3.
DETERMINAN
Setiap matriks bujur sangkar A selalu mempunyai suatu besaran skalar yang disebut
determinan. Sebaliknya, setiap matriks yang tidak bujur sangkar tidak mempunyai
determinan.
Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan nilai elemen-elemennya, simbol
det(A) atau |A|. Jika nilai determinan itu nol, matriks bujur sangkar tersebut singular, artinya
tidak memiliki invers. Jika nilai determinan tidak nol, berarti matriks A tersebut non singular,
yaitu matriks tersebut mempunyai invers.
1.
Perhitungan determinan matriks bujur sangkar
a.
Determinan Matriks ordo 2 x 2
Misalkan diketahui matriks A = [
]
Determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut:
det(A) = [
] = a11 a22– a21a12 Contoh :
A = [
] maka det(A) = 1.5 -3.5 = 5 - 15= -10
b.
Determinan matriks ordo 3 x 3
Misalkan diketahui matriks A = [
]
Untuk mencari determinan dari matriks 3 x 3 digunakan metode Sarrus yang
langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
_ _ _
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
+ + +
det(A) = (a11 a22 a33 + a12 aa23 a31 + a13 a21 a32 ) – (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12)
Tentukan determinan matriks A = [
]
Jawab :
-3 4 2 -3 4
det(A) = 2 1 3 2 1
1 0 -1 1 0
= [(-3).1.(-1) + 4.3.1 + 2.2.0] – [1.1.2 + 0.3.(-3) + (-1).2.4]
= (3 + 12 + 0] – [2 + 0 – 8]
= 21
c.
Minor dan Kofaktor
Minor dari matriks Aij adalah det(Aij) dan kofaktornya adalah (-1)i+j det(Aij). Disini
Aij adalah matriks A dengan elemen-elemen baris ke-i dan elemen-elemen kolom ke-j
dibuang.
Contoh :
Diketahui matriks A = [
]
, tentukan minor dan kofaktor dari A11 dan A32
Jawab :
A11 = matriks A dengan elemen-elemen baris ke-1 dan elemen-elemen kolom ke-1
dibuang.
A11 = [
]
= [
]
Minor A11 = det(A11) = 1.(-1) – 0.3 = -1
Kofaktor A11 = (-1)i+j det(A11) = (-1)1+1 (-1) = -1
A32 = matriks A dengan elemen-elemen baris ke-3 dan elemen-elemen kolom ke-2
dibuang.
A11 = [
]
= [
]
Minor A32 = det(A32) = (-3).3 – 2.2 = -13
d.
Determinan Matriks ordo n x n
Determinan matriks ordo n x n dihitung menggunakan teorema Laplace.
Teorema Laplace :
Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari
sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.
det(A) = ∑ ( )
dengan i sembarang disebut ekspansi baris ke-i, atau
det(A) = ∑ ( ) ( ) ( ) ( )
dengan j sebarang disebut ekspansi baris ke-j. Kof(Aij) adalah kofaktor dari Aij
Contoh :
Hitung determinan matriks A = [
kolom diubah menjadi baris, dengan kata lain :
det(A) = det(AT)
Contoh :
A = [
det(A) = 6.0 – 2.5 = -10
det(AT) = 6.0 – 5.2 = -10
2. det(AB) = det(A) det(B)
Contoh :
A = [
], dan B = [ ] maka AB =[ ][ ] = [ ]
det(A) = 6.0 – 2.5 = -10
det(B) = 10.0 – 4.15 = -60
det(A) det(B) =(-10).(-60) = 600
det(AB) = 75.8 -0.74 = 600
3. Jika dua baris/kolom dipertukarkan tempatnya, tanda determinan berubah
Contoh :
A = [
]
maka B = H12(A) = [
]
dan C = K12(A) = [
]
det(A) = 0.[
]- 0.[ ] + 1.[ ] = -2 ekspansi baris ke-3
det(B) = 2.[
]- 0.[ ] 0.[ ] = 2 ekspansi kolom ke-1
det(C) = 0.[
]- 0.[ ] + 1.[ ] = 2 ekspansi baris ke-3
4. Pada suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maka harga
determinan itu = 0
Contoh :
A = [
]
, baris ke-1 dan ke-2 sama, maka |A|= 0
5. Bila nilai determinan tidak berubah, jika elemen-elemen sebuah baris/kolom ditambah
atau dikurangi dengan suatu kelipatan nilai real dari elemen-elemen dari baris/kolom
A =[
6. Besar determinan menjadi β kali, bila suatu baris/kolom dikalikan dengan skalar β.
Contoh :
7. Apabila semua unsur dalam satu baris atau kolom = 0, maka harga determinan = 0
Contoh :
A = [
] det(A) = 0.5 – 0.4 = 0 – 0 = 0
8. Jika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah, maka hasil
determinanya merupakan hasilkali dari elemen-elemen yang terletak pada diagonal
B = [
1. Hitunglah nilai determinan dari matriks-matriks berikut :
A = [
2. Hitunglah nilai determinan dari matriks-matriks berikut :
A = [
3. Diketahui dua buah matriks berikut :
5. Nilai-nilai a yang memenuhi [
