SISTEM
PERSAMAAN
LINIER DAN
MATRIKS
Departemen Matematika Fakultas Matematikadan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia
Sub-Capaian Pembelajaran Mata Kuliah
Mampu menghitung penyelesaian sistem persamaan
linier dengan metode eliminasi Gauss dan metode
Eliminasi Gauss
3
Pendahuluan
• Pada bagian ini kita akan mempelajari langkah-langkah sistematis untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.
• Langkah ini berdasarkan ide menjalankan operasi tertentu pada matriks diperbesar sehingga diperoleh bentuk sederhana untuk mendapatkan solusi dengan memeriksa matriks diperbesar yang berada dalam bentuk sederhana.
Materi
5
01
Bentuk Eselon Baris Metode Eliminasi• Eliminasi Gauss
• Eliminasi Gauss Jordan
02
03
Substitusi BalikBentuk Eselon
Matriks yang memiliki sifat berikut disebut dalam bentuk
eselon baris tereduksi
1) Jika baris tak seluruhnya terdiri dari nol, maka bilangan tak nol pertama di baris tersebut adalah 1, disebut
1 utama
2) Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka dikelompokkan di bawah matriks
3) Dalam hal ada dua baris yang tak seluruhnya nol, maka 1 utama baris yang di bawah harus terletak lebih kanan dari 1 utama baris di atasnya
4) Setiap kolom yang memuat 1 utama memiliki nol untuk entri yang lainnya
Contoh
Eselon Baris dan Eselon Baris Tereduksi
1 0
0
4
0 1
0
7
0 0
1 −1
,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
0 1 −2 0
0
0
0
1
0 0
0
0
0
0
0
0
,
1 0
0 1
1 4
−3 7
0 1
6
2
0 0
1
5
,
1 1 0
0 1
0
0 0 0
,
0 1 2
0 0 1
0 0 0
Eselon Baris Tereduksi Eselon Baris
Solusi Persamaan Linier
Jika, dengan operasi baris elementer, matriks
diperbesar sistem linier berada dalam bentuk
eselon baris tereduksi, maka solusi dapat
diperoleh dengan memeriksa atau
Contoh 1
Sistem Linier dengan Solusi Tunggal
9
Misalkan matriks diperbesar dari sistem linier dengan variabel
𝑥1, 𝑥2 dan 𝑥3 telah dalam bentuk eselon baris tereduksi,
1 0 0 5
0 1 0 −2
0 0 1 −4
. Sistem persamaan linier yang berhubungan adalah
𝑥1 = 5
𝑥2 = −2
𝑥3 = −4
.
Maka solusi sistem adalah tunggal, yaitu 𝑥1 = 5, 𝑥2 = −2 dan
Contoh 2
Sistem Linier dengan Solusi Tak Hingga
Misalkan matriks diperbesar dari sistem linier dengan variabel 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 dan 𝑥4 telah dalam bentuk eselon baris tereduksi,
1 0 0 4 −1
0 1 0 2 6
0 0 1 3 2
Karena 1 utama berhubungan dengan variabel 𝑥1, 𝑥2, dan 𝑥3, maka disebut variabel ini disebut variabel utama. Sisanya, yaitu 𝑥4, disebut variabel bebas.
Contoh 2 (Lanjutan)
Sistem Linier dengan Solusi Tak Hingga
11
1 0 0 4 −1
0 1 0 2 6
0 0 1 3 2
Selesaikan persamaan untuk variabel utama dalam variabel bebas, diperoleh
𝑥1 = −4𝑥4 − 1 𝑥2 = −2𝑥4 + 6 𝑥3 = −3𝑥4 + 2
.
Variabel 𝑥4 dipandang sebagai parameter dan kita berikan sembarang nilai 𝑡, yang akan menentukan nilai 𝑥1, 𝑥2, dan 𝑥3. Maka, himpunan solusi dapat dinyatakan sebagai persamaan parametrik,
𝑥1 = −4𝑡 − 1 𝑥2 = −2𝑡 + 6 𝑥3 = −3𝑡 + 2
𝑥4 = 𝑡
Definisi Solusi Umum
Jika sistem linier memiliki tak hingga
banyaknya solusi, maka himpunan persamaan
parametrik dimana semua solusi dapat
diperoleh dengan menentukan nilai numerik
pada parameternya disebut
solusi umum
dari
Contoh 3
Sistem Linier Tak Konsisten (Tidak Memiliki Solusi)
13
Misalkan matriks diperbesar dari sistem linier dengan variabel
𝑥
1, 𝑥
2,
dan
𝑥
3telah dalam bentuk eselon baris tereduksi,
1 0 0
4
0 1 0
3
0 0 0
5
Baris terakhir matriks berhubungan dengan persamaan
0𝑥
1+ 0𝑥
2+ 0𝑥
3= 5
Karena persamaan ini tak dipenuhi oleh sembarang nilai
𝑥
1, 𝑥
2,
dan
𝑥
3,
maka sistem tak memiliki solusi atau tak konsisten.
15
Sistem Linier Matriks Diperbesar Metode Eliminasi dengan Operasi Baris Elementer Matriks Eselon/Eselon Baris Tereduksi Solusi sistem linier
Alur Penyelesaian Sistem Linier dengan
Metode Eliminasi
Contoh 4
Penyelesaian Sistem Linier dengan Metode Eliminasi
Diberikan sistem linier sebagai berikut
−2𝑥
3+7𝑥
5= 12
2𝑥
1+4𝑥
2−10𝑥
3+6𝑥
4+12 𝑥
5= 28
2𝑥
1+4𝑥
2−5𝑥
3+6𝑥
4−5𝑥
5= −1
Langkah 1
Mengubah Sistem Linier
Menjadi Matriks Diperbesar
−2𝑥
3+7𝑥
5= 12
2𝑥
1+4𝑥
2−10𝑥
3+6𝑥
4+12 𝑥
5= 28
2𝑥
1+4𝑥
2−5𝑥
3+6𝑥
4−5𝑥
5= −1
170 0
−2
0
7
12
2 4 −10 6
12
28
2 4
−5
6 −5 −1
Langkah 2
Metode Eliminasi dengan
Operasi Baris Elementer
Step 1. Tentukan kolom paling kiri yang tak semuanya nol.
0 0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1
Step 2. Pertukarkan baris paling atas dengan baris lain, untuk membawa entri tak nol ke paling atas dari kolom yang diperoleh dari Step 1.
2 4 −10 6 12 28
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1
Kolom tak nol paling kiri
Baris pertama dan kedua dari matriks dipertukarkan
Langkah 2 (2)
Metode Eliminasi dengan
Operasi Baris Elementer
19
Step 3. Jika entri paling atas pada kolom dari Step 1 adalah
𝑎, kalikan dengan 1Τ𝑎 untuk mendapatkan 1 utama
1 2 −5 3 6 14 0 0 −2 0 7 12 2 4 −5 6 −5 −1
Step 4. Tambahkan perkalian yg sesuai dari baris paling atas ke baris di bawahnya sehingga seluruh entri di bawah 1
utama bernilai 0
1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
0 0 5 0 −17 −29
Baris pertama dari matriks sebelumnya dikalikan 1
2
-2 kali baris pertama dari matriks sebelumnya di tambahkan ke baris 3
Langkah 2 (3)
Metode Eliminasi dengan
Operasi Baris Elementer
Step 5.
Tutuplah baris paling atas dan kemudian
mulailah lagi Step 1 yang diterapkan pada submatriks
yang tersisa. Lanjutkan langkah ini hingga seluruh
matriks dalam bentuk eselon baris.
Setelah Step 5, diperoleh matriks berbentuk
eselon
baris
21 1 2 −5 3 6 14 0 0 1 0 − 7 2 −6 0 0 0 0 1 2 1
Baris kedua dari submatriks ditambahkan dengan -5 kali baris satu submatriks agar menghasilkan 0 di bawah satu utama
Kolom tak nol paling kiri
1 2 −5 3 6 14 0 0 −2 0 7 12 0 0 5 0 −17 −29
Baris pertama submatriks dikalikan dengan− 1
2 untuk
menghasilkan satu utama
1 2 −5 3 6 14 0 0 1 0 − 7 2 −6 0 0 5 0 −17 −29 1 2 −5 3 6 14 0 0 1 0 − 7 2 −6 0 0 0 0 1 2 1 2 −5 3 6 14 0 0 1 0 − 7 2 −6 0 0 0 0 1 2 1 Baris pertama submatriks ditutup, Kembali ke step satu
Kolom tak nol paling kiri
Baris pertama (dan satu-satunya) dari submatriks baru dikalikan dengan 2 untuk menghasilkan satu utama
Langkah 2 (4)
Metode Eliminasi dengan
Operasi Baris Elementer
•
Step 6.
mulailah dengan baris tak nol terbawah
dan lakukan ke atas, tambahkan perkalian yang
sesuai dengan setiap baris di atasnya untuk
mendapatkan nol di atas 1 utama
•
Setelah Step 6, diperoleh matriks berbentuk
Langkah 2 (5)
Metode Eliminasi dengan
Operasi Baris Elementer
23
1 2
−5
3
6
14
0 0
1
0 −
7 2−6
0 0
0
0
1
2
1 2 −5 3 0 2
0 0
1
0
0 1
0 0
0
0 1 2
1 2 0 3 0 7
0 0
1
0 0
1
0 0
0
0 1
2
7 2 𝑏3 + 𝑏2 −6𝑏3 + 𝑏1 5𝑏2 + 𝑏1Langkah 3
Solusi Sistem Linier dari
Matriks Eselon Baris
Tereduksi
1 2 0 3 0 7 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 𝑥1 +2𝑥2 +3𝑥4 = 7 𝑥3 = 1 𝑥5 = 2 𝑥5 = 2 𝑥3 = 1 𝑥1 = 7 −2𝑥2 −3𝑥4• Misalkan 𝑥2 = 𝑡 dan 𝑥4 = 𝑠, maka solusi sistem adalah 𝑥1 = 7 − 2𝑡 − 3𝑠, 𝑥2 = 𝑡 dan 𝑥4 = 𝑠 untuk 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ
Eliminasi Gaus
Jordan dan
Eliminasi Gauss
✓Prosedur yang baru dilakukan pada Contoh 4adalah mereduksi matriks hingga bentuk eselon baris tereduksi. Prosedur atau algoritma ini disebut eliminasi Gauss-Jordan.
✓Algoritma eliminasi Gauss Jordan terdiri dari dua
tahap yaitu:
❖Tahap maju : tahap saat menolkan entri di
bawah 1 utama
❖Tahap mundur : tahap saat menolkan entri di
atas 1 utama
✓Jika hanya tahap maju saja yang dilakukan, maka algoritma menghasilkan bentuk eselon baris dan
Penyelesaian sistem linier dengan eliminasi Gauss dilanjutkan dengan
substitusi-balik
Eliminasi Gauss dan Substitusi
Balik
27
Lakukan eliminasi Gauss
Diperoleh matriks eselon baris
Solusi SPL
Contoh 5
Substitusi Balik
Perhatikan bentuk eselon baris dari matriks diperbesar
berikut,
1
−2 1
0 3
8
0
0
1
2 2
2
0
0
0
1 0
1
Untuk menyelesaikan sistem linier yang berkaitan
𝑥
1−
2𝑥
2+
𝑥
3+
3𝑥
5= 8
+
𝑥
3+
2𝑥
4+
2𝑥
5= 2
𝑥
4= 1
Contoh 5 (Lanjutan)
Substitusi Balik
29
• Langkah 1. Selesaikan persamaan untuk variabel utamanya
𝑥1 = 8 + 2𝑥2 − 𝑥3 − 3𝑥5 𝑥3 = 2 − 2𝑥4 − 2𝑥5
𝑥4 = 1
• Langkah 2. Mulai dengan persamaan paling bawah kemudian bekerja ke atas, substitusi secara beurutan ke persamaan di atasnya.
Substitusi 𝑥4 = 1 ke persamaan kedua, maka diperoleh
𝑥1 = 8 + 2𝑥2 − 𝑥3 − 3𝑥5
𝑥3 = −2𝑥5
𝑥4 = 1
Substitusi 𝑥3 = −2𝑥5 ke persamaan pertama, maka diperoleh
𝑥1 = 8 + 2𝑥2 − 𝑥5
𝑥3 = −2𝑥5
𝑥4 = 1
• Langkah 3. Berikan sembarang nilai untuk variabel bebas, bila ada.
Berikan sembarang nilai ke variabel bebas 𝑥2 dan 𝑥5 , misalkan 𝑥2 = 𝑠 dan 𝑥5 = 𝑡 maka solusi umum sistem linier adalah
Sistem Persamaan
Linier Homogen
Sistem persamaan linier dikatakan homogen apabila suku tetap semuanya nol, yaitu
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + … + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + … + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0
Sistem linier homogen selalu konsisten karena
𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0, … , 𝑥𝑛 = 0 adalah solusi.
Suku tetap semuanya nol. Sistem ini selalu konsisten
Solusi Sistem Persamaan Linier
31 Solusi Sistem Homogen Solusi trivial/ Solusi nolSolusi tak trivial
Solusi tunggal
Solusi tak hingga Karena sistem linier homogen selalu memiliki solusi trivial, maka