BAB II
LANDASAN TEORI
A. Matriks
1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1
Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari
bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom.
Contoh II.A.1:
− −
−
12 5 4 6
4 8 3 5
8 3 6 9
Bilangan-bilangan yang terdapat dalam suatu matriks disebut
elemen matriks. Elemen- elemen mendatar membentuk baris dan
elemen- elemen vertikal membentuk kolom. Banyaknya baris dan kolom
suatu matriks menyatakan ukuran matriks tersebut. Apabila dalam suatu
matriks terdapat m baris dan n kolom maka ukuran matriks tersebut
adalah m x n. Notasi indeks rangkap digunakan untuk menyatakan
elemen suatu matriks. Simbol a menyatakan elemen yang muncul pada ij
baris ke-i dan kolom ke-j, dimana 1≤i≤m dan 1≤ j≤n. Simbol i dinamakan indeks baris sedangkan simbol j dinamakan indeks kolom.
Sebuah matriks Amxndituliskan sebagai berikut :
=
mn m2
m1
2n 22
21
1n 12
11
a ... a a
... ... ... ...
a ... a a
a ... a a
A
2. Operasi pada Matriks
1) Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Definisi II.A.2
Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berukuran sama,
maka jumlah A+B adalah matriks C yaitu matriks yang
diperoleh dengan menambahkan elemen-elemen B dengan
elemen-elemen A yang berpadanan, dan selisih A-B adalah
matriks D yaitu matriks yang diperoleh dengan mengurangkan
elemen-elemen A dengan elemen-elemen B yang berpadanan.
Matriks-matriks berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan
atau dikurangkan. Dalam notasi matriks, apabila A=[aij] dan B=[bij]
mempunyai ukuran yang sama maka A + B = C
dimana �𝑐𝑐𝑖𝑖𝑖𝑖�= �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖�+�𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖�
A - B = D
dimana �𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖�=�𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖� − �𝑏𝑏𝑖𝑖𝑖𝑖�
2) Perkalian Matriks dengan Skalar
matriks B yaitu matriks yang diperoleh dengan mengalikan c
dengan setiap elemen A.
Dalam notasi matriks, apabila A=[a ] maka :ij cA=B dimana
] [ca ]
[bij = ij .
Contoh II.A.3
A = �
1 2
3 4
0 1
� B = �4 3
2 1�
maka A × B = �
1 2
3 4
0 1
� × �4 3
2 1�
= �
8 5
20 13
2 1
�
3) Perkalian Matriks dengan Matriks
Definisi II.A.4
Misalkan A adalah sebuah matriks berukuran m x n dan B
adalah sebuah matriks berukuran n x r, maka hasil kali A dan
B adalah matriks C berukuran m x r yang elemen-elemennya
didefinisikan sebagai berikut: untuk mencari elemen baris ke-i
dan kolom ke-j dari matriks C caranya adalah dengan memilih
baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kemudian
mengalikan elemen-elemen yang berpadanan dari baris dan
Dalam notasi matriks, apabila A=[aij] dan B=[bij] maka
A x B = C, dimana
∑
=
= =
= n 1 k
kj ik
ij] a b i 1,...,m j 1,....,r
[c .
4) Perpangkatan Matriks
Definisi II.A.5
Misalkan A adalah suatu matriks persegi orde n maka pangkat
dari A didefinisikan sebagai berikut:
𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴3 = 𝐴𝐴2𝐴𝐴, . . . , 𝐴𝐴𝑛𝑛+1 = 𝐴𝐴𝑛𝑛𝐴𝐴, . . . dan 𝐴𝐴0 =𝐼𝐼
Contoh II.A.5:
Misalkan A adalah matriks
−3 4 2 1
maka hitunglah 𝐴𝐴2 dan 𝐴𝐴3 .
Penyelesaian :
− =
4 3
2 1
A
maka 𝐴𝐴2 =𝐴𝐴𝐴𝐴
= � 1 2
−3 4��
1 2
−3 4�
= � −5 10
−15 10�
dan 𝐴𝐴3 =𝐴𝐴2𝐴𝐴
= � −5 10
−15 10��
1 2
−3 4�
= �−35 30
3. Macam- Macam Matriks 1) Matriks Persegi
Definisi II.A.6
Matriks persegi adalah suatu matriks dimana banyaknya baris
sama dengan banyaknya kolom (m = n). Disebut juga matriks
persegi berordo n.
Contoh II.A.6 :
adalah matriks persegi orde 2.
b) Matriks B=
adalah matriks persegi orde 3.
Pada matriks persegi elemen-elemen yang terletak pada garis
penghubung a11 dengan ann dinamakan diagonal utama.
2) Matriks Identitas
Definisi II.A.7
Matriks identitas adalah suatu matriks persegi dimana
elemen-elemennya 1 pada diagonal utamanya dan 0 pada
tempat-tempat lain diluar diagonal utama. Matriks tersebut
dinyatakan dengan simbol I.
3) Matriks Diagonal
Definisi II.A.8
Matriks diagonal adalah suatu matriks persegi dimana semua
elemen di luar diagonal utamanya mempunyai nilai nol dan
paling tidak satu elemen pada diagonal utamanya tidak sama
dengan nol. Biasanya diberi simbol D.
Contoh II.A.8 :
1)
2 0
0 1
2)
3 0 0
0 2 0
0 0 1
4) Matriks Transpose
Definisi II.A.9
Jika A = �𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖� berukuran 𝑚𝑚×𝑛𝑛 maka transpose dari A adalah
matriks 𝐴𝐴𝑇𝑇 berukuran 𝑛𝑛×𝑚𝑚 dengan 𝐴𝐴𝑇𝑇 =�𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖� .
Contoh II.A.9 :
1) Matriks A = �
1 2
4 5
8 9
� maka 𝐴𝐴𝑇𝑇= �1 4 8
2 5 9�
2) Matriks B = �
1 3 5 6
3 8 4 2
7 0 9 2
6 1 8 3
� maka 𝐵𝐵𝑇𝑇 = �
1 3 7 6
3 8 0 1
5 4 9 8
6 2 2 3
5) Matriks Nilpoten
Definisi II.A.10
Jika N adalah matriks persegi dan berlaku 𝑁𝑁𝑞𝑞 = 0 untuk q
bilangan bulat positif maka N disebut matriks nilpoten.
Contoh II.A.10
N = �
0 3 4
0 0 6
0 0 0
� kemudian 𝑁𝑁2 = �
0 0 18
0 0 0
0 0 0
� dan 𝑁𝑁3 = �
0 0 0
0 0 0
0 0 0
�
Maka matriks N disebut matriks nilpoten dengan q = 3.
B. Determinan Matriks, Invers Matriks dan Rank Matriks 1. Determinan Matriks
Determinan matriks merupakan suatu fungsi dengan aturan
det (A) = ∑± 𝑎𝑎1𝑖𝑖1 𝑎𝑎2𝑖𝑖2 … 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑖𝑖𝑛𝑛 dengan A adalah matriks persegi
berukuran 𝑛𝑛×𝑛𝑛.
Definisi II.B.1
Jika A matriks persegi, maka minor elemen 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 dinyatakan oleh
𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖 dan didefinisikan menjadi determinan sub matriks yang tetap
setelah baris ke i dan kolom ke j dihilangkan dari A. Bilangan
(−1)𝑖𝑖+𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑖𝑖 dinyatakan oleh 𝐶𝐶𝑖𝑖𝑖𝑖 dan dinamakan kofaktor elemen
Contoh II.B.1
A = �
3 1 −4
2 5 6
1 4 8
�
minor elemen 𝑎𝑎11 adalah 𝑀𝑀11, yaitu
𝑀𝑀11= �
3 1 −4
2 5 6
1 4 8
� = �5 6
4 8� = 16
kofaktor elemen 𝑎𝑎11 adalah 𝐶𝐶11, yaitu
𝐶𝐶11 = (−1)1+1𝑀𝑀11= (−1)2 (16) = 16
Definisi II.B.2
Determinan matriks persegi A yang berukuran n × n dapat
dihitung dengan mengalikan elemen-elemen dalam suatu baris
(atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan
hasil kali yang dihasilkan, maka
det (A) = 𝑎𝑎1𝑖𝑖𝐶𝐶1𝑖𝑖 + 𝑎𝑎2𝑖𝑖𝐶𝐶2𝑖𝑖 + . . . . + 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑖𝑖𝐶𝐶𝑛𝑛𝑖𝑖 , untuk 1 ≤ j≤ n
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j) dan
det (A) = 𝑎𝑎𝑖𝑖1𝐶𝐶𝑖𝑖1 + 𝑎𝑎𝑖𝑖2𝐶𝐶𝑖𝑖2 + . . . . + 𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛𝐶𝐶𝑖𝑖𝑛𝑛 , untuk 1 ≤ i≤ n
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i)
Misalkan terdapat matriks A berordo 3 x 3 , yaitu :
A = �
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13
𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33
Dengan menggunakan definisi determinan ditunjukkan bahwa
det (A) = 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 𝑎𝑎33 + 𝑎𝑎12 𝑎𝑎23𝑎𝑎31 + 𝑎𝑎13 𝑎𝑎21 𝑎𝑎32 −𝑎𝑎13 𝑎𝑎22 𝑎𝑎31
−𝑎𝑎12 𝑎𝑎21 𝑎𝑎33 −𝑎𝑎11 𝑎𝑎23 𝑎𝑎32
= 𝑎𝑎11 (𝑎𝑎22 𝑎𝑎33 − 𝑎𝑎23 𝑎𝑎32) + 𝑎𝑎21 (𝑎𝑎13 𝑎𝑎32 −𝑎𝑎12 𝑎𝑎33) + 𝑎𝑎31 (𝑎𝑎12
𝑎𝑎23 −𝑎𝑎13 𝑎𝑎22)
Pernyataan yang ada dalam tanda kurung di atas tidak lain berturut-turut
adalah 𝐶𝐶11 , 𝐶𝐶21 , 𝐶𝐶31 sehingga det(A) = 𝑎𝑎11𝐶𝐶11 + 𝑎𝑎21𝐶𝐶21 + 𝑎𝑎31𝐶𝐶31.
Persamaan ini memperlihatkan bahwa determinan A dapat dihitung
dengan mengalikan elemen-elemen dalam kolom pertama A dengan
kofaktor-kofaktorya dan menambahkan hasil kalinya. Metode ini
dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama A.
Contoh II.B.2 :
Tentukan determinan matriks berikut :
a)
Penyelesaian :
𝐶𝐶11 = (−1)1+1𝑀𝑀11
= (−1)2�1 4
6 7�
= (−1)2(−17)
= −17
𝐶𝐶21 = (−1)2+1𝑀𝑀21
= (−1)3�2 3
6 7�
= (−1)3(−4)
= 4
𝐶𝐶31 = (−1)3+1𝑀𝑀31
= (−1)4�2 3
1 4�
= (−1)4(5)
= 5
maka det(A) = 𝑎𝑎11𝐶𝐶11 + 𝑎𝑎21𝐶𝐶21 + 𝑎𝑎31𝐶𝐶31
= 1 (−17) + 3 (4) + 2 (5)
= 5
b) B = �
1 2 3 4
2 1 0 3
3 2 1 0
2 4 0 1
�
𝐶𝐶11 = (−1)1+1𝑀𝑀11
= (−1)2 �
1 0 3
2 1 0
4 0 1
�
= (−1)2(−11)
= −11
𝐶𝐶12 = (−1)1+2𝑀𝑀12
= (−1)3�
2 0 3
3 1 0
2 0 1
�
= (−1)3(−4) = 4
𝐶𝐶13 = (−1)1+3𝑀𝑀13
= (−1)4�
2 1 3
3 2 0
2 4 1
�
= (−1)4(25)
= 25
𝐶𝐶14 = (−1)1+4𝑀𝑀14
= (−1)5�
2 1 0
3 2 1
2 4 0
�
= (−1)5(−6)
= 6
maka det(B) = 𝑎𝑎11𝐶𝐶11 + 𝑎𝑎12𝐶𝐶12 + 𝑎𝑎13𝐶𝐶13 + 𝑎𝑎14𝐶𝐶14
= 1 (−11) + 2 (4) + 3 (25) + 4 (6)
2. Invers Matriks Definisi II.B.3
Jika A adalah suatu matriks persegi dengan n baris dan n kolom
serta 𝐼𝐼𝑛𝑛 adalah matriks identitas berukuran n × n maka terdapat
matriks persegi 𝐴𝐴−1 sehingga berlaku A𝐴𝐴−1 = 𝐴𝐴−1A = I, maka
𝐴𝐴−1 disebut invers matriks A.
Teorema II.B.1
Jika P adalah matriks nonsingular (det (P) ≠ 0), maka
𝑃𝑃−1 = 1
det (𝑃𝑃) adj (P)
dengan adj (P) adalah transpose dari kofaktor matriks P.
Contoh Teorema II.B.1 A = �1 2
1 3�
𝐴𝐴−1 = 1
det (𝐴𝐴) adj (A)
det(𝐴𝐴) = 3 – 2 = 1
Adj (A) = � 3 −2
−1 1 �
𝐴𝐴−1 = 1 1�
3 −2
−1 1 � = �
3 −2
3. Rank Matriks Definisi II.B.4
Jika matriks A paling sedikit terdapat satu minor determinan yang
tidak sama dengan nol dan ternyata terdiri dari r baris, akan tetapi
untuk minor yang determinannya sama dengan nol apabila minor
matriksnya terdiri dari (r+1) baris, maka matriks A dikatakan
mempunyai rank sebesar r. Biasanya diberi simbol
rank(A) = r(A).
Untuk mempermudah di dalam mencari nilai rank suatu matriks,
dapat menggunakan transformasi elementer yang menunjukkan kepada
baris dan kolom dari matriks yang bersangkutan. Besarnya nilai rank
suatu matriks dapat dilihat secara langsung dengan cara melihat
determinan yang tidak sama dengan nol dari minor matriks dengan
jumlah baris dan kolom tertentu. Jumlah baris (kolom) itulah yang
menunjukkan besarnya nilai rank atau banyaknya baris yang masih
mengandung elemen tidak sama dengan nol setelah transformasi
Contoh II.B.4
C. Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Persamaan Karakteristik Definisi II.C.1
Jika A adalah matriks n x n maka vektor taknol x di dalam R n dinamakan vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x
yaitu Ax =λx untuk suatu skalar. Skalar λ dinamakan nilai eigen
dari A dan x dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.
Contoh :
Untuk mencari nilai eigen matriks A yang berukuran n x n maka
dituliskan kembali 𝐴𝐴𝐴𝐴 =𝜆𝜆𝐴𝐴sebagai 𝐴𝐴𝐴𝐴 =𝜆𝜆𝐼𝐼𝐴𝐴 atau secara ekuivalen
−3𝑏𝑏1
−2𝑏𝑏1
pemecahan taknol jika dan hanya jika det(A−λI)=0. Ini dinamakan
persamaan karakteristik A, skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai
eigen dari A. Bila diperluas, maka det(A−λI) adalah polinom λ yang
dinamakan polinom karakteristik dari A.
Jika A adalah matriks n x n, maka polinom karakteristik A harus
memenuhi n dan koefisien λn adalah 1. Jadi, polinom karakteristik dari
matriks n x n mempunyai bentuk det(A-λΙ)=λn +c1λn−1+...+cn.
Contoh II.C.1 :
Diketahui matriks
− =
0 1
2 3
A maka tentukan nilai eigen matriks A.
Penyelesaian :
det (𝐴𝐴 − 𝜆𝜆𝐼𝐼) = 0
⇔ det �� 3 2
−1 0� − 𝜆𝜆 �
1 0
0 1�� = 0
⇔��−31 20� − �𝜆𝜆0 0𝜆𝜆�� = 0
⇔�3−− 𝜆𝜆1 −𝜆𝜆�2 = 0
⇔(3− 𝜆𝜆) (−𝜆𝜆) – (−2) = 0
⇔𝜆𝜆2− 3𝜆𝜆 + 2 = 0
Jadi persamaan karakteristik dari A adalah
0 2
3λ
λ2 − + = .
Penyelesaian persamaan ini adalah λ=1dan λ=2. Selanjutnya disebut
D. Ruang Eigen Suatu Matriks Dan Basisnya Definisi II.D.1
Vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vektor
taknol dalam ruang pemecahan dari (λI-A)x=0. Selanjutnya ruang
pemecahan ini dikatakan sebagai ruang eigen dari A yang bersesuaian
dengan λ.
Contoh :
Carilah vektor eigen matriks berikut
Pemecahan :
Persamaan karakterisrik dari A adalah (λ−1)(λ−5)2 =0 sehingga
x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ jika dan hanya
jika x adalah ruang pemecahan tak trivial dari (λI-A)x=0, yaitu:
Jadi vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan λ=5adalah
vektor-vektor taknol yang berbentuk:
adalah vektor bebas linier, maka
vektor-vektor tersebut akan membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian
dengan λ=5. Banyakya vektor dalam basis disebut dimensi. Kemudian
untuk λ=1 caranya sama seperti mencari vektor eigen pada λ=5.
E. Matriks – Matriks Serupa
Matriks A serupa (similar) dengan matriks T jika terdapat suatu
matriks nonsingular P sehingga A = 𝑃𝑃−1 T P. Teorema II.E.1
Diberikan matriks T dan A yang berukuran n x n. Jika T serupa
dengan A, maka kedua matriks mempunyai persamaan karakteristik
yang sama dan oleh sebab itu keduanya mempunyai nilai-nilai eigen
yang sama.
Dari matriks T didapat persamaan karakteristikya det(T−𝜆𝜆𝐼𝐼) =
Dimana P adalah matriks nonsingular dan 𝑃𝑃−1 adalah invers matriks
nonsingular.
A = 𝑃𝑃−1𝑇𝑇𝑃𝑃
= �
−2.22 0.85 0.33 0
−0.33 0.11 0 0
0 −0.33 −1 1
2 −0.33 −1 0
� �
4 −4 −11 11
3 −12 −42 42
−2 12 37 −34
−1 7 20 −17
� �
−3 11 0 −1
−9 42 0 −3
6 −34 0 1
3 −20 1 0
�
= �
3 1 0 0
0 3 1 0
0 0 3 0
0 0 0 3
�
Maka nilai eigen matriks A adalah 𝜆𝜆 = 3.
F. Matriks Bentuk Kanonik Jordan Definisi II.F.1
Jika A adalah matriks persegi berukuran n × n, maka matriks bentuk
Kanonik Jordan dari A adalah suatu matriks persegi dimana
𝑃𝑃−1𝐴𝐴𝑃𝑃 = J = �
𝐵𝐵1 0 … 0
0 𝐵𝐵2 … 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 … 𝐵𝐵𝑘𝑘
� dengan P adalah matriks
nonsingular dan untuk setiap 𝐵𝐵𝑖𝑖 , i = 1, 2, . . . , k adalah blok Jordan.
Blok Jordan adalah suatu matriks yang berbentuk 𝜆𝜆𝐼𝐼1 𝐴𝐴 1 dengan
𝐼𝐼1 𝐴𝐴 1 adalah matriks identitas berukuran 1 × 1.
Definisi II.F.2
Jika A adalah matriks persegi berukuran n × n dan det(𝜆𝜆𝐼𝐼 − 𝐴𝐴) =
(𝜆𝜆 − 𝑟𝑟1)𝑚𝑚1 (𝜆𝜆 − 𝑟𝑟2)𝑚𝑚2 . . . (𝜆𝜆 − 𝑟𝑟𝑘𝑘)𝑚𝑚𝑘𝑘, dimana 𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2, . . . , 𝑟𝑟𝑘𝑘 adalah
matriks �
𝐵𝐵1 0 … 0
0 𝐵𝐵2 … 0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 … 𝐵𝐵𝑘𝑘
� dengan 𝐵𝐵𝑖𝑖 adalah blok Jordan yang
berbentuk
⎣ ⎢ ⎢ ⎢
⎡𝜆𝜆0 1𝜆𝜆 01 ⋯⋯ 00 00 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
0 0 0 ⋯ 𝜆𝜆 1
0 0 0 ⋯ 0 𝜆𝜆⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎤
maka disebut matriks bentuk
Kanonik Jordan dari A.
Diberikan A adalah matriks persegi n × n dan B adalah matriks
persegi n × n, maka matriks B serupa dengan matriks A jika terdapat matriks
nonsingular P sehingga B = P-1 A P . T : 𝑅𝑅𝑛𝑛 → 𝑅𝑅𝑛𝑛 adalah operator matriks
A yang didefinisikan oleh T(𝐴𝐴) = A(𝐴𝐴) dengan A adalah matriks berukuran
n x n, maka T dinamakan operator yang dibangun oleh A. T : V → W
adalah transformasi linear dimana V dan W adalah ruang vektor tidak nol
dengan dimensi yang terbatas dari V ke W. Jika A adalah matriks dari T
dengan basis 𝛼𝛼 dari V (A = [𝑇𝑇]𝛼𝛼𝛼𝛼) dan B adalah matriks dari T dengan basis
yang berbeda dari W (B = [𝑇𝑇]𝛽𝛽𝛽𝛽).
Hubungan antara operator dan matriks yaitu, misal diberikan operator
linear T : V → V dan 𝛼𝛼 = {𝑒𝑒1, 𝑒𝑒2 , . . . , 𝑒𝑒𝑛𝑛} adalah basis untuk V sedangkan
𝛽𝛽 = {𝑓𝑓1, 𝑓𝑓2, . . . , 𝑓𝑓𝑛𝑛} adalah basis yan lain untuk V. Diberikan 𝐴𝐴 dan 𝑦𝑦 yang
direlasikan oleh T(𝐴𝐴) = 𝑦𝑦, karena 𝐴𝐴 ∈ V maka 𝐴𝐴 dapat dinyatakan dengan
Dengan demikian koordinat kolom dari 𝐴𝐴 yang relative terhadap basis
𝛼𝛼adalah [𝐴𝐴]𝛼𝛼 = (𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2, . . . , 𝑐𝑐𝑛𝑛)T dan koordinat kolom dari 𝑦𝑦 adalah [𝑦𝑦]𝛽𝛽 =
(𝑑𝑑1, 𝑑𝑑2, . . . , 𝑑𝑑𝑛𝑛)T sehingga T(𝑒𝑒𝑖𝑖) = ∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑓𝑓𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑛𝑛.
Ekuivalen dengan [T(𝑒𝑒𝑖𝑖)]𝛽𝛽 = (𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝑎𝑎2𝑖𝑖, . . . , 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑖𝑖)T = 𝐴𝐴𝑖𝑖 dengan A = |𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖| =
[𝐴𝐴1, 𝐴𝐴2, . . . , 𝐴𝐴𝑛𝑛].
Definisi II.F.3
Matriks [T(𝑒𝑒𝑖𝑖)]𝛽𝛽 = (𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝑎𝑎2𝑖𝑖, . . . , 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑖𝑖)T = 𝐴𝐴𝑖𝑖 dengan A = |𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖| = [𝐴𝐴1,
𝐴𝐴2, . . . , 𝐴𝐴𝑛𝑛] maka matriks A dinamakan matriks standar T yang
relative terhadap basis 𝛼𝛼 dan 𝛽𝛽 dinotasikan dengan A = [T] = [T]𝛼𝛼𝛽𝛽.
Jika V = W dan 𝛼𝛼 = 𝛽𝛽 maka matriks A= [T]𝛼𝛼𝛼𝛼.
Jika T : 𝑅𝑅𝑛𝑛 → 𝑅𝑅𝑛𝑛 adalah operator matriks T(X) = AX. Kemudian 𝛼𝛼
adalah basis standar untuk 𝑅𝑅𝑛𝑛 dan diketahui bahwa [𝑇𝑇]𝛼𝛼𝛼𝛼 = A. Jika P adalah
matriks nonsingular yang merupakan perubahan basis dari 𝛼𝛼 ke basis 𝛽𝛽
G. Matriks Eksponensial Definisi II.G.1
Jika A adalah matriks n x n, maka matriks eksponensial dari A
dinotasikan dengan 𝑒𝑒𝐴𝐴 atau exp (A) yang merupakan matriks n x n
dengan deret pangkat yang didefinisikan :
𝑒𝑒𝐴𝐴 = I + A + 𝐴𝐴2
2! + . . . +
𝐴𝐴𝑘𝑘
𝑘𝑘! + . . . .
= ∑ 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑘𝑘!
∞ 𝑘𝑘=0
Dengan I adalah matriks identitas berukuran n x n.
Sesuai dengan deret maclaurin maka deret tersebut konvergen untuk
