggal yang dapat dituliskan sebagai :
X = A-1 B
Contoh
Tentukan solusi SPL berikut : x + z = -2
y + z = 3 x + y = 0 Jawab :
SPL dapat dituliskan sebagai A X = B : 1 0 1
0 1 1 1 1 0
2 3 0
=
−
x
y z
1 0 1 0 1 1 1 1 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
12 1
2 1
2 12 1
2 1
2 12 1
2 1
2
1
→ −
−
⇒ =
−
−
−
−
A−
Solusi : x y z
=
−
−
−
−
=
− 1
2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
2 3 0
52 52 12
Soal latihan
( Nomor 1 sd 3 ) Tentukan invers matriks yang diberikan berikut bila ada :
1. A=
−
−
−
1 3 0
2 4 1
5 2 2
2. B=
2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3
3. C=
− − −
1 3 1 5 3
2 7 0 4 2
0 0 1 0 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1 1
( Nomor 4 dan 5 ) Tentukan solusi SPL berikut dengan mencari invers matriks koefisiennya terlebih dahulu.
4. x + y + z = 5
x + y - 4 z = 10 -4 x + y + z = -1
5. -x - 2 y - 3 z = 0 w + x + 4 y + 4 z = 7 w + 3 x + 7 y + 9 z = 4 -w - 2 x - 4 y - 6 z = 6
