BAB I PENDAHULUAN. Sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n M M M M M

(1)

BAB I PENDAHULUAN

Sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui akan dituliskan sebagai :

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2

M

an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn

dimana x1, x2, ..., xn adalah bilangan – bilangan tak diketahui (variabel), sedangkan

a dan b adalah konstanta – konstanta.

Jika kita telusuri letak +, letak x, dan letak =, maka sistem yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan tak diketahui dapat disingkat dengan hanya menuliskan konstanta a dan b, dan menyusunnya dalam bentuk baris – baris dan kolom – kolom, dalam jajaran empat persegi panjang yang dinamakan matriks.

Salah satu pokok bahasan dalam matriks adalah invers matriks yang biasa disimbolkan dengan A-1. Invers ini terkait dengan determinan matriks, dan identitas suatu matriks yaitu A . A-1 = I.

Suatu matriks A dikatakan mempunyai invers jika matriks tersebut adalah matriks bujur sangkar ( matriks kuadrat ) yang mempunyai determinan, dan tidak mempunyai invers jika determinannya = 0.

Berdasarkan uraian di atas, dalam makalah ini kami mencoba mencari suatu “Matriks Bujur Sangkar yang Inversnya adalah Matriks Diagonal”

(2)

BAB II PEMBAHASAN

A. Defenisi dan Jenis – Jenis Matriks

Matriks (matrix) adalah susunan segi empat siku – siku dari bilangan – bilangan Bilangan – bilangan dalam susunan tersebut yang dinamakan entri dalam matriks.

Ukuran (size) suatu matriks dinyatakan dalam jumlah baris (arah horizontal) dan kolom (arah vertikal) yang dimilikinya. Suatu matriks yang hanya terdiri satu kolom disebut matriks kolom, dan matriks yang terdiri dari hanya satu baris disebut matriks baris. Contoh:

ú

û

ù

ê

ë

é

3

2

1 [

3

5

0

4 ]

Matriks Kolom Matriks Baris

Suatu matriks yang mempunyai jumlah kolom sama dengan jumlah baris, disebut Matriks Bujur Sangkar.

Contoh matriks bujur sangkar

_ú û ù ê ë é 5 3 0 1 ;

ú

û

ù

ê

ë

é

0

9

8

2

6

5

3

4

1

Entri yang terletak pada baris i dan kolom j di dalam matriks A akan dinyatakan sebagai aij, dan diagonal utamanya (main diagonal) adalah a11, a22, a33, . . . , amn

(3)

Jadi misalkan matriks A 3x4 dapat tulis sebagai : A =

ú

û

ù

ê

ë

é

34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11

a

,

dan untuk matriks yang berukuran m x n ditulis

A =

ú

û

ù

ê

ë

é

mn m m n n

a

L

M

O

M

L

2 1 2 22 21 1 21 11 ,

dan jika kita menginginkan notasi yang singkat, maka matriks di atas dapat ditulis sebagai

[ ]

mxn ij

a

atau

[ ]

a_ij saja.

Suatu matriks bujur sangkar yang mempunyai diagonal utama = 1 dan entri – entri yang lain = 0, maka matriks tersebut dinamakan Matriks Identitas (Identity matrix), dan dinyatakan dengan I. Dan jika Anxn maka A . I = A.

Contoh matriks identitas

_ú û ù ê ë é 1 0 0 1 ;

ú

û

ù

ê

ë

é

1

0

1

0

1

Jika suatu matriks bujursangkar yang semua entrinya yang tidak terletak pada diagonal utama adalah nol disebut Matriks Diagonal.

Contoh matriks diagonal :

ú

û

ù

ê

ë

é

4

0

6

; ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 5

(4)

secara umum matriks diagonal D n x n dapat dituliskan sebagai : D =

ú

û

ù

ê

ë

é

n

d

L

M

O

M

L

0

2 1 ,

,

B. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Defenisi :

“Dua buah matriks adalah setara (equal), jika keduanya memiliki ukuran yang sama, dan entri – entri yang bersesuaian adalah sama”

Contoh: Perhatikan matriks – matriks berikut :

A = _ú û ù ê ë é 5 3 0 1 ; B = _ú û ù ê ë é 5 3 1 x

Jika x = 0, maka A = B, dan untuk x ≠ 0, maka A dan B tidak setara.

Suatu matriks dapat dijumlahkan, dan dapat dikurangkan jika matriks – matriks tersebut mempunyai ukuran yang sama. sesuai dengan defenisi :

“Jika A dan B adalah matriks – mariks dengan ukuran yang sama, maka jumlah (sum) A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan entri – entri yang bersesuaian pada A dan selisih (difference) A – B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri – entri pada A dengan entri – entri yang bersesuaian pada B. Matriks dengan ukuran yang berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan”.

(5)

Contoh penjumlahan matriks.

Perhatikan matriks – matriks berikut :

A = _ú û ù ê ë é 4 1 5 3 , B = _ú û ù ê ë é 4 1 10 2 , C = _ú û ù ê ë é 4 1 3 2 maka A + B = _ú û ù ê ë é 4 1 5 3 + _ú û ù ê ë é 4 1 10 2 = _ú û ù ê ë é 8 2 15 5 B - C = _ú û ù ê ë é 4 1 10 2 - _ú û ù ê ë é 4 1 3 2 = _ú û ù ê ë é 0 0 7 0

Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil kali (Product) AB adalah matriks m x n, yang entri – entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri pada baris i dan kolom j dari AB, pisahkan baris i dari matriks A dan kolom j dari matrik B. Kalikan entri – entri yang bersesuaian dari baris dan kolom dan kemudian jumlahkan hasil yang diperoleh.

Contoh:

Perhatikan matriks – matriks berikut :

A = _ú û ù ê ë é 4 1 0 2 , B = _ú û ù ê ë é 2 0 3 3 maka AB = _ú û ù ê ë é 4 1 0 2 ú û ù ê ë é 2 0 3 3 = _ú û ù ê ë é 9 3 6 6

L

1 1 11

entri (AB)ij pada baris ke-i dan kolom ke-j dari AB diperoleh melalui :

(AB)ij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + . . . + air . brj

C. Invers Matriks Bujur Sangkar

Untuk bilangan real a, dan b, selalu berlaku ab = ba, yang disebut hukum komutatif perkalian (commutative law for multification). Tetapi untuk suatu matriks, AB dan BA tidak selalu setara. Kesetaraan ini tidak terjadi karena tiga alasan :

1. Hasil kali AB dapat didefenisikan tetapi BA tidak dapat didefenisikan, Contoh : Jika A2x3 , dan B3x4

2. AB dan BA keduanya dapat didefenisikan tetapi tidak memiliki ukuran yang sama.

Contoh : Jika A2x3 dan B3x2

3. AB ≠ BA, meskipun AB dan BA memiliki ukuran yang sama dan dapat didefenisikan. Contoh : A = _ú û ù ê ë é-6 4 0 2 , B = _ú û ù ê ë é 0 6 4 2

(7)

AB = _ú û ù ê ë é- -16 20 8 4 ≠ BA = _ú û ù ê ë é -12 0 24 12 Defenisi :

“Jika A adalah matriks bujursangkar, dan jika terdapat matriks B yang ukurannya sama sedemikian rupa sehingga AB = BA = I, maka A disebut dapat dibalik (invertible) dan B disebut sebagai invers (inverse) dari A. Jika matriks B tidak dapat didefenisikan, maka A dinyatakan sebagai matriks singular”.

Invers dari A dapat dinyatakan sebagai A-1, dan A . A-1 = I.

Suatu matrik yang bujur sangkar mempunyai invers jika matriks A tersebut mempunyai determinan ≠ 0 (sesuai Teorema )

D. Matriks A n x n yang Inversnya Matriks Diagonal. Misalkan Matriks Anxn dan Dnxn

A . A-1 = I ... (1)

karena Inversnya adalah matriks diagonal, maka A-1 = D, sehingga (1) menjadi :

A . D = I ...(2)

A . D D-1 = I . D-1 (masing-masing ruas di kali dengan D-1)

A . I = D-1 (karena I = D D-1)

2 1

L

M

O

M

L

Jadi A nxn adalah matriks diagonal yang seluruh entrinya pada posisi diagonal

(9)

BAB III PENUTUP

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa :

1. Suatu matrik bujur sangkar mempunyai invers jika matriks A tersebut mempunyai determinan ≠ 0.

Invers dari matriks A dapat dinyatakan sebagai A-1, dengan A . A-1 = I.

2. Jika suatu matriks bujursangkar yang semua entrinya yang tidak terletak pada diagonal utama adalah nol disebut Matriks Diagonal. Invers matriks diagonal adalah matriks diagonal.

3. Matriks bujur sangkar A yang mempunyai invers matriks diagonal, maka matriks tersebut adalah matriks diagonal.

(10)

DAFTAR PUSTAKA

Anton Howard. 1995. Aljabar Linear Elementer. Alih Bahasa : Pantur Silaban, Ph.D, Jakarta : Erlangga

Jim Hefferon.2000. Linear Algebra.Vermont USA. Saint Mighael’s College K.R. MATTHEWS. 1991. Elementary Linear Algebra. Queensland University

Hoffman Kenneth, Prof. 1971. Linear Algebra. Second Edition. New Jersey. Englewood Cliffs.