• Tidak ada hasil yang ditemukan

SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MATRIKS

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN MATRIKS"

Copied!
32
0
0

Teks penuh

(1)

SISTEM

PERSAMAAN

LINIER DAN

MATRIKS

Departemen Matematika Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia

(2)

Sub-Capaian Pembelajaran Mata Kuliah

Mampu menghitung penyelesaian sistem persamaan

linier dengan metode eliminasi Gauss dan metode

(3)

Eliminasi Gauss

3

(4)

Pendahuluan

• Pada bagian ini kita akan mempelajari langkah-langkah sistematis untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.

• Langkah ini berdasarkan ide menjalankan operasi tertentu pada matriks diperbesar sehingga diperoleh bentuk sederhana untuk mendapatkan solusi dengan memeriksa matriks diperbesar yang berada dalam bentuk sederhana.

(5)

Materi

5

01

Bentuk Eselon Baris Metode Eliminasi

• Eliminasi Gauss

• Eliminasi Gauss Jordan

02

03

Substitusi Balik

(6)

Bentuk Eselon

Matriks yang memiliki sifat berikut disebut dalam bentuk

eselon baris tereduksi

1) Jika baris tak seluruhnya terdiri dari nol, maka bilangan tak nol pertama di baris tersebut adalah 1, disebut

1 utama

2) Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka dikelompokkan di bawah matriks

3) Dalam hal ada dua baris yang tak seluruhnya nol, maka 1 utama baris yang di bawah harus terletak lebih kanan dari 1 utama baris di atasnya

4) Setiap kolom yang memuat 1 utama memiliki nol untuk entri yang lainnya

(7)

Contoh

Eselon Baris dan Eselon Baris Tereduksi

1 0

0

4

0 1

0

7

0 0

1 −1

,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

,

0 1 −2 0

0

0

0

1

0 0

0

0

0

0

0

0

,

1 0

0 1

1 4

−3 7

0 1

6

2

0 0

1

5

,

1 1 0

0 1

0

0 0 0

,

0 1 2

0 0 1

0 0 0

Eselon Baris Tereduksi Eselon Baris

(8)

Solusi Persamaan Linier

Jika, dengan operasi baris elementer, matriks

diperbesar sistem linier berada dalam bentuk

eselon baris tereduksi, maka solusi dapat

diperoleh dengan memeriksa atau

(9)

Contoh 1

Sistem Linier dengan Solusi Tunggal

9

Misalkan matriks diperbesar dari sistem linier dengan variabel

𝑥1, 𝑥2 dan 𝑥3 telah dalam bentuk eselon baris tereduksi,

1 0 0 5

0 1 0 −2

0 0 1 −4

. Sistem persamaan linier yang berhubungan adalah

𝑥1 = 5

𝑥2 = −2

𝑥3 = −4

.

Maka solusi sistem adalah tunggal, yaitu 𝑥1 = 5, 𝑥2 = −2 dan

(10)

Contoh 2

Sistem Linier dengan Solusi Tak Hingga

Misalkan matriks diperbesar dari sistem linier dengan variabel 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 dan 𝑥4 telah dalam bentuk eselon baris tereduksi,

1 0 0 4 −1

0 1 0 2 6

0 0 1 3 2

Karena 1 utama berhubungan dengan variabel 𝑥1, 𝑥2, dan 𝑥3, maka disebut variabel ini disebut variabel utama. Sisanya, yaitu 𝑥4, disebut variabel bebas.

(11)

Contoh 2 (Lanjutan)

Sistem Linier dengan Solusi Tak Hingga

11

1 0 0 4 −1

0 1 0 2 6

0 0 1 3 2

Selesaikan persamaan untuk variabel utama dalam variabel bebas, diperoleh

𝑥1 = −4𝑥4 − 1 𝑥2 = −2𝑥4 + 6 𝑥3 = −3𝑥4 + 2

.

Variabel 𝑥4 dipandang sebagai parameter dan kita berikan sembarang nilai 𝑡, yang akan menentukan nilai 𝑥1, 𝑥2, dan 𝑥3. Maka, himpunan solusi dapat dinyatakan sebagai persamaan parametrik,

𝑥1 = −4𝑡 − 1 𝑥2 = −2𝑡 + 6 𝑥3 = −3𝑡 + 2

𝑥4 = 𝑡

(12)

Definisi Solusi Umum

Jika sistem linier memiliki tak hingga

banyaknya solusi, maka himpunan persamaan

parametrik dimana semua solusi dapat

diperoleh dengan menentukan nilai numerik

pada parameternya disebut

solusi umum

dari

(13)

Contoh 3

Sistem Linier Tak Konsisten (Tidak Memiliki Solusi)

13

Misalkan matriks diperbesar dari sistem linier dengan variabel

𝑥

1

, 𝑥

2

,

dan

𝑥

3

telah dalam bentuk eselon baris tereduksi,

1 0 0

4

0 1 0

3

0 0 0

5

Baris terakhir matriks berhubungan dengan persamaan

0𝑥

1

+ 0𝑥

2

+ 0𝑥

3

= 5

Karena persamaan ini tak dipenuhi oleh sembarang nilai

𝑥

1

, 𝑥

2

,

dan

𝑥

3

,

maka sistem tak memiliki solusi atau tak konsisten.

(14)
(15)

15

Sistem Linier Matriks Diperbesar Metode Eliminasi dengan Operasi Baris Elementer Matriks Eselon/Eselon Baris Tereduksi Solusi sistem linier

Alur Penyelesaian Sistem Linier dengan

Metode Eliminasi

(16)

Contoh 4

Penyelesaian Sistem Linier dengan Metode Eliminasi

Diberikan sistem linier sebagai berikut

−2𝑥

3

+7𝑥

5

= 12

2𝑥

1

+4𝑥

2

−10𝑥

3

+6𝑥

4

+12 𝑥

5

= 28

2𝑥

1

+4𝑥

2

−5𝑥

3

+6𝑥

4

−5𝑥

5

= −1

(17)

Langkah 1

Mengubah Sistem Linier

Menjadi Matriks Diperbesar

−2𝑥

3

+7𝑥

5

= 12

2𝑥

1

+4𝑥

2

−10𝑥

3

+6𝑥

4

+12 𝑥

5

= 28

2𝑥

1

+4𝑥

2

−5𝑥

3

+6𝑥

4

−5𝑥

5

= −1

17

0 0

−2

0

7

12

2 4 −10 6

12

28

2 4

−5

6 −5 −1

(18)

Langkah 2

Metode Eliminasi dengan

Operasi Baris Elementer

Step 1. Tentukan kolom paling kiri yang tak semuanya nol.

0 0 −2 0 7 12

2 4 −10 6 12 28

2 4 −5 6 −5 −1

Step 2. Pertukarkan baris paling atas dengan baris lain, untuk membawa entri tak nol ke paling atas dari kolom yang diperoleh dari Step 1.

2 4 −10 6 12 28

0 0 −2 0 7 12

2 4 −5 6 −5 −1

Kolom tak nol paling kiri

Baris pertama dan kedua dari matriks dipertukarkan

(19)

Langkah 2 (2)

Metode Eliminasi dengan

Operasi Baris Elementer

19

Step 3. Jika entri paling atas pada kolom dari Step 1 adalah

𝑎, kalikan dengan 1Τ𝑎 untuk mendapatkan 1 utama

1 2 −5 3 6 14 0 0 −2 0 7 12 2 4 −5 6 −5 −1

Step 4. Tambahkan perkalian yg sesuai dari baris paling atas ke baris di bawahnya sehingga seluruh entri di bawah 1

utama bernilai 0

1 2 −5 3 6 14

0 0 −2 0 7 12

0 0 5 0 −17 −29

Baris pertama dari matriks sebelumnya dikalikan 1

2

-2 kali baris pertama dari matriks sebelumnya di tambahkan ke baris 3

(20)

Langkah 2 (3)

Metode Eliminasi dengan

Operasi Baris Elementer

Step 5.

Tutuplah baris paling atas dan kemudian

mulailah lagi Step 1 yang diterapkan pada submatriks

yang tersisa. Lanjutkan langkah ini hingga seluruh

matriks dalam bentuk eselon baris.

Setelah Step 5, diperoleh matriks berbentuk

eselon

baris

(21)

21 1 2 −5 3 6 14 0 0 1 0 − 7 2 −6 0 0 0 0 1 2 1

Baris kedua dari submatriks ditambahkan dengan -5 kali baris satu submatriks agar menghasilkan 0 di bawah satu utama

Kolom tak nol paling kiri

1 2 −5 3 6 14 0 0 −2 0 7 12 0 0 5 0 −17 −29

Baris pertama submatriks dikalikan dengan− 1

2 untuk

menghasilkan satu utama

1 2 −5 3 6 14 0 0 1 0 − 7 2 −6 0 0 5 0 −17 −29 1 2 −5 3 6 14 0 0 1 0 − 7 2 −6 0 0 0 0 1 2 1 2 −5 3 6 14 0 0 1 0 − 7 2 −6 0 0 0 0 1 2 1 Baris pertama submatriks ditutup, Kembali ke step satu

Kolom tak nol paling kiri

Baris pertama (dan satu-satunya) dari submatriks baru dikalikan dengan 2 untuk menghasilkan satu utama

(22)

Langkah 2 (4)

Metode Eliminasi dengan

Operasi Baris Elementer

Step 6.

mulailah dengan baris tak nol terbawah

dan lakukan ke atas, tambahkan perkalian yang

sesuai dengan setiap baris di atasnya untuk

mendapatkan nol di atas 1 utama

Setelah Step 6, diperoleh matriks berbentuk

(23)

Langkah 2 (5)

Metode Eliminasi dengan

Operasi Baris Elementer

23

1 2

−5

3

6

14

0 0

1

0 −

7 2

−6

0 0

0

0

1

2

1 2 −5 3 0 2

0 0

1

0

0 1

0 0

0

0 1 2

1 2 0 3 0 7

0 0

1

0 0

1

0 0

0

0 1

2

7 2 𝑏3 + 𝑏2 −6𝑏3 + 𝑏1 5𝑏2 + 𝑏1

(24)

Langkah 3

Solusi Sistem Linier dari

Matriks Eselon Baris

Tereduksi

1 2 0 3 0 7 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 𝑥1 +2𝑥2 +3𝑥4 = 7 𝑥3 = 1 𝑥5 = 2 𝑥5 = 2 𝑥3 = 1 𝑥1 = 7 −2𝑥2 −3𝑥4

• Misalkan 𝑥2 = 𝑡 dan 𝑥4 = 𝑠, maka solusi sistem adalah 𝑥1 = 7 − 2𝑡 − 3𝑠, 𝑥2 = 𝑡 dan 𝑥4 = 𝑠 untuk 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ

(25)
(26)

Eliminasi Gaus

Jordan dan

Eliminasi Gauss

Prosedur yang baru dilakukan pada Contoh 4

adalah mereduksi matriks hingga bentuk eselon baris tereduksi. Prosedur atau algoritma ini disebut eliminasi Gauss-Jordan.

Algoritma eliminasi Gauss Jordan terdiri dari dua

tahap yaitu:

Tahap maju : tahap saat menolkan entri di

bawah 1 utama

Tahap mundur : tahap saat menolkan entri di

atas 1 utama

✓Jika hanya tahap maju saja yang dilakukan, maka algoritma menghasilkan bentuk eselon baris dan

(27)

Penyelesaian sistem linier dengan eliminasi Gauss dilanjutkan dengan

substitusi-balik

Eliminasi Gauss dan Substitusi

Balik

27

Lakukan eliminasi Gauss

Diperoleh matriks eselon baris

Solusi SPL

(28)

Contoh 5

Substitusi Balik

Perhatikan bentuk eselon baris dari matriks diperbesar

berikut,

1

−2 1

0 3

8

0

0

1

2 2

2

0

0

0

1 0

1

Untuk menyelesaikan sistem linier yang berkaitan

𝑥

1

2𝑥

2

+

𝑥

3

+

3𝑥

5

= 8

+

𝑥

3

+

2𝑥

4

+

2𝑥

5

= 2

𝑥

4

= 1

(29)

Contoh 5 (Lanjutan)

Substitusi Balik

29

Langkah 1. Selesaikan persamaan untuk variabel utamanya

𝑥1 = 8 + 2𝑥2 − 𝑥3 − 3𝑥5 𝑥3 = 2 − 2𝑥4 − 2𝑥5

𝑥4 = 1

Langkah 2. Mulai dengan persamaan paling bawah kemudian bekerja ke atas, substitusi secara beurutan ke persamaan di atasnya.

Substitusi 𝑥4 = 1 ke persamaan kedua, maka diperoleh

𝑥1 = 8 + 2𝑥2 − 𝑥3 − 3𝑥5

𝑥3 = −2𝑥5

𝑥4 = 1

Substitusi 𝑥3 = −2𝑥5 ke persamaan pertama, maka diperoleh

𝑥1 = 8 + 2𝑥2 − 𝑥5

𝑥3 = −2𝑥5

𝑥4 = 1

Langkah 3. Berikan sembarang nilai untuk variabel bebas, bila ada.

Berikan sembarang nilai ke variabel bebas 𝑥2 dan 𝑥5 , misalkan 𝑥2 = 𝑠 dan 𝑥5 = 𝑡 maka solusi umum sistem linier adalah

(30)

Sistem Persamaan

Linier Homogen

Sistem persamaan linier dikatakan homogen apabila suku tetap semuanya nol, yaitu

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + … + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + … + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + … + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0

Sistem linier homogen selalu konsisten karena

𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0, … , 𝑥𝑛 = 0 adalah solusi.

Suku tetap semuanya nol. Sistem ini selalu konsisten

(31)

Solusi Sistem Persamaan Linier

31 Solusi Sistem Homogen Solusi trivial/ Solusi nol

Solusi tak trivial

Solusi tunggal

Solusi tak hingga Karena sistem linier homogen selalu memiliki solusi trivial, maka

(32)

Beberapa Teorema untuk Sistem

Linier Homogen

TEOREMA 1.

Jika sistem linier memiliki

𝑛

variabel, dan jika bentuk eselon

baris dari matriks diperbesar

memiliki

𝑟

baris tak nol, maka

sistem memiliki

𝑛 − 𝑟

variabel bebas.

TEOREMA 2.

Sistem persamaan linier

homogen yang memiliki variabel

lebih banyak daripada

persamaan liniernya sistem

memiliki solusi tak hingga.

Referensi

Dokumen terkait

Pendekatan yang dilakukan berlandas pada teori Konsep Asta Kosala Kosali Bali, Arsitektur Gereja Kristen, dan archetypes dalam arsitektur yang dikolaborasikan dengan aspek

Operasi baris elementer (OBE) pada matriks sistem persamaan lanjar dapat digunakan sebagai kunci kriptografi.. Algoritmanya cukup mudah, yaitu hanya dengan

Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan lanjar kita harus mengolah matriks teraugmentasi dari sistem persamaan lanjar tersebut dengan Operasi Baris Elementer hingga

Suatu matriks dikatakan ber-Bentuk Eselon Baris Tereduksi (BEBT) jika matriks tersebut dalam BEB dan setiap elemen (kecuali leading one) yang sekolom dengan leading one sama

a) Lama pengeringan granul berpengaruh pada kadar air dalam granul dan tablet, dimana semakin lama pengeringan granul memberikan kadar air yang semakin kecil, waktu alir granul

Diisi dengan alamat lengkap sesuai domisili kantor pusat Badan Penyelenggara Jaminan Sosial Ketenagakerjaan. Status Pemilikan Gedung.. Diisi dengan status pemilikan gedung, yaitu

Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi

Menyatakan bahwa dalam skripsi dengan judul “ Liqueur Kayu Manis ( Cinnamomum burmanii ) Sebagai Sumber Antioksidan Pada Sorbet ” merupakan karya saya dan tidak terdapat karya