Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity

Chapter 5

GENERAL VECTOR SPACE

5.5. Row Space, Column Space, Nullspace

5.6. Rank & Nullity

5.5. Row Space, Column Space, Nullspace

Vektor-Vektor Baris & Kolom

Vektor baris A (dalam Rⁿ)

Vektor kolom A (dalam R^m)

Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Definisi:

Jika A adalah suatu matriks m x n, maka:

• Sub ruang dari R

ⁿ

yang terentang oleh vektor-vektor baris dari A disebut Ruang Baris dari A.

• Sub ruang dari R

^m

yang terentang oleh vektor-vektor kolom disebut Ruang Kolom dari A.

• Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen Ax= 0, yang merupakan suatu sub ruang dari R

ⁿ

disebut Ruang Null dari A

Ruang Kolom Ruang Baris

Ruang Null

Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Maka vektor-vektor baris A adalah:

Dan vektor-vektor kolom A adalah:

Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null Theorema 1.

Suatu sistem persamaan linier Ax = b konsisten jika dan hanya jika b berada dalam ruang kolom A.

Contoh :

Dengan eliminasi Gaussian didapat : x₁ = 2; x₂ = -1; x₃ = 3

Karena sistem punya solusi/konsisten, maka b berada dalam

ruang kolom A

Ax = b dan Ax = 0

Teorema 2.

• Jika x₀ menyatakan sembarang penyelesaian tunggal dari suatu sistem linier tak homogen yang konsisten Ax = b ,

• v₁, v₂, …, v_k merupakan vektor-vektor baris untuk ruang null A &

merupakan ruang penyelesaian dari sistem homogen Ax = 0,

• Setiap penyelesaian dari Ax = b bisa dinyatakan dalam bentuk:

x = x₀ + c₁v₁ + c₂ v₂ + … + c_kv_k

• Dan sebaliknya, untuk semua pilihan sklalar, c₁, c₂, …, c_k vektor x dalam rumus ini merupakan penyelesaian dari Ax = b

x = x ₀ + c ₁ v ₁ + c ₂ v ₂ + … + c _k v _k

Penyelesaian umum Ax = 0

Penyelesaian umum Ax = b

Penyelesaian khusus Ax = b

Ax = b dan Ax = 0

Tentukan penyelesaian khusus dan penyelesaian umum dari Sistem Persamaan Linier berikut :

H₂₁ ^(-2) H₂^(-1) H₃₂ ^(-5) H₄₂ ^(-4)

H₃₄; H₃^(1/6),

H₂₃ ^(-3)

Ditulis dalam bentuk vektor sebagai berikut:

Penyelesaian umum dari SPL

Solusi khusus Ax = b

Solusi umum Ax = 0

x₁= -3r -4s – 2t; x₂ = r; x₃ = -2s; x₄ = s; x₅ = t; x₆ = 0 Bukti solusi umum Ax = 0

Terbukti!!

Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Operasi baris dasar pada matriks A tidak mengubah himpunan penyelesaian dari sistem linier yang berpadanan Ax = 0

Theorema 3.

Operasi baris dasar tidak mengubah ruang Null suatu matriks

Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Contoh :

Cari basis untuk ruang null dari :

Basis ruang null didapat melalui himpunan penyelesaian SPL Homogen Ax = 0

x₁ = -s-t x₂= s x₃= -t x₄= 0 x₅= t

OBE OBE

x₁ = -s-t x₂= s x₃= -t x₄= 0 x₅= t Dengan solusi umum yang diperoleh adalah;

Vektor penyelesaiannya dapat ditulis sbb:

Didapat vektor-vektor v₁ dan v₂ merentang dan membentuk suatu basis untuk ruang ini, atau basis ruang null adalah v₁ dan v₂

S= {v₁, v₂ } adalah himpunan vektor-vektor dalam R² dan bebas linier (karena 2 vektor dalam R²)

Maka {v₁, v₂ } adalah suatu basis, dan ruang penyelesaiannya adalah berdimensi dua.

Ingat!!!!

• Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor terhingga {v₁, v₂, …, v_n} yang membentuk suatu basis.

• Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama

Konsep DIMENSI Basis standar untuk Rⁿ mempunyai n vektor

Basis standar untuk R³ mempunyai 3 vektor (R³ berdimensi ruang).

Basis standar untuj R2 mempunyai 2 vektor (R² berdimensi bidang).

Basis standar untuk R¹ mempunyai 1 vektor (R¹ berdimensi garis).

Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Teorema 4.

Operasi baris dasar tidak mengubah ruang baris dari suatu matriks, namun bisa mengubah ruang kolom matriks tersebut.

Misal vektor baris matriks A adalah r

₁

, r

₂

, … , r

_n

dan B diperoleh dari A melalui OBE, maka;

Jika OBE adalah pertukaran baris, maka A dan B tetap memiliki vektor baris yang sama, namun vektor kolom beda.

Jika OBE adalah perkalian suata baris dengan skalar tidak nol atau penambahan perkalian skalar suatu baris ke baris lainnya, maka ruang baris pada matriks B merupakan kombinasi linear ruang baris matriks A dan juga terletak pada ruang baris A, namun mengubah ruang kolom A.

Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Jika diketahui Ax = 0 dan Bx = 0, dimana matriks B_mxn dihasilkan melalui OBE pada matriks A_mxn, maka A dan B memiliki himpunan penyelesaian yang sama.

Sistem pertama mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika sistem kedua mempunyai penyelesaian tak trivial. Atau vektor- vektor kolom dari A bebas secara linier jika dan hanya jika vektor- vektor kolom dari B juga bebas secara linier.

Jika vektor-vektor kolom dari A dan B masing-masing adalah:

c₁, c₂, …, c_n dan c’₁, c’₂, …, c’_n Maka kedua sistem tersebut bisa ditulis ulang :

x₁c₁ + x₂c₂ + … + x_nc_n = 0 atau x₁c’₁ + x₂c’₂ + … + x_nc’_n = 0

Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Teorema 5.

Jika A dan B adalah matriks –matriks yang ekuivalen baris,maka:

• Suatu himpunan vektor kolom dari A bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor kolom B yang bersepadanan juga bebas linier.

• Suatu himpunan vektor kolom dari A yang membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari A jika dan hanya jika vektor-vektor kolom yang bersepadanan dari B membentuk suatu baris untuk ruang kolom dari B.

Matriks Eselon untuk mencari

Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Teorema 6.

Jika suatu matriks R berada dalam bentuk baris-eselon, maka vektor-vektor baris dengan utama 1 (yaitu vektor-vektor baris tak-nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R, dan vektor-vektor kolom dengan utama 1 dari vektor-vektor baris membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari R.

r₁

r₂ r₃

c₁ c₂ c₄

Contoh : Matriks dengan eselon tereduksi memiliki 3 vektor yang membentuk suatu basis untuk ruang baris dan 3 vektor yang membentuk suatu basis

untuk ruang kolom

Matriks Eselon untuk mencari

Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Cari basis-basis untuk ruang baris dan kolom berikut:

OBE tidak merubah ruang baris dari suatu matriks, sehingga basis untuk ruang baris A dicari dengan suatu basis untuk ruang baris eselon A.

Hasil reduksi A menjadi baris eselon dalam matriks R sbb:

Vektor-vektor baris tak-nol dari R membentuk basis untuk ruang baris R, sehingga membentuk suatu basis untuk ruang baris dari A, sbb:

TereduksiOBE

• A dan R memiliki ruang kolom yg berbeda

• Basis untuk ruang kolom A tidak bisa langsung didapat dari OBE Tereduksi R.

• Namun vektor kolom R yang bersepadanan dengan A akan membentuk basis untuk ruang kolom A.

• Kolom pertama, ketiga dan kelima mengandung utama 1 dari vektor-vektor tsb dan membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari R, jadi vektor-vektor kolom yang bersepadanan dari A yaitu:

Vektor-vektor kolom yang

bersepadanan dari A dan membentuk suatu basis untuk ruang kolom A Kolom 1, 3, 5 dari R mengandung utama

1 dari vektor-vektor kolom

Carilah basis untuk ruang kolom dari :

Supaya bisa di OBE, maka ditranspose dulu:

OBE

w₁= (1,3,0) dan w₂ = (0,1,2) membentuk basis untuk ruang baris A^T

Tranpose kembali:

Membentuk basis untuk ruang kolom A Matriks Transpose untuk mencari

Basis Ruang Kolom

Basis & Kombinasi Linier

Himpunan vektor S= {v1, v₂,…, v_k} dalam Rⁿ, prosedur pada contoh berikut menghasilkan suatu himpunan bagian dari vektor-vektor S yang membentuk suatu basis untuk rent(S) dan menyatakan vektor- vektor dalam S yang tidak berada dalam basis tersebut sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis tersebut.

Operasi baris dasar tidak mengubah hubungan kebebasan dan ketidakbebasan linier antar vektor kolom.

Operasi baris dasar tidak mengubah rumus-rumus kombinasi linier yang menghubungkan vektor-vektor kolom yang tidak bebas linier.

Basis & Kombinasi Linier

a. Cari himpunan bagian dari vektor-vektor kolom yang membentuk suatu basis untuk ruang yang terentang oleh vektor-vektor

tersebut:

b. Nyatakan vektor-vektor yang tidak berada dalam basis sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis

Langkah 1:

Bentuk matriks A dengan v₁, v₂, v₃, v₄ dan v₅ sebagai vektor kolom.

Langkah 2:

Reduksi matrik A menjadi bentuk baris – eselon tereduksi R, dan anggap w₁, w₂, w₃, w₄, w₅ adalah vektor-vektor kolom R.

Langkah 3:

Kenali kolom-kolom yang mengandung utama 1 dalam R. Vektor-vektor kolom yang bersepadanan dari A merupakan vektor-vektor basis untuk rent(S).

{w₁, w₂, w₄} basis untuk ruang kolom R, sehingga {v₁, v₂, v₄}  basis untuk ruang kolom A.

Langkah 4:

Nyatakan setiap kolom R yang tidak mengandung utama 1 (yaitu w₃ dan w₅) sebagai kombinasi linier dari vektor kolom yang mengandung utama 1 {w₁, w₂, w₄}, sehingga menghasilkan suatu himpunan persamaan ketergantungan yang melibatkan vektor-vektor kolom dari R.

Persamaan yang bersepadanan untuk vektor-vektor kolom A menyatakan vektor-vektor yang tidak ada dalam basis tersebut sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis.

5.6. Peringkat dan Kekosongan

Empat Ruang Matriks Dasar

Ruang baris dari A Ruang kolom dari A Ruang kosong dari A

Ruang baris dari A^T Ruang kolom dari A^T Ruang kosong dari A^T

Tetapi mentranspose suatu matriks berarti mengubah vektor baris menjadi vektor kolom dan vektor kolom menjadi vektor baris, sehingga:

• ruang baris A^T = ruang kolom A

• ruang kolom A^T = ruang baris A ruang matriks dasar yang dikaitkan dengan A

Ruang Baris , Ruang Kolom dengan Dimensi Sama

Teorema 1.

Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari A mempunyai dimensi yang sama dengan matriks R yang merupakan bentuk baris-eselon tereduksi dari A.

dim (ruang baris dari A) = dim (ruang baris dari R) dim (ruang kolom dari A) = dim (ruang kolom dari R)

Rank(A) dan Kekosongan(A)

• Dimensi bersama dari ruang baris dan kolom dari suatu matriks A disebut peringkat/rank dari A dan dinyatakan dengan Rank (A)

• Dimensi dari ruang-ruang null dari A disebut kekosongan

dari A dan dinyatakan dengan kekosongan (A).

Cari Rank(A) dan Kekosongan(A)

Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb:

Bentuk baris-eselon tereduksi A:

Ada 2 baris tak-nol atau ada dua utama 1, maka;

Ruang baris dan ruang kolom berdimensi 2, sehingga

rank(A) = 2

Untuk mencari kekosongan dari A, cari dimensi ruang penyelesaian dari sistem liner homogen Ax = 0

Ruang Null

Empat vektor membentuk suatu basis untuk ruang penyelesaian, sehingga;

kekosongan(A) = 4

Rank(A) dan Rank(A

^T

)

Teorema 2.

Jika A adalah sebarang matriks, maka: rank(A) = rank(A^T)

Rank(A)=dim(ruang baris dari A)=dim(ruang kolom dari A^T)=rank(A^T)

Buktikan rank(A) = rank(A^T)

Teorema Dimensi

Teorema 3.

Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka:

rank(A) + kekosongan(A) = n

Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb:

Contoh :

Ruang baris dan ruang kolom berdimensi 2, sehingga rank(A) = 2

Empat vektor membentuk suatu basis untuk ruang penyelesaian, sehingga;

kekosongan(A) = 4 n = jumlah kolom = 6

6 = 2 + 4…..ok

Rank & Kekosongan

Teorema 4.

Jika A adalah matriks m x n, maka:

• rank(A) = jumlah peubah bebas dalam penyelesaian Ax = 0

• kekosongan(A) = jumlah parameter dalam penyelesaian Ax = 0 Contoh : Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb:

Ruang penyelesaian dari sistem liner homogen Ax = 0

2 peubah bebas ; rank(A) = 2

4 parameter ; kekosongan(A) = 4

Dimensi Matriks A berperingkat r

Ruang Dasar Dimensi

Ruang baris dari A r

Ruang kolom dari A r

Ruang Kosong dari A n-r Ruang kosong dari A

^T

m-r Jika :

• A adalah matriks m x n berperingkat r

• A

^T

adalah matriks n x m berperingkat r.

Nilai Maksimum Peringkat

Definisi:

Jika A adalah suatu matriks m x n, maka:

• Vektor baris terletak pada R

ⁿ

 ruang baris A max dimensi n

• Vektor kolom terletak pada R

^m

 ruang kolom A max dimensi m rank(A) ≤ min(m,n)

Dimana min(m,n) menyatakan angka yang lebih kecil antara m dan n jika m ≠ n atau nilai bersama mereka jika m=n

Contoh:

A _{7x 4}  peringkat max : 4 A _{4 x 7}  peringkat max : 4

Teorema Konsistensi:

SPL dengan m Persamaan dalam n Peubah

Teorema 5.

Jika Ax = b adalah suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka;

a. Ax = b konsisten

b. b berada dalam ruang kolom dari A (ingat teorema 1 ruang baris) c. A dan [Al b] mempunyai peringkat yang sama

Penjelasan c.

Peringkat matrik A sebagai jumlah baris tak nol dalam bentuk eselon tereduksi A, contoh:

Perhatikan baris : 0 0 0 0 1  menunjukkan sistem tidak konsisten

Teorema konsistensi : sistem linear Ax=b konsisten untuk suatu vektor b tertentu dengan memenuhi syarat pada teorema 6 berikut.

Teorema Konsistensi:

SPL dengan m Persamaan dalam n Peubah

Teorema 6.

Jika Ax = b adalah suatu SPL dengan m persamaan dan n peubah, maka;

a. Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, m x 1 b. Vektor-vektor kolom A merentang R^m.

c. rank(A) = m

Matriks Eselon untuk mencari

Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Cari suatu basis untuk ruang yang terentang oleh vektor-vektor:

Ruang yang terentang oleh v₁, v₂, v₃ dan v₄ adalah ruang baris dari matriks:

Dengan reduksi matriks didapat bentuk baris- eselon sbb:

• Vektor baris tak-nol w₁, w₂, w₃ membentuk basis untuk ruang baris.

• Dengan demikian w₁, w₂, w₃ membentuk basis untuk sub ruang R⁵ yang terentang oleh vektor-vektor v₁, v₂, v₃ dan v₄

w₁ = (1,-2,0,0,3) w₂ = (0,1,3,2,0) w₃ = (0,0,1,1,0)

Matriks Transpose untuk mencari

Basis Ruang Baris, Ruang Kolom, Ruang Null

Cari suatu basis untuk ruang baris dari:

Merupakan vektor-vektor basis untuk ruang baris A

A  A^T, maka ruang baris A menjadi ruang kolom A^T Dengan matriks eselon, cari suatu basis ruang kolom A^T.

Tranpose kembali mengubah

vektor kolom menjadi vektor baris

OBE

Kolom 1,2 dan 4 berisi utama 1, shg vektor kolom A^T membentuk suatu basis untuk ruang

kolom A^T