Matriks dan transformasi linier kelas

(1)

Matriks dan Transformasi

Linier

(2)

Vektor

• _Definisi:

Vektor adalah besaran yang mempunyai arah dan besar, contoh: kecepatan, gaya, percepatan.

● ●

besar _arah

Titik awal

(3)

Operasi vektor dalam bidang

 _{Operasi penjumlahan dua vektor}

• Definisi:

Jika a dan b dua vektor dengan titik awal yang sama, maka jumlah a dan b ( a + b ) adalah vektor yang

merupakan diagonal jajaran genjang .

a

b

(4)

Sifat penjumlahan vektor

komutatif) (hukum

. dari invers

adalah b

maka 0, assosiatif ).(Hukum

c

 _{Operasi perkalian vektor dengan bil riel}

(5)

b

maka ,

(6)

Definisi:

Jika ,...a_n 3

a , 2 a , 1

a _{adalah vektor-vektor}

di R²(atau di ), maka:

dinamakan kombinasi linier dari

3

R α₁a₁α₂a₂...α_na_n

n a , ,... 3

a , 2 a , 1 a

 Panjang Vektor (Norm)

(7)

 _{Sudut antara dua vektor}

Sudut θ antara dua vektor di R², jika memenuhi persamaan berikut:

, dengan

y dan x

y

x

y

x

cosθ











n

1 i

x

i

y

i

y

(8)

 _{Perkalian Silang}

Definisi:

Jika 2 vektor di , maka:

b dan

a R3 maka

k

(9)

j

k j

panjangnya 1 unit dan searah sumbu y

panjangnya 1 unit dan searah sumbu z

x y

z

k

i

(10)

• _{Jarak dua titik yang berada pada dua ujung}

vektor

Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan: 2

) a , a , a (

A ₁ ₂ ₃ )

b , b , b (

B ₁ ₂ ₃

x y

(11)

_{Bergantung Linier dan Bebas Linier}

Vektor- vektor : , apabila

dengan tidak semua berharga nol, maka vektor disebut bergantung linier, sedangkan apabila

semua berharga nol maka vektor disebut bebas linier.

n a ..., ,...

3 a , 2 a , 1 a

0 n

1

iαiai i

α

(12)

 _{Vektor pembentuk ruang vektor}

Definisi:

suatu himpunan vektor-vektor

disebut sistem pembentuk ruang vektor V, ditulis V= bila setiap

dapat ditulis sbg kombinasi linier dari {u₁,u₂,...,u_m} }

u ,..., u

, u {

L ₁ ₂ _m

} u ,..., u

, u

{ ₁ ₂ _m

(13)

• _{Dimensi dan Basis}

 _Dimensi

Definisi:

suatu vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat diketemukan suatu himpunan n vektor-vektor V yang bebas linier

(14)

 _Basis

Definisi:

(15)

MATRIKS

Definisi:

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang

disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom.

        

 

        

 

mn a

... m2

a m1

a ... ... 2n

a ... 22

a 21

a 1n

a ... 12

a 11 a

(16)

 _{Operasi Matriks}

1. Operasi Kesamaan

Dua matriks A dan B disebut sama, jika: a) A dan B sejenis

b) Setiap unsur yang seletak sama.

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

   

 

 



1 3 2 1 C

, 1 3 2 1 B

, 1 3 2 1 A

(17)

2. Penjumlahan dua matriks Definisi:

Jumlah dua matriks A dan B yang sejenis adalah sebuah matriks C yang sejenis pula dengan

(18)

Sifat-sifat penjumlahan: _{Komutatif : A + B = B + A}

_{Assosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C}

3. Perkalian dengan skalar ( )

Perkalian sebuah matriks dengan skalar ( ) maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan

dengan skalar ( ).

, maka A = .  _a 



(19)

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar 1. (A + B) = A + B

2. ( + β ) A = A + β A 3. (β A) = β A



(20)

4. Perkalian dua matriks

Definisi:

Dua matriks A (m x n), dan B (p x q) didefinisikan hasil kalinya, jika n = p , maka hasilkali adalah

matriks C (m x q) dengan unsur-unsur:









n

1 k

a

ik

b

kj

ij

c

nj

b

in

a

...

j

3 b

3 i

a

j

2 b

2 i

a

j

1 b

1 i

a

ij

(21)

Catatan:

• Perkalian 2 matriks AB dapat didefinisikan, jika banyaknya kolom matriks A = banyaknya baris matriks B.

• Hasil kali dua matriks AB adalah suatu matriks

dengan banyaknya baris = banyaknya baris matriks A

dan banyaknya kolom = banyaknya kolom matriks B. • Pada umumnya AB ≠ BA

Contoh:





, C



20



4 3 2 B

, 3 2

1

A    

      

    

(22)

i

terdefinis

(23)

 _{Macam-macam matriks}

1. Matriks bujursangkar

Definisi: matriks bujursangkar adalah matriks dimana banyaknya baris = banyaknya kolom

2. Matrik satuan/ matriks identitas

• _{Matriks bujur sangkar}

• _{Setiap unsurnya nol, kecuali didiagonal utama = 1} 

 

  

   

  

 

  

9 5

4

1 0

0

5 3

2 B

, 10 5

3 2

(24)

Contoh :

  

 

  

   

  

  

1 0

0

0 1

0

0 0

1 3

I , 1 0

0 1

2 I

A.I = I.A I.I = I

3. Matriks segitiga

(25)

Contoh :

   

   

 

  

  

8 7

0 1

B , 9 0

0

7 4

0

3 2

1 A

4. Matriks Tranpose

• Tidak perlu bujursangkar

(26)

Contoh :

















1

7

2

0

5

4 B

~

,

1

0

7

5

2

4 B

3

2

1 A

~

,

3

(27)

Sifat-sifat matriks transfose

T T

T T T

T T

T

A

B

4.(AB)

A

)

(A

3. A

)

2.(A

B

A

B)

1.(A









(28)

(29)

5. Matriks simetris

Matriks A disebut simetris apabila • Matriks Bujur sangkar

Contoh

A~ A 



8

7

0

7

3

2

0

2

1

3

2

1

(30)

6. Matriks skew simetris

Matriks A disebut matriks skew simetri jika • Bujur sangkar

Contoh

A~ A 









7

0

2

0

2

0 ,

0

2

(31)

Matriks Skew simetris , maka

Untuk I = j maka

Jadi diagonal utama matriks skew simetris = 0

A~ A 

ji

a

ij

a





ii

a

ii

a





_

₀

(32)

7. Matriks Diagonal

• _{Matriks bujursangkar}

• Semua unsur nol, kecuali didiagonal utama



5

0

3

0

(33)

9. Matriks Nol

• Tidak perlu matriks bujur sangkar • Semua unsurnya nol









0

A.0 = 0 A + 0 = A

(34)

Dalil:

Sembarang matriks bujur sangkar dapat ditulis

 AxB

(35)

























simetris skew

Q

simetris P

(36)



(37)

(38)

Transformasi (operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Matriks

Transformasi Elamenter pada matriks adalah:

 _{Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan}

baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H (A)

 _{Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i}

dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K (A)

 _{Memperkalikan baris ke i dengan skalar ≠ 0, ditulis}

H (A)

 _{Memperkalikan kolom ke i dengan ≠ 0, ditulis K (A)} 

ij

i )

(

(39)

 Menambah kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis K (A)

Kadang untuk operasi (1) dan (3) dapat dilakukan dalam satu langkah : Menambah kali baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis H (A)

Demikian pula untuk untuk operasi (2) dan (4)

Bila menggunakan operasi baris maka disebut operasi baris elementer (OBE)



) (



ij

1



2 i )

(₁

(40)

Contoh:

tersebut. B

Carilah .

elementer si

transforma sederetan

dihasilkan yang

B matrik carilah

(41)

Invers Suatu Transformasi Linier

Jika suatu transformasi elementer adalah: • A = H (B) = H (B)

• A = K (B) = K (B)

• A = H (B) = H (B)

• A = K (B) = K (B)

• A = H (B) = H (B) A = K (B) = K (B)

) (

ij ij

ij -1

ij

i

-1

i

1/

-1

i

) ( -1

i1/

)

( -1 ( )

ij

) ( -1

(42)

2 .Carilah K turut

-berturut elementer

si transforma

sederetan dengan

A dari

diperoleh ,

(43)

Penggunaan OBE

•_{Mencari Rank Matriks}

Adalah jumlah maksimum baris/kolom yang bebas linier ( tidak semua unsur dalam suatu baris/kolom nol)

• Mecari invers matriks

( A:I ) ( I:A )-1

(44)

Contoh

dari matriks

rank 1.Cari

(45)

2. Carilah invers dari matriks

bentuk

(46)