ALJABAR VEKTOR MATRIKS. oleh: Yeni Susanti

(1)

ALJABAR VEKTOR MATRIKS

oleh: Yeni Susanti

(2)

Materi

• SPL : Definisi, Solusi, SPL Nonhomogen, SPL Homogen, Matriks Augmented, Bentuk Eselon Baris (Bentuk Eselon baris Tereduksi), Eliminasi Gauss (Eliminasi Gauss-Jordan)

• Matriks : Definisi, Operasi Aljabar Matriks, Sifat-Sifat, Invers Matriks, SPL dan Matriks, Determinan, Metode Mencari Determinan, Aturan Sarrus, Aturan Cramer

• Vektor : Vektor di 𝑅² (Ruang Dimensi 2) dan 𝑅³ (Ruang Dimensi 3), Operasi Vektor dan Sifat-Sifatnya, Dot Product dan Cross Product serta Sifat-Sifatnya, Arti Geometris, Garis dan Bidang di 𝑅² dan 𝑅³, Ruang 𝑅^𝑛 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

(3)

Referensi

• Anton, H., Rorres, C., Elementary Linear Algebra:

Application Version, John Wiley and Sons, 2000

• Nicholson, W. K., Elementary Linear Algebra, Mc. Graw Hill, 2001

• Mattews, K. R

• Bersumber dari internet (keywords: elementary linear algebra exercises)

• Dll.

(4)

Penilaian

KOMPONEN NILAI

• 40% Nilai UAS (Ujian Akhir Semester)

• 40% Nilai UTS (Ujian Tengah Semester)

• 20% Tugas

• Keaktifan

Nilai Akhir = 40% Nilai UAS+ 40% Nilai UTS + 20% Tugas + Nilai Keaktifan

NILAI AKHIR : A : >80 B : 60-80 C : 40-60 D : 20-40 E : <20

(5)

Yeni Susanti

Email : inielsusan@yahoo.com yeni_math@ugm.ac.id

Website : http://acadstaff.ugm.ac.id/yeni

Kantor : Jurusan Matematika MIPA UGM (MIPA UTARA)

(6)

SPL – Sistem Persamaan Linear

CONTOH PERMASALAHAN YANG BISA DIBAWA KE MASALAH SPL

1. Di sebuah kantin, si A membeli 3 buah kue donat dan 2 botol minuman

tertentu, seharga total Rp. 10000,- dan si B membeli 2 buah kue donat dan 2 botol minuman (yang sama dengan yang dibeli si A), seharga total Rp. 8000,-.

Berapa harga sebuah kue donat dan sebotol minuman yang dibeli si A dan si B?

2. Sebuah pesawat I menempuh perjalanan 1200 km dari A ke B selama 2 jam searah arah angin saat itu. Sebuah pesawat lain dari arah berlawanan (B ke A) membutuhkan waktu 2.5 jam dengan kecepatan yang sama dengan kecepatan pesawat I. Tentukan kecepatan pesawat dan kecepatan angin saat itu!

(7)

3. Tentukan besar arus I1, I2, I3 pada rangkaian listrik berikut :

(8)

4. Tentukan titik potong 2 garis dengan persamaan : 3x+2y+5=10 dan 3x+2y=5 !

5. The admission fee at a small fair is $1.50 for children and $4.00 for adults. On a certain day, 2200 people enter the fair and $5050 is collected. How many children and how many adults attended?

(http://www.purplemath.com/modules/systprob.htm) 6. The sum of the digits of a two-digit number is 7.

When the digits are reversed, the number is increased by 27. Find the number!

(http://www.purplemath.com/modules/systprob.htm)

(9)

Contoh Persamaan Linear

• Persamaan garis dalam ruang dimensi 2 misal 2x+3y-10=0

• Persamaan bidang dalam ruang dimensi 3 misal 2x+4y-7=10

• Persamaan : 3x=5

• Persamaan : -2a+10b+7c=0

(10)

Bentuk Umum Persamaan Linear

Persamaan linear dalam n variabel (unknown, anu) 𝑥

₁

, 𝑥

₂

, … , 𝑥

_𝑛

secara umum berbentuk : 𝑎

₁

𝑥

₁

+ 𝑎

₂

𝑥

₂

+ ⋯ + 𝑎

_𝑛

𝑥

_𝑛

= 𝑏

dengan 𝑎

₁

, 𝑎

₂

, … , 𝑎

_𝑛

adalah bilangan-bilangan

real.

(11)

Solusi Persamaan Linear

Solusi persamaan linear 𝑎₁𝑥₁ + 𝑎₂ 𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏 adalah barisan bilangan-bilangan 𝑠₁, 𝑠₂, … , 𝑠_𝑛 yang

memenuhi persamaan 𝑎₁𝑥₁ + 𝑎₂ 𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏 ketika disubstitusikan 𝑥₁ = 𝑠₁, 𝑥₂ = 𝑠₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑠_𝑛

Contoh :

Tentukan semua solusi persamaan linear 2x+4y=10 !

(12)

Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear (SPL)

Himpunan berhingga persamaan-persamaan linear dalam variabel 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 disebut SPL

Bentuk Umum SPL dalam m persamaan dan n variabel 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 :

𝑎₁₁𝑥₁ + 𝑎₁₂ 𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_1𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₁ 𝑎₂₁𝑥₁ + 𝑎₂₂ 𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_2𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₂ ⋮

𝑎_𝑚1𝑥₁ + 𝑎_𝑚2 𝑥₂ + ⋯ + 𝑎_𝑚𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏_𝑚

Solusi SPL dalam variabel 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 adalah barisan bilangan- bilangan 𝑠₁, 𝑠₂, … , 𝑠_𝑛 yang memenuhi semua persamaan dalam SPL ketika disubstitusikan 𝑥₁ = 𝑠₁, 𝑥₂ = 𝑠₂, … , 𝑥_𝑛 = 𝑠_𝑛

(13)

Latihan

Formulasikan SPL pada contoh di awal !!

(14)

Eksistensi Solusi SPL

Apakah SPL selalu mempunyai solusi ?

(15)

Perhatikan Gambar Berikut :

Sumber gambar : http://www.solitaryroad.com/c630.html

(16)

Perhatikan Gambar Berikut

sumber gambar : http://geomalgorithms.com/a05-_intersect-1.html

(17)

EKSISTENSI SOLUSI SPL

•

SPL MEMPUNYAI SOLUSI (SOLUSI ADA) -> SPL dikatakan KONSISTEN

 SOLUSI TUNGGAL

 SOLUSI TAK BERHINGGA BANYAK

• SPL TIDAK MEMPUNYAI SOLUSI (SOLUSI TIDAK ADA)

-> SPL dikatakan INKONSISTEN

(18)

Menyelesaikan SPL= Mencari Solusi SPL

• Metode apa yang selama ini Anda pakai ?

• Menurut Anda metode yang Anda pakai mempunyai kelemahan atau tidak?

• METODE ALTERNATIF ??

(19)

Dari SPL ke Augmented Matrix

SPL : 𝑎

₁₁

𝑥

₁

+ 𝑎

₁₂

𝑥

₂

+ ⋯ + 𝑎

_1𝑛

𝑥

_𝑛

= 𝑏

₁

𝑎

₂₁

𝑥

₁

+ 𝑎

₂₂

𝑥

₂

+ ⋯ + 𝑎

_2𝑛

𝑥

_𝑛

= 𝑏

₂

⋮

𝑎

_𝑚1

𝑥

₁

+ 𝑎

_𝑚2

𝑥

₂

+ ⋯ + 𝑎

_𝑚𝑛

𝑥

_𝑛

= 𝑏

_𝑚

Disajikan dalam bentuk matriks

“Augmented Matrix”

(20)

Contoh :

• SPL dalam 3 persamaan dan 3 variabel 𝑥₁, 𝑥₂ dan 𝑥₃ dan augmented matrix-nya sbb :

(21)

Selanjutnya apa yang harus kita lakukan dengan augmented matrix?

• Augmented Matrix kita ubah menjadi matriks yang lebih sederhana

Sama artinya dengan 

• Mengubah SPL ke dalam SPL yang lebih sederhana dengan solusi yang sama dengan SPL mula-mula !!

Pertanyaan : Dengan cara apa??

(22)

OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE) :

1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta yang tidak nol

2. Menukar baris

3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris yang lain

(23)

Perhatikan Langkah Berikut :

(24)

(25)

Matriks

dikatakan ber-Bentuk Eselon Baris Tereduksi (BEBT)

Proses yang dikerjakan pada matrix sampai mendapatkan bentuk eselon baris tereduksi disebut Eliminasi Gauss Jordan

(26)

Bentuk Eselon Baris (Tereduksi)- BEB(T)

Suatu matriks dikatakan ber-Bentuk Eselon Baris (BEB) jika memenuhi tiga syarat berikut:

1. Elemen tak nol pertama dalam setiap baris (jika ada) adalah (Elemen tak nol pertama ini selanjutnya disebut “leading

one”)

2. Leading one baris yang lebih bawah, terletak lebih ke kanan dibandingkan leading one baris-baris di atasnya.

3. Baris-baris nol terkumpul di barisan terbawah.

Suatu matriks dikatakan ber-Bentuk Eselon Baris Tereduksi (BEBT) jika matriks tersebut dalam BEB dan setiap elemen (kecuali leading one) yang sekolom dengan leading one sama dengan nol.

(27)

Contoh matriks dalam BEB(T)

(28)

Contoh Matriks dalam BEB(T)

(29)

Eliminasi GAUSS-(JORDAN)

• Proses mendapatkan BEB 

disebut Eliminasi Gauss

• Proses mendapatkan BEBT 

disebut Eliminasi Gauss-Jordan

(30)

Langkah Eliminasi Gauss

1. Kumpulkan baris nol (jika ada) ke barisan bawah, dengan cara menukar baris (OBE 2)

2. Pastikan : posisi elemen tak nol pertama pada baris yang lebih atas berada lebih ke kiri atau minimal sekolom dengan elemen tak nol pertama pada baris-baris yang lebih bawah.

Gunakan OBE 2 (menukar baris) bila perlu.

3. Jadikan elemen tak nol pertama dalam baris pertama menjadi leading one. Jika elemen tak nol pertama dalam baris tersebut tidak sama dengan 1, gunakan OBE 1

(mengalikan suatu baris dengan konstanta yang tidak nol).

(31)

Eliminasi Gauss-Jordan

4. Nol-kan semua elemen di bawah leading one.

5. Kerjakan langkah 3 dan 4 untuk semua baris tidak nol.

Sampai di sini akan diperoleh BEB

6. Nol-kan semua elemen (selain leading one) yang sekolom dengan leading one.

Sampai di sini akan diperoleh BEBT.

(32)

Contoh Eliminasi Gauss -Jordan

http://www.algebra.com/algebra/homework/Matrices-and-determiminant/Matrices-and- determiminant.faq.question.190355.html

(33)

Menentukan solusi SPL yang augmented matrix-nya dalam BEB (BEBT)

http://marcelita2789.blogspot.com/2010/07/gauss-jordan-method.html

(34)

Selesaikan SPL berikut dengan Eliminasi Gauss-Jordan

Jawab:

Bentuk augmented matrix :

(35)

BEB :

Dengan BACK-SUBSTITUTION diperoleh : w=0

y-z+w=0  y-z=0  y=z x+y-z+w=0  x=0

SOLUSI :

dengan s bilangan real sebarang.

(36)

BEBT :

SOLUSI :

^𝑥 = 0 𝑦 − 𝑧 = 0 → 𝑦 = 𝑧 𝑤 = 0

atau

dengan s bilangan real sebarang.

____________________________________________________

CATATAN :

leading one  leading variable non-leading variable  variabel bebas

(37)

Latihan :

Tentukan Solusi SPL dalam variabel p, q, r, s

jika BEB augmented matrix SPL tsb adalah :

(38)

Tentukan Solusi SPL dalam variabel p, q, r, s jika BEB augmented matrix SPL tsb adalah :

JAWAB :

𝑠 = 3

𝑞 − 𝑟 = 2  𝑞 = 𝑟 + 2

𝑝 + 2𝑞 − 𝑠 = 1  𝑝 = 1 − 2𝑞 + 𝑠

= 1 − 2 𝑟 + 2 + 3 = −2𝑟

atau

(39)

Bagaimana jika BEB tersebut dieliminasi lagi hingga dalam BEBT?

Tambahkan -2 kali baris kedua ke baris pertama (RI + (-2) RII), diperoleh :

Tambahkan baris ketiga ke baris pertama (RI + RIII), diperoleh :

SOLUSI :

(40)

SOAL-SOAL LATIHAN

Selesaikanlah SPL berikut dengan menggunakan metode Gauss atau Metode Gauss-Jordan