PDF Vektor Dan Matriks

VEKTOR DAN MATRIKS

Yogiek Indra Kurniawan Jaringan Syaraf Tiruan

yogiek@unsoed.ac.id

Universitas Jenderal Soedirman

VEKTOR

• N tupel bilangan-bilangan riil.

• Notasi dengan huruf kecil, seperti x, y, dan z.

• x1, x2, …, xn adalah bilangan riil

• Transpose x (symbol xt) adalah vector x yang dinyatakan dalam sebuah baris.

• Tidak penting sebuah vector dinyatakan dalam baris / kolom.

𝑥 =

𝑥1

… . 𝑥2

𝑥𝑛

VEKTOR

• Vektor x dan y dikatakan sama ( symbol x = y ) apabila semua komponen yang bersesuaian sama.

• Apabila

• x1 = y1 , x2 = y2 , xn = yn.

𝑥1

… . 𝑥2 𝑥𝑛

=

𝑦1

𝑦2 … .

𝑦𝑛

OPERASI VECTOR – PERKALIAN VECTOR DENGAN SKALAR

• Misal k adalah scalar.

• Misal xt = (x1, x2, x3, …, xn)

• Hasil kali k dengan x (ditulis kx ) adalah perkalian elemen-elemen vector dengan scalar k.

• Jika k>0 berarti vector kx sama dengan arah vector x, dan sebaliknya.

𝑘𝑥 =

𝑘 𝑥1

𝑘 𝑥2 … .

𝑘 𝑥𝑛

OPERASI VECTOR – PENJUMLAHAN 2 BUAH VECTOR

• Misal x dan y adalah 2 vector dengan dimensi yang sama.

• Hasil penjumlahan dan pengurangan x dan y adalah suatu vector dengan dimensi n yang elemen-elemennya adalah penjumlahan / pengurangan elemen x dengan elemen y.

𝑥1

… . 𝑥2 𝑥𝑛

+

𝑦1

… . 𝑦2 𝑦𝑛

=

𝑥1 + 𝑦1 𝑥2 + 𝑦2

… .

𝑥𝑛 + 𝑦𝑛

OPERASI VECTOR – HASIL KALI TITIK 2 VEKTOR

• Misal x dan y adalah 2 vector dengan n dimensi yang sama.

• Maka x.y = x1 y1 + x2 y2 + …. + xn yn

• Hasil kali titik 2 vector menghasilkan suatu scalar, bukan vector.

𝑥 =

𝑥1

… . 𝑥2 𝑥𝑛

𝑦 =

𝑦1

… . 𝑦2

𝑦𝑛

SIFAT OPERASI PENJUMLAHAN VEKTOR

• Komutatif : x + y = y + x

• Asosiatif : x + ( y + z ) = ( x + y ) + z c1 ( c2 x ) = ( c1 c2 ) x

• Distributif : c1 ( x + y ) = c1 x + c1 y (c1 + c2 ) x = c1 x + c2 x

• Elemen identitas : x + 0 = 0 + x

SIFAT OPERASI PERKALIAN VEKTOR

• Komutatif : x . y = y . x

• Asosiatif : ( c1 x ) . y = c1 ( x . y ) = x . ( c1 . y )

• Distributif : x ( y + z ) = x. y + x . z

• x . x = 0, jika x = 0

CONTOH

• Vektor xt = (1, 2, 3 )

• Vektor yt = (2, -3, 1 )

• Vektor zt = (3, 2, -1 )

• Hitunglah a. x – z

b. 3 ( x – 7 y )

c. 2 x . y

CONTOH

• Vektor xt = (1, 2, 3 )

• Vektor yt = (2, -3, 1 )

• Vektor zt = (3, 2, -1 )

• Carilah vector yang memenuhi 2 x – y + v = 7 v + z

CONTOH

• Vektor xt = (1, 2 )

• Vektor yt = (-3, 2 )

• Carilah scalar c1 dan c2 sehingga

c1 xt + c2 yt = ( 5 , 2 )

NORMA VEKTOR

• Misal Vektor xt = (x1 , x2, … , xn )

• Norma / panjang vector x didefinisikan sebagai

𝑥 = 𝑥1² + 𝑥2² + … . +𝑥𝑛²

• Jika c adalah sembarang bilangan riil, maka 𝑐 𝑥 = 𝑐 𝑥

• Jarak 2 buah vector x dan y adalah

𝑥 − 𝑦

• Pertidak samaan Cauchy-Schwartz

𝑥 𝑦

²

≤ 𝑥

²

𝑦

²

CONTOH

• Vektor xt = (1, -3, 2 )

• Vektor yt = (2, 2, -4 )

• Hitunglah 1. 2𝑥 + 𝑦 2. 𝑥 + 𝑦 3. ¹

𝑦 𝑦

4. ¹

𝑦 𝑦

CONTOH

• Vektor xt = (1, 2, 4 )

• Carilah semua scalar c sehingga

𝑐 𝑥 = 3

KETERGANTUNGAN LINIER

• Himpunan vektor (x1,x2, ..., xn) dikatakan bergantung linier apaila terdapat skalar c1,c2,...,cn yang tidak semuanya 0 sedemikian hingga

c1x1 + c2x2 + .... + cnxn = 0

• Jika tidak ada skalar dengan sifat demikian, maka himpunan vektor (x1,x2, ..., xn) disebut bebas linier.

MATRIKS

• Kumpulan bilangan-bilangan yang disusun dalam larik baris dan kolom.

• Umumnya matriks diberi notasi huruf capital A, B, dst.

• Matriks A terdiri dari m baris dan n kolom (disebut dengan ordo mxn)

• A ditulis

𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 =

𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛

• Matriks 1 kolom sama dengan suatu vektor

JENIS MATRIKS

• Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya = 0

• Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah baris = jumlah kolom

• Matriks diagonal D adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar diagonal utama = 0 dan tidak semua elemen pada diagonal utama = 0

• Jika semua elemen utama diagonal pada matriks diagonal D = 1, maka matriks tersebut disebut dengan matriks identitas = I

I= 1 0 0 0 1 0 0 0 1

OPERASI MATRIKS – PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

• Jika A adalah matriks. c adalah scalar. Maka cA adalah matriks yang elemennya merupakan perkalian elemen matriks A dengan scalar c

𝑐 𝐴 =

𝑐 𝑎11 𝑐 𝑎12 𝑐 𝑎1𝑛 𝑐 𝑎21 𝑐 𝑎22 𝑐 𝑎2𝑛 𝑐 𝑎𝑚1 𝑐 𝑎𝑚2 𝑐 𝑎𝑚𝑛

OPERASI MATRIKS – PENJUMLAHAN / PENGURANGAN MATRIKS

• Dua matriks bisa dijumlahkan dan dikurangkan apabila memiliki ordo yang sama.

• Hasil penjumlahan / pengurangan 2 matriks sama dengan penjumlahan / pengurangan elemen-elemen matriks yang seletak.

• Hasil dari A + B adalah

A + B = 𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛 𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22 𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛 𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛

OPERASI MATRIKS – PERKALIAN MATRIKS

• Perkalian matriks A dan B bisa dilakukan apabila

jumlah kolom matriks A = jumlah baris matriks B

• A ber ordo mxn

• B ber ordo nxp

• Maka C = A.B memiliki ordo mxp

OPERASI MATRIKS – TRANSPOSE MATRIKS

• Transpose matriks A (symbol At) diperoleh dengan menukar baris dan kolomnya.

• Jika A ber ordo mxn, maka At akan ber ordo nxm.

A= 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛

At= 𝑎11 𝑎21 𝑎𝑚1 𝑎12 𝑎22 𝑎𝑚2 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 𝑎𝑚𝑛

CONTOH

• A= 2 1 −2

0 1 1

−4 1 4

; B = 3 1

−1 2 1 0

; C= 4 0 1 2 −2 1

• Hitunglah ( jika mungkin ) a. 2 A

b. A + B c. A B d. B A e. (C B) t

f. A I ( dengan I adalah matriks identitas)

THANK YOU