Materi Matematika Kelas Xii

(1)

MATERI PEMBELAJARAN KELAS XII IPA

Semester 1

BAB I BAB I INTEGRAL INTEGRAL Integral

Integraladalah lawan (invers) dari diferensial (turunan).adalah lawan (invers) dari diferensial (turunan).

RUMUS

RUMUS – – RUMUS INTEGRAL:RUMUS INTEGRAL:











































  cc x x xdx xdx cc x x xdx xdx cc x x g g f f x x g g x x g g x x g g f f dx dx x x g g x x g g f f cc x x dx dx x x n n cc x x n n dx dx x x ta ta kons kons cc cc ax ax adx adx n n n n ccosos sin sin sin sin ccosos .. 5 5 )) (( )) (( '' )) (( '' .. )) (( )) (( '' .. )) (( .. 4 4 llnn 1 1 .. 3 3 1 1 ,, 1 1 1 1 .. 2 2 )) tan tan (( ,, .. 1 1 '' 1 1 INTEGRAL TERTENTU INTEGRAL TERTENTU Jika

Jika



f f (( x x))dxdx



gg((xx)), maka, maka

)) (( )) (( )) (( )) (( x x dxdx gg x x gg bb gg aa f f bb_a_a b b a a







SIFAT-SIFAT: SIFAT-SIFAT:





































cc b b ax ax a a dx dx b b ax ax cc b b ax ax a a dx dx b b ax ax dx dx x x g g dx dx x x f f dx dx x x g g x x f f dx dx x x f f cc dx dx x x cf cf cc b b a a dx dx x x f f dx dx x x f f dx dx x x f f dx dx x x f f dx dx x x f f b b a a cc b b cc a a a a b b b b a a )) sin( sin( 1 1 )) cos( cos( .. 6 6 )) cos( cos( 1 1 )) sin( sin( .. 5 5 )) (( )) (( )) (( )) (( .. 4 4 )) (( )) (( .. 3 3 ,, )) (( )) (( )) (( .. 2 2 )) (( )) (( .. 1 1 CARA PENGINTEGRALAN CARA PENGINTEGRALAN 1. 1. SubstitusiSubstitusi

(2)

I =



f f (( x x))dxdx substitusi :

substitusi : x = Q(u) ; dx = Q`(u) dux = Q(u) ; dx = Q`(u) du I =

I =



f(Q(u)) Q`(u) duf(Q(u)) Q`(u) du

jika ruas kanan telah diintegralkan, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u) jika ruas kanan telah diintegralkan, subtitusi kembali dengan fungsi invers dari x = Q(u)

(ket : Prinsipnya adalah

(ket : Prinsipnya adalah merubah variabel merubah variabel sehingga rumus dapat digunakan).sehingga rumus dapat digunakan). 2. Substitusi Trigonometri 2. Substitusi Trigonometri a. Bentuk a. Bentuk aa22



x x22 cc x x a a x x a a x x a a dx dx x x a a









22 22 22 22 22 2 2 1 1 arcsin arcsin 2 2 1 1 b. Bentuk b. Bentuk



aa22



bb22 x x22

Gunakan substitusi : x = a/b tg Gunakan substitusi : x = a/b tg 

dx = a/b sec

dx = a/b sec22  _d_d 

c. Bentuk



bb22 x x22



aa22

Gunakan substitusi : x = a/b sec Gunakan substitusi : x = a/b sec 

dx = a/b tg

dx = a/b tg  _sec_sec22 

3. Parsial 3. Parsial

Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu Yaitu mengenai integral dari suatu bentuk yang merupakan hasil perkalian antara suatu fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x

fungsi x dengan turunan dari suatu fungsi x yang lain.yang lain.

I I == Misalkan Misalkan :: u u = = f(x) f(x) ; ; dv dv = = g(x) g(x) dxdx du du = = ... ... dx dx ; ; v v == = ...= ... makamaka ::

Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk Pemisalan dibuat sedemikian sehingga bentuk  Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara

Untuk hal-hal khusus dapat digunakan cara TABULASI.TABULASI.

Contoh Soal: Contoh Soal: 1. 1.



x x22dxdx



x x33



cc 3 3 4 4 4 4 2. 2.



x x







cos(cos(22 x x



77))



cc 2 2 1 1 )) 7 7 2 2 sin( sin( 3. 3.













3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 4 4 3 3 1 1 2 2 4 4 )) 3 3 (( )) 5 5 (( )) 3 3 5 5 (( x x x x dxdx x x dxdx x x dxdx = = 33 ((3355 1133)) ((3333 1133)) 221166 1 1 3 3 3 3 1 1 5 5

_

_

_

_

xx x x f(x) g(x) dxf(x) g(x) dx g(x) dxg(x) dx u duu du = u v -= u v - v duv du

(3)

Penggunaan Integral

1.

1. Untuk menghitung luas daerah.Untuk menghitung luas daerah. a.

a. Luas daerah yang dibatasi oleh Kurve F(x) Luas daerah yang dibatasi oleh Kurve F(x) , sumbu x dari x = a , sumbu x dari x = a s.d x = b adalah:s.d x = b adalah: Luas (L) = Luas (L) =



    b b x x a a x x d dxx x x F F ₍₍ ₎₎ b.

b. Luas daerah yaLuas daerah yang dibatasi oleh ng dibatasi oleh dua kurva F(x) dan dua kurva F(x) dan G(x) dari x G(x) dari x = a s.d = a s.d x= bx= b adalah : adalah : Luas (L) = Luas (L) =



   



b b x x a a x x d dxx x x G G x x F F ₍₍ ₎₎ ₍₍ ₎₎ 2.

2. Untuk menghitung volume benda putarUntuk menghitung volume benda putar a.

a. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(x), sumbu x Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(x), sumbu x dari x = a s.ddari x = a s.d x= b adalah : x= b adalah : Volume (V) = Volume (V) =



    b b x x a a x x

dx

x

F

22

((

))

  b.

b. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(x), dan G(Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(x), dan G( x) dari x = a s.dx) dari x = a s.d x= b adalah : x= b adalah : Volume (V) = Volume (V) =



   



b b x x a a x x

dx

x

G

x

F

22

((

))

22

((

))

  c.

c. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(y), sumbu Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(y), sumbu y dari y = a s.dy dari y = a s.d y= b adalah : y= b adalah : Volume (V) = Volume (V) =



    b b y y a a y y

dx

y

F

22

((

))

  d.

d. Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(y), dan G(Volume benda putar jika daerah yang dibatasi krva F(y), dan G( y dari y = a s.dy dari y = a s.d y= b adalah : y= b adalah : Volume (V) = Volume (V) =



   



b b x x a a x x

dx

x

G

x

F

22

((

))

22

((

))

  LATIHAN SOAL. LATIHAN SOAL.

Selesaikan soal-soal berikut ini. Selesaikan soal-soal berikut ini. 1. 1. coscos ... 2 2 / / 0 0





  xdx xdx .. 2. 2.



(( x x22



33))55..22 xdx xdx



... .. 3.

3.



(sin(sin x x



ccosos x x))22dxdx



... .. 4. Jika F

(4)

5.

5. Hasil Hasil daridari



3x cos 2x dx = ....3x cos 2x dx = ....

6. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva

6. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y y x x 22xx33 dan sumbu x pada intervaldan sumbu x pada interval 4

4 1

1



xx



7.Hitung volume benda putar apabila daerah yang dibatasi kurva

7.Hitung volume benda putar apabila daerah yang dibatasi kurva y yxx22 22 dan sumbu xdan sumbu x pada interval

(5)

1.

1. Pengertian Program LinearPengertian Program Linear

Program Linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan menggunakan Program Linear adalah suatu cara untuk penyelesaian masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian, dengan persamaan atau pertidaksamaan linear yang mempunyai banyak penyelesaian, dengan memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang maksimum/minimum memperhatikan syarat-syarat agar diperoleh hasil yang maksimum/minimum (penyelesaian optimum).

(penyelesaian optimum).

Contoh : Contoh :

Diketahui pertidaksamaan linear sebagai berikut : Diketahui pertidaksamaan linear sebagai berikut :

3 3





_yy x x 10 10 5 5 2 2 x x



yy





0 0



x x 0 0



y y

Tentukan : a. Grafik dari sistem pertidaksamaan tersebut. Tentukan : a. Grafik dari sistem pertidaksamaan tersebut.

b. Nilai maksimumnya jika Z= 3x + 2y b. Nilai maksimumnya jika Z= 3x + 2y

a.

a. Grafik dari pertidaksamaan linear berbentuk suatu daerah yaitu daerahGrafik dari pertidaksamaan linear berbentuk suatu daerah yaitu daerah yang diarsir.

yang diarsir. b.

b. Nilai maksimum dari pertidaksamaan linear dapat diperoleh dariNilai maksimum dari pertidaksamaan linear dapat diperoleh dari mensubstitusi koordinat-koordinat

mensubstitusi koordinat-koordinat titik A titik A , B , B dan dan C ke C ke persamaan :persamaan : Z =

Z = 3x + 3x + 2y sebagai 2y sebagai berikutberikut A(0,2) m

A(0,2) maka aka Z = Z = 3(0) + 3(0) + 2(2) = 2(2) = 44 C(3,0) maka

C(3,0) maka Z Z = = 3(3) + 3(3) + 2(0) = 2(0) = 99

Untuk koordinat B(x,y) dapat dicari dengan mengeliminasi persamaan Untuk koordinat B(x,y) dapat dicari dengan mengeliminasi persamaan linear : linear : x x + + y = y = 3 3 | | x5 | x5 | 5x 5x + + 5y 5y = = 1515 2x 2x – – 5y =5y = – – 10 10 | | x1 x1 | | 2x2x – – 5y =5y = – – 1010 3 3 _B_B A A 2 2 C C 3 3 0 0 -5 -5 BAB II BAB II PROGRAM LINEAR PROGRAM LINEAR

(6)

+ + 7x 7x = = 55 x x == 7 7 5 5 x + y = 3 x + y = 3



7 7 5 5 + y = 3 + y = 3



y = 3y = 3 – – 7 7 5 5 = = 7 7 16 16 sehingga B( sehingga B( 7 7 5 5 ,, 7 7 16 16 )) Z Z = = 3(3( 7 7 5 5 ) + 2( ) + 2( 7 7 16 16 ) = ) = 7 7 15 15 + + 7 7 32 32 = = 7 7 47 47 = = 7 7 6 6 6 6

Dari substitusi A, B , dan C tersebut disimpulkan bahwa nilai Dari substitusi A, B , dan C tersebut disimpulkan bahwa nilai maksimumnya adalah 9 yang diperoleh untuk x = 3 dan y = 0 ( atau pada maksimumnya adalah 9 yang diperoleh untuk x = 3 dan y = 0 ( atau pada titik B)

titik B)

2.

2. Model MatematikaModel Matematika

Model matematika adalah sistem persamaan atau pertidaksamaan yang Model matematika adalah sistem persamaan atau pertidaksamaan yang mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x

mengungkapkan semua syarat yang harus dipenuhi oleh x dan y.dan y.

Model matematika ini merupakan cara sederhana untuk memandang suatu masalah Model matematika ini merupakan cara sederhana untuk memandang suatu masalah dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan matematika.

dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan matematika.

Contoh 1 : Contoh 1 :

Jika harga tiga buku dan lima pensil Rp. 30.000,00 sedangkan harga dua buku dan Jika harga tiga buku dan lima pensil Rp. 30.000,00 sedangkan harga dua buku dan satu pensil Rp. 13.000,00.

satu pensil Rp. 13.000,00. Buatlah model matematikanya.Buatlah model matematikanya.

Penyelesaian: Penyelesaian:

Misalkan satu buku = x Misalkan satu buku = x

Satu pensil = y Satu pensil = y Maka mod

Maka model mel matematikanya atematikanya 3x + 3x + 5y = 5y = 30.00030.000 2x

2x + + y = y = 13.00013.000

Contoh 2 : Contoh 2 :

Seorang pedagang akan membuat 2 jenis roti dengan menggunakan bahan tepung Seorang pedagang akan membuat 2 jenis roti dengan menggunakan bahan tepung 200 gram dan mentega 25

200 gram dan mentega 25 gram untuk jenis A. Sedangkan untuk jenis gram untuk jenis A. Sedangkan untuk jenis B digunakanB digunakan bahan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Jika bahan yang tersedia 3 kg bahan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Jika bahan yang tersedia 3 kg tepung dan 1,1 kg mentega, tentukan :

tepung dan 1,1 kg mentega, tentukan : a.

a. Model matematikanyaModel matematikanya b.

b. Sketsa grafiknyaSketsa grafiknya c.

c. Fungsi tujuan untuk keuntungan maksimum jika roti A seharga Rp. 3.600,00Fungsi tujuan untuk keuntungan maksimum jika roti A seharga Rp. 3.600,00 dan roti B Rp. 2.400,00.

(7)

Penyelesaian: Penyelesaian:

Misal roti A = x dan roti B = Misal roti A = x dan roti B = yy

Jenis

Jenis roti roti Tepung Tepung Mentega Mentega HargaHarga A A B B Persediaan Persediaan 200 gr 200 gr 100 gr 100 gr 3 kg = 3000 gr 3 kg = 3000 gr 25 gr 25 gr 50 gr 50 gr 1,1 kg = 1100 gr 1,1 kg = 1100 gr 3600 3600 2400 2400 a.

a. Model matematika:Model matematika: Roti A

Roti A



200200 x x



100100yy



30003000



22 x x



yy



3030

Roti B



2525 x x



5050yy



11001100



x x



22yy



4444

Banyaknya roti A adalah

Banyaknya roti A adalah x x



00

Banyaknya roti B adalah

Banyaknya roti B adalah y y



00 b.

b. Sketsa grafik Sketsa grafik

3000 3000 100 100 200 200 x x



yy





22 x x



yy



3030 1100 1100 50 50 25 25 x x



yy





x x



22yy



4444 0 0



x x 0 0



y y

Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir. Daerah penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir.

c.

c. Fungsi tujuan Z yang berupa keuntungan maksimum berdasarkan banyaknyaFungsi tujuan Z yang berupa keuntungan maksimum berdasarkan banyaknya roti yang dibuat yaitu :

roti yang dibuat yaitu : Z = 3600 x + 2400 y Z = 3600 x + 2400 y

3.

3. Nilai OptimumNilai Optimum

Nilai optimum diperoleh berdasarkan nilai fungsi tujuan yang dikehendaki, yaitu Nilai optimum diperoleh berdasarkan nilai fungsi tujuan yang dikehendaki, yaitu berupa nilai maksimum atau nilai minimum. Cara mencarinya bias dengan :

berupa nilai maksimum atau nilai minimum. Cara mencarinya bias dengan :

30 30 0 0 1515 4444 22 22

(8)

a.

a. Mensubstitusi koordinat titik-titik sudut dalam daerah penyelesaianMensubstitusi koordinat titik-titik sudut dalam daerah penyelesaian terhadap fungsi tujuan.

terhadap fungsi tujuan. b.

b. Menggunakan garis selidik.Menggunakan garis selidik. a.d:

a.d: a.

a. Mensubstitusi koordinat titik-titik sudut dalam daerah penyelesaian terhadapMensubstitusi koordinat titik-titik sudut dalam daerah penyelesaian terhadap fungsi tujuan. fungsi tujuan. Contoh : Contoh : Model matematikanya Model matematikanya 12 12 2 2 x x



yy



12 12 2 2





yy x x 0 0



x x 0 0



y y

Fungsi tujuan yang maksimum/minimum , Z = 5 x + y Fungsi tujuan yang maksimum/minimum , Z = 5 x + y

Periksa

Periksa koordinat koordinat titik titik O, O, A, B A, B dan dan C C sebagai tsebagai titik-titik itik-titik sudut dsudut dalam alam daerahdaerah penyelesaian

penyelesaian (x,y)

(x,y)



Z = 5 x + yZ = 5 x + y O(0,0)

O(0,0)



Z Z = 5(0) = 5(0) + 0 + 0 = 0 = 0 (minimum)(minimum) A(0,6) A(0,6)



Z = 5(0) + 6 = 6Z = 5(0) + 6 = 6 B(4,4) B(4,4)



Z = 5(4)+4 = 24Z = 5(4)+4 = 24 C(6,0) C(6,0)



Z Z = = 5(6)+0 5(6)+0 = = 30 30 (maksimum)(maksimum)

Jadi nilai maksimum sebesar 30 dicapai pada x = 6 dan y = 0, sedangkan nilai Jadi nilai maksimum sebesar 30 dicapai pada x = 6 dan y = 0, sedangkan nilai minimum sebesar 0 dicapai pada x = 0 dan

minimum sebesar 0 dicapai pada x = 0 dan y = 0y = 0

b.

b. Menggunakan garis selidik Menggunakan garis selidik

Garis selidik adalah garis yang diperkirakan berpotongan dengan garis lain yang Garis selidik adalah garis yang diperkirakan berpotongan dengan garis lain yang mendekati nilai optimum.

mendekati nilai optimum. Bentuk umum garis

Bentuk umum garis selidik : ax + by selidik : ax + by = k ; = k ; k k



RR

ax + by diperoleh dari bentuk fungsi tujuan garis selidik ini semakin jauh dari 0 ax + by diperoleh dari bentuk fungsi tujuan garis selidik ini semakin jauh dari 0 harganya makin besar (maksimum).

harganya makin besar (maksimum). Contoh : Contoh : 12 12 2 2





_yy x x 12 12 2 2 x x



yy



B(4,4) B(4,4) A A C C O O 6 6 6 6 12 12 12 12

(9)

12 12 2 2 x x



yy



12 12 2 2





_yy x x 0 0



x x ,, y y



00

Fungsi tujuan yang maksimum/minimum , Z = 5 x + y Fungsi tujuan yang maksimum/minimum , Z = 5 x + y Maka garis selidik ;

Maka garis selidik ; k = 5 x + y , dengan k k = 5 x + y , dengan k



RR

Tampak bahwa garis selidik terjauh dari

Tampak bahwa garis selidik terjauh dari titik O(0,0) adalah garis yang melalui titik titik O(0,0) adalah garis yang melalui titik C(6,0) yaitu Z = 5(6)+0=30.

C(6,0) yaitu Z = 5(6)+0=30.

LATIHAN SOAL. LATIHAN SOAL.

Kerjakan soal-soal berikut: Kerjakan soal-soal berikut: 1.

1. Tentukan persamaan dari gambar berikut :Tentukan persamaan dari gambar berikut :

2.

2. Gambarlah Gambarlah daerah daerah HP HP dari dari 3X 3X + + 2 2 Y Y < < 1212 5X + 6Y < 30 5X + 6Y < 30 X > 0 X > 0 Y > 0 Y > 0 3.

3. Gambarlah Gambarlah grafik grafik 2X 2X + + Y Y = = 1212

12 12 2 2





_yy x x 12 12 2 2 x x



yy



B(4,4) B(4,4) A A C C O O 6 6 6 6 12 12 12 12 k k y y x x





5 5

(10)

4X + 3Y = 12 4X + 3Y = 12

4.

4. Tentukan pertidaksamaan-pertidaksamaan dari gambar berikutTentukan pertidaksamaan-pertidaksamaan dari gambar berikut

5.

5. Tempat parkir seluas 360Tempat parkir seluas 360 mm dapat menampung tidak lebih dari 30 kendaraan.22 dapat menampung tidak lebih dari 30 kendaraan. Untuk parkir sebuah sedan diperlukan rata-rata 6

Untuk parkir sebuah sedan diperlukan rata-rata 6 mm dan sebuah bus 2422dan sebuah bus 24mm . Jika22. Jika banyak sedan dinyatakan dengan x dan banyak bus dinyatakan dengan y , maka banyak sedan dinyatakan dengan x dan banyak bus dinyatakan dengan y , maka tentukanlah model matematika dari persoalan tersebut.

(11)

A.

A. PENGERTIAN MATRIKSPENGERTIAN MATRIKS

1.

1. PengertianPengertian

Matriks adalah susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk Matriks adalah susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Susunan itu diletakkan dalam suatu kurung

persegi panjang. Susunan itu diletakkan dalam suatu kurung biasa atau kurung siku.biasa atau kurung siku.

Contoh : 1). Contoh : 1).

_











y y x x 2). (4 2). (4 – – 2 2 5) 5) 3).3).

_











5 5 4 4 3 3 10 10 8 8 6 6 2.

2. Notasi MatriksNotasi Matriks

Suatu matriks dilambangkan dengan huruf besar. Suatu matriks dilambangkan dengan huruf besar. Contoh : Contoh : 1). A= 1). A=

_











y y x x 2). B = (4 2). B = (4 – – 2 2 5) 5) 3).C 3).C ==

_











5 5 4 4 3 3 10 10 8 8 6 6

Setiap kolom dalam suatu susunan disebut elemen (unsur), yang ditunjukkan Setiap kolom dalam suatu susunan disebut elemen (unsur), yang ditunjukkan pertama menyebutkan nomor barisnya dan kemudian nomor kolomnya.

pertama menyebutkan nomor barisnya dan kemudian nomor kolomnya.

A = A =















6 6 4 4 3 3 1 1 0 0 3 3 2 2 1 1 2 2 5 5 4 4 3 3 –

– 1 1 adalah elemen adalah elemen baris kedua kolom baris kedua kolom pertamapertama 6

6 adalah elemen adalah elemen baris ke tigbaris ke tiga kolom ke a kolom ke empat.empat.

3.

3. Ordo Suatu MatriksOrdo Suatu Matriks

Ordo suatu matriks diberikan dengan menyertakan banyaknya baris kemudian Ordo suatu matriks diberikan dengan menyertakan banyaknya baris kemudian kolom. kolom. Contoh : Contoh : A = A =

_











5 5 2 2 3 3 4 4 0 0 1 1

Banyaknya baris matriks A adalah 2 Banyaknya baris matriks A adalah 2 Banyaknya kolom matriks A adalah 3. Banyaknya kolom matriks A adalah 3. Ordo matriks A adalah 2 x 3 ditulis Ordo matriks A adalah 2 x 3 ditulis A A2233

Baris 1 Baris 1 Baris 2 Baris 2 Baris 3 Baris 3 Kolom 1 Kolom 1 Kolom 3 Kolom 3 Kolom 2 Kolom 2 Kolom 4 Kolom 4 BAB III BAB III MATRIKS MATRIKS

(12)

Secara umum : Secara umum :

Jika banyaknya baris matriks A

Jika banyaknya baris matriks A adalah m dan banyaknya adalah m dan banyaknya kolom kolom n maka ordon maka ordo matriks A ialah m x n ditulis

matriks A ialah m x n ditulis A A_m_m_n_n..

4.

4. MacamMacam – – Macam MatriksMacam Matriks a.

a. Matriks BarisMatriks Baris

Bila suatu matriks hanya mempunyai satu baris disebut matriks baris. Bila suatu matriks hanya mempunyai satu baris disebut matriks baris.

Contoh

Contoh : : A A = = ( ( 2 2 44 – – 7 )7 ) b.

b. Matriks KolomMatriks Kolom

Bila suatu matriks hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom. Bila suatu matriks hanya mempunyai satu kolom disebut matriks kolom.

Contoh Contoh : : B B ==



















5 5 4 4 1 1 5 5 c.

c. Matriks Bujur SangkarMatriks Bujur Sangkar

Bila suatu matriks banyaknya baris dan banyaknya kolom sama, maka disebut Bila suatu matriks banyaknya baris dan banyaknya kolom sama, maka disebut matriks bujur sangkar.

matriks bujur sangkar. Contoh Contoh : : A A ==

_











8 8 6 6 1 1 3 3



_{matriks bujursangkar berordo 2}_{matriks bujursangkar berordo 2}

B = B =















1 1 1 1 6 6 0 0 2 2 5 5 1 1 3 3 2 2



_{matriks bujursangkar berordo 3}_{matriks bujursangkar berordo 3}

d.

d. Matriks Identitas (Matriks Satuan).Matriks Identitas (Matriks Satuan).

Bila suatu matriks bujur sangkar yang semua elemen pada diagonal utama Bila suatu matriks bujur sangkar yang semua elemen pada diagonal utama adalah 1 dan elemen-elemen yang lain 0 , maka disebut matriks identitas. adalah 1 dan elemen-elemen yang lain 0 , maka disebut matriks identitas. Contoh Contoh : : I I ==

_











1 1 0 0 0 0 1 1 5.

5. Kesamaan MatriksKesamaan Matriks

Dua matriks A dan B disebut sama jika : Dua matriks A dan B disebut sama jika :

a.

a. Kedua matriks mempunyai ordo yang samaKedua matriks mempunyai ordo yang sama b.

b. Unsur (elemen) yang bersesuaian sama.Unsur (elemen) yang bersesuaian sama. Contoh : Contoh : A = A =

_











8 8 6 6 1 1 3 3 B = B =

_













1616₂₂ 2 2 6 6 1 1 5 5 1 1

(13)

Matriks A = B, sebab ordonya sama dan Matriks A = B, sebab ordonya sama dan 3 =

3 = 6622 1 = 11 = 1

6

6 = = 5 5 + + 1 1 8 8 == 1616₂₂

6.

6. Transpose Matriks dan NotasinyaTranspose Matriks dan Notasinya

Dari matriks A yang diketahui dibentuk matriks baru dengan ketentuan : Dari matriks A yang diketahui dibentuk matriks baru dengan ketentuan :

a.

a. Baris pertama matriks A menjadi kolom pertama matriks baru.Baris pertama matriks A menjadi kolom pertama matriks baru. b.

b. Baris kedua matriks A menjadi kolom ke dua matriks baru dan seterusnya.Baris kedua matriks A menjadi kolom ke dua matriks baru dan seterusnya.

Matriks baru yang terbentuk itu

Matriks baru yang terbentuk itu disebut transpose matriks A dan ditulis A’ disebut transpose matriks A dan ditulis A’ atauatau

T T

A

A (dibaca tranpos A ).(dibaca tranpos A ). Contoh : Contoh : A = A =

_











0 0 9 9 4 4 1 1 7 7 2 2

















0 0 1 1 9 9 7 7 4 4 2 2 T T A A LATIHAN

LATIHAN SOAL.SOAL.

1.

1. Sebutkan banyaknya baris dan kolom dari matriks-matriks berikut :Sebutkan banyaknya baris dan kolom dari matriks-matriks berikut :

a. a.















9 9 0 0 7 7 5 5 3 3 1 1 A A c. P =c. P =













z z y y x x b. b.

_















9 9 1 1 0 0 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 B B d. d. R R = = ( ( 3 3 5 5 1 1 6)6) 2.

2. Tentukan ordo dari matriks-matriks berikut.Tentukan ordo dari matriks-matriks berikut.

a. a. A A = = ( ( 8 8 2 2 0 0 3 3 5) 5) c. M c. M ==



















5 5 3 3 0 0 1 1 b. b.

_











 





8 8 7 7 2 2 0 0 5 5 0 0 1 1 4 4 B B d. N =d. N =













5 5 0 0 6 6 1 1 0 0 2 2 4 4 5 5 0 0 3.

3. Tentukan x dan y dariTentukan x dan y dari a. a. ( ( 5x5x – – 2y) 2y) = ( = ( 10 10 4 4 )) b. b.

_

































1 1 8 8 2 2 2 2 y y x x y y x x c. c.













 





















2 2 1 1 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 y y x x y y x x 4.

(14)

a. a. A =A =

_













0 0 2 2 1 1 1 1 4 4 2 2 c. c. C C ==



















8 8 2 2 1 1 0 0 6 6 4 4 3 3 5 5 b. b. B =B =



















0 0 1 1 2 2 1 1 d. d. D D = = ( ( 4 4 2 2 5 5 9 9 0)0) 5. 5. Diketahui Diketahui P P ==

_













yy x x 3 3 9 9 dan dan Q Q ==

_













4 4 9 9 3 3 5 5 Jika

Jika PPT T = Q,tentukan nilai x dan y.= Q,tentukan nilai x dan y.

B.

B. PENJUMLAHAN MATRIKSPENJUMLAHAN MATRIKS

1.

1. Penjumlahan MatriksPenjumlahan Matriks

Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan,jika ordo matriks A sama dengan ordo Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan,jika ordo matriks A sama dengan ordo matriks B. Menjumlahkan matriks A dengan matriks B dilakukan dengan cara matriks B. Menjumlahkan matriks A dengan matriks B dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen matriks A dengan elemen matriks B yang bersesuaian menjumlahkan elemen matriks A dengan elemen matriks B yang bersesuaian letaknya(seletak). letaknya(seletak). Misal : Misal : A = A =

_











d d cc b b a a dan dan B B ==

_











h h g g f f ee Maka Maka A + A + B B ==

_











d d cc b b a a + +

_











h h g g f f ee = =

_













h h d d g g cc f f b b ee a a Contoh : Contoh : 1. Jika P = 1. Jika P =













3 3 2 2 3 3 dan dan Q Q ==















4 4 2 2 0 0 maka maka P + P + Q =Q =













3 3 2 2 3 3 + +















4 4 2 2 0 0 = =













7 7 0 0 3 3 Q + P = Q + P =















4 4 2 2 0 0 + +













3 3 2 2 3 3 = =













7 7 0 0 3 3 karena P + Q = Q + P, maka p

karena P + Q = Q + P, maka penjumlahan matriksenjumlahan matriks

bersifat komutatif. bersifat komutatif. 2. Jika A = 2. Jika A =

_











2 2 4 4 1 1 2 2 B = B =

_











3 3 2 2 1 1 0 0 dan dan C C ==

_











9 9 8 8 7 7 3 3 maka

maka a). ( A a). ( A + B ) + B ) + C =+ C =

_



















































9 9 8 8 7 7 3 3 3 3 2 2 1 1 0 0 2 2 4 4 1 1 2 2 = =

_











5 5 6 6 2 2 2 2 + +

_











9 9 8 8 7 7 3 3 = =

_











14 14 14 14 9 9 5 5 b). b). A A + + (B (B + + C) C) ==



_

22 11



_

++

_





_

00 11



_





_

33 77



_

_



(15)

= =

_











2 2 4 4 1 1 2 2 + +

_











12 12 10 10 8 8 3 3 = =

_











14 14 14 14 9 9 5 5 Dari contoh

Dari contoh 2 a) 2 a) dan dan 2b) , m2b) , maka berlaku aka berlaku hukum asosiatif hukum asosiatif penjumlahan mpenjumlahan matriks.atriks.

2.

2. Pengurangan MatriksPengurangan Matriks

Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama maka matriks hasil pengurangan A Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama maka matriks hasil pengurangan A dan B sama artinya dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks lawan B. dan B sama artinya dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks lawan B. Jadi A Jadi A – – B = A + (B = A + ( – – B).B). Contoh : Contoh : Jika Jika P P ==

_











2 2 3 3 7 7 4 4 dan dan Q Q ==

_













22 3 3 1 1 2 2 maka maka a). P a). P – – Q =Q =

_











2 2 3 3 7 7 4 4 – –

_













22 3 3 1 1 2 2 = =

_











2 2 3 3 7 7 4 4 + +

_













2 2 3 3 1 1 2 2 = =

_











4 4 0 0 6 6 2 2 b).Q b).Q – – P =P =

_













₂₂ 3 3 1 1 2 2 – –

_











2 2 3 3 7 7 4 4 = =

_













₂₂ 3 3 1 1 2 2 + +

_













2 2 3 3 7 7 4 4 = =

_













4 4 0 0 6 6 2 2 Karena P

Karena P – – Q tidak sama dengan QQ tidak sama dengan Q – – P, maka pada pengurangan matriks tidak P, maka pada pengurangan matriks tidak berlaku hukum komutatif.

berlaku hukum komutatif.

LATIHAN SOAL LATIHAN SOAL :: Sederhanakan : Sederhanakan : 1. 1.

_





























8 8 4 4 3 3 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 6 6 3 3 2 2 4 4 2 2 4 4 7 7 6 6 2. 2.

_











 

















y y x x y y x x 3 3 6 6 4 4 2 2

3. Manakah matriks-matriks berikut yang dapat dijumlahkan. 3. Manakah matriks-matriks berikut yang dapat dijumlahkan.

a. a.

_

























0 0 4 4 2 2 3 3 e. e.

_











d d cc b b a a 4 4 3 3 3 3 2 2 + +

_











 



d d cc b b a a 3 3 7 7 6 6 4 4 b. b.





























2 2 4 4 3 3 4 4 2 2 4 4 3 3 2 2 4 4 f. f. ( ( 4 4 7 7 ) ) + + ( ( 3 3 0)0) c. (3) + c. (3) +

_











0 0 4 4 g. g. ( ( 7 7 ) ) + + ( ( 0 0 ))

(16)

d. d. ( ( 4 4 6 6 ) ) ++

_











3 3 6 6 h. h. ( ( 4 4 - - 2 2 3 3 ) ) ++













7 7 4 4 1 1 4. Jika M = 4. Jika M =

_













₂₂ ₄₄ ₃₃ 0 0 3 3 6 6 dan dan N N ==

_













₃₃ ₆₆ ₄₄ 2 2 0 0 1 1 . Cari

. Carilah lah M + M + N dan N dan N N + M.+ M. Hukum apakah dalam penjumlahan matriks yang dapat dilihat dari hasil Hukum apakah dalam penjumlahan matriks yang dapat dilihat dari hasil

tersebut ? tersebut ? 5.

5. Selesaikan masing-masing persamaan Selesaikan masing-masing persamaan di bawah ini, jika di bawah ini, jika X matriks 2 x 2X matriks 2 x 2

a. a.

_































2 2 0 0 3 3 2 2 6 6 3 3 2 2 4 4 X X b. b.

_





























3 3 7 7 1 1 2 2 3 3 5 5 2 2 3 3 X X c. c.

_





























12 12 10 10 16 16 12 12 10 10 12 12 6 6 15 15 X X C.

C. PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS

1.

1. Perkalian Skalar .Perkalian Skalar .

Perkalian skalar ialah perkalian suatu matriks dengan bilangan (skalar). Perkalian skalar ialah perkalian suatu matriks dengan bilangan (skalar). Hasil kali matriks A dengan bilangan p ditulis p.A, ialah matriks yang Hasil kali matriks A dengan bilangan p ditulis p.A, ialah matriks yang ordonya sama dengan matriks A, dan elemen-elemennya didapat dari ordonya sama dengan matriks A, dan elemen-elemennya didapat dari perkalian set

perkalian setiap unsur iap unsur A dengan A dengan p.p.

Misal : Misal : A = A =

_











d d cc b b a a maka

maka p.A p.A = = p.p.

_











d d cc b b a a = =

_











pd pd pc pc pb pb pa pa Contoh : Contoh : Jika Jika

_















2 2 5 5 1 1 3 3 2 2 4 4 A

A makamaka

_















2 2 5 5 1 1 3 3 2 2 4 4 .. 4 4 .. 4 4 AA = =

_













8 8 20 20 4 4 12 12 8 8 16 16 2.

2. Perkalian Matriks Dengan MatriksPerkalian Matriks Dengan Matriks

Dua matriks dapat dikalikan, apabila ban

Dua matriks dapat dikalikan, apabila ban yaknya kolom matriks pertamayaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks ke dua .

sama dengan banyaknya baris matriks ke dua .











































f fyy ex ex dy dy cx cx by by ax ax y y x x f f ee d d cc b b a a

(17)

Jika Jika

_













2 2 4 4 3 3 0 0 1 1 2 2 P P dandan















3 3 7 7 2 2 6 6 1 1 5 5 Q Q Maka Maka

_















2 2 4 4 3 3 0 0 1 1 2 2 Q Q P P















3 3 7 7 2 2 6 6 1 1 5 5 = =

_













3 3 .. 2 2 2 2 .. 4 4 1 1 .. 3 3 7 7 .. 2 2 6 6 .. 4 4 5 5 .. 3 3 3 3 .. 0 0 2 2 .. 1 1 1 1 .. 2 2 7 7 .. 0 0 6 6 .. 1 1 5 5 .. 2 2 = =

_













6 6 8 8 3 3 14 14 24 24 15 15 0 0 2 2 2 2 0 0 6 6 10 10 = =

_











17 17 53 53 4 4 16 16

Matriks Identitas (Matriks Satuan.) Matriks Identitas (Matriks Satuan.)

Sifat-sifatnya menyerupai sifat-sifat satuan dalam sistem bilangan real. Sifat-sifatnya menyerupai sifat-sifat satuan dalam sistem bilangan real. Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka I .

Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka I . A = A . I = AA = A . I = A Misal : Misal : A = A =

_











4 4 2 2 5 5 3 3 , , I =I =

_











1 1 0 0 0 0 1 1 maka maka I . A = I . A =

_











1 1 0 0 0 0 1 1













4 4 2 2 5 5 3 3 = =

_













4 4 0 0 2 2 0 0 0 0 5 5 0 0 3 3 = =

_











4 4 2 2 5 5 3 3 A . I = A . I =

_











4 4 2 2 5 5 3 3













1 1 0 0 0 0 1 1 = =

_













4 4 0 0 0 0 2 2 5 5 0 0 0 0 3 3 = =

_











4 4 2 2 5 5 3 3 Ternyata Ternyata I I . . A A = = A A . . I I = = AA

Pemangkatan Matriks Bujur Sangkar Pemangkatan Matriks Bujur Sangkar

Pemangkatan matriks bujur sangkar adalah perkalian antara matriks itu sendiri. Pemangkatan matriks bujur sangkar adalah perkalian antara matriks itu sendiri.

Contoh : Contoh : Jika Jika

_











 





5 5 3 3 4 4 2 2 A

A maka tentukanmaka tentukan A A22

Jawab : Jawab : 2 2 A A ==

_











 



5 5 3 3 4 4 2 2













 



5 5 3 3 4 4 2 2 = =

_



































37 37 9 9 12 12 16 16 25 25 12 12 15 15 6 6 20 20 8 8 12 12 4 4

Sifat-sifat perkalian matriks Sifat-sifat perkalian matriks

Jika antara matriks-matriks A , B dan C dapat saling dikalikan. Jika antara matriks-matriks A , B dan C dapat saling dikalikan. 1.

1. (A.B).C (A.B).C = = A. A. (B.C) (B.C) Asosiatif Asosiatif 2.

2. I I . . A A = = A A . . I I = = A A I I matriks matriks identitasidentitas 3.

3. A A . . AA11 = A= A11.A .A = = I I AA11 matriks kebalikan.matriks kebalikan. 4. A

4. A . . (B (B + + C) C) = = A.B A.B + + A. A. C C Distributif Distributif 5.

(18)

LATIHAN SOAL. LATIHAN SOAL. 1. 1. Diketahui p Diketahui p = = 3 , 3 , A A ==

_











4 4 3 3 1 1 2 2 , , B =B =

_











6 6 5 5 4 4 7 7 Tentukan : Tentukan : a. a. p. (A.B)p. (A.B) b. b. (p.A).B(p.A).B c. c. (p.B).A(p.B).A 2. 2. Jika A =Jika A =

_











4 4 3 3 , , B B = = (3 (3 1 1 3) 3) , , C C ==













1 1 4 4 5 5 2 2 1 1 0 0 3 3 7 7 4 4 Tentukan :

Tentukan : A A . . (B.C) (B.C) dan dan (A.B).C(A.B).C

3. 3. Jika A =Jika A =

_











9 9 8 8 6 6 7 7 , , I =I =

_











1 1 0 0 0 0 1 1 Tentukan A.I

Tentukan A.I dan I dan I . . AA

4. 4. Jika Jika A A ==

_











3 3 4 4 2 2 3 3 ; ; AA11==

_













3 3 4 4 2 2 3 3 .

. Tentukan Tentukan A A . . AA11 dandan A A11. A. A 5. 5. Jika Jika A A ==

_











6 6 5 5 2 2 3 3 2 2 1 1 , , B =B =













4 4 6 6 8 8 7 7 3 3 1 1 , , C =C =













0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 7 7 Tentukan: Tentukan: a. a. B+CB+C b. b. (B+A).A(B+A).A c. c. C . AC . A d.

d. B.A + C.AB.A + C.A

D.

D. INVERS MATRIKSINVERS MATRIKS

Pengertian Invers matriks / Kebalikan Matriks Pengertian Invers matriks / Kebalikan Matriks Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar yang ordonya sama sehinggayang ordonya sama sehingga A.B = B

A.B = B.A = .A = I , I , maka B adalah maka B adalah invers A dan invers A dan A adalah invers A adalah invers B.B. Dalam hal ini akan dibahas untuk matriks berordo 2 x

Dalam hal ini akan dibahas untuk matriks berordo 2 x 22 Contoh : Contoh : Jika A = Jika A =

_













1 1 3 3 2 2 5 5 dan dan B B ==

_













5 5 3 3 2 2 1 1

, tunjukkanlah matriks A dan B adalah , tunjukkanlah matriks A dan B adalah saling invers. saling invers. Jawab : Jawab : A . B = A . B =

_













1 1 3 3 2 2 5 5 ..

_













5 5 3 3 2 2 1 1 = =

_



































1 1 0 0 0 0 1 1 5 5 6 6 3 3 3 3 10 10 10 10 6 6 5 5

(19)

B . A = B . A =

_













5 5 3 3 2 2 1 1 ..

_













1 1 3 3 2 2 5 5 = =

_



































1 1 0 0 0 0 1 1 5 5 6 6 15 15 15 15 2 2 2 2 6 6 5 5 Karena

Karena A.B = A.B = B.A = B.A = I, I, maka A maka A adalah invers adalah invers B dan B dan sebaliknya.sebaliknya.

Rumus Umum : Rumus Umum : Jika Jika A A ==

_











d d cc b b a a

maka inversnya adalah, maka inversnya adalah,

















  a a cc b b d d bc bc d d a a A A .. 1 1 1 1 , dengan

, dengan ad ad



bcbc



0

bc

bc ad

ad



dinamakan dinamakan determinan matriks determinan matriks A dan A dan ditulisditulis det

det A A == ad ad bcbc d d cc b b a a





atau biasa ditulisatau biasa ditulis D D



ad ad



bcbc

Jika

Jika D D



ad ad



bcbc



0

, matriks A tersebut tidak mempunyai invers, dalam hal ini, matriks A tersebut tidak mempunyai invers, dalam hal ini matriks A disebut matriks singular.

matriks A disebut matriks singular. Contoh : Contoh : Diketahui matriks A = Diketahui matriks A =

_











3 3 4 4 1 1 2 2

tentukan determinan dan inversnya. tentukan determinan dan inversnya. Jawab : Jawab : 2 2 4 4 6 6 )) 1 1 )( )( 4 4 (( )) 3 3 )( )( 2 2 ((













ad ad bcbc D D

















  a a cc b b d d bc bc d d a a A A .. 1 1 1 1 = =

_





























1 1 2 2 2 2 4 4 1 1 3 3 2 2 1 1 22 1 1 2 2 3 3

Pemakaian matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Pemakaian matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Contoh :

Contoh :

Tentukan harga X dan Y dari sistem persamaan de

Tentukan harga X dan Y dari sistem persamaan dengan matriks.ngan matriks.















3 3 5 5 4 4 5 5 2 2 y y x x y y x x Jawab : Jawab :









































33 5 5 5 5 4 4 1 1 2 2 y y x x Misal : Misal : A A ==

_













₅₅ 4 4 1 1 2 2

































  14 14 2 2 14 14 4 4 14 14 1 1 14 14 5 5 1 1 2 2 4 4 1 1 5 5 4 4 10 10 1 1 A A



























__   3 3 5 5 .. .. .. 11 1 1 A A y y x x A A A A





































































₃₃ 5 5 5 5 4 4 1 1 2 2 14 14 2 2 14 14 4 4 14 14 1 1 14 14 5 5 14 14 2 2 14 14 4 4 14 14 1 1 14 14 5 5 y y x x