OLEH :
SUCI PUSPORINI (09320014)
RISKY NOORWIYADI (09320020)
MATKOM 3-A
KAPITA SELEKTA SMA
Sub Bahasan
→
Definsi Matriks
→ Macam – macam Matriks
→ Operasi Matriks
MATRIKS
merupakan susunan bilangan-bilangan yang
berbentuk siku-empat terdiri dari baris dan
kolom dengan diapit oleh sepasang kurung
siku.
Macam – Macam Matriks
Berdasarkan ordonya terdapat 5 jenis
matriks
Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya
terdapat 9 jenis matriks
Bac
k
g
o
Berdasar Ordonya
Matriks Persegi
Matriks Baris
Matriks Kolom
Matriks Tegak
Matriks Datar
a) Matriks persegi
matriks yang berordo nxn atau banyaknya
baris sama dengan banyaknya kolom.
b) Matriks Baris
matriks yang berordo 1xn atau hanya
memiliki satu baris.
c) Matriks Kolom
matriks yang hanya memiliki satu kolom.
d) Matriks Tegak
matriks yang berordo mxn dengan m>n.
e) Matriks Datar
matriks yang berordo mxn dengan m<n
bac
Berdasar elemen penyusunnya
Matriks Nol
Matriks Diagonal
Matriks Skalar
Matriks Simetri
Matriks Simetri Miring
Matriks Identitas (satuan)
Matriks Segitiga Atas
Matriks Segitiga Bawah
Matriks Transpose
Matriks Nol
matriks yang semua elemen penyusunnya adalah nol dan dinotasikan sebagai O.
Matriks Diagonal
matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonal utamanya adalah nol.
Matriks Skalar
matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama dan elemen-elemen selain diagonal utama adalah 0.
Matriks Simetri
matriks dimana susunan elemen-elemen antara matriks dengan transposenya sama. C=CT; maka C adalah matriks simetris
Matriks Simetri Miring
Matriks simetri yang elemen-elemennya selain elemen diagonal saling berlawanan
Matriks Identitas (satuan)
matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah satu dan elemen yang lain adalah nol dan dinotasikan sebagai I.
Matriks Segitiga Atas
dikatakan segitiga atas jika aij = 0 untuk i>j dengan kata lain matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol.
Matriks Segitiga Bawah
dikatakan segitiga bawah jika aij = 0 untuk i<j dengan kata lain matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.
Matriks Transpose
matriks yang diperoleh dari memindahkan elemen-elemen baris menjadi elemen pada kolom atau sebaliknya
Operasi Matriks
Operasi kesamaan
Penjumlahan dan Pengurangan dua
Matriks
Perkalian matriks dengan skalar
Perkalian Dua Matriks
back
g
o
g
o
g
o
Operasi Kesamaan
dua buah matriks atau lebih dikatakan sama
jika dan hanya jika mempunyai ordo sama
dan elemen-elemen yang seletak juga sama
contoh :
A = B = C =
A = B, B ≠ C, A ≠ C
Penjumlahan dan Pengurangan Dua
Matriks
Penjumlahan
Suatu dapat dijumlahkan apabila kedua
matriks memiliki ordo yang sama.
contoh :
A= B= , maka A + B = +
= = C
elemen-elemen C diperoleh dari
penjumlahan elemen-elemen A dan B yang
seletak, yaitu cij = aij +bij
Pengurangan
Pengurangan matriks, jika A – B = C, maka
elemen-elemen C diperoleh dari pengurangan
elemen-elemen A dan B yang seletak, yaitu cij
= aij-bij atau pengurangan dua matriks dapat
dipandang sebagai penjumlahan matriks yaitu
A + (-B)
contoh :
A = B = , maka A – B =
=
Perkalian Matriks dengan Skalar
Perkalian sebuah matriks dengan skalar,
maka setiap unsur matriks tersebut
terkalikan dengan skalar
Contoh :
A = , maka 2A = 2
=
Perkalian Dua Matriks
Dua buah matriks atau lebih (misal matriks AB)
dapat dikalikan jika dan hanya jika jumlah
kolom pada matriks A sama dengan jumlah
baris pada matriks B
A
B
AB
mxn
nxr
= mxr
Contoh:
A = B = , A
3x3B
3x1=
=
Determinan, Adjoin dan Invers Matriks
Determinan.
Adjoin matriks
Invers Matriks
Determinan
Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian
elementer yang bertanda dari Matriks A dan dinyatakan
dengan det(A) atau |A| (Howard Anton, 1991 : hal 67). Yang
dimaksud dengan perkalian dengan elemen bertanda adalah
perkalian elemen matriks dengan tanda +1 atau -1.
Untuk mengetahui tanda +1 atau -1 dalam menentukan
determinan suatu matriks yaitu dengan menggunakan
permutasi sesuai besar peringkat matriks tersebut dan ada
atau tidaknya invers pada kolom.
Invers terjadi pada suatu permutasi jika terdapat bilangan
Contoh :
Matriks ordo 2x2 maka permutasi dari
bilangan bulat 1 dan 2 diambil bersamaan
adalah 2!=2 yaitu 1 2 dan 2 1(untuk kolom)
sedangkan baris selalu berurutan.
Maka determinan dari matriks ordo 2x2 adalah
+1(a
11.a
22)-1(a
12.a
21) = a
11.a
22– a
12.a
21Determinan untuk 3x3 dapat dicari dengan
cara :
1. Metode Sarrus
1
. Metode Sarrus.
Misal matriks A =
- - - + + +
Maka |A| = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi.
Cara ini hanya berlaku pada matriks berordo 3x3.
2. Metode minor dan kofaktor.
Minor suatu matriks A dilambangkan dengan M
ijContoh : A=
maka :
M11 = =
M12 = =
M13 = =
Untuk mencari det(A) dengan metode minor dan kofaktor cukup
mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1 atau kolom
ke-1.
Contoh : H =
Untuk mencari |H| dengan metode minor dan kofaktor adalah harus
mencari determinan minornya terlebih dahulu yang diperoleh dari
ekspansi baris ke-1, yaitu det(M
11), det(M
12), det(M
13), maka,
|M
11| = (2x2)-(1x0) = 4
|M
12| = (0x2)-(1x2) = -2
|M
13| = (0x0)-(2x2) = -4
|H| = h
11α
11+ h
12α
12+ h
13α
13= h
11.(-1)
1+1|M
11| + h
12.(-1)
1+2|M
12| + h
13.(-1)
1+3|M
13|
Adjoin Matriks
Adjoin Matriks adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks
tersebut, dilambangkan dengan adj A = (α
ij)
TContoh :
H = kita telah mengetahui sebelumnya α
11= 4, α
12= 2, α
13= -4,
α
21= (-1)
2+1-4, α
22= (-1)
2+20
α
23= (-1)
2+3, α
31= (-1)
3+1= 0
α
32= (-1)
3+2-1, α
33= (-1)
3+3= 2
Invers Matriks
Jika A dan B matriks persegi nxn sedemikian
hingga AB=BA=I, B disebut invers A (B=A
-1)
dan A disebut invers B (A=B
-1) sehingga
berlaku A A
-1= A
-1A=I, I adalah identitas.
Invers matriks A dirumuskan A
-1= .Adj(A)
Contoh : matriks H=
Kita ketahui sebelumnya |H| = 4, dan Adj(H)=
