vektor u 1, u 2,, u n.

KOMBINASI LINEAR KOMBINASI LINEAR KOMBINASI LINEAR KOMBINASI LINEAR

BEBAS LINEAR BEBAS LINEAR

BERGANTUNG LINEAR BERGANTUNG LINEAR

Prof.Dr. Budi Murtiyasa Prof.Dr. Budi Murtiyasa

Muhammadiyah University of Surakarta Muhammadiyah University of Surakarta Muhammadiyah University of Surakarta Muhammadiyah University of Surakarta

Kombinasi Linear (

Kombinasi Linear (linear combination linear combination)) Kombinasi Linear (

Kombinasi Linear (linear combination linear combination))

Andaikan ruang vektor V melalui field F, Andaikan ruang vektor V melalui field F, dengan vektor-vektor u₁, u₂, …, u_n ∈ V.

Sembarang vektor di dalam V (misal v ∈ V) Sembarang vektor di dalam V (misal v ∈ V) yang dapat dinyatakan dlm bentuk :

v = a₁ u₁ + a₂ u₂ + … + a_n u_n; dng a_i ∈ F dinamakan kombinasi linear dari vektor- dinamakan kombinasi linear dari vektor vektor u₁, u₂, …, u_n.

Contoh :

A d ik V d

Andaikan s, u, v, w ∈ V; dengan dan s

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛ 1 1

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛−

0 1

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛ 1 2

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛−

3 1

u = , v = , w = , dan s = .

Jika mungkin nyatakan v sbg kombinasi linear dari u

⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝

− 2

1 ⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝ 1

0 ⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝−1

1 ⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝

− 6

3

Jika mungkin nyatakan v sbg kombinasi linear dari u, s, dan w !

Diperoleh persamaan:

Solusi :

v = xu + ys + zw

Diperoleh persamaan:

x – y + 2z = -1 -x ^– 3y + z = 0 y

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎟ ⎛−1

⎜ ⎞

⎟ ⎛ 1

⎜ ⎞

⎛−1 _⎜^{⎛ 2} _⎟^⎞

x 3y z 0 2x + 6y – z = 1

Diperoleh nilai nilai

⎟⎟

⎟

⎜ ⎠

⎜⎜

⎝

− 6

= x + y 3 + z

⎟⎟

⎟

⎜ ⎠

⎜⎜

⎝

− 2

⎟ 1

⎟⎟

⎜ ⎠

⎜⎜

⎝ 1

0 ⎟⎟⎟

⎜ ⎠

⎜⎜

⎝−1

1 Diperoleh nilai-nilai

x = -2, y = 1, dan z = 1

Jadi v kombinasi linear dri u, s, dan w dengan v = -2u + s + w

Sistem Pembentuk Sistem Pembentuk Sistem Pembentuk Sistem Pembentuk

Himpunan vektor { u

Himpunan vektor { u

₁₁

, u , u

₂₂

, …, u , …, u

_mm

} }

disebut sistem pembentuk dari ruang disebut sistem pembentuk dari ruang disebut sistem pembentuk dari ruang disebut sistem pembentuk dari ruang vektor V; ditulis V = L{u

vektor V; ditulis V = L{u

₁₁

, u , u

₂₂

, …, u , …, u

_mm

} } jik

jik kt kt V d V d t t jika

jika semua vektor semua vektor v v ∈ ∈ V dapat V dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linear dinyatakan sebagai kombinasi linear d yata a sebaga o b as ea d yata a sebaga o b as ea dari {u

dari {u

₁₁

, u , u

₂₂

, …, u , …, u

_mm

}. }.

Contoh :

Andaikan V = R², dengan u₁ = , u⎟⎟⎞ ₂ = , u₃ =

⎜⎜⎛1

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

3

2 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 1 0

, g ₁ , ₂ , ₃

Dapat ditunjukkan bahwa u u dan u tersebut

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝0 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎜⎝−1⎟⎠

Dapat ditunjukkan bahwa u₁, u₂, dan u₃ tersebut

adalah sistem pembentuk bagi R²; sebab semua v ∈∈ VV dapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari u

dapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari u₁₁, u, u₂₂ dan dan u

u₃₃..

⎞

3 ⎛

3

Misalnya v = ⎟⎟⎠ v = 2u₁ – u₂ – 3u₃

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ 0 4

Misalnya v v 3u + u + 2u ; dsb

⎠

⎝0

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛−5

Misalnya v = ⎜⎜⎝ 1 ⎟⎟⎠ v = -3u₁ + u₂ + 2u₃ ; dsb.

Contoh :

Andaikan V = R³, dengan u₁ = , u_⎟^⎟ ₂ = , u₃ =

⎞

⎜⎜

⎛ 0 1

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

−1 1

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

−

− 1 1

, g ₁ , ₂ , ₃

Dapat ditunjukkan bahwa u u dan u tersebut

⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝0 ⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝ 0 ⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝ 1

Dapat ditunjukkan bahwa u₁, u₂, dan u₃ tersebut

adalah sistem pembentuk bagi R³; sebab semua v ∈∈ VV dapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari u

dapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari u₁₁, u, u₂₂ dan dan u

u₃₃..

⎟⎞

⎜⎛−2

3 3

Misalnya v = v = u₁ – u₂ + 2u₃

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

− 2

1 2

⎟⎠

⎜⎝ 2

Misalnya v ^⎟ v 3u + 2u + u ; dsb

⎜ ⎞

⎛ 4

Misalnya v = v = 3u₁ + 2u₂ + u₃ ; dsb.

⎟⎟

⎟

⎜ ⎠

⎜⎜

⎝

− 1

3

Ruang Baris & Ruang Kolom Ruang Baris & Ruang Kolom Ruang Baris & Ruang Kolom Ruang Baris & Ruang Kolom

⎟⎞

⎜⎛ a₁₁ a₁₂ ... a_1n

A =

A = ^⎟

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎜⎛

n n

a a

a_{21 22} ... ₂

1 12

11

A A

⎟⎟

⎟

⎜⎜ ⎠

⎜

⎝a^m a^m ... a^mn ...

...

...

...

2 1

⎞

⎛ ⎛ ⎞

Ruang Baris = Rⁿ = { _⎟^⎟ , , …, }

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛ a a

12 11

⎟⎟

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛ a a

22 21

⎟⎟

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛

m m

a a

2 1

g { , , , }

⎟⎟

⎟

⎜⎜ ⎠

⎜

⎝a₁ⁿ ...

⎟⎟

⎟

⎜⎜ ⎠

⎜

⎝a₂ⁿ

... ⎟⎟

⎟

⎜⎜ ⎠

⎜

⎝a^mn ...

⎞

⎛ ⎛ ⎞

Ruang Kolom = R^m = { _⎟^⎟ , , …, }

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛

21 11

a a

⎟⎟

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛

22 12

a a

⎟⎟

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛

n n

a a

2 1

Ruang Kolom R { , , …, }

⎟⎟

⎟

⎜⎜ ⎠

⎜

⎝ ¹

...

am ⎟⎟

⎟

⎜⎜ ⎠

⎜

⎝ ²

...

am ⎟⎟

⎟

⎜⎜ ⎠

⎜

⎝a^mn ...

Latihan

Latihan

Latihan

Latihan

Bergantung Linear (linearly dependence) Bergantung Linear (linearly dependence)

d d

dan dan

Bebas Linear (Linearly Independence).

Bebas Linear (Linearly Independence). ebas ebas ea ( ea ( ea y ea y depe de ce) depe de ce)

¾

¾ Andaikan ruang vektor V melalui field FAndaikan ruang vektor V melalui field F

¾

¾ Andaikan ruang vektor V melalui field F. Andaikan ruang vektor V melalui field F.

Vektor

Vektor--vektor uvektor u₁₁, u, u₂₂, u, u₃₃, …, u, …, u_nn ∈∈ V disebut V disebut

b t li

b t li tt dd dd jikjik dd bergantung linear

bergantung linear atau atau dependendependen jika ada jika ada skalar a

skalar a₁₁₁₁, a, a₂₂₂₂, a, a₃₃₃₃, …, a, …, a_nnnn ∈∈ F yang F yang tidaktidak semuanya

semuanya nolnol sedemikian hingga berlaku :sedemikian hingga berlaku : a

a uu + a+ a uu ++ + a+ a uu = 0= 0 a

a₁₁ uu₁₁ + a+ a₂₂ uu₂₂ + … + a+ … + a_nn uu_nn = 0= 0

¾

¾ Dari hubunganDari hubungan a

a₁₁ uu₁₁ + a+ a₂₂ uu₂₂ + … + a+ … + a_nn uu_nn = 0= 0

jika hanya berlaku untuk semua skalar jika hanya berlaku untuk semua skalar jika hanya berlaku untuk semua skalar jika hanya berlaku untuk semua skalar a

a_iiii = 0 (a= 0 (a(( ₁₁₁₁ = a= a₂₂₂₂ = … = a= … = a_nnnn = 0), maka vektor= 0), maka vektor--),), vektor u

vektor u₁₁, u, u₂₂, u, u₃₃, …, u, …, u_nn ∈∈ V disebut V disebut bebas bebas linear

linear atau inatau independen.dependen.

¾

¾ Vektor u, v, w Vektor u, v, w ∈∈ RR³³, dng :, dng :

u = , v = , dan w = . u = , v = , dan w = .

⎟⎟

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛−

2 1

⎟⎟

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛

−2 3

⎟⎟

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛

−6 5

Selidiki vektor

Selidiki vektor--vektor tsb dependen atau vektor tsb dependen atau

⎟⎠

⎜⎝ 1 ⎟

⎜ ⎠

⎝ 1 ^{⎜⎝ −1⎟⎠}

independen ?.

independen ?.

Di l h il i

¾

¾ Solusi :Solusi :

0

Diperoleh nilai :

x = -2, y = 1, dan z = -1 x u + y v + z w = 0 J diJadi :

- 2u + v – w = 0

-x + 3y + 5z = 0 2x 2y 6z = 0

Karena ada skalar yang tidak nol, maka vektor-vektor u, v,

2x – 2y – 6z = 0 x + y – z = 0

dan w adalah dependen atau bergantung linear.

¾

¾ Solusi : (dng menggunakan matriks)Solusi : (dng menggunakan matriks)

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛ u

= _⎟^⎟

⎞

⎜⎜

⎛ −

1 2

3

1 2

1 Telah menjadi matriks eselon,

⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝ w

v =

⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝ − −

−

1 6

5

1 2

3 Baris terakhir dapat dibaca : (w + 5u) – (v + 3u) = 0

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

+ u v

u

3 = ^⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛ −

4 4

0

1 2

1

(w 5u) (v 3u) 0 atau :

2 + 0

⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝ + uw 5 ⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝ 0 4 4 2u – v + w = 0

Karena ada skalar yang tidak

⎟⎟

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛

+3u v

u

= ⎟⎟⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛−

4 4 0

1 2

1 nol, maka vektor-vektor u, v, dan w adalah dependen atau

⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝(w+5u)−(v +3u) ⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝ 0 0 0

dan w adalah dependen atau bergantung linear.

Amati bahwa matriks eselon punya baris nol.

¾

¾ Vektor u, v, w Vektor u, v, w ∈∈ RR³³, dng :, dng :

u = , v = , dan w = . u = , v = , dan w = .

⎟⎟

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛

−2 1

⎟⎟

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛ 2 2

⎟⎟

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛−

1 1

Selidiki vektor

Selidiki vektor--vektor tsb dependen atau vektor tsb dependen atau

⎟⎠

⎜⎝ 1 ⎟

⎜ ⎠

⎝−1 ^{⎜⎝−1⎟⎠}

independen ?.

independen ?.

H di l h il i

¾

¾ Solusi :Solusi :

0

Hanya diperoleh nilai : x = 0, y = 0, dan z = 0 x u + y v + z w = 0 J diJadi :

0u + 0v + 0w = 0

x + 2y – z = 0 2x + 2y + z = 0

Karena hanya ada skalar nol, maka vektor-vektor u, v,

-2x + 2y + z = 0 x – y – z = 0

dan w adalah independen atau bebas linear.

¾

¾ Solusi : (dng menggunakan matriks)Solusi : (dng menggunakan matriks)

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛ u

= _⎟^⎟

⎞

⎜⎜

⎛ −

1 2

2

1 2

1 Telah menjadi matriks eselon,

⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝ w

v =

⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝ − −

− 1 1

1

1 2

2 Tetapi tidak mempunyai baris nol. Karenanya vektor-vektor

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

− u v

u

2 = ^⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

−

−

3 6

0

1 2

1

nol. Karenanya vektor vektor u, v, dan w adalah

i d d t b b

⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝ +uw ⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝0 −1 0

⎞

⎛ ⎛ ⎞

independen atau bebas linear.

⎟⎟

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛

− 2u v

u

= _⎟^⎟

⎟⎞

⎜⎜

⎜⎛

−

−

3 6

0

1 2

1

⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝ + + ( −2 ) 6

) 1

(w u v u ⎟⎟

⎜ ⎠

⎜

⎝ −

2 0 1

0

A ti b h t ik l

Amati bahwa matriks eselon tidak punya baris nol.

Teorema Teorema Teorema Teorema

¾

¾

Baris Baris--baris yg tidak nol dari matriks baris yg tidak nol dari matriks eselon adalah bebas linear

eselon adalah bebas linear eselon adalah bebas linear eselon adalah bebas linear (Independen)

(Independen)

Teorema Teorema Teorema Teorema

¾

¾

Vektor Vektor--vektor u vektor u

₁₁

, u , u

₂₂

, u , u

₃₃

, …, u , …, u

_nn

∈ ∈ V V

disebut bergantung linear (dependen) disebut bergantung linear (dependen) disebut bergantung linear (dependen) disebut bergantung linear (dependen) jika salah satu vektor

jika salah satu vektor--vektor tersebut vektor tersebut

d t di t k b k bi i

d t di t k b k bi i

dapat dinyatakan sbg kombinasi dapat dinyatakan sbg kombinasi linear dari vektor

linear dari vektor--vektor yang lainnya. ea da ea da e to e to vektor yang lainnya. e to ya g a e to ya g a ya ya

Catatan : Catatan : Catatan : Catatan :

¾

¾ jika u = 0, maka u pasti dependen.jika u = 0, maka u pasti dependen.

Jik

Jik 00 kk ti i dti i d dd

¾

¾ Jika u Jika u ≠≠ 0, maka u pasti independen.0, maka u pasti independen.

¾

¾ Himpunan vektor yang memuat vektor nol pasti Himpunan vektor yang memuat vektor nol pasti

d d

d d

dependen.

dependen.

¾

¾ Himpunan vektor yang memuat dua vektor yang Himpunan vektor yang memuat dua vektor yang

t d kt b k li t ti

t d kt b k li t ti

sama atau dua vektor yang berkelipatan, pasti sama atau dua vektor yang berkelipatan, pasti dependen.

dependen.

A d ik U

A d ik U V jik U dV jik U d dd k V jk V j

¾

¾ Andaikan U Andaikan U ⊂⊂ V. jika U dependen, maka V juga V. jika U dependen, maka V juga dependen.

dependen.

A d ik W

A d ik W V Jik V i dV Jik V i d dd k W jk W j

¾

¾ Andaikan W Andaikan W ⊂⊂ V. Jika V independen, maka W juga V. Jika V independen, maka W juga independen.

independen.

S t i d kt d d t l t k

S t i d kt d d t l t k

¾

¾ Secara geometris, dua vektor yg dependen terletak Secara geometris, dua vektor yg dependen terletak pd garis (bidang) yang sama.

pd garis (bidang) yang sama.