Matriks (Dr. Edi Sukirman)

DEFINISI

MATRIKS

Bentuk umum A=(aij) ,i= 1,2,...m J=1,2,...m

a₁₁ a₁₂……a_1n baris 1 a₂₁ a₂₂…..a_2n baris 2

A_m1 a_m2…a_mn baris m

Kolom n Kolom 2

Kolom 1

Matriks di atas mempunyai m buah baris dan n buah

kolom maka dikatakan ukuran matriks tersebut adalah

(mxn).

Kesamaan dua matriks

Dua buah matriks A=(a_ij) dan B=(b_ij) dikatakan sama A=B, jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku a_ij=b_ij.

1 2 4 2 1 3

A = 1 2 4 2 1 3 B =

1 2 2 2 1 3

C = 2 1 2 2 1 3 D =

1 2 4 2 2 2 E =

x _{2 4}

2 2 2 F =

2 2 2 4 5 6 9 0 7

G = H =

? ? ? ? ? ? ? ? ?

A = B

C ≠ D

E = F jika x = 1

G = H

Contoh penjumlahan matriks:

Operasi pada Matriks

1. Penjumlahan / Pengurangan

Syarat = kedua matriks tersebut berukuran sama

A + B

1 2

6

3

2 4

6

3

A = B =

+ _{= 36}

PENGURANGAN MATRIKS

A - B

1 2

6

3

2 4

6

3

A = B =

3. Perkalian Matriks

Dua buah matriks A&B dapat dikalikan jika:

Jumlah kolom matriks pertama (A) sama dengan jumlah baris matriks kedua (B).

Misal. A(mxn) dan B(nxp), C=AxB maka C(mxp).

C

B

A

p

x

m

p

x

n

n

x

m







A=(a

_ij

) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n



B=(b

_jk

) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p



C=(c

_ik

) dengan i=1,2,3,…,m dan k=1,2,3,…,p

Maka :

Jika A,B,C adalah matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat yang di perlukan, maka:

A(B+C)=AB+AC

A(BC)=(AB).C

Perkalian matriks tidak komutatif = AB≠BA tetapi ada beberapa matriks yang berlaku AB=BA

Bila AB=AC , belum tentu B=C

Bila AB=0(matriks nol)

Maka kemungkinan-kemungkinan: 1. A=0 & B=0

2. A=0 atau B=0 3. A≠B dan B≠0

Transpose

Definisi:

Transpose mariks A adalah matriks AT _{dimana kolom-kolomnya}

adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A.

4 2 6 7

5 3 -9 7

A = AT = A’ =

4 5

2 3

6 -9

7 7

Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ……

[A

T

_]

Sifat-sifat transpose matriks

A _AT (AT)T

(AT ₎T _{= A}

1. Transpose dari A transpose adalah A:

4 2 6 7

5 3 -9 7

4 5

2 3

6 -9

7 7

4 5

2 3

6 -9

7 7

= A

Sifat-sifat transpose matriks

2. (A+B)T = _AT _{+ B}T

A+B

(A+B)

T

T

B

T

B

T

A

T

A

T

=

=

+

Sifat-sifat transpose matriks

3. (kA)T _{= k(A)} T _{untuk skalar k}

kA

(kA)

T

= k(A)

T

A

T _T

Sifat-sifat transpose matriks

4. (AB)T _{= B}T _AT

(

AB

)

T

AB

T T

A

B

T

=

Jenis Matriks Khusus

1. Matriks bujur sangkar

Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris

sama dengan banyaknya kolom

Contoh

2x2 3x3 elemen diagonal utama

0 1

2

1 -3

1

2 1

0 , 2 1

0 2

  

 

  

     

 

2. Matriks Nol

Adalah matriks yang semua elemennya nol

2x2 3x3

3. Matriks Diagonal

Adalah matriks yang semua elemen diluar diagonal utama adalah nol Contoh:





















4

0

0

0

2

0

0

0

1

























0

0

0

0

0

0

0

0

4. Matriks Identitas

Adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya semua=1 Contoh:

5. Matriks Skalar

Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama=K Contoh:

6. Matriks Segitiga Bawah

7. Matriks Segitiga Atas

Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonal utama=0

Contoh:

8. Matriks Simetris

Adalah matriks yang transfosenya sama dengan dirinya sendiri.(A=AT_).

Contoh:

9. Matriks Anti Simetris

Adalah matriks yang transfosenya adalah negatifnya. Contoh:

10. Matriks Hermitian

11. Matriks Invers

Misal A(nxn), B(nxn) dan berlaku AB=BA=I maka dikatakan B invers dari A→B=A-1 atau A invers dari B→A=B-1

Contoh:

12. Matriks Komutatif

Transformasi Elementer

Yang di maksud Transformasi Elementer pada matriks adalah operasi sbb:

1. B_ij : Pergantian baris ke i dengan baris ke j 2. K_ij : Pergantian kolom ke i dengan kolom ke j

3. Bi(λ) _{: Elemen-elemen baris ke i masing-masing dikalikan}

dengan skalar λ≠0

4. Ki(λ) _{: Elemen-elemen kolom ke j masing-masing dikalikan dengan}

skalar λ≠0

5. Bij(λ) _{: Elemen-elemen baris ke i masing-masing ditambah dengan} λ

kali baris ke j

Matriks Ekivalen

Dua matriks A dan B dikatakan ekivalen(A ~B) jika matriks yang satu dapat di peroleh dari matriks yang lain dengan transformasi baris dan atau

kolom. Contoh:

B

Matriks Eselon

Setiap matriks yang bukan matriks nol dapat dirubah

menjadi matriks eselon dengan menggunakan

“Transformasi Elementer”.

Matriks yang memenuhi bahwa elemen-elemen yang

sekolom dengan setiap elemen tidak nol terkiri

semuanya nol (kecuali elemen 1 terkirinya) disebut

Kondisi-kondisi matriks bentuk eselon baris dan eselon

baris tereduksi:

1. Elemen pertama yang tidak nol adalah 1 (satu utama)

2. Satu utama baris

berikutnya berada lebih kanan dari baris

sebelumnya

3. Baris nol berada di paling bawah

4. Elemen di atas satu utama nol semua

1 0 2 4 0 1 3 6 0 0 1 0

1 0 2 4 0 0 1 6 0 1 0 0

1 0 2 4 0 1 3 6 0 0 1 0 0 1 6 0 0 1

0 0 0 1 0 6 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0

1 0 2 4

0 0 0 0

0 1 6 0 1 0 2 4

0 1 6 0

0 0 0 0

1 0 2 4 0 3 1 6 0 0 1 0

1 0 2 4 0 0 1 6 0 0 0 1

Matriks dalam bentuk eselon baris (eb) dan

eselon baris tereduksi (ebt)

Matriks yang memenuhi kondisi 1, 2, 3 disebut matriks

berbentuk

eselon baris

.

Jika matriks memenuhi kondisi 1, 2, 3, 4, maka matriks dalam

bentuk

eselon baris tereduksi

.

*

* * * *

* *

1 utama

Sembarang nilai

Nol

*

* * *

* *

Rank Matriks

Setiap matriks dapat dijadikan matriks

eselon atau eselon tereduksi dengan

menggunakan transformasi elementer.



Tentukan rank matriks di bawah ini :