Aljabar Linier Lanjut. Kuliah 1

(1)

Aljabar Linier Lanjut

Kuliah 1

(2)

Materi Kuliah (Review)

 Multiset

 Matriks

 Polinomial

 Relasi Ekivalensi

 Kardinal Aritmatika

23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2

(3)

Multiset

Definisi

Misalkan 𝑆 himpunan tak kosong. Suatu multiset 𝑀 pada himpunan 𝑆 adalah himpunan pasangan terurut

𝑀 = 𝑠_𝑖, 𝑛_𝑖 𝑠_𝑖 ∈ 𝑆, 𝑛_𝑖 ∈ ℤ⁺, 𝑠_𝑖 ≠ 𝑠_𝑗 untuk 𝑖 ≠ 𝑗

Bilangan 𝑛_𝑖 dissebut sebagai multiplisitas dari unsur 𝑠_𝑖 di 𝑀. Jika pada himpunan dari suatu multiset adalah berhingga, dikatakan bahwa multiset adalah berhingga. Ukuran dari multiset 𝑀 adalah jumlah dari multiplisitas dari semua unsur-unsurnya.

Contoh

Misalkan 𝑀 = 𝑎, 2 , 𝑏, 3 , 𝑐, 1 adalah multiset pada himpunan 𝑆 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 . Unsur 𝑎 mempunyai multiplisitas 2, 𝑏 mempunyai multiplisitas 3, dan 𝑐 mempunyai multiplisitas 1.

Himpunan 𝑀 dapat juga ditulis dalam bentuk 𝑀 = 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏, 𝑐

(4)

Matriks

Himpunan matriks 𝑚 × 𝑛 dengan entri-entri dalam lapangan 𝐹, disimbolkan dengan ℳ_𝑚,𝑛(𝐹), yaitu:

ℳ_𝑚,𝑛 𝐹 = 𝐴 = 𝑎_𝑖𝑗 𝑖 = 1, … , 𝑚; 𝑗 = 1, … 𝑛; 𝑎_𝑖𝑗 ∈ 𝐹

Catatan:

• ℳ_𝑚,𝑛 𝐹 dapat ditulis ℳ_𝑚,𝑛 atau ℳ

• Jika 𝑚 = 𝑛 maka ditulis ℳ_𝑛,𝑛 𝐹 atau ℳ_𝑛 𝐹 atau ℳ_𝑛

• Matriks identitas berukuran 𝑛 × 𝑛 disimbolkan dengan 𝐼_𝑛

(5)

Definisi :

Misalkan 𝐴 ∈ ℳ_𝑚,𝑛(𝐹) .

Transpos dari matriks 𝐴, ditulis dengan 𝐴^𝑇 adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑚 yang didefinisikan dengan

𝐴^𝑇 = 𝑎_𝑖𝑗 ^𝑇 = 𝑎_𝑗𝑖 .

Jika 𝐴 = 𝐴^𝑇 maka matriks 𝐴 dikatakan simetri.

Jika 𝐴^𝑇 = −𝐴 maka matriks 𝐴 dikatakan skew-simetri.

(6)

Teorema 0.1 (Sifat-sifat Transpos) Misalkan 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ

_𝑚,𝑛

(𝐹), maka:

1. 𝐴

^{𝑇 𝑇}

= 𝐴

2. ^{𝐴 + 𝐵}

^𝑇

^{= 𝐴}

^𝑇

^{+ 𝐵}

^𝑇

3. 𝑟𝐴

^𝑇

= 𝑟𝐴

^𝑇

untuk semua 𝑟 ∈ 𝐹

4. 𝐴𝐵

^𝑇

= 𝐵

^𝑇

𝐴

^𝑇

( 𝐴𝐵 perkalian matriks, ingat definisinya!)

5. det 𝐴

^𝑇

= det(𝐴)

(7)

Partisi dan Perkalian Matriks

Misalkan 𝑀 matriks berukuran 𝑚 × 𝑛.

Jika 𝐵 ⊆ 1,2, … , 𝑚 dan 𝐶 ⊆ 1,2, … , 𝑛 maka submatriks 𝑀 𝐵, 𝐶 adalah matriks yang diperoleh dari 𝑀 dengan baris-baris tetap dalam indeks di 𝐵 dan kolom-kolom dengan indeks di 𝐶. Dengan demikian, baris dan kolom untuk 𝑀 𝐵, 𝐶 mempunyai ukuran 𝐵 × 𝐶

Catatan:

Perkalian matriks dapat dilakukan dengan menggunakan partisi dari suatu matriks (dengan asumsi ukuran partisi matriks dapat dilakukan perkalian matriks)

(8)

Blok Matriks

Misalkan 𝑀 matriks.

Jika 𝐵_𝑖,𝑗 adalah matriks dengan ukuran tertentu, maka blok matriks dari 𝑀 𝑀 =

𝐵_1,1 𝐵_1,2

⋮ ⋮

𝐵_𝑚,1 𝐵_𝑚,2

⋯ 𝐵_1,𝑛

⋮ ⋮

⋯ 𝐵_{𝑚,𝑛 𝑏𝑙𝑜𝑘}

Adalah matriks yang mempunyai submatriks kiri bawah adalah 𝐵_1,1 dan seterusnya. 𝐵_𝑖,𝑗 adalah submatriks dari 𝑀 dan bukan entri.

Matriks bujursangkar berbentuk

𝑀 =

𝐵₁ 0

0 ⋱ ⋯ 0

⋱ ⋮

⋮ ⋱

0 ⋯

⋱ 0

0 𝐵_{𝑛 𝑏𝑙𝑜𝑘}

Di mana setiap 𝐵_𝑖 adalah bujur sangkar dan 0 adalah submatriks nol, dan dikatakan blok matriks diagonal.

(9)

Operasi Baris Elementer

1. Baris ke-𝑖 ditukar dengan baris ke-𝑗

2. Baris ke-𝑖 dikalikan dengan suatu scalar yang tidak nol.

3. Baris ke-𝑖 ditukar dengan mengalikan dirinya dengan suatu scalar dan ditambah dengan 𝑘 kali baris ke-𝑗.

Catatan:

Matriks Elementer adalah matriks yang diperoleh dari

matriks identitas yang dilakukan operasi baris elementer

yang tunggal.

(10)

Definisi

Suatu matriks 𝑅 dikatakan bentuk eselon baris tereduksi jika:

1. Unsur pertama tak nol di setiap baris adalah 1 (yang disebut leading/utama)

2. Untuk sebarang dua baris yang berurutan, unsur utama untuk baris yang di bawahnya terletak di sebelah kanan.

3. Baris nol di 𝑅 - jika ada – adalah baris terakhir.

4. Sebarang kolom yang memuat unsur utama mempunyai unsur 0 di posisi lainnya.

(11)

Teorema 0.2

Misalkan 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ_𝑚,𝑛(𝐹). Matriks 𝐴 dikatakan ekivalen baris dengan matriks 𝐵 jika matriks 𝐵 dapat diperoleh dari matriks 𝐴 dengan operasi- operasi baris elementer. Ditulis 𝐴~𝐵.

1. Reduksi baris adalah relasi ekivalensi, yaitu a. 𝐴~𝐴

b. Jika 𝐴~𝐵, maka 𝐵~𝐴

c. Jika 𝐴~𝐵 dan 𝐵~𝐶, maka 𝐴~𝐶

2. Sebarang matriks ekivalen ke hanya satu matriks 𝑅, yaitu dalam bentuk eselon baris tereduksi. Matriks 𝑅 disebut bentuk eselon tereduksi dari matriks 𝐴. Selanjutnya diperoleh

𝐴 = 𝐸₁𝐸₂ … 𝐸_𝑘𝑅

di mana matriks 𝐸_𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑘 matriks yang mereduksi 𝐴 ke bentuk eselon baris tereduksi.

3. Matriks 𝐴 invertibel jika dan hanya jika 𝑅 matriks identitas.

(12)

Matriks segitiga

Definisi

• Suatu matriks bujur sangkar disebut matriks segitiga atas jika semua entri di bawah diagonal utama adalah 0.

• Suatu matriks bujur sangkar disebut matriks segitiga bawah jika semua entri di atas diagonal utama adalah 0.

• Suatu matriks bujur sangkar disebut matriks diagonal jika semua entri selain entri di diagonal utama adalah 0.

(13)

Teorema 0.3

Misalkan 𝐴 ∈ ℳ_𝑛(𝐹). Maka determinan dari 𝐴 (det(𝐴)) adalah unsur dari 𝐹.

1. Untuk sebarang 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ_𝑛 𝐹 , det 𝐴𝐵 = det 𝐴 det(𝐵)

2. Matriks 𝐴 nonsingular (invertibel) jika dan hanya jika det(𝐴) ≠ 0.

3. Determinan dari matriks segitiga atas atau segitiga bawah adalah hasil kali unsur-unsur di diagonal utamanya.

4. Misalkan 𝐴(𝑖, 𝑗) adalah matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 dari matriks 𝐴. Adjoint dari 𝐴 (𝑎𝑑𝑗(𝐴)) didefinisikan sebagai berikut:

𝑎𝑑𝑗(𝐴) _𝑖𝑗 = −1 ^𝑖+𝑗det(𝐴 𝑖, 𝑗 ) 5. Jika 𝐴 invertibel, maka

𝐴⁻¹ = 1

det 𝐴 𝑎𝑑𝑗(𝐴)

6. Jika 𝑀 matriks bujur sangkarnyang mempunyai bentuk blok diagonal 𝑀 =

𝐵₁ 0

0 ⋱

⋯ 0

⋱ ⋮

⋮ ⋱

0 ⋯

⋱ 0

0 𝐵_{𝑛 𝑏𝑙𝑜𝑘} Maka det 𝑀 = det(𝐵_𝑖)

(14)

Polinomial

Jika 𝐹 adalah lapangan, maka 𝐹 𝑥 adalah himpunan semua polinomial dalam varibabel 𝑥, dengan koefisien-koefisien berada dalam 𝐹.

𝐹 𝑥 = 𝑎₀ + 𝑎₁𝑥 + 𝑎₂𝑥² + ⋯ + 𝑎_𝑛−1𝑥^𝑛−1 + 𝑎_𝑛𝑥^𝑛 𝑎_𝑖 ∈ 𝐹

Jika 𝑝 𝑥 = 𝑎₀ + 𝑎₁𝑥 + 𝑎₂𝑥² + ⋯ + 𝑎_𝑛−1𝑥^𝑛−1 + 𝑎_𝑛𝑥^𝑛 adalah

polinomial dengan 𝑎_𝑛 ≠ 0, maka 𝑎_𝑛 disebut koefisien utama dari 𝑝(𝑥) dan derajat 𝑝(𝑥) (ditulis deg(𝑝 𝑥 ) adalah 𝑛.

Jika koefisien utama dari 𝑝 𝑥 adalah 1, maka polinomial 𝑝(𝑥) disebut monik.

(15)

Fungsi

Definisi

Misalkan 𝑓 fungsi dari himpunan 𝑆 ke himpunan 𝑇, ditulis 𝑓: 𝑆 → 𝑇, maka:

1. Domain dari 𝑓 adalah 𝑆

2. Image atau range dari 𝑓, ditulis 𝐼𝑚(𝑓) adalah himpunan 𝐼𝑚 𝑓 = 𝑓(𝑠) 𝑠 ∈ 𝑆

3. Fungsi 𝑓 dikatakan injektif (satu-satu), jika 𝑥 ≠ 𝑦, maka 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦).

4. Fungsi 𝑓 dikatakan surjektif (onto atau pada), 𝐼𝑚 𝑓 = 𝑇.

5. Fungsi 𝑓 dikatakan bijektif (korespondensi satu-satu) jika 𝑓 injektif dan surjektif.

6. Asumsikan bahwa 0 ∈ 𝑇, support dari 𝑓 adalah 𝑠𝑢𝑝𝑝 𝑓 = 𝑠 ∈ 𝑆 𝑓(𝑠) ≠ 0

(16)

Relasi Ekivalensi

Definisi

Misalkan 𝑆 himpunan tak kosong. Relasi biner ~ pada 𝑆 disebut relasi ekivalensi pada 𝑆 jika memenuhi:

1. Refleksif; 𝑎~𝑎 untuk semua 𝑎 ∈ 𝑆.

2. Simetri; jika 𝑎~𝑏 maka 𝑏~𝑎 untuk semua 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆.

3. Transitif; jika 𝑎~𝑏 dan 𝑏~𝑐 maka 𝑎~𝑐 untuk semua 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆.

Definisi

Misalkan ~ relasi ekivalensi pada 𝑆. Untuk 𝑎 ∈ 𝑆, himpunan 𝑎 = 𝑏 ∈ 𝑆 𝑏~𝑎

Disebut kelas ekivalensi dari 𝑎.

(17)

Teorema 0.8

Misalkan ~ relasi ekivalensi pada 𝑆. Maka:

1. 𝑏 ∈ 𝑎 jika dan hanya jika 𝑎 ∈ 𝑎 jika dan hanya jika 𝑎 = 𝑏 .

2. Untuk sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆, diperoleh

𝑎 = 𝑏 atau 𝑎 ∩ 𝑏 ≠ ∅.

(18)

Definisi

Misalkan 𝑆 himpunan tak kosong. Suatu partisi dari 𝑆 adalah koleksi himpunan bagian tak kosong 𝐴

₁

, 𝐴

₂

, … , 𝐴

_𝑛

dari 𝑆, yang disebut blok-blok, di mana:

1. 𝐴

_𝑖

∩ 𝐴

_𝑗

= ∅ untuk semua 𝑖 ≠ 𝑗.

2. 𝑆 =

_𝑖=1^𝑛

𝐴

_𝑖

(19)

Teorema 0.9

1. Misalkan ~ relasi ekivalensi pada 𝑆. Maka himpunan kelas- kelas ekivalensi yang berbeda yang terkait dengan ~ adalah blok-blok partisi dari 𝑆.

2. Sebaliknya, jika P suatu partisi dari 𝑆, relasi biner ~ yang didefinisikan oleh

𝑎~𝑏 jika dan hanya jika 𝑎 dan 𝑏 berada diblok yang sama dari P

adalahrelasi ekivalensi pada 𝑆, yang kelas-kelas

ekivalensinya adalah blok-blok dari 𝑃.

(20)

Definisi

Misalkan ~ relasi ekivalensi pada 𝑆.

• Fungsi 𝑓: 𝑆 → 𝑇, dimana 𝑇 sebarang himpunan, disebut invariant dari ~ jika 𝑎~𝑏 maka 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 .

• Fungsi 𝑓: 𝑆 → 𝑇 disebut invariant komplit jika 𝑎~𝑏 jika dan hanya jika 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 .

• Koleksi 𝑓₁, 𝑓₂, … , 𝑓_𝑘 yang invariant disebut sistem komplit invariant dari invariant-invariant jika 𝑎~𝑏 jika dan hanya jika 𝑓_𝑖 𝑎 = 𝑓_𝑖(𝑏) untuk semua 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

(21)

Definisi

Misalkan ~ relasi ekivalensi pada 𝑆 . Suatu

himpunan bagian 𝐶 ⊂ 𝑆 dikatakan himpunan

bentuk kanonik ( atau bentuk kanonik) untuk ~

jika untuk setiap 𝑠 ∈ 𝑆, terdapat tepat satu 𝑐 ∈ 𝐶

sehingga 𝑐~𝑠. Dengan kata lain, setiap kelas

ekivalensi pada ~ memuat tepat satu anggota

dari 𝐶.

(22)

Himpunan Terurut Parsial

Definisi

Himpunan terurut parsial (Partially Orderet Set = Poset) adalah himpunan tak kosong 𝑃, bersama dengan suatu urutan parsial pada 𝑃.

Urutan parsial adalah relasi biner yang disimbolkan dengan ≤ dan dibaca dengan ‘kurang dari atau sama dengan’, dengan sifat-sifat sebagai berikut:

1. Untuk semua 𝑎 ∈ 𝑃, 𝑎 ≤ 𝑎 (Refleksif).

2. Untuk semua 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑃 , jika 𝑎 ≤ 𝑏 dan 𝑏 ≤ 𝑎 maka 𝑎 = 𝑏 (Antisimetris).

3. Untuk semua 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑃, jika 𝑎 ≤ 𝑏 dan 𝑏 ≤ 𝑐 maka 𝑎 ≤ 𝑐.

(23)

Definisi

Jika 𝑃 himpunan terurut parsial dan

• Jika 𝑚 ∈ 𝑃 mempunyai sifat 𝑚 ≤ 𝑝 mengakibatkan 𝑚 = 𝑝, maka 𝑚 disebut unsur maksimal di 𝑃.

• Jika 𝑛 ∈ 𝑃 mempunyai sifat bahwa tidak terdapat unsur lebih kecil di 𝑃, yaitu 𝑝 ∈ 𝑃, 𝑝 ≤ 𝑛 maka 𝑝 = 𝑛, disebut 𝑛 unsur minimal

(24)

Definisi

Misalkan 𝑃 himpunan terurut parsial dan misalkan 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑃.

1. Jika terdapat 𝑢 ∈ 𝑃 dengan sifat:

•𝑎 ≤ 𝑢 dan 𝑏 ≤ 𝑢

•Jika 𝑎 ≤ 𝑥 dan 𝑏 ≤ 𝑥, maka 𝑢 ≤ 𝑥

Maka dikatakan 𝑢 batas atas terkecil dari 𝑎 dan 𝑏, dan ditulis 𝑢 = 𝑙𝑢𝑏 𝑎, 𝑏 .

2. Jika terdapat 𝑙 ∈ 𝑃 dengan sifat:

• 𝑙 ≤ 𝑎 dan 𝑙 ≤ 𝑏

• Jika 𝑥 ≤ 𝑎 dan 𝑥 ≤ 𝑏, maka 𝑥 ≤ 𝑙

Maka dikatakan 𝑙 batas bawah terbesar dari 𝑎 dan 𝑏, dan ditulis 𝑙 = 𝑔𝑙𝑏 𝑎, 𝑏

(25)

Catatan:

1. Dalam himpunan terurut parsial mungkin saja tidak semua unsur dapat dibandingkan. Dengan kata lain, mungkin diperoleh 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑃 dengan sifat 𝑥 ≰ 𝑦 dan 𝑦 ≰ 𝑥.

2. Dalam suatu himpunan terurut parsial dimana semua pasangan unsur-unsurnya dapat dibandingkan disebut himpunan terurut total atau himpunan terurut linier.

3. Sebarang himpunan bagian dari himpunan terurut total 𝑃 disebut rantai di 𝑃.

4. Misalkan 𝑆 himpunan bagian dari himpunan terurut parsial 𝑃.

Dikatakan unsur 𝑢 ∈ 𝑃 batas atas untuk 𝑆 jika 𝑠 ≤ 𝑢 untuk semua 𝑠 ∈ 𝑆.

(26)

Teorema 0.10 (Lemma Zorn)

Misalkan 𝑃 himpunan terurut parsial dimana setiap rantainya mempunyai batas atas. Maka 𝑃 mempunyai unsur maksimal.

(27)

Kardinalitas

Dua himpunan 𝑆 dan 𝑇 dikatakan mempunyai kardinalitas yang sama dan ditulis 𝑆 = 𝑇 jika terdapat fungsi bijektif antara himpunan 𝑆 dan 𝑇.

Jika 𝑆 berkorespondensi satu-satu dengan suatu himpunan bagian dari 𝑇, ditulis 𝑆 ≤ 𝑇 .

Jika 𝑆 berkorespondensi satu-satu dengan himpunan bagian

sejati dari 𝑇, dan jika 𝑆 ≠ 𝑇 , ditulis 𝑆 < 𝑇 .

(28)

Catatan:

• Kardinalitas dalam hal ini adalah merepresentasikan ‘ukuran’ dari suatu himpunan.

• Lebih mudah membicarakan dua himpunan yang memiliki sama atau berbeda ukuran (kardinalitas)-nya daripada menentukan secara ekplisit ukuran (kardinalitas) dari himpunan yang diberikan.

• Jadi, dikaitkan setiap himpunan 𝑆 suatu bilangan cardinal, ditulis dengan 𝑆 atau 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝑆), yang dimaksudkan untuk mengukur ukuran dari suatu himpunan.

• Suatu himpunan 𝑆 disebut berhingga jika dapat dibuat korespondensi satu-satu dengan himpunan yang berbentuk ℤ_𝑛 = 0,1, … , 𝑛 − 1 untuk suatu bilangan bulat positif 𝑛.

• Bilangan kardinal (kardinalitas) dari himpunan berhingga adalah jumlah unsur- unsur dalam himpunan tersebut.

• Bilangan cardinal dari himpunan bilangan asli ℕ adalah ℵ₀ (dibaca aleph nought).

• Oleh karena itu ℕ = ℤ = ℚ = ℵ₀.

(29)

Catatan

• Sebarang himpunan dengan kardinalitas ℵ₀ disebut himpunan tak berhingga terhitung.

• Sebarang himpunan berhingga atau terhitung disebut himpunan terhitung.

• Jika 𝑆 dan 𝑇 himpunan berhingga, maka jika 𝑆 ≤ 𝑇 dan 𝑇 ≤ 𝑆 maka 𝑆 = 𝑇

• Ingat himpunan kuasa P(𝑆) dari himpunan 𝑆 adalah himpunan semua himpunan bagian dari 𝑆. Jika 𝑆 berhingga, maka himpunan kuasa dari 𝑆 selalu lebih besar dari dirinya sendiri, yaitu:

• Jika 𝑆 = 𝑛 maka P(𝑆) = 2^𝑛

(30)

Teorema 0.11 (Well-ordering principle)

Setiap himpunan tak kosong mempunyai suatu pengurutan yang baik.

Teorema 0.11

(Teorema Schr oder-Berntein)

Untuk sebarang himpunan 𝑆 dan 𝑇, jika 𝑆 ≤ 𝑇 dan 𝑇 ≤ 𝑆 maka 𝑆 = 𝑇 .

(Teorema Cantor’s)

• Jika P(𝑆) adalah himpunan kuasa dari himpunan 𝑆, maka 𝑆 <

P(𝑆) .

• Jika P₀(𝑆) adalah himpunan semua himpunan bagian dari 𝑆, dan 𝑆 himpunan tak berhingga, maka 𝑆 = P₀(𝑆) .

(31)

Definisi

Misalkan 𝜅 dan 𝜆 bilangan cardinal.

• Jumlah 𝜅 + 𝜆 adalah bilangan kardinal dari 𝑆 ∪ 𝑇, di mana 𝑆 dan 𝑇 adalah himpunan yang saling asing, dengan 𝑆 = 𝜅 dan 𝑇 = 𝜆.

• Hasil kali 𝜅𝜆 adalah bilangan kardinal dari 𝑆 × 𝑇, dimana 𝑆 dan 𝑇 sebarang himpunan dengan 𝑆 = 𝜅 dan 𝑇 = 𝜆, dan 𝑆 × 𝑇 (produk kartesian) adalah himpunan pasangan-pasangan terurut

𝑆 × 𝑇 = 𝑠, 𝑡 𝑠 ∈ 𝑆, 𝑡 ∈ 𝑇

• 𝜅^𝜆 adalah bilangan cardinal dari 𝑆^𝑇, di mana 𝑆 dan 𝑇 adalah sebarang himpunan, dengan 𝑆 = 𝜅 dan 𝑇 = 𝜆, dan 𝑆^𝑇 adalah himpunan semua fungsi dari 𝑇 ke 𝑆.

(32)

Teorema 0.13

Misalkan 𝜅, 𝜆 dan 𝜇 bilangan cardinal, maka berlaku sifat-sifat berikut ini:

1. Assosiatif: 𝜅 + 𝜆 + 𝜇 = 𝜅 + 𝜆 + 𝜇 dan 𝜅 𝜆 𝜇 = (𝜅𝜆)𝜇.

2. Komutatif: 𝜅 + 𝜆 = 𝜆 + 𝜅 dan 𝜅𝜆 = 𝜆𝜅.

3. Distributif: 𝜅 𝜆 + 𝜇 = 𝜅𝜆 + 𝜅𝜇 4. Sifat eksponen:

• 𝜅^𝜆+𝜇 = 𝜅^𝜆𝜅^𝜇

• 𝜅^{𝜆 𝜇} = 𝜅^𝜆𝜇

• 𝜅𝜆 ^𝜇 = 𝜅^𝜇𝜆^𝜇

Aljabar Linier Lanjut. Kuliah 1