Oleh. Ir. Hastha Sunardi, MT

Oleh

Ir. Hastha Sunardi, MT

Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan Halaman 1

VEKTOR

I. KOMPETENSI YANG DICAPAI

Mahasiswa dapat :

1. Menggambar vektor dengan sistem vektor satuan. 2. Menghitung perkalian vektor.

3. Menghitung penambahan vektor dengan aturan segitiga, aturan jajaran genjang, dan aturan poligon.

4. Menghitung pengurangan vektor.

5. Menghitung panjang vektor dalam ruang.

II. MATERI A. PENGERTIAN

Vektor adalah suatu kuantita/besaran yang mempunyai besar dan arah. Secara grafis suatu vektor ditunjukkan sebagai potongan garis yang mempunyai arah. Besar atau kecilnya vektor ditentukan oleh panjang atau pendeknya potongan garis. Sedangkan arah vektor ditunjukkan dengan tanda anak panah.

Dalam gambar vektor di samping, titik A disebut titik awal (initial point) dan titik P disebut titik terminal (terminal point). Pada gambar tersebut vektor dapat ditulis dengan berbagai cara seperti, AB ar, a atau a.

Panjang vektor juga dapat ditulis dengan berbagai cara seperti |AB|, | AB |, |ar|, | a |, atau |a|.

Disini kita akan memakai simbul AB atau a untuk menyatakan vektor dan

|AB| atau | a | untuk menyatakan besaran (modulus) dari vektor tersebut. Contoh

vektor misalnya lintasan, kecepatan, percepatan, dan gaya.

Skalar adalah suatu kuantita yang mempunyai besaran tetapi tidak mempunyai arah. Suatu skalar adalah bilangan nyata dan secara simbolik dapat ditulis dengan huruf kecil. Operasi skalar mengikuti aturan yang sama dengan aturan operasi aljabar elementer.

A

B

Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan Halaman 2

B. VEKTOR SATUAN

Untuk menggambarkan suatu vektor pada sistem koordinat kartesean diperlukan vektor satuan. Vektor dari titik (0,0) sampai titik (1,0) adalah vektor satuan i . Vektor dari titik (0,0) sampai titik (0,1) adalah vektor satuan j.

Arah vektor i positif sesuai dengan arah sumbu X positif. Arah vektor j

positif sesuai dengan arah sumbu Y positif. Pada gambar disebelah ini vektor a dengan titik awal P dan titik akhir Q diuraikan menjadi dua vektor yaitu vektor ia₁ dan a₂j. Vektor a dan ₁ a disebut komponen vektor a . Besaran ₂ a dan ₁ a ₂ disebut komponen skalar a . Secara simbolis vektor a dan komponennya ditulis a = ia1 + a2j

C. ALJABAR VEKTOR

Aljabar vektor adalah operasi pada dua atau lebih dari vektor yang meliputi penambahan, pengurangan dan perkalian. Operasi vektor dapat dilakukan melalui komponen-komponen skalarnya.

1. Kesamaan Dua vektor

Dua vektor dikatakan sama apabila panjang serta arahnya sama.

a = b → jika | a | = | b | dan arah a = arah b X Y (1,0) (0,1) i j P Q (0,0) a i a1 j a₂ a _b

Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan Halaman 3

2. Vektor Negatif

Vektor – a mempunyai ukuran sama dengan vektor a tetapi arahnya berlawanan.

Jika vektor a = - b maka | a | = |- b |.

Vektor negatif sering disebut sebagai vektor invers.

3. Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika k bilangan real yang positif, maka k u adalah vektor yang panjangnya k | u | dan mempunyai arah yang sama dengan u . Sedangkan –k u adalah vektor yang panjangnya k | u | tetapi arah berlawanan dengan u .

4. Penjumlahan Vektor

a) Aturan Segitiga

Perhatikan gambar di samping. Jika AB dan

BC mewakili a dan b maka AC dikatakan penjumlahan vektor a + b .

b) Aturan Jajaran Genjang

AB dan DC mewakili vektor a

BC dan AD mewakili vektor b ,

maka AC = a + b atau AC = b + a . a b a = − u u k b a+ a b b a + a b b a a b +

Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan Halaman 4

c) Aturan Polygon

Penjumlahan tiga vektor atau lebih dapat dilakukan dengan menggunakan aturan poligon.

5. Selisih Dua Vektor

Selisih dua arah vektor a dan b , dinyatakan sebagai a – b , dapat dipandang sebagai penjumlahan vektor a dengan invers vektor b yaitu vektor – b .

Misalkan a – b = c maka c = a +(– b )

Secara diagram selisih dua vektor tersebut seperti gambar berikut.

6. Vektor Nol

Jika vektor a = b maka a – b = 0. 0 disebut vektor nol. Vektor nol tidak mempunyai besar dan arahnya tak tentu.

b a + a b b a c c c b a + + a b − a b a c = − b

Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan Halaman 5 Dalam aljabar vektor, misalkan vektor a = ia1 + a2 j dan vektor b = ib1 + b2j maka berlaku aturan :

a). a = b jika dan hanya jika ia1 = ib1 dan a2j = b2j b). m. a = m. ia₁ + m. a₂j untuk m suatu skalar c). a + b = (a₁ + b₁) i + (a₂ + b₂ ) j

d). a - b = (a - ₁ b ) i + (₁ a₂ - b ) j ₂

e). a . b = 0 jika a = 0 atau b = 0 atau a tegak lurus dengan b f). i . i = j . j = 1 dan i . j = 0 g). a . b = ( ia₁ + a₂ j ) . ( ib₁ + b₂j ) = a₁ . b + 1 a2 . b 2 h). | a | = 2 2 2 1 a a +

i). ∝ = arc tan ( a2 / a1 )

j). a . b = ⏐ a ⏐⏐b ⏐ cos γ

D. VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI

Vektor OP disefinisikan oleh komponen-komponenya :

a sepanjang OX b sepanjang OY c sepanjang OZ

Misalkan i = vektor satuan dalam arah OX j= vektor satuan dalam arah OY

k = vektor satuan dalam arah OZ maka : OP = ai+bj+ck OL2 = a2 + b2 dan OP2 = OL2 + c2 O X a L b c r P Z Y

Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan Halaman 6 OP2 = a2 + b2 + c2 jadi r =ai+bj+ck

Contoh penyelesaian soal :

1. Diketahui vektor a = 3i + 4j dan vektor b = 2i + j. Hitunglah harga-harga : a + b ; b + a ; a – b ; b – a ; a . b ; sudut a ; sudut b ; a . b dan b . a . Jawab :

Dari vektor a dan b tersebut dapat diketahui bahwa a = 3 ; 1 a = 4 ; 2 b = 2 1 dan b = 1 , sehingga diperoleh : 2

a). a + b = (a +1 b ) i + (1 a + 2 b ) j = ( 3 + 2 ) i + ( 4 + 1 ) j = 5i + 5j 2 b). b + a = (b + ₁ a₁ ) i + (b + ₂ a ) j = ( 2 + 3 ) i + ( 1 + 4 ) j = 5i + 5j ₂ c). a – b = (a – ₁ b ) i + (₁ a – ₂ b ) j = ( 3 – 2 ) i + ( 4 – 1 ) j = i + 3 j ₂ d). b – a = (b – ₁ a ) i + (₁ b – ₂ a ) j = ( 2 – 3 ) i + ( 1 – 4 ) j = -i – 3j ₂ e). ⏐ a ⏐ = 2 2 2 1 a a + = 32 +4 2 = 9+16 = 25 = 5 f). ⏐b ⏐ = b b22 22 12 4 1 2 1 + = + = + = 5

g). Sudut a adalah ∝ = arc tan (a /2 a ) = arc tan ( 4/3 ) = 53,1301° atau 1 ∝ = 53° 7’ 48.36”

h). Sudut b adalah ß = arc tan (b /₂ b ) = arc tan ( ½ ) = 26,565051° atau ß ₁ = 26° 33’ 54,18’

i). a . b = a₁. b₁ + a₂ . b₂ = 3 . 2 + 4 . 1 = 6 + 4 = 10 j). b . a = b1 . a + 1 b . 2 a2 = 2 . 3 + 1 . 4 = 6 + 4 = 10

Jawaban i). dan j). dapat juga menggunakan aturan a . b = a . b cos γ.

dalam hal ini γ adalah sudut antara a dan b . Dengan aturan tersebut diperoleh :

a . b = a . b cos γ = 5 5 cos (∝ - ß) = 5. 5 cos (53,13 – 26,56) = 5. 5 cos 26,57 = 5. 5 . 0,894427191 = 10

Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan Halaman 7 b . a = b . a cos γ = 5 . 5 cos (ß - ∝) 5 . 5 cos (-26,57) = 10 2. Diketahui vektor-vektor a , b dan c seperti di bawah ini .

Lukislah secara grafis operasi vektor : a - b +2. c dan 3 c - 0,5(2 a - b ). Jawab : a - b +2. c = a + (- b ) + 2 . c 3 c - 0,5(2 a - b ) = 3 c + [-0,5{2 a + (- b )}] a c b − b a c 2 b a− + c 2 a c b b − a 2 b a 2 − c 3 3 c + [-0,5{2 a + (- b )}] 1/2(2 a +(- b )

Jurusan Pendidikan Teknik Sipil & Perencanaan Halaman 8 Soal-soal vektor :

1. Gambarlah vektor-vektor dibawah ini pada koordinat kartesean. a). a = 4i+5j b). b = -4i+5j c). c = -4i–5j d). d = 4i – 5j

2. Gambarlah dan tuliskan dalam bentuk vektor ai+ bj yang memiliki ketentuan

sebagai berikut :

a. Dari titik sumbu ( 0 , 0 ) ke titik ( 2 ; -3 ) b. Dari titik ( 2 ; 3 ) ke titik ( 4 ; 2 )

c. Mempunyai besar 6 dengan arah 150°

3. Diketahui vektor a = 1,5 i + 3 dan vektor b = j 2- 5j

Hitunglah : a. a + b b. a – b c. a . b

4. Vektor a = 3i + 4j ; vektor b = 2i + 5j dan vektor c = -5i + 3j. Hitunglah : a. a + b b. a + b + c c. a . b . c

5. Hitunglah kerja yang dilakukan vektor 6i + 8j pada vektor 2i + 3j. 6. tentukan besarnya sudut pada vektor-vektor i + j ; 2i – 3j dan 5j. 7. Vektor a = 1i + 5j, vektor b = -5i – 7j dan vektor c = 3i – 7j.

ALIN – SI@UIGM Pertemuan-02 1

MATERI II

MATRIKS & JENISNYA

2.1. Definisi Matriks

Matriks adalah himpunan skalar yang disusun menurut baris dan kolom.

Untuk batasnya adalah :

 

 

Notasi Matriks : A =

 

a_ij ,

dimana aij adalah elemen pada baris ke i kolom ke j

Kesamaan Matriks

2 buah matriks A =

 

a_ij dan B =

 

b_ij dikatakan sama A = B jika ukuran nya sama yaitu ( m x n ) dan aij = bij untuk setiap i dan j ( i = 1,2,….,m ;j = 1,2,….,n )

2.2. Operasi Pada Matriks

a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks –matriks yang berukuran sama ).

Jika A =

 

a_ij dan B =

 

b_ij , matriks yang berukuran sama , maka A + B adalah suatu matriks C =

 

c_ij , di mana cij = aij + bij untuk setiap i dan j.

Contoh : A = _      3 3 2 1 dan B = _      4 2 1 2 maka A + B = _      3 3 2 1 + _      4 2 1 2 = _          4 3 2 3 1 2 2 1

ALIN – SI@UIGM Pertemuan-02 2 = _      7 5 3 3

b. Perkalian skalar terhadap matriks

Jika  suatu scalar ( bilangan ) dan A =

 

a_ij maka matriks A = (aij ) Contoh : A = _      3 3 2 1 maka 2A = _      3 . 2 3 . 2 2 . 2 1 . 2 = _      6 6 4 2 c. Perkalian Matriks

Pada umumnya perkalian Matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB

BA.

Syarat Perkalian Matriks :

Banyaknya kolom matriks pertama = banyaknya baris matriks kedua.

Definisi :

Misal A =

 

a_ij berukuran ( m x n ) dan B =

 

b_ij berukuran ( n x p ) . Maka perkalian AB adalah suatu matriks C =

 

c_ij berukuran ( m x p)

di mana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ….. + ain bnj untuk setiap I = 1,2,,,,,,m dan j = 1,2,….,p Contoh : A =



1 2 3



dan B =           1 0 2 maka AB =



1.22.03.1



= (5) A (1x3) dan B (3x1) maka C ( 1x1)

2.3. Transpose dari suatu Matriks

Misal A =

 

a_ij berukuran ( m x n ) maka transpose dari A adalah matriks AT berukuran ( nxm) maka

AT =

 

a_ji .

ALIN – SI@UIGM Pertemuan-02 3 (i) ( A + B ) T = AT + BT (ii) (AT ) T = A (iii) ( AT ) = (A)T (iv) ( AB ) T = BT AT Catatan :

Bila Matriks A =

 

a_ij adalah suatu matriks kompleks, Maka Transpose Hermitian ( Conjugate Transpose) yaitu AH =

T ij a        =       _ ji a , jika z = x – yi maka  z= x + yi Contoh : A = _        3 1 3 i i i maka AH = _         3 1 3 i i i

2.4. Beberapa Jenis Matriks Khusus

(1) Matriks Bujur Sangkar

Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya kolom= n disebut berordo n Contoh : A = _      4 2 3 1

adalah matriks bujur sangkar ordo 2

(2) Matriks Nol

adalah matriks yang semua elemennya nol ( 0)

(3) Matriks Diagonal

adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol Contoh :           3 0 0 0 2 0 0 0 1

(4) Matriks Identity ( Satuan )

adalah matriks diagonal yang elemen –elemen diagonal utamanya semua sama dengan 1

ALIN – SI@UIGM Pertemuan-02 4           1 0 0 0 1 0 0 0 1 (5) Matriks Skalar

adalah matriks diagonal utamanya sama dengan k Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari matriks skalar dengan k = 1

Contoh :           2 0 0 0 2 0 0 0 2

(6) Matriks Segitiga Bawah ( Lower Triangular )

adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas diagonal utama sama dengan nol. Contoh :           2 0 4 0 3 1 0 0 2

(7) Matriks Segitiga Atas ( Upper Triangular )

adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol. Contoh :           2 0 0 5 3 0 0 1 2 (8) Matriks Simetris

adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri, Dengan perkataan lain A = AT dan matriks simetris merupakan matriks bujur sangkar.

Contoh : A =           1 1 0 1 3 2 0 2 1 dan AT =           1 1 0 1 3 2 0 2 1

ALIN – SI@UIGM Pertemuan-02 5 (9) Matriks Antisimetris

adalah matriks yang transposenya adalah negatifnya, Dengan perkataan lain

AT = - A Contoh : A=                   0 1 4 2 1 0 3 1 4 3 0 1 2 1 1 0 , AT =                   0 1 4 2 1 0 3 1 4 3 0 1 2 1 1 0 (10) Matriks Hermitian

adalah matriks dengan transpose hermitiannya = dirinya sendiri. Dengan perkataan lain AH = - A Contoh A = _        4 2 2 3 i i dan AH = _        4 2 2 3 i i

(11) Matriks Invers ( Kebalikan ) :

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar ordo n dan berlaku AB = BA + I

maka dikatakan B invers dari A dan ditulis B = A-1 sebaliknya A adalah invers dari B dan ditulis A = B-1

(12) Matriks Komutatif.

adalah Jika A dan B matriks yang bujur sangkar dan berlaku AB = BA. dan

Anti Komutatif

Jika AB = -BA

(13) Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten

 Matriks Idempoten

Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AA = A2 = A

ALIN – SI@UIGM Pertemuan-02 6

Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AAA…A = Ap _{= A dikatakan} periodik dengan periode p-1

 Matriks Nilpoten

Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku Ar = 0, dikatakan Nilpoten dengan indeks r dan r bilangan bulat positip. 0 adalah matriks Nol.

ALIN – SI@UIGM Pertemuan-03 Page 1  21  a MATERI III

OPERASI MATRIKS

I.1 Pendahuluan Definisi :

Matriks adalah susunan segi empat siku – siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung.

Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks tersusun atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo ) m x n. Penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar A, B, C dan seterusnya, sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya (matriks dengan m baris dan n kolom ) adalah Amxn, Bmxn

dan seterusnya.

Bentuk umum

Bentuk umum dari Amxn adalah :

 a11 a12 ... a1n   a Amxn =  21 a ₂₂ ... _2n  _ ,  : :  ::: :  a _m1 a _{m 2} ... a mn 

aij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j. I.2 Jenis – jenis matriks

Ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui dan sering digunakan pada pembahasan selanjutnya, yaitu :

a. Matriks Bujur sangkar

Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya. Karena sifatnya yang demikian ini, dalam matriks bujur sangkar dikenal istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks bujur sangkar yang berukuran nxn, yaitu : a11, a22, …, ann.

Contoh 1.2.1

a a 

dengan elemen diagonal a dan a A2x2 =  11 12  11 22 a ₂₁ a₁₁ A3x3 = a a₃₁ a _{22 } a₁₂ a ₂₂ a₃₂ a₁₃  a ₂₃  a₃₃ 

ALIN – SI@UIGM Pertemuan-03 Page 2 1 1 0 2 1 1 0 0 0  0 1 1  E =  _0 0 0 0    0 0 0 0 1 0 2  _f l o _{23 32 22 }   b. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol. Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol.

Contoh 1.2.5

D = 0_ , 0_

Matriks D bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi karena elemen d12 bernilai 1 sehingga tidak memenuhi syarat ke – 4 ( harusnya = 0 ), sedangkan matriks E tidak memenuhi karena baris kedua yang merupakan baris nol letaknya mendahului baris ketiga yang merupakan baris tak nol, sehingga syarat ketiga tidak terpenuhi.

Jika suatu matriks hanya memenuhi syarat 1–3 saja, maka dikatakan matriks tersebut memiliki bentuk eselon baris.

I.3 Operasi – operasi matriks

a. Penjumlahan matriks

Operasi penjumlahan dapat dilakukan pada dua buah matriks yang memiliki ukuran yang sama.

Aturan penjumlahan

Dengan menjumlahkan elemen – elemen yang bersesuaian pada kedua matriks Contoh:

a b   e f   a  e b  f 

   

c d _{  g h  }c  _{g d}  h _

b. Perkalian matriks dengan matriks

Operasi perkalian matriks dapat dilakukan pada dua buah matriks ( A dan B) jika jumlah kolom matriks A = jumlah baris matriks B.

Aturan perkalian

Misalkan Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dimana elemen – elemen dari C( cij)

merupakan penjumlahan dari perkalian elemen–elemen A baris i dengan elemen– elemen B kolom j Contoh : A = a b d e c  , B =   k    m n    p maka A B = C = ak  bl  cm dk  el  _fm an  bo  cp dn  eo  fp

3

c. Perkalian matriks dengan skalar

Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap –tiap elemen pada A dikalikan dengan k.

MATERI IV

TRANSFORMASI ELEMENTER BARIS/KOLOM

Pokok Bahasan : Transformasi Elementer Sub Pokok Bahasan :

1. Transformasi Elementer Baris 2. Transformasi Elementer Kolom 3. Matriks Ekivalen

Tujuan Instruksional Umum : Agar mahasiswa dapat memahami apa yang dimaksud dengan inverse matriks.

Tujuan Instruksional Khusus : Agar mahasiswa mampu menjelaskan dan dapat menyelesaikan masalah yang terkait dengan :

1. Transformasi Elementer Baris / Kolom 2. Matriks Ekivalen

I. Transformasi Elementer

1. Transformasi Elementer pada Baris dan Kolom Matriks

Terhadap elemen-elemen suatu matriks dapat dilakukan transformasi atau penukaran atau perpindahan menurut baris dan kolom matriks.

Kaidah-kaidah transformasi elementer :

i. Apabila ada matriks A = (aij), maka transformasi elemen-

elemen pada baris ke-i dengan baris ke-j ditulis Hij (A), yang merupakan penukaran semua elemen baris ke-i dengan baris ke-j atau baris ke-i dijadikan baris ke-j dan baris ke-j dijadikan baris ke-i.

Contoh : 3 1 4 A 2 1 1 3 0 1 maka H12 (A) = 2 1 1 3 1 4 3 0 1 dan 3 1 4 H23 (A) = 3 0 1 2 1 1

ii. Transformasi elemen-elemen pada kolom ke-i dengan kolom ke-j, ditulis Kij (A), adalah penukaran semua elemen kolom ke-i dengan kolom ke-j atau kolom ke-i dijadikan kolom ke-j.

i Contoh : A 3 1 4 2 1 1 3 0 1 4 1 K13 (A) = 1 1 1 0 3 1 3 4 2 , K21 (A) = 1 2 1 3 0 3 1

iii. Mengalikan baris ke-i dengan ( 0), ditulis H ( )

( )

(A) dan mengalikan kolom ke-i dengan ditulis Ki

Contoh : (A). 1. A = 3 1 4 2 1 1 3 0 1 , maka H2(-2)(A) = 3 1 4 4 2 2 3 0 1 3 1 4 dan H3(1/2)(A) = 2 1 1 3 0 1 2 2 2. Sedangkan K3(2)(A) = 3 1 8 2 1 2 3 0 2 , dan K1(-1)(A) = 3 1 4 2 1 1 3 0 1

iv. Menambah baris ke-i dengan kali baris ke-j, ditulis Hij( )(A). Hi + Hj

Contoh :

= 1 1 0 3 0 1 23 1 3 1 A = 2 1 3 0 4 1 , maka H31(1)(A) = 1 3 1 4 2 1 1 6 1 5 dan H (-1)_(A) 3 1 4

v. Menambah kolom ke-i dengan kali kolom ke-j ditulis

Kij( )(A). Contoh : 3 1 A = 2 1 3 0 4 3 1 , maka K23(-2)(A) = 2 1 3 7 4 1 1 dan 2 1 3 7 4 K2 (2)(A) = 2 5 1 3 6 1

vi. Bila diketahui B adalah matriks transformasi elementer dari A maka matriks A dicari dengan mengambil invers dari matriks B. Contoh : (1) 2 1 0 2 1 0 B = H31 (A) = 4 11 2 1 0 1 , maka A = 4 11 2 1 1 1 = H31(1)-1(B) = H31(-1)(B) = H3 – H1 4

II. Matriks Ekivalen

Dua matriks A dan B disebut ekivalen, ditulis A B, jika B diperoleh dari A dengan melakukan transformasi elementer, dan sebaliknya A diperoleh dari B dengan melakukan invers transformasi elementer.

Contoh :

2 3 1 A =

4 1 0 dan B = 4 1 0 , 2 3 1 adalah ekivalen sebab B =

H12(A)

Operasi Baris Elementer (OBE)

Misalnya pada suatu matriks dilakukan operasi-operasi sebagai berikut : 1. Saling menukar dua baris

Misalnya menukar baris ke-i dengan baris ke- j 2. Mengalikan baris dengan bilangan real tak Nol

Misalnya mengalikan baris ke- I dengan scalar k, k≠ 0

3. Menambahkan suatu baris di atas disebut operasi baris Elementer (OBE) dan berturut-turut dinyatakan dengan :

a. Rij b. Rj(k) c. Rij(k) Contoh 1:

~

~

~

~

~

Contoh 2:

Ubahlah matriks berikut menjadi matriks eselon tereduksi :

A = Penyelesaian :

~

~

~

~

~

~

R12 R2(-1) R13(-2) R23(1) _R 23(4) R13(-2) R12(-1) R21(-2) R31(5) R2(-1/4) ) R32(31) R12(-5) R3(7/27) R23(2/7) R13(4/7)

Soal :

1. Ubahlah matriks berikut menjadi matriks eselon : a. A =

b. B =

c. C =

2. Ubahlah matriks berikut menjadi matriks a. D = b. E = c. F = Penyelesaian : 1. a. A =

~

b. B =

~

c. C =

~

~

~

~

R21(-2) R2(1/2) R31(-7) R21(-1) R32(10) R21(-1) R2(1/4) R3(-4/106)

2. a. D =

~

~

~

~

b. E =

~

~

~

c. F =

~

~

~

~

~

R1(1/2) R21(-1) R21 (-4)-44444 44) R21(-1) R2(1/9) _R12(-7/2) R21(-3) R31(-2) R23(1) R21(-1) R12(-2) R13 R21(-1) R12(-5) R31(-2) R32(11) R21(-1) R3(1/21) R21(-1) R13(9) R21(-1) R23(-3)

MATERI V

RANK MATRIKS

A. Kaidah Dasar Rank Matriks

Rank dari suatu matriks adalah suatu nilai yang menunjukkan jumlah vektor-vektor yang bebas linier pada suatu matriks.

Kaidah-kaidah transformasi elementer :

i. Apabila ada matriks A = (aij), maka transformasi elemen-

elemen pada baris ke-i dengan baris ke-j ditulis Hij (A), yang merupakan penukaran semua elemen baris ke-i dengan baris ke-j atau baris ke-i dijadikan baris ke-j dan baris ke-j dijadikan baris ke-i.

Contoh : 3 1 4 A 2 1 1 3 0 1 maka H12 (A) = 2 1 1 3 1 4 3 0 1 dan 3 1 4 H23 (A) = 3 0 1 2 1 1

ii. Transformasi elemen-elemen pada kolom ke-i dengan kolom ke-j, ditulis Kij (A), adalah penukaran semua elemen kolom ke-i dengan kolom ke-j atau kolom ke-i dijadikan kolom ke-j.

i Contoh : A 3 1 4 2 1 1 3 0 1 4 1 K13 (A) = 1 1 1 0 3 1 3 4 2 , K21 (A) = 1 2 1 3 0 3 1

iii. Mengalikan baris ke-i dengan ( 0), ditulis H ( )

( )

(A) dan mengalikan kolom ke-i dengan ditulis Ki

Contoh : (A). 1. A = 3 1 4 2 1 1 3 0 1 , maka H2(-2)(A) = 3 1 4 4 2 2 3 0 1 3 1 4 dan H3(1/2)(A) = 2 1 1 3 0 1 2 2 2. Sedangkan K3(2)(A) = 3 1 8 2 1 2 3 0 2 , dan K1(-1)(A) = 3 1 4 2 1 1 3 0 1

iv. Menambah baris ke-i dengan kali baris ke-j, ditulis Hij( )(A). Hi + Hj

Contoh :

= 1 1 0 3 0 1 23 1 3 1 A = 2 1 3 0 4 1 , maka H31(1)(A) = 1 3 1 4 2 1 1 6 1 5 dan H (-1)_(A) 3 1 4

v. Menambah kolom ke-i dengan kali kolom ke-j ditulis

Kij( )(A). Contoh : 3 1 A = 2 1 3 0 4 3 1 , maka K23(-2)(A) = 2 1 3 7 4 1 1 dan 2 1 3 7 4 K2 (2)(A) = 2 5 1 3 6 1

vi. Bila diketahui B adalah matriks transformasi elementer dari A maka matriks A dicari dengan mengambil invers dari matriks B. Contoh : (1) 2 1 0 2 1 0 B = H31 (A) = 4 11 2 1 0 1 , maka A = 4 11 2 1 1 1 = H31(1)-1(B) = H31(-1)(B) = H3 – H1 4

2. Matriks Ekivalen

Dua matriks A dan B disebut ekivalen, ditulis A B, jika B diperoleh dari A dengan melakukan transformasi elementer, dan sebaliknya A diperoleh dari B dengan melakukan invers transformasi elementer.

Contoh :

2 3 1 A =

4 1 0 dan B = 4 1 0 , 2 3 1 adalah ekivalen sebab B = H12(A)

3. Rank Matriks

Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A. Rank kolom dari matriks A adalah dimensi dari ruang kolom matriks A. Bila rank baris = rank kolom maka rank matriks A yaitu r (A) adalah harga atau nilai dari rank baris/ rank kolom matriks A tersebut.

Dengan kata lain rank dari matriks menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris/kolom yang bebas linear. Untuk mencari rank matriks dapat dilakukan dengan transformasi elementer, yaitu dengan cara sebanyak mungkin mengubah baris kolom menjadi vektor nol.

Contoh :

Tentukan rank dari matriks A =

2 3 1 2 1 2 4 4 3 , Lakukanlah tranformasi elementer baris: 5

H 2 H21(-2) 2 4 3 1 2 1 2 = 2 4 3 4 3 1 5 0 , 4 3 2 H31(-3) 2 4 3 1 2 3 1 5 0 = 2 5 0 4 3 2 5 0 (-1) 32 2 3 1 2 3 1 2 5 0 = 2 5 0 2 5 0 0 0 0

Baris ke 3 adalah vector nol ; rank (A) = 2

Petunjuk menentukan rank matriks :

i. Bila matriks hanya mempunyai dua baris, maka cukup diperiksa apakah elemen-elemen pada baris ke-1 dan baris ke-2 saling berkelipatan.

Contoh :

Jika A = 4 3 1

2 1 1 2 , baris -1 dan baris-2 tidak 1 berkelipatan.

Rank (A) =2

4 2 2 Jika A =

2 1 1 4 , baris-1 dan baris-2 berkelipatan, 2 rank (A) = 1

ii. Secara umum :

1. Pilih baris / kolom yang bukan vektor nol, dan pilih elemen pada baris/kolom tersebut yang tidak sama

dengan nol sebagai elemen pivot. Pada contoh transformasi baris a13 =1 ( 0), kemudian pilih baris

yang mengandung elemen 1 atau –1 sebagai elemen pivot.

2. Jadikan nol semua elemen yang sekolom dengan elemen pivot melalui transformasi baris oleh elemen pivot tersebut. Pada contoh diatas a23, a33 dan a43

dijadikan nol.

3. Selanjutnya tidak perlu lagi memeperhatikan baris pivot diatas. Perhatikan baris-baris yang tinggal. Pada contoh diatas adalah baris. Kerjakan langkah (1) terhadap mereka. Pada contoh diatas pilih baris 4 dengan elemen pivot a41=1. Seterusnya kembali lagi

pada langkah a dan b.

4. Proses ini akan berakhir bila langkah a tidak dapat dikerjakan lagi, yaitu bila telah menjadi baris nol.

MATERI VII

DETERMINAN SARRUS

Pokok Bahasan : Determinan Sub Pokok Bahasan :

I. Determinan

1. Pengertian Determinan

2. D e t e r m i n a n C a r a S a r r u s 3 . Sifat-sifat Determinan

Tujuan Instruksional Umum : Agar mahasiswa dapat memahami apa yang dimaksud dengan determinan matriks.

Tujuan Instruksional Khusus : Agar mahasiswa mampu menjelaskan dan dapat menyelesaikan masalah yang terkait dengan :

I. Determinan

1. Pengertian Determinan 2. Determinan Sarrus 3. Sifat-sifat Determinan

a a ( ( ( ( I. Determinan 1. Pengertian determinan :

Determinan merupakan sebuah bilangan tunggal atau scalar, dan hanya dijumpai dalam matriks bujur sangkar. Jika determinan suatu matriks bujur sangkar adalah nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks singular. Dan jika determinan matriks tersebut bukan nol, maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks non singular. Matriks non- singular, secara linear tidak tergantung (saling independent)

Misalnya, A matriks berukuran 2 x2,

A = a11 a21

a₁₂

a₂₂ , maka determinan matriks A, A 11a22 12 a21

Untuk matriks yang berordo lebih tinggi (matriks 3x3), cara untuk mendapatkan determinannya adalah dengan cara :

a. Metode Sarrus.

a

₁₁

A a

₂₁

a

₃₁

a

₁₂

a

₂₂

a

₃₂

a

₁₃

a

₂₃

a

₃₃

a

₁₁

a

₂₁

a

₃₁

a

₁₂

a

₂₂

a

₂₃ - - - + + + = (a11 a22 a33 ) a12 a23 a31 ) a13 a21 a23 ) a12 a21 a33 ) (a₁₁ a₂₃ a_{32 ) a13} a₂₂ a_{31 )} 2

2

3

2

3

Contoh :

2

A 4 5

0

7 2

6 4 5

0 0

= 2.5.0 + (-3).6.0 + 7.4.(-2) – 7.5.0 – 2.6.(-2) – (-3).4.0 = 0 + 0 -56 – 0 + 24 +0 = - 32 C_ij M _ij , karena 2. Sifat-sifat Determinan

Sifat-sifat determinan ada enam, yaitu :

a. Determinan suatu matriks sama dengan determinan dari transposenya, det (A) = det (At_).

b. Penambahan atau pengurangan suatu kelipatan bukan nol dari suatu baris/kolom dari baris/kolom lainnya tidak akan mempunyai pengaruh pada determinan.

c. Penukaran tempat antara dua baris atau kolom sembarang dari suatu matriks akan merubah tanda, tetapi tidak merubah harga absolut dari determinan.

d. Determinan dari suatu matriks segitiga (triangular matriks), yaitu matriks dengan elemen-elemen nol diatas atau di bawah diagonal utama, adalah sama dengan hasil kali dari elemen- elemen dari diagonal utama.

e. Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, determinan adalah nol.

f. Jika dua baris atau kolom identik, atau proporsional, yaitu secara linear tergantung, maka determinan adalah nol.

j

MATERI VII

DETERMINAN LAPLACE

I. Minor dan Kofaktor

Dapat dibentuk suatu sub determinan dari matriks yang disebut sebagai minor. Sehingga Minor M ij adalah determinan dari submatriks yang dibentuk dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks tersebut.

Dimana M11 adalah minor dari a11 ; M12 adalah minor dari a12 dan M₁₃ adalah minor dari a₁₃ , dan seterusnya.

M ₁₁ a22 a₃₂ a₂₃ a₃₃ M 12 a₂₁ a₃₁ a₂₃ a₃₃ M 13 a₂₁ a₃₁ a₂₂ a₃₂

Apabila suatu minor diberi tambahan tanda (-1)i+j, maka disebut kofaktor Cij .

Maka Cij ( 1) i

M ij ; jika jumlah i+j genap maka Cij M ij , karena (-1) dipangkatkan dengan bilangan genap akan sama dengan 1.

Sedangkan jika jumlah i+j adalah ganjil maka Cij M ij , karena jika (-1) dipangkatkan dengan bilangan negatif maka hasilnya akan sama dengan (-1).

II. Sifat-sifat Determinan

Sifat-sifat determinan ada enam, yaitu :

a. Determinan suatu matriks sama dengan determinan dari transposenya, det (A) = det (At_).

b. Penambahan atau pengurangan suatu kelipatan bukan nol dari suatu baris/kolom dari baris/kolom lainnya tidak akan mempunyai pengaruh pada determinan.

c. Penukaran tempat antara dua baris atau kolom sembarang dari suatu matriks akan merubah tanda, tetapi tidak merubah harga absolut dari determinan.

d. Determinan dari suatu matriks segitiga (triangular matriks), yaitu matriks dengan elemen-elemen nol diatas atau di bawah diagonal utama, adalah sama dengan hasil kali dari elemen- elemen dari diagonal utama.

e. Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, determinan adalah nol.

f. Jika dua baris atau kolom identik, atau proporsional, yaitu secara linear tergantung, maka determinan adalah nol.

III. Ekspansi Laplace

Metode atau ekspansi Laplace adalah suatu cara untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor.

Determinan dari suatu matriks = jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

Ekspansi Laplace dapat ditulis dengan cara :

a a a 5 2 ( 6 2 ( 3 ( 2 1 ( 4 1 ( 1 ( 6 6 ( 1 ( 1 ( 3 1 ( 1 4 1 ( 1 ( 3 2 1 2 A 11 C11 12 C12 13 C13 menggunakan baris 1

Dengan pola yang sama dapat juga dihitung dengan menggunakan baris ke dua dan ketiga, dengan memberikan hasil determinan yang sama.

Tanda-tanda kofaktor secara berurutan adalah :

contoh : 1 4 1 A = 1 2 3 5 1 1 C₂₁ ) 2 M ₂₁ ) 1 1 )(3) C₂₂ ) M 22 1) 1 5 1 1)( ) C23 1 ) 2 M ₂₃ ) 5 1 )(21) 1 A a₂₁ C₂₁ a₂₂ C₂₂ a₂₃ C₂₃ A 1)( ) )( ) 3)( 1) 4

IV. Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoint

C₁₁ C₁₂ C₁₃ C₁₁ C₂₁ C₃₁

C₂₁ C₂₂ C₂₃ , adjoint A = C’ = CC₂₂ C_{32 12} Matriks kofaktor adalah suatu matriks dimana setiap elemen aij diganti

dengan kofaktornya Cij , sehingga disebut matriks kofaktor. Matriks adjoint adalah transpose dari suatu matriks kofaktor.

Misalnya sebuah matriks kofaktor dari matriks A;

C= C₃₁ C₃₂ C₃₃ C₁₃ C₂₃ C₃₃ Contoh : 2 3 A = 4 1 5 3 1

2 , untuk menentukan Adj (A) maka dibentuk matriks 4

kofaktornya terlebih dahulu.

1 2 3 4 3 1 C = 3 4 3 1 1 2 4 2 4 1 5 4 5 3 2 1 2 3 5 4 5 3 2 1 2 3 4 2 4 1 2 6 7 C = 9 3 9 5 0 10 2 9 5 Adj A = C’ = 6 3 0 7 9 10

~. Matriks Balikan (invers)  Bahan Materi VII (berikutnya !)

1 2 5 2 5 0 1 1 2 4 4 5 8 4 1 1 1 3 1 3 2 2 2

Inverse Matriks (matriks balikan) A-1 _{hanya dapat ditemukan pada suatu}

matriks bujur sangkar, dan non singular. Dimana harus memenuhi suatu hubungan sebagai berikut :

AA-1 = I = A-1A

Dimana rumus untuk memperolah balikan dari matriks adalah :

A 1 AdjA A Contoh : 2 1 1. A = 4 3 2 , det (A) = 4 3 1 1 , A-1₌ 4 2 2 1 2 2.A= 0 1 3 4 4 2 , 1 5 2 det(A) = 0 1 5 8 2 3 6 4 9 0 1 19 10 2 A-1 ₌ 4 14 3 5 = 1 4 27 2 27 54 54 7 2 27 27 5 4 54 27 . 7

UJIAN TENGAH SEMESTER

21/10/2016

MATERI VIII

DETERMINAN LAPLACE LANJUT

I. Minor dan Kofaktor

Dapat dibentuk suatu sub determinan dari matriks yang disebut sebagai minor. Sehingga Minor M _ij adalah determinan dari submatriks yang dibentuk dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks tersebut.

Dimana M₁₁ adalah minor dari a11 ; M12 adalah minor dari a12 dan M13 adalah minor dari a13 , dan seterusnya.

M 11 a₂₂ a₃₂ a₂₃ a₃₃ M 12 a₂₁ a₃₁ a₂₃ a₃₃ M 13 a₂₁ a₃₁ a₂₂ a₃₂

Apabila suatu minor diberi tambahan tanda (-1)i+j, maka disebut kofaktor Cij .

Maka Cij ( 1) i

M ij ; jika jumlah i+j genap maka Cij M ij , karena (-1) dipangkatkan dengan bilangan genap akan sama dengan 1.

Sedangkan jika jumlah i+j adalah ganjil maka C_ij M _ij , karena jika (-1) dipangkatkan dengan bilangan negatif maka hasilnya akan sama dengan (-1).

II. Sifat-sifat Determinan

Sifat-sifat determinan ada enam, yaitu :

a. Determinan suatu matriks sama dengan determinan dari transposenya, det (A) = det (At_).

b. Penambahan atau pengurangan suatu kelipatan bukan nol dari suatu baris/kolom dari baris/kolom lainnya tidak akan mempunyai pengaruh pada determinan.

c. Penukaran tempat antara dua baris atau kolom sembarang dari suatu matriks akan merubah tanda, tetapi tidak merubah harga absolut dari determinan.

d. Determinan dari suatu matriks segitiga (triangular matriks), yaitu matriks dengan elemen-elemen nol diatas atau di bawah diagonal utama, adalah sama dengan hasil kali dari elemen- elemen dari diagonal utama.

e. Jika semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, determinan adalah nol.

f. Jika dua baris atau kolom identik, atau proporsional, yaitu secara linear tergantung, maka determinan adalah nol.

III. Ekspansi Laplace

Metode atau ekspansi Laplace adalah suatu cara untuk menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor.

Determinan dari suatu matriks = jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.

Ekspansi Laplace dapat ditulis dengan cara :

A 11 C11 12 C12 13 C13 menggunakan baris 1

Dengan pola yang sama dapat juga dihitung dengan menggunakan baris ke dua dan ketiga, dengan memberikan hasil determinan yang sama.

Tanda-tanda kofaktor secara berurutan adalah :

contoh : 1 4 1 A = 1 2 3 5 1 1 C₂₁ ) 2 M ₂₁ ) 1 1 )(3) C₂₂ ) M 22 1) 1 5 1 1)( ) C23 1 ) 2 M ₂₃ ) 5 1 )(21) 1 A a₂₁ C₂₁ a₂₂ C₂₂ a₂₃ C₂₃ A 1)( ) )( ) 3)( 1) 4

IV. Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoint

C₁₁ C₁₂ C₁₃ C₁₁ C₂₁ C₃₁

C₂₁ C₂₂ C₂₃ , adjoint A = C’ = C₂₂

Matriks kofaktor adalah suatu matriks dimana setiap elemen aij diganti

dengan kofaktornya Cij , sehingga disebut matriks kofaktor. Matriks adjoint adalah transpose dari suatu matriks kofaktor.

Misalnya sebuah matriks kofaktor dari matriks A;

C= C₃₁ C₃₂ C₃₃ C₁₃ C₂₃ C₃₃ Contoh : 2 3 A = 4 1 5 3 1

2 , untuk menentukan Adj (A) maka dibentuk matriks 4

kofaktornya terlebih dahulu.

1 2 3 4 3 1 C = 3 4 3 1 1 2 4 2 4 1 5 4 5 3 2 1 2 3 5 4 5 3 2 1 2 3 4 2 4 1 2 6 7 C = 9 3 9 5 0 10 2 9 5 Adj A = C’ = 6 3 0 7 9 10

~. Matriks Balikan (invers)  Bahan Materi VII (berikutnya !)

3 3 2

Inverse Matriks (matriks balikan) A-1 _{hanya dapat ditemukan pada suatu}

matriks bujur sangkar, dan non singular. Dimana harus memenuhi suatu hubungan sebagai berikut :

AA-1 = I = A-1A

Dimana rumus untuk memperolah balikan dari matriks adalah :

A 1 AdjA A Contoh : 2 1 1. A = 4 3 2 , det (A) = 4 3 1 1 , A-1₌ 4 2 2 1 2 2.A= 0 1 3 4 4 2 , 1 5 2 det(A) = 0 1 5 8 2 3 6 4 9 0 1 19 10 2 A-1 ₌ 4 14 3 5 = 1 4 27 2 27 54 54 7 2 27 27 5 4 54 27 . 7

Aljabar Linear

Yuliant Sibaroni

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

i

Buku Ajar

Aljabar Linear

Oleh

Yuliant Sibaroni S.Si

PROGRAM PERKULIAHAN DASAR UMUM

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM

BANDUNG

2002

Aljabar Linear

Yuliant Sibaroni

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

ii

Kata Pengantar

Dengan mengucapkan syukur alhamdulillah ,akhirnya buku ajar aljabar linear dapat diselesaikan. Buku ajar ini merupakan catatan kuliah dari penulis selama penulis memberikan perkulian aljabar linear di STT Telkom . Pembuatan buku ajar ini dimaksudkan untuk membantu mahasiswa STT Telkom dalam memahami perkuliahan aljbar linear maupun kuliah- kuliah lain yang menggunakan aljabar linear sebagai dasarnya .

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan buku ajar ini masih banyak kekurangan yang terjadi . Untuk itu adanya saran dan kritik dari pembaca sangat diperlukan penulis untuk perbaikan diktat ini dimasa mendatang. Penulis juga mengucapkan terima kasih terhadap semua pihak yang telah membantu dalam pembuatan buku ajar ini.

Bandung , Agustus 2002

Aljabar Linear

Yuliant Sibaroni

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

iii

DAFTAR ISI

1. Matriks dan Operasi – Operasinya ……….……

I.1 Pendahuluan ………...

I.2 Jenis – jenis matriks

……….………

I.3 Operasi – operasi matriks ……….…

I.4 Matriks Invers ………

2. Sistem Persamaan Linear

………...

II.1

Pendahuluan

………..

II.2 Operasi baris elementer ………. II.3 Sistem persamaan linear Homogen ……….….. II.4 Menentukan invers matriks ………..

3. Determinan matriks

……….…..

III.1 Pendahuluan

………..

III.2 Metode perhitungan determinan

……….……..

III.3 Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode Crammer ………..………… III.4 Hubungan determinan, invers matriks dan penyelesaian untuk

sistem persaman linier ………

4. Vektor– Vektor di bidang dan di ruang

………

IV.1 Pendahuluan

………….………

IV.2 Operasi – operasi pada vektor

….………

IV.3 Hasil kali titik , panjang vektor dan

jarak antara dua vektor ………

IV.4 Proyeksi orthogonal ………

IV.5 Perkalian silang vektor ………

01

01 01 01 04

06

06 07 10 12

15

15 16 18 19

22

22 22 23 25 27

31

31 32 33 34 37 38 39

Aljabar Linear

Yuliant Sibaroni

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

iv

5. Ruang – Ruang Vektor

………...………….

V.1 Ruang – n Euclides

……….

V.2 Ruang vektor umum

………

V.3 Sub–ruang vektor ……….

V.4

Membangun dan bebas linier

………..……….

V.5 Basis dan Dimensi

………

V.6 Basis ruang baris dan basis ruang kolom

……….

V.7 Basis ruang solusi ………

6. Ruang Hasil Kali Dalam

………..

VI.1 Hasil kali dalam

………

VI.2 Panjang vektor , jarak antar vektor ,dan besar

sudut dalam RHD …

VI.3 Basis orthonormal

………

VI.4 Perubahan Basis

………

7.

Ruang Eigen ………...……

VII.1 Nilai Eigen suatu matriks

………

44

44 45 46 50

54

54 56 60

63

63 64 65

Aljabar Linear

Yuliant Sibaroni

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

v

VII.2 Diagonalisasi ………

VII.3 Diagonalisasi orthogonal ………

8. Transformasi Linear ………...

VIII.1 Pendahuluan

………

VIII.2 Kernel ( inti ) dan Jangkauan

………

VIII.3 Matriks transformasi

………

Daftar Pustaka

1. Anton , H .( 1991) Elementary Linear Algebra .John Wiley and Sons

2. Leon , S.J.( 2001 ) . Aljabar Linear Dan Aplikasinya edisi 5 . Penerbit Erlangga

Aljabar Linear

Yuliant Sibaroni

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Matriks dan operasi – operasinya

Yuliant Sibaroni

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

1

BAB I

Matriks dan Operasi – Operasinya

I.1 Pendahuluan

Definisi :

Matriks adalah susunan segi empat siku – siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung.

Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks tersusun atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo ) m x n. Penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar A, B, C dan seterusnya, sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya (matriks dengan m baris dan n kolom ) adalah Amxn, Bmxn

dan seterusnya.

Bentuk umum

Bentuk umum dari Amxn adalah :

Amxn =             mn m m n n a a a a a a a a a ... : ::: : : ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11 ,

aij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j. I.2 Jenis – jenis matriks

Ada beberapa jenis matriks yang perlu diketahui dan sering digunakan pada pembahasan selanjutnya, yaitu :

a. Matriks Bujur sangkar

Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya. Karena sifatnya yang demikian ini, dalam matriks bujur sangkar dikenal istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks bujur sangkar yang berukuran nxn, yaitu : a11, a22, …, ann. Contoh 1.2.1 A2x2 = _      22 21 12 11 a a a a

dengan elemen diagonal a11 dan a22

A3x3 =           33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a

dengan elemen diagonal a11 ,a22 dan a33

b. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol. Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol.

Contoh 1.2.2 A = _      3 0 0 1 B = _      0 0 0 1 , C = _      0 0 0 0

Matriks dan operasi – operasinya

Yuliant Sibaroni

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

2

c. Matriks Nol

Mariks Nol merupakan matriks yang semua elemennya bernilai nol.

d. Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen – elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen – elemen dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas , sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai tak nol.

Contoh 1.2.3 A =           1 0 0 2 0 0 1 0 1 , B =           0 1 0 0 0 1 0 0 0 , C =           2 0 0 0 1 0 0 0 1

Matriks A adalah matriks segitiga bawah, matriks B adalah matriks segitiga atas sedangkan matriks C merupakan matriks segitiga bawah dan juga matriks segitiga atas.

e. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1

f. Matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi

Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris tereduksi jika memenuhi syarat– syarat berikut :

1. Untuk semua baris yang elemen – elemennya tak–nol , maka bilangan pertama pada baris tersebut haruslah = 1 ( disebut satu utama ).

2. Untuk sembarang dua baris yang berurutan, maka satu utama yang terletak pada baris yang lebih bawah harus terletak lebih ke kanan daripada satu utama pada baris yang lebih atas.

3. Jika suatu baris semua elemennya adalah nol, maka baris tersebut diletakkan pada bagian bawah matriks.

4. Kolom yang memiliki satu utama harus memiliki elemen nol ditempat lainnya. Contoh 1.2.4 A =           0 0 0 0 1 1 0 0 2 0 1 1 , B =           1 0 0 0 1 0 0 0 1 , C =             0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

Matriks A , B dan C adalah matriks – matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi dan notasi 1 menyatakan satu utamanya. Contoh berikut menyatakan matriks – matriks yang bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi.

Matriks dan operasi – operasinya

Yuliant Sibaroni

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

3 Contoh 1.2.5 D =           0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 1 1 , E =           2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

Matriks D bukan dalam bentuk eselon baris tereduksi karena elemen d12 bernilai 1

sehingga tidak memenuhi syarat ke – 4 ( harusnya = 0 ), sedangkan matriks E tidak memenuhi karena baris kedua yang merupakan baris nol letaknya mendahului baris ketiga yang merupakan baris tak nol, sehingga syarat ketiga tidak terpenuhi.

Jika suatu matriks hanya memenuhi syarat 1–3 saja, maka dikatakan matriks tersebut memiliki bentuk eselon baris.

I.3 Operasi – operasi matriks

a. Penjumlahan matriks

Operasi penjumlahan dapat dilakukan pada dua buah matriks yang memiliki ukuran yang sama.

Aturan penjumlahan

Dengan menjumlahkan elemen – elemen yang bersesuaian pada kedua matriks Contoh:       + + + + =       +       h d g c f b e a h g f e d c b a

b. Perkalian matriks dengan matriks

Operasi perkalian matriks dapat dilakukan pada dua buah matriks ( A dan B) jika jumlah kolom matriks A = jumlah baris matriks B.

Aturan perkalian

Misalkan Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dimana elemen – elemen dari C( cij)

merupakan penjumlahan dari perkalian elemen–elemen A baris i dengan elemen– elemen B kolom j Contoh : A = _      f e d c b a , B =           p m o l n k maka A23 B32 = C22 = _      + + + + + + + + fp eo dn fm el dk cp bo an cm bl ak

c. Perkalian matriks dengan skalar

Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap –tiap elemen pada A dikalikan dengan k. Contoh 1.3.1 3 _      f e d c b a = _      f e d c b a 3 3 3 3 3 3

Matriks dan operasi – operasinya

Yuliant Sibaroni

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

4

d. Transpose matriks

Transpose matriks A ( dinotasikan At ) didefinisikan sebagai matriks yang baris – barisnya merupakan kolom dari A.

Contoh : A = _      6 5 4 3 2 1 Æ At =           6 3 5 2 4 1

Sifat – sifat dari operasi matriks

- A+B = B+A - A+ ( B+C ) = ( A+B) + C - AB ≠ BA - A ( BC ) = ( AB ) C - ( At )t = A - ( AB )t = BtAt

I.4 Matriks Invers

Definisi

Jika A, B matriks bujur sangkar dan berlaku AB = BA = I ( I matriks identitas ), maka dikatakan bahwa A dapat dibalik dan B adalah matriks invers dari A ( notasi A–1 ). Contoh : A = _      − − 3 1 5 2 , B = _      2 1 5 3 Æ AB = BA = _      1 0 0 1 Maka B = A–1 dan A = B–1 Sifat yang berlaku :

- ( A–1 )–1 = A - ( AB )–1 = B–1A–1

Latihan I

1. Tentukan jenis dari matriks – matriks dibawah ini ( jika memenuhi lebih dari satu, tuliskan semua ) ! A = _      1 0 0 1 , B =           1 0 1 0 0 0 0 0 1 , C =           0 0 0 2 1 0 2 0 1 , D =           1 0 0 0 0 0 2 2 1 2. Diketahui A = _      1 0 0 1 , B = _      0 2 1 2 0 1 dan C = _      3 2 2 1 1 1 a. Hitung B + C !

b. Hitung AB dan AC , kemudian tentukan AB + AC

c. Dari perhitungan B + C sebelumya, hitung A ( B + C ) kemudian bandingkan hasilnya dengan jawaban dari b !

Matriks dan operasi – operasinya

Yuliant Sibaroni

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

5

3. Dari soal nomor 2, tentukan a. ( AB )t dan ( AC )t !

b. Hitung BtAt dan CtAt , kemudian bandingkan hasilnya dengan jawaban a ! 4. Tunjukkan apakah matriks B merupakan invers A !

a. A = _      0 2 4 2 dan B = _      − − − 2 2 4 0 8 1 b. A = _      0 0 3 1 dan B = _      1 0 0 1

Sistem persamaan linear

Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi TeknologiTelkom

6

BAB II

Sistem Persamaan Linear II.1 Pendahuluan

Bentuk umum

Suatu persamaan linear yang mengandung n peubah x1, x2 ,…,xn dinyatakan dalam

bentuk a1x1 + a2x2 + … + anxn = b dengan a1, a2, …, an , b adalah konstanta riil.

Dalam hal ini, peubah yang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri, fungsi logaritma ataupun fungsi exponensial.

Contoh 2.1.1 :

a. x + y = 4 Æ persamaan linear dengan 2 peubah b. 2x – 3y = 2z +1 Æ persamaan linear dengan 3 peubah c. 2 log x + log y = 2 Æ bukan persamaan linear

d. 2ex = 2x + 3 Æ bukan persamaan linear

Sistem persamaan linear ( SPL ) Definisi

Sistem persamaan linear adalah himpunan berhingga dari persamaan linear

Contoh 2.1.2:

a. x + y = 2 b. x – y + z = 4 2x + 2y = 6 x + y = 0

Tidak semua sistem persamaaan linear memiliki penyelesaian( solusi ) , sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian memiliki dua kemungkinan yaitu penyelesaian tunggal dan penyelesaian banyak. Secara lebih jelas dapat dilihat pada diagram berikut :        banyak solusi tunggal solusi konsisten an penyelesai memiliki konsisten tidak an penyelesai memiliki Tidak SPL _{( )} ) (

Pada sistem persamaaan linear dengan dua peubah, secara geometris jika SPL tidak mempunyai penyelesaian maka grafiknya berupa dua garis yang saling sejajar, jika penyelesaiannya tunggal maka himpunan penyelesaiannya berupa sebuah titik hasil perpotongan dua garis sedangkan jika penyelesaiannya banyak maka himpunan penyelesaiannya berupa dua garis lurus yang saling berhimpit. Secara lebih jelas dapat dilihat pada contoh 2.1.3 berikut :

a. x + y = 2 , Grafiknya : 2x + 2y = 6

Grafik tersebut menunjukkan bahwa kedua garis sejajar sehingga tidak penyelesaian yang memenuhi sehingga disimpulkan bahwa SPL tidak konsisten.

3 2 2 3 x + y = 2 2x + 2y = 6