matriks A. PENGERTIAN MATRIKS Persija Persib baris

1. Pengertian Matriks

Dalam kehidupan sehari-hari dan dalam matematika, berbagai keterangan seringkali disajikan dalam bentuk matriks.

Contoh 1:

Hasil pertandingan grup I Liga Indonesia 2007

Tim Main

^{Menang Seri Kalah Nilai}

PSMS

21 12 4 5 40

Sriwijaya FC

20 11 6 3 39

Persija 21 12 3 6 39

Persib 20 11 4 5 37

Persik

^{20 11 2} 7 ³⁵

Apabila dari daftar tabel contoh tersebut kepala kolom dan baris dihilangkan, kemudian susunan lambang bilangan itu diberi tanda kurung atau kurung siku, maka susunan itu disebut matriks.

Matriks Daftar tabel contoh 1, ialah :

21 12 20 11 21 12 20 11 20 11

4 5 40 6 3 39 3 6 39 4 5 37 2 7 35

Jadi Matriks adalah suatu susunan bilangan-bilangan yang berbentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom dan diletakkan di dalam dua kurung biasa atau kurung siku.

Bentuk umum matriks :

a11 a12 … a1n bariske-1 a21 a22 ... a2n

A = … … ... ...

am1 am2 … amn baris ke-m

kolom ke-1 kolom ke n Catatan:

 Setiap bilangan dalam matriks di atas disebut elemen matriks

 a11, a12, …, amn merupakan elemen-elemen matriks A

 amn adalah elemen pada matriks A yang terletak pada baris ke-m dan kolom ke-n

A. PENGERTIAN MATRIKS

matriks

Kolom

baris

2. Notasi matriks

Suatu matriks dinyatakan dengan sebuah huruf capital.

Misalnya 𝐴 = 4 −3 2

6 0 −2 ; 𝐵 =

1 0

5 −6 3 12

3. Ordo matriks

Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris diikuti banyaknya kolom.

Contoh : 𝐴 = 4 −3 2

6 0 −2 ; 𝐵 = 5 −4 3 1

matriks A mempunyai 2 baris dan 3 kolom, maka dikatakan ordonya 2 x 3 (dibaca “2 kali 3”) dan ditulis A(2 x 3).

Matriks B mempunyai 2 baris dan 2 kolom, karena banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom, maka matriks B disebut matriks bujur sangkar. Karena istilah bujur sangkar disesuaikan menjadi persegi, maka disebut juga sebagai matriks persegi. Maka matriks B adalah matriks persegi dengan ordo 2.

4. Macam-macam Matriks a. Matriks baris

Matriks yang hanya mempunyai elemen satu baris.

Contoh: 𝑃 = 3 −2 1 ; 𝑄 = 1 −1 6 7

b. Matriks kolom (lajur)

Matriks yang hanya mempunyai elemen satu kolom.

Contoh : 𝐾 = 2

−1 ; 𝐿 = 5

−1 3

c. Matriks Bujur Sangkar (Persegi)

Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

Contoh:

4 3 a b c

A = B = d e f

2 6 g h i

d. Matriks Segitiga

Matriks persegi yang dipisahkan oleh diagonal, dengan elemen-elemen 0 pada separuh bagiannya.

Contoh:

3 2 a 0 0

A = B = b c 0

0 1 d e f

5. Kesamaan Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama jika:

 Ordonya sama dan

 Elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) sama.

Contoh :

𝐴 = 4 2

1 3 ; 𝐵 =

12 3

4 2

1 ⁶

2

; 𝐶 = 1 2 3 4

Dari contoh di atas matriks A = B Tetapi A ≠ C sebab walaupun elemen-elemen kedua matriks sama, tetapi letak elemen-elemen itu berbeda, sehingga elemen-elemen yang bersesuaian tidak sama.

6. Transpose Suatu Matriks

Dari matriks A dapat dibentuk matriks baru dengan cara elemen baris 1 matriks A ditulis menjadi elemen kolom 1 matriks baru, elemen baris 2 matriks A dijadikan kolom 2 matriks baru, dan seterusnya.

Matriks baru yang diperoleh disebut transpos dari matriks A dan dinyatakan dengan A^T (dibaca “trans pos A). baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks A^T, dan kolom- kolom matriks A menjadi baris-baris A^T.

Contoh : 𝐴 = 1 2 3

4 5 6 → 𝐴^𝑇 = 1 4 2 5 3 6

1.

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

a. Penjumlahan matriks

Dua matriks A dan matriks B dapat dijumlahkan, jika ordo matriks A sama dengan ordo matriks B. Adapun caranya kita jumlahkan elemen matriks A dengan elemen matriks B yang bersesuaian letaknya (seletak).

Contoh : Diketahui : 𝐴 = 5 2 0

1 3 −2 ; 𝐵 =

6 1

−2 3

0 7

; 𝐶 = 8 −1 3

5 6 2 , tentukan : 𝑎. A + C 𝑏. A + B 𝑐. B^t + C

B. OPERASI MATRIKS

Jawab :

a. 𝐴 + 𝐶 = 5 2 0

1 3 −2 + 8 −1 3

5 6 2 = 5 + 8 2 − 1 0 + 3

1 + 5 3 + 6 −2 + 2 = 13 1 3 6 9 0 b. A + B tidak terdefinisi untuk penjumlahan matriks karena ordo 𝐴 ≠ 𝐵

c. 𝐵^𝑡 + 𝐶 = 6 −2 0

1 3 7 + 8 −1 3

5 6 2 = 6 + 8 −2 − 1 0 + 3

1 + 5 3 + 6 7 + 2 = 14 −3 3 6 9 9

b. Pengurangan matriks

Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama maka matriks hasil pengurangan A dan B sama artinya dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks lawan B. Jadi A–B = A+(- B) Contoh:

Diketahui matriks 𝐴 = 4 7

3 2 dan matriks 𝐵 = 2 1 3 −2 a. 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + −𝐵

4 7

3 2 − 2 1

3 −2 = 4 7

3 2 + −2 −1

−3 2 = 2 6 0 4

b. 𝐵 − 𝐴 = 𝐵 + −𝐴

2 1

3 −2 − 4 7

3 2 = 2 1

3 −2 + −4 −7

−3 −2 = −2 −6 0 −4

Karena A – B tidak sama dengan B – A maka pada pengurangan matriks tidak berlaku hukum komutatif.

2. Perkalian Matriks

a. Perkalian skalar (bilangan real) dengan matriks

Contoh : Jika 𝐴 =

3 −1

6 8

−2 4

, tentukan matriks yang diwakili oleh 3A

3𝐴 = 3

3 −1

6 8

−2 4

=

3. 3 3 . −1 3 . 6 3 . 8 3 . −2 3 . 4

=

9 −3

18 24

−6 12

Definisi

Misalnya 𝑘 ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝐴 = 𝑎

_𝑖𝑗

adalah suatu matriks yang berordo mxn.

Perkalian bilangan real k dengan matriks A adalah suatu matriks baru yang

berordo mxn yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen pada A

dengan bilangan real k dan diberi notasi kA sedemikian sehingga

𝑘𝐴 = 𝑘𝑎

_𝑖𝑗

b. Perkalian Matriks dengan Matriks

Dari definisi di atas dapat diambil kesimpulan :

Contoh : Diketahui matriks 𝐴 = 2 1

3 5 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = 4

7 , tentukanlah : a. AB dan BA b. Apakah AB = BA ?

Jawab : a. 𝐴𝐵 = 2 1 3 5 4

7 = 2.4 + 1.7

3.4 + 5.7 = 8 + 7

12 + 35 = 15 47

b. Berdasarkan definisi perkalian matriks maka BA tidak terdefinisi untuk perkalian matriks sehingga 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴

Contoh : Diketahui matriks 𝑀 = 2 3 1

5 0 6 𝑑𝑎𝑛 𝑁 = 2 −1

5 3

2 4

, tentukanlah MN.

Jawab : 𝑀𝑁 = 2 3 1 5 0 6

2 −1

5 3

2 4

= 2.2 + 3.5 + 1.2 2. −1 + 3.3 + 1.4 5.2 + 0.5 + 6.2 5. −1 + 0.3 + 6.4 = 4 + 15 + 2 −2 + 9 + 4

10 + 0 + 12 −5 + 0 + 24 = 21 11

22 19

1. Determinan Suatu Matriks

a. Determinan Matriks ordo 2 x 2

Definisi

Apabila matriks 𝐴 = 𝑎

_𝑖𝑗

adalah matriks yang berordo mxp dan matriks 𝐵 = 𝑏

_𝑖𝑗

adalah matriks yang berordo qxn maka perkalian matriks A dan B yang dinotasikan dengan AB dapat dilakukan apabila p=q. Hasil kali matriks AB didefinisikan sebagai matriks 𝐶 = 𝑐

_𝑖𝑗

yang berordo mxn dengan elemen baris ke I kolom ke j adalah :

𝐶

_𝑖𝑗

= 𝑎

_𝑖1

𝑏

_1𝑗

+ 𝑎

_𝑖2

𝑏

_2𝑗

+ 𝑎

_𝑖3

𝑏

_3𝑗

+ … … + 𝑎

_𝑖𝑝

𝑏

_𝑞𝑗

, dengan i = 1, 2, 3, ….. , m

j = 1, 2, 3, …. , n

Dua buah matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks ke dua

C. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33

a

11

a

12

a

21

a

22

a

31

a

32

- - -

+ + +

Misalnya matriks A adalah matriks persegi yang berordo 2x2 yang ditulis dalam bentuk 𝐴 = 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 dapat ditentukan nilai yang disebut determinan . Determinan dari matriks 𝐴 yang dinotasikan dengan 𝑑𝑒𝑡 𝐴 , 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 adalah suatu nilai tertentu yang besarnya 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

Contoh 1 :

Tentukan determinan matriks berikut : 𝐴 = 3 4 5 10 Jawab :

𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 3 4

5 10 = 3 . 10 − 4 . 5 = 30 − 20 = 10 Contoh 2 :

Tentukan nilai x jika 2𝑥 − 1 𝑥 5 3 = 4 Jawab :

2𝑥 − 1 𝑥 5 3 = 4 3 (2x – 1) – 5x = 4 6X – 3 – 5x = 4 x = 4 + 3 = 7

b. Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Misalnya matriks A adalah matriks persegi yang berordo 2x2 yang ditulis dalam bentuk 𝐴 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃

𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ maka determinan matriks A = 𝑑𝑒𝑡 𝐴 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃

Nilai determinan dapat dicari dengan bentuk sebagai berikut : 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎₁₁ −1 ¹⁺¹ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃

𝑎₃₂ 𝑎₃₃ + 𝑎₁₂ −1 ¹⁺² 𝑎₂₁ 𝑎₂₃

𝑎₃₁ 𝑎₃₃ + 𝑎₁₃ −1 ¹⁺³ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂

Ada banyak cara untuk menghitung harga determinan matriks persegi ordo tiga. Antara lain dengan menggunakan aturan sarrus. Langkah-langkah menggunakan aturan sarrus adalah sebagai berikut:

1. Letakkan kolom pertama dan kolom kedua di sebelah kanan garis vertikal dari determinan

2. Jumlahkan hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali unsur-unsur yang sejajar dengan diagonal utama pada arah kanan, kemudian kurangi dengan hasil kali unsur-unsur yang terletak sejajar dengan diagonal samping.

Perhatikan skema berikut:

| A | =

1 3 -1 2 1 5 1 4 1

1 3 2 1 1 4

| A | = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – a31.a22.a13 – a32.a23.a11 – a33.a21.a12

Contoh : Diketahui 𝐴 =

1 3 −1

2 1 5

1 4 1

Tentukan determinan A dengan dua cara tersebut di atas.

Jawab :

a. 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 1 −1 ² 1 5

4 1 + 3 −1 ³ 2 5

1 1 + −1 −1 ⁴ 2 1 1 4 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 1 1 − 20 − 3 2 − 5 − 1 8 − 1 = −19 + 9 − 7 = −17 b. Aturan Sarrus

| A | =

= (1.1.1) + (3.5.1) + (-1.2.4) – (1.1.-1) – (4.5.1) – (1.2.3)

= 1 + 15 - 8 + 1 – 20 - 6 Jadi | A | = - 17

3. Menentukan Invers Matriks Ordo 2 x 2 Misal matriks 𝐴 = 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 maka invers matriks A adalah : 𝐴⁻¹=_{𝑎𝑑 −𝑏𝑐}¹ 𝑑 −𝑏

−𝑐 𝑎 Contoh :

Tentukan invers matriks 𝐴 = 4 7 1 2 ! Jawab :

𝐴⁻¹= 1

4 .2 − 7 . 1

2 −7

−1 4 =1 1

2 −7

−1 4 = 2 −7

−1 4 4. Minor, Kofaktor dan adjoin matriks

Sebelum kita membahas adjoin suatu matriks kita harus mengetahui terlebih dahulu minor dan kofaktor.

a. Minor

Missal A matriks bujur sangkar berordo 3 x 3, minor dari elemen aij matriks A adalah (Mij) Jadi, minor suatu elemen matriks adalah harga determinan dari elemen-elemen matriks dengan menghilangkan baris dan kolom yang memuat elemen tersebut.

Perhatikan bentuk matriks di bawah ini :

a

11

a

12

a

13

a

21

a

22

a

23

a

31

a

32

a

33

K

11

K

21

K

31

K

12

K

22

K

32

K

13

K

23

K

33

𝐴 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃

Jika baris ke 1 dan kolom ke 1 dihapuskan, maka diperoleh matriks 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ sehingga minornya │M11│ = 𝑎22 𝑎23

𝑎₃₂ 𝑎₃₃

Dengan cara yang sama, diperoleh minor-minor dari matriks A = 𝑀₁₁ = 𝑎₂₂ 𝑎₂₃

𝑎₃₂ 𝑎₃₃ 𝑀₂₁ = 𝑎₁₂ 𝑎₁₃

𝑎₃₂ 𝑎₃₃ 𝑀₃₁ = 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑀₁₂ = 𝑎₂₁ 𝑎₂₃

𝑎₃₁ 𝑎₃₃ 𝑀₂₂ = 𝑎₁₁ 𝑎₁₃

𝑎₃₁ 𝑎₃₃ 𝑀₃₂ = 𝑎₁₁ 𝑎₂₁ 𝑎₂₁ 𝑎₂₃ 𝑀₁₃ = 𝑎₂₁ 𝑎₂₂

𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑀23 = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂

𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑀33 = 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂

b. Kofaktor

Missal A matriks bujur sangkar berordo 3 x 3, minor dari elemen aij matriks A adalah (Mij) dan kofaktor dari elemen aij = Kij adalah (-1)^{I + j} (Mij).

Misalnya :

𝐾₁₁ = (−1)¹⁺¹ 𝑀₁₁ 𝐾₂₁ = −1 ²⁺¹ 𝑀₂₁ 𝐾₃₁ = −1 ³⁺¹ 𝑀₃₁ 𝐾₁₂ = (−1)¹⁺² 𝑀₁₂ 𝐾22 = (−1)²⁺² 𝑀₂₂ 𝐾32 = (−1)³⁺² 𝑀₃₂ 𝐾₁₃ = (−1)¹⁺³ 𝑀₁₃ 𝐾₂₃ = (−1)²⁺³ 𝑀₂₃ 𝐾₃₃ = (−1)³⁺³ 𝑀₃₃

c. Adjoin

Jika matriks A = (aij), dan kofaktor dari elemen aij kita sebut Aij, maka transpos dari matriks (Aij) disebut adjoin dari matriks A.

A = maka adjoin A = K^t =

4. Invers Matriks Ordo 3 x 3

Dengan menggunakan matriks adjoin, maka kita dapat mencari inverts dari suatu matriks.

Jika A adalah matriks persegi, maka: 𝐴⁻¹=_{𝑑𝑒𝑡 𝐴} ^{𝐴𝑑𝑗 𝐴} , 𝑑𝑒𝑡 𝐴 ≠ 0

5. Menyelesaikan Sistem Persamaan dengan Menggunakan Matriks a. Sistem Persamaan Linear 2 Variabel

Jika diketahui suatu persamaan linear dengan variable x dan y ax + by = e

cx + dy = f

Dapat dituliskan dalam bentuk matriks menjadi

𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 𝑥 𝑦 =

𝑒 𝑓

Untuk mencari x dan y menggunakan 2 cara yaitu : a. Sifat invers matriks

A . X = B maka X = A^-1 . B 𝑥

𝑦 =

1

𝑎𝑑 −𝑏𝑐 𝑑 −𝑏

−𝑐 𝑎 𝑒 𝑓 b. Dengan cara determinan

𝑥 = ^𝐷𝑥

𝐷 =

𝑒 𝑏 𝑓 𝑑 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

𝑦 = ^𝐷𝑦

𝐷 =

𝑎 𝑒 𝑐 𝑓 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

b. Sistem persamaan linear 3 variabel

Diketahui persamaan linear dengan 3 variabel :

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑝 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓𝑧 = 𝑞 𝑔𝑥 + 𝑕𝑦 + 𝑖𝑧 = 𝑟

Persamaan di atas diubah ke dalam bentuk matriks ordo 3 x 3

𝑎 𝑏 𝑐

𝑑 𝑒 𝑓

𝑔 𝑕 𝑖

𝑥 𝑦 𝑧

= 𝑝 𝑞 𝑟 Penyelesaian dengan cara determinan :

𝐷 =

𝑎 𝑏 𝑐

𝑑 𝑒 𝑓

𝑔 𝑕 𝑖

= 𝑎𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑔 + 𝑐𝑑𝑕 − 𝑐𝑒𝑔 − 𝑎𝑓𝑕 − 𝑏𝑑𝑖

𝐷𝑥 =

𝑝 𝑏 𝑐

𝑞 𝑒 𝑓

𝑟 𝑕 𝑖

= 𝑝𝑒𝑖 + 𝑏𝑓𝑟 + 𝑐𝑞𝑕 − 𝑐𝑒𝑟 − 𝑝𝑓𝑕 − 𝑏𝑞𝑖

𝐷𝑦 =

𝑎 𝑝 𝑐

𝑑 𝑞 𝑓

𝑔 𝑟 𝑖

= 𝑎𝑞𝑖 + 𝑝𝑓𝑔 + 𝑐𝑑𝑟 − 𝑐𝑞𝑔 − 𝑎𝑓𝑟 − 𝑝𝑑𝑖

𝐷𝑧 =

𝑎 𝑏 𝑝

𝑑 𝑐 𝑞

𝑔 𝑕 𝑟

= 𝑎𝑐𝑟 + 𝑏𝑞𝑔 + 𝑝𝑑𝑕 − 𝑝𝑐𝑔 − 𝑎𝑞𝑕 − 𝑏𝑑𝑟 Untuk mencari nilai x, y, z yang memenuhi dengan :

𝑥 = ^𝐷𝑥_𝐷 , 𝑦 = ^𝐷𝑦

𝐷 , 𝑧 = ^𝐷𝑧

𝐷