PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

(1)

PERTEMUAN – 13 VEKTOR dalam R

³

Pengertian Ruang Vektor R ⁿ Definisi

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel - n- terorde (ordered-n-tuple) adalah sebuah urutan n bilangan riil

(

a₁,a₂,...,a_n

)

. Semua tupel - n-terorde dinamakan ruang -n dan dinyatakan dengan R , ⁿ dan ditulis sebagai Rⁿ =

{ (

a₁,a₂,...,a_n

)

/a∈R,i=1,2,...,n

}

Contoh:

1)

(

1,2,4,0

)

∈R⁴ 2)

(

,i1,2,3

)

∉R⁴ 3)

(

1,2,3

)

∉R⁴

7.2 Ruang Vektor Umum

Misalkan V sebarang himpunan sesuatu dan didefinisikan dua operasi berikut:

1) Jika ur,vr∈V , maka

(

u+v

)

∈V (operasi penjumlahan)

2) Jika k sebarang skalar riil dan u∈V, maka ku∈V (operasi perkalian dengan skalar)

Karena V memenuhi definisi di atas maka V merupakan ruang vektor umum.

Sifat-sifat ruang vektor umum:

u v v

ur+r =r+r

ur+ (v + w) = (ur+ v) + w

(2)

Ada sebuah 0∈V sehingga 0 + v = v + 0 = v, untuk semua v∈V ur+ (-ur) = (-ur) + u = 0

k(u + v) = ku + kv ur (k+ l) u = ku + lu ur k(lu) = (kl)u ur 1. u = u

7.3 Ruang Bagian

Suatu ruang vektor dapat saja tergandung di ruang vektor yang lebih besar. Sebagai contoh garis dan bidang yang melalui titik asal adalah ruang vektor yang terkandung dalam ruang vektor R ³

Definisi

Himpunan bagian W dari sebuah ruang vektor V, dinamakan ruang bagian dari V, jika W itu sendiri adalah ruang vektor dengan operasi pejumlahan dan perkalian dengan skalar yang didefinisikan pada V.

Teorema

Jika W adalah himpunan bagian dari ruang vektor V, maka W adalh ruang bagian dari V jika dan hanya jika dipenuhi:

3) Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v terletak di W.

4) Jika k adalah sembarang skalar dan u adalah sembarang vektor pada W, maka ku berada di W.

Setiap ruang vektor V mempunyai paling sedikit dua ruang bagian yaitu V sendiri dan ruang bagian nol (zero subspace).

Contoh:

Ruang vektor



=

W 0

0 b c



 

 b c R, ∈ 



(3)

merupakan ruang bagian dari ruang vektor



=

V 



 



 d c

b

a a b c d, , , ∈R 



Contoh:

Misalkan n adalah sebuah bilangan bulat positif dan W terdiri dari semua fungsi polinomial yang mempunyai derajat n≤ ; jadi W adalah himpunan semua fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk

( )

x a x a x ... a_nxⁿ

p = ₀ ⁰ + ₁ + + (*), di mana a₀,a₁,...,a_n adalah bilangan - bilangan riil

Penyelesaian:

Untuk menunjukkan hal di atas , misalkan p dan q merupakan polinom - polinom

( )

x a x a x ... a_nxⁿ

p = ₀ ⁰ + ₁ + + dan

( )

x b x b x ... b_nxⁿ

q = ₀ ⁰ + ₁ + + maka

(p + q) x = p(x) + q(x)

=

(

a₀ +b₀

)

x⁰ +

(

a₁ +b₁

)

x+...+

(

a_n +b_n

)

xⁿ

Juga

( )( )

kp x =kp

( ) ( )

x = ka₀ x⁰ +

( )

ka₁ x+...+

( )

ka_n xⁿ

mempunyai bentuk yang diberikan dalam (*). Jadi p + q dan kp berada di W. Berarti W adalah ruang bagian dari himpunan semua fungsi bernilai riil, yang diberi simbol _p_n.

(4)

Ruang Baris, Ruang Kolom Definisi

Tinjaulah matriks m× , n













=

mn n 2

n 1

2 m

22 12

1 m

21 11

a : a a

...

:::

...

a : a a

A

Vektor - vektor ^r₁ ⁼

(

â₁₁^,â₁₂^,...â₁_n

)

r₂ =

(

a₂₁,a₂₂,...a₂_n

)

: :

r_m =

(

a_m₁,a_m₂,...a_mn

)

yang dibentuk oleh baris - baris matriks A dinamakan vektor - vektor baris

dari A, dan vektor - vektor













=

1 m 21 11

1

a : a a

c ,













=

2 m

22 12

2

a : a a

c …,













=

mn n 2

n 1

n

a : a a c

yang dibentuk oleh kolom - kolom matriks A, dinamakan vektor - vektor kolom dari A.

Sub ruang dari R yang direntang oleh vektor - vektor baris dinamakan ⁿ ruang baris( row space) dari A dan sub ruang dari R yang direntang ^m oleh vektor - vektor kolom dinamakan ruang kolom ( column space) dari A.

Contoh:

Misalkan 



 





= −

4 0 1 1 3

A 2 ,

vektor - vektor baris dari A adalah r₁ =

(

2,1,0

)

dan r₂ =

(

3,−1,4

)

(5)

Vektor - vektor kolom dari A adalah 



 



= 3

c₁ 2 ^, 



 





= − 1

c₂ 1 dan



 



= 4 c₃ 0

Teorema

Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris sebuah matriks.

Teorema ini menunjukkan bahwa ruang baris sebuah matriks A tidak berubah dengan mereduksi matriks tersebut menjadi bentuk eselon baris.

Akan tetapi, vektor - vektor baris yang tak nol dari sebuah matriks di dalam bentuk eselon baris selalu bebas linier sehingga vektor - vektor baris yang tak nol ini membentuk sebuah basis untuk ruang baris tersebut.

Teorema

Vektor - vektor baris yang tak nol di dalam sebuah bentuk eselon baris dari sebuah matriks A, membentuk sebuah baris untuk ruang baris dari A.

Contoh:

Carilah sebuah baris untuk ruang yang direntang oleh vektor - vektor:

(

1 2003

)

1 , , , ,

v = − , v₂ =

(

2,−5,−3,−2,6

)

, v₃ =

(

0,5,15,10,0

)

,

(

261886

)

4 , , , ,

v =

Pemecahan:

Ruang yang direntang oleh vektor - vektor ini adalah ruang baris dari matriks













−

6 0 6 3

8 10

2 0

18 15 3 0

6 5 5 2

2 0 2 1

(6)

dengan memproses matriks ini menjadi bentuk eselon baris diperoleh

1 0 0 0

2 1 0 0

0 3 1 0 0 2 1 0 3 0 0 0

 −











vektor - vektor baris yang tak nol di dalam matriks ini adalah

(

1, 2,0,0,3

)

w₁ = − , w₂ =

(

0,1,3,2,0

)

, w₃ =

(

0,0,1,1,0

)

vektor - vektor ini membentuk sebuah basis untuk ruang baris tersebut dan sebagai konsekuensinya akan membentuk sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh v₁,v₂,v₃,v₄

Kombinasi Linier Definisi Kombinasi Linier

Suatu vektor W dinamakan kombinasi linier dari vektor - vektor vr

,..., v ,

v₁ ₂ , jika vektor tersebut dapat ditulis dalam bentuk

r rv k ...

v k v k

w = ₁ ₁ + ₂ ₂ + + , dengan ketentuan k₁k,...k_r merupakan skalar.

Contoh:

Diketahui vektor - vektor u = (1,2,-1) dan v = (6,4,2) di R . ³ Tunjukkan w = (9,2,7) merupakan kombinasi linier u dan v serta z = (4, -1, 8) bukan merupakan kombinasi linier u dan v.

Penyelesaian:

Agar w merupakan kombinasi linier u dan v, maka harus ada skalar k1 dan k2 sedemikian hingga w=k₁u+k₂v, yaitu:

(

9,2,7

)

=k₁

(

1,2,−1

)

+k₂

(

6,4,2

)

atau

(

9,2,7

) (

= k₁+6k2,2k1+4k2,−k1+2k2

)

(7)

Penyamaan komponen - komponen yang bersesuaian menghasilkan:

9 k 6 k₁ + ₂ =

2 k 4 k

2 ₁+ ₂ = 7 k 2 k₁+ ₂ =

−

Sistem ini menghasilkan k₁ =−3,k₂ =2, sehingga w=−3u+2v Demikian juga untuk w” yang merupakan kombinasi linier u dan v harus ada skalar k₁ dan k₂ sehingga w"=k₁u+k₂u, yaitu:

(

4,−1,8

)

=k₁

(

1,2,−1

)

+k₂

(

6,4,2

)

atau

(

4,−1,8

) (

= k₁+6k₂,2k₁ +4k₂,−k₁+2k₂

)

Penyamaan komponen - komponen yang bersesuaian menghasilkan:

4 k 6

k₁+ ₂ = 1 k 4 k

2 ₁+ ₂ =− 8 k 2 k₁+ ₂ =

−

Sistem persamaan ini tidak konsisten (buktikan), sehingga tidak ada skalar - skalar seperti itu. Sebagai konsekuensinya z bukanlah kombinasi linier u dan v.

Pembangun Definisi

Jika v₁,v₂_,...,v_r adalah vektor - vektor pada ruang vektor V dan masing - masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier

r 2

1 v v

v , _,..., maka kita mengatakan bahwa vektor - vektor ini membangun V.

(8)

Contoh:

Tentukan apakah v₁ =

(

1,2,1

)

,v₂ =

(

2,5,0

)

dan v₃ =

(

3,3,8

)

membangun di R . ³

Penyelesaian:

Untuk menyelidiki vektor di atas membangun di R maka harus ³ diselidiki untuk sembarang vektor b=

(

b₁,b₂,b₃

)

pada R dapat ³ dinyatakan sebagai kombinasi linier dari ketiga vektor di atas, sehingga diperoleh

(

b₁,b₂,b₃

)

=k₁

(

1,2,1

)

+k₂

(

2,5,0

)

+k₃

(

3,3,8

)

atau

(

b₁,b₂,b₃

) (

= k₁+2k₂ +3k₃,2k₁ +5k₂ +3k₃,k₁+8k₃

)

Dalam bentuk SPL:

1 3 2

1 2k 3k b

k + + =

2 b k 3 k 5 k

2 ₁+ ₂ + ₃ =

3 3

1 8k b

k + =

SPL di atas dapat diselesaikan untuk setiap nilai b karena matriks koefisiennya dapat dibalik (invertable).

Kebebasan Linier Dan Ketergantungan Linier

Diketahui bahwa ruang vektor V dibangun oleh himpunan vektor

{

^v₁^,^v₂^,...,^v_r

}

S= , maka setiap vektor di dalam V adalah kombinasi linier dari v₁,v₂,...,v_r. Dengan membangun himpunan tersebut akan berguna dalam berbagai soal, karena kita sering menelaah ruang vektor V dengan menalaah terlebih dahulu vektor-vektor dengan membangun himpuan S, dan dengan memperluas hasil-hasil tersebut pada bagian selebihnya dari V, kemudian perlu dipertahankan membangun himpunan S sekecil mungkin. Permasalahan untuk mendapatkan pembangunan himpunan

(9)

terkecil untuk ruang vektor bergantung pada pengertian kita mengenai kebebasan linier, yang akan kita telaah pada bagian ini.

Definisi

Jika S=

{

v₁,v₂,...,v_r

}

adalah himpunan vektor, maka persamaan vektor

2 0

2 1

1v +k v +...k_rv_r = k

mempunyai paling sedikit satu pemecahan yakni 0

kr ,...

0 2 k , 0

k₁ = = =

atau dapat dinyatakan sebagai:

Himpunan r buah vektor

{

v₁,v₂,...,v_r

}

disebut bebas linier bila mengakibatkan kj=0∀j=1,2,...,r.

Himpunan r buah vektor

{

v₁,v₂,...,v_r

}

adalah bebas linier jika dan hanya jika SPL

u u u

s s

n n s

m m

mn m 11

12

1 21 22

2 1 2

1

2 0

: : ..

..

: :

























= ,

hanya punya jawab trivial sj=0,∀j=1,2,...,m

(10)

Soal-soal Kombinasi Linear :

1. Diketehui : a =

(

3,2,1,−1

)

(

4,3,2,1

)

b =

(

18,13,8,1

)

c =

Apakah c merupakan kombinasi linear dari a dan b ?

2. Diketehui : a =

(

3,2,1,−1

)

(

2,3, 1, 2

)

b = − −

(

5,5,0,7

)

c =

3. Diketehui : a =

(

3,2,1,−1,−2

) (

2,3, 2,1,5

)

b = −

(

16,14,0, 2,26

)

c = −

4. Diketehui : a =

(

3,2,1,−3

)

(

4,2,1, 2

)

b = −

(

²^,¹^,³^, ¹

)

c = −

(

19,11,8, 14

)

d= −

Apakah d merupakan kombinasi linear dari a, b dan c ?

(11)

Soal-soal Bebas Linear atau Tidak Bebas Linear :

5. Diketehui : Vektor di R³

(

²^,¹^,³

)

a =

(

1, 2, 4

)

b = − −

(

8, 1,1

)

c = −

Apakah vector a , b dan c bebas atau tidak bebas linear ?

6. Diketehui : Vektor di R³

(

2,1,3

)

a =

(

1,1,4

)

b =

(

3,2,5

)

c =

7. Diketehui : Vektor di R⁴

(

3,2,1, 1

)

a = −

(

4,3,2,1

)

b =

(

18,13,8,1

)

c =

8. Diketehui : Vektor di R⁵

(

3,2,1, 1,4

)

a = −

(

2,3, 2,1,5

)

b = −

(

16,14,0, 2,26

)

c = −

(12)

∗ Karakteristik

• Batasan

Anxn matriks bujur sangkar - Vektor karakteristik dari A : x ∈ Rn jika Ax = λ x ; x <> 0 , λ bilangan nyata - λ nilai karakteristik

- x vektor karakteristik yang ber-korespondensi dengan λ

• Penentuan nilai karakteristik dari matriks bujur sangkar

− SPL homogen yang melibatkan matriks bujur sangkar, matriks satuan , vektor di Rn dan bilangan nyata λ

− Jawab SPL

− Persamaan karakteristik

− λ nilai karakteristik matriks bujur sangkar (memenuhi pers.

karakteristik)

∗ Penentuan vektor karakteristik dari matriks bujur sangkar

− SPL homogen yang melibatkan matriks bujur sangkar, matriks satuan, vektor di Rⁿ dan λ

− Vektor jawab tak nol dari SPL

− Ruang karakteristik dari matriks yang berkorespondensi dengan λ

− Vektor karakteristik dari matriks

∗ Nilai karakteristik dan vektor karakteristik dari suatu transformasi linier

Transformasi linier T : V --> V

(13)

V ruang vektor atas R berdimensi hingga

− λ nilai karakteristik dari T

− x < > 0 di V vektor karakteristik dari T yang berkorespondensi dengan λ jika T(x) = λx

∗ Matriks representasi dari transformasi linier

A matriks representasi dari transformasi linier T

− Nilai karakteristik dari T = nilai karakteristik dari A

− x vektor karateristik dari T yang berkorespondensi dengan λ [x]s vektor karakteristik dari A yang berkorespondensi dengan λ

∗ Nilai karakteristik dari matriks segitiga

Soal-soal Nilai Eigen dan Vektor Eigen :

1. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari matriks A,

Jika 



 



 −

= 1 2 4

A 7 !

Jika 



 





−

= −

4 1

2

A 3 !

Jika

















−

=

10 9 9

3 2 3

9 9 8

A !

(14)

Jika

















=

1 6 5

0 3 4

0 0 3

A !

5. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dan Vektor eigen dari

matriks A, Jika

















=

3 0 1

1 2 0

8 0 1

A !

matriks A, Jika

















=

3 0 0

4 2 0

5 7 1

A !

matriks A, Jika

















−

=

5 0 1

0 2 0

0 1 3

A !

(15)