Catatan Kuliah 1

1

Catatan Kuliah 1 Matematika Ekonomi

Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks

1. Matriks dan Vektor Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan, parameter atau variabel tersusun dalam baris dan kolom sehingga terbentuk segi empat. Susunan ini biasanya diletakkan dalam tanda kurung ( ) atau kurung siku [ ] . Bilangan, parameter atau variabel yang berada dalam kurung tersebut merupakan anggota atau elemen dari matriks.

Notasi : huruf besar, misal : A

Contoh matriks A dengan elemen a_ij:

A= ⎣ ⎦⎡ ⎤aij , 1, 2,..., 1, 2,...,

i m

j n

=

=

m : jumlah baris n : jumlah kolom m n× : dimensi matriks i : baris ke-i

j : kolom ke-j

Contoh :

Matriks A berdimensi 3 3×

3 3

6 3 4

3 6 3

2 2 8

A_×

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

n n

n n

mxn mxn

m m mn m m mn

a a a a a a

a a a a a a

A atau A

a a a a a a

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎜ ⎟ ⎢ ⎥

=⎜ ⎟ =⎢ ⎥

⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦

" "

" "

# # % # # # % #

" "

2 Vektor

Susunan bilangan yang hanya terdiri dari satu baris (vektor baris) atau satu kolom (vektor kolom).

Vektor baris A_(1xn) =

[

a₁₁ a₁₂ " a_1n

]

Vektor kolom

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

1 21 11

) 1 (

m mx

a a a

A #

Jenis-Jenis Matriks

a. Matriks bujur sangkar

Matriks yang memiliki jumlah baris (m) dan jumlah kolom (n) yang sama.

Misal matriks A berdimensi 2 2× dimana m=2 dan n=2

⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

22 21

12 11 2

2 a

a A_x a

b. Matriks diagonal

Matriks A disebut matriks diagonal jika a_ij =0untuk i≠ j.

[ ]

¹¹21 ¹²22 ¹³23

31 32 33

1 0 0 0 2 0 0 0 3

a a a

A a a a

a a a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢= ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

c. Matriks simetris

Matriks bujur sangkar yang memiliki elemen di bawah diagonal merupakan cerminan dari elemen di atas diagonal sehingga transpose matriks A (A' atau AT ) sama dengan matriks A

(

^{A'= AT =A}

)

. Atau dengan kata lain, matriks A disebut matriks simetris jika a_ij =a_jiuntuk setiap i dan j.

[ ]

¹¹21 ¹²22 ¹³23

31 32 33

1 3 5

3 2 7

5 7 4

a a a

A a a a

a a a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢= ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

dimana

12 21

13 31

23 32

a a

a a

a a

=

=

=

3 d. Matriks skalar

Matriks bujur sangkar yang memiliki elemen-elemen nilai yang sama pada diagonal utamanya.

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

33 22 11

0 0

0 0

0 0

a a a

A dimana a₁₁ =a₂₂ =a₃₃

Contoh :

[ ]

3 0 0

0 3 0 3

0 0 3

⎡ ⎤

⎢ ⎥ =

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

e. Matriks Identitas (I atau In)

Matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen pada diagonal utama bernilai 1, sedangkan elemen yang lainnya bernilai nol.

₂ 1 0 0 1

I ⎡ ⎤

= ⎢⎣ ⎥⎦ ₃

1 0 0 0 1 0 0 0 1 I

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Sifat-sifat :

• AI =AI =A

• I^T =I

• I⁻¹=I f. Matriks Nol

Matriks yang seluruh elemen-elemennya terdiri dari bilangan nol.

2 2

0 0

0^× 0 0

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ , _{3 1} 0

0 0

0

×

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ g. Matriks segitiga

Matriks dimana nilai semua elemen di atas diagonal utama atau di bawah diagonal utama bernilai nol.

Matriks segitiga atas :

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

33 23 22

13 12 11

0 0 0

a a a

a a a A

4 Matriks segitiga bawah :

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

23 32 31

22 21 11

0 0 0

a a a

a a a A

h. Matriks Idempoten

Matriks bujur sangkar A disebut matriks idempoten jika memenuhi aturan AA=A.

Contoh : 0, 4 0,8 0, 3 0, 6

A ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

0, 4 0,8 0, 4 0,8 0, 4 0,8 0, 3 0, 6 0, 3 0, 6 0, 3 0, 6 AA=⎡⎢ ⎤ ⎡⎥ ⎢ ⎤ ⎡⎥ ⎢= ⎤⎥=A

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

i. Matriks Partisi

Suatu matriks yang dibagi menjadi dua atau lebih submatriks. Pembagiannya dapat dilakukan menurut baris dan (atau) kolom. Matriks partisi ini ditandai dengan garis horizontal dan (atau) garis vertikal secara terputus-putus.

Kegunaannya adalah untuk memudahkan dalam operasi matriks.

Misal matriks A berukuran m n× :

1 2

A A A

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ , A=

[

A A1| 2

]

, ^{11 12}

21 22

|

| A A

A A A

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

j. Matriks Transpose

Matriks yang barisnya saling dipertukarkan menjadi kolom atau sebaliknya kolom menjadi baris.

Notasi : A' atau A^T Contoh : 3 7 9 2

A ⎡ ⎤

= ⎢⎣ ⎥⎦ maka 3 9 7 2 AT ⎡ ⎤

= ⎢⎣ ⎥⎦ Sifat-sifat Transpose :

• Transpose dari transpose suatu matriks adalah matriks itu sendiri atau matriks aslinya.

T T

A A

⎡ ⎤ =

⎣ ⎦

• Transpose dari suatu jumlah atau selisih matriks adalah jumlah atau selisih matriks masing-masing transpose.

[

^A±B

]

^{T = AT +BT}

5

• Transpose dari suatu hasil kali matriks adalah perkalian dari transpose- transpose dalam urutan yang terbalik.

[ ]

^{AB T =B AT T} atau

[

^ABC

]

^{T =C B AT T T}

2. Operasi Matriks

a. Penjumlahan dan pengurangan matriks

Matriks dapat dijumlah atau dikurang jika memiliki dimensi (ukuran) yang sama.

m n m n m n

A _× ±B _× =C _×

Sifat-sifat penjumlahan (atau pengurangan) :

ƒ Komutatif : A B± = ±B A

ƒ Asosiatif :

(

^A±B

)

^{± = ±C A}

(

^{B C±}

)

b. Perkalian matriks

Matriks dapat dikalikan jika hanya jika ukuran kolom suatu matriks sama dengan ukuran baris matriks lainnya.

m n p q m q

A _× ×B _× =C _× dimana n= p Sifat-sifat :

ƒ A× =0 0

ƒ AI = A

ƒ Perkalian scalar (k) : kA= Ak

ƒ AB≠BA

ƒ Asosiatif :

( )

^{AB C=A BC}

( )

ƒ Distributif : ^{A B C}

(

⁺

)

^{= AB+AC}

(

^{B+C A}

)

^{=BA CA+}

3. Determinan dan Sifat Dasar dari Determinan

Determinan suatu matriks adalah suatu bilangan skalar yang diperoleh melalui operasi tertentu dari elemen-elemen matriks tersebut. Determinan hanya dapat diperoleh pada matriks bujur sangkar. Penulisan suatu determinan matriks ditandai dengan kurung , misalkan determinan matriks A ditulis A .

6 Metode penghitungan determinan:

a) Determinan tingkat dua (second-order determinant)

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

22 21

12 11

a a

a A a

Contoh : 10 4

{(10)(5)} {(8)(4)} 18

8 5

A = = − =

b) Determinan tingkat 3 (third-order determinant)

[ ]

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a A

• Metode sarrus

|A| =

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

32 31

22 21

12 11

a a

a a

a a

= (a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂)−(a₃₁a₂₂a₁₃+a₃₂a₂₃a₁₁+a₃₃a₂₁a₁₂) Contoh :

2 1 3

4 5 6 (2)(5)(9) (1)(6)(7) (3)(8)(4) (2)(8)(6) (1)(4)(9) (3)(5)(7) 9 7 8 9

A = = + + − − − = −

• Metode laplace expantion

ij n

i ijC a

A

∑

=

=

1

dimana :

ij j i

ij M

C =(−1)⁺

a : elemen matriks A ke-ij ij

Cij : cofaktor matriks ke-ij

11 12

11 22 12 21

21 22

( ) ( )

a a

A a a a a

a a

= = −

7

Mij : minor matriks ke ij, merupakan nilai submatriks dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j

Sehingga nilai determinan dari matriks A berdimensi 3x3 :

13 13 12 12 11

11C a C a C

a

A = + +

13 13 12 12 11

11M a M a M

a

A = − +

31 22 13 32 21 13 33 21 12 31 23 12 32 23 11 33 22 11

32 31

22 21 13 33 31

23 21 12 33 32

23 22 11

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a a

A

− +

− +

−

=

+

−

=

Sifat-sifat determinan :

1. Pertukaran baris dengan kolom tidak mempengaruhi nilai determinan. Dengan kata lain, nilai determinan suatu matriks sama dengan nilai determinan transpose matriks tersebut.

A'

A =

bc d ad

b c a d c

b

a = = −

Contoh: 9

6 3

5 4 6 5

3

4 = =

2. Pertukaran dua baris (atau dua kolom) manapun akan mengubah tanda, tetapi nilai dari determinannya tidak berubah.

bc d ad

c b

a = −

pertukaran kedua baris menghasilkan : )

(ad bc ad

b cb a

d

c = − =− − ,

Contoh:

26 1 0 3

7 5 2

3 1 0

−

= ,

pertukaran kolom pertama dengan kolom ketiga menghasilkan:

8 26

3 0 1

2 5 7

0 1 3

=

3. Perkalian dari satu baris (atau satu kolom) manapun dengan bilangan skalar k akan mengubah nilai determinan sebesar k kali.

) (ad bc k

kbc d kad

c kb

ka = − = −

Perlu diingat bahwa: kA≠k A

Jika mengalikan suatu matriks A dengan bilangan konstan k, maka semua elemen dalam A dikalikan oleh k. Tetapi, bila mengalikan determinan A dengan k, hanya satu baris (atau kolom) yang dikalikan oleh k.

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

kd kc

kb ka d

c b k a

d kc

b ka d c

kb ka d c

b

ka = =

4. Penambahan (atau pengurangan) dari suatu kelipatan baris atau kolom manapun, ke baris atau kolom yang lain akan menyebabkan nilai determinannya tidak berubah.

d c

b bc a

ad ka c b kb d kb a d ka c

b

a = + − + = − =

+

+ ( ) ( )

5. Apabila satu baris atau kolom adalah identik atau kelipatan dari baris atau kolom lainnya, maka nilai determinannya akan menjadi nol

0 2 2 2

2 = ab− ab=

b a

b a

4. Kombinasi Linier dan Rank Kombinasi Linier

Suatu vektor W dikatakan sebagai kombinasi linier dari himpunan vektor-vektor

1, 2,..., _n

u u u apabila W dapat dinyatakan dalam bentuk :

1 1 2 2

1

...

n

i i n n

i

W k u k u k u k u

=

=

∑

= + + + ; k_i∈ℜ

9 Kebebasan Linier (Linearly Independent)

Suatu himpunan vektor-vektor u u₁, ₂,...,u_n bebas linier jika dan hanya jika

1 1 2 2

1

... 0

n

i i n n

i

k u k u k u k u

=

= + + + =

∑

hanya untuk k₁=k₂= =... k_n =0, dimana 0 adalah vektor nol.

Terpaut Linier (Linearly Dependent)

Suatu himpunan vektor-vektor u u₁, ₂,...,u_n bebas linier jika dan hanya jika

1 1 2 2

1

... 0

n

i i n n

i

k u k u k u k u

=

= + + + =

∑

^{dengan ki} tidak semuanya bernilai nol.

Rank

Rank digunakan untuk menentukan singularitas suatu matriks dan linear independent pada suatu sistem persamaan linear.

Cara menentukan rank : a. Determinan

jika nilai determinan suatu matriks tidak sama dengan nol maka matriks tersebut memilik rank penuh.

b. Operasi baris elementer

Seandainya determinan suatu matriks itu nol, nilai rank masih bisa ditentukan dengan cara operasi baris elementer. Ketentuan proses operasi baris elementer:

9 Pertukaran antara 2 baris pada matriks

9 Perkalian atau pembagian dari suatu baris dengan suatu skalar 9 Penjumlahan dari k kali suatu baris dengan baris yang lain

Contoh :

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

0 0 1

9 3 0

1 5 1 A

10 Cara determinan :

1 5 1

0 3 9 42 3

1 0 0

= − →rank=

−

Cara operasi baris elementer :

k( )

k( )

3.1 1 3.2 52

1 5 1 1 5 1 1 5 1

0 3 9 0 3 9 0 3 9 3

1 0 0 0 5 1 0 0 14

E E rank

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ → =

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢− ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Soal :

Apakah matriks A mempunyai full rank? Berapa rank dari matriks A? Lakukan analisis determinan dan operasi baris elementer.

a)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 2 2 0

2 4 2 0

1 2 0 1

A

b)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

3 6 1 3

2 4 2 2

1 2 0 1 A

c)

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

1 2 1

2 2 0

4 2 0

2 0 1 A