Modul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:

(1)

Modul Praktikum Aljabar Linier

Disusun oleh:

Machudor Yusman IR., M.Kom.

Ucapan Terimakasih:

David Abror Gabriela Minang Sari

Hanan Risnawati Ichwan Almaza

Nuha Hanifah Riza Anggraini

Saiful Anwar Tri Lestari

Edisi 1 (2017)

Laboratorium Komputasi Dasar Jurusan Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung

(2)

Modul Pembelajaran Aljabar Linier / S1 Ilmu Komputer FMIPA Universitas Lampung 1

Pertemuan 1: Pendahuluan Matriks dan Jenis-jenis Matriks

Tujuan Instruksional :

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang Matriks dan Jenis-jenis Matriks Kompetensi Yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui matriks dan apa saja jenis-jenis matriks tersebut

Waktu Pertemuan : 120 Menit

Penjelasan Singkat

Matriks adalah susunan segi empat siku – siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks tersusun atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo ) m x n.

Jenis-jenis Matriks 1. Matriks Bujur Sangkar

Matriks bujur sangkar adalah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya. Karena sifatnya yang demikian ini, dalam matriks bujur sangkar dikenal istilah elemen diagonal yang berjumlah n untuk matriks bujur sangkar yang berukuran nxn, yaitu : a11, a22, …, ann.

2. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang elemen bukan diagonalnya bernilai nol.

Dalam hal ini tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus tak nol.

(3)

3. Matriks Nol

Mariks Nol merupakan matriks yang semua elemennya bernilai nol.

4. Matriks Segitiga

Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang elemen – elemen dibawah atau diatas elemen diagonal bernilai nol. Jika yang bernilai nol adalah elemen – elemen dibawah elemen diagonal maka disebut matriks segitiga atas , sebaliknya disebut matriks segitiga bawah. Dalam hal ini, juga tidak disyaratkan bahwa elemen diagonal harus bernilai tak nol.

5. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1

(4)

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang Sifat-sifat Operasi Matriks Kompetensi Yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui sifat-sifat operasi Matriks Waktu Pertemuan : 120 Menit

Penjelasan Singkat 1. Penjumlahan matriks

Operasi penjumlahan dapat dilakukan pada dua buah matriks yang memiliki ukuran yang sama. Aturan penjumlahan Dengan menjumlahkan elemen – elemen yang bersesuaian pada kedua matriks.

2. Perkalian matriks dengan matriks Operasi

Perkalian matriks dapat dilakukan pada dua buah matriks ( A dan B) jika jumlah kolom matriks A = jumlah baris matriks B. Aturan perkalian Misalkan Amn dan Bnk maka Amn Bnk = Cmk dimana elemen – elemen dari C( cij) merupakan penjumlahan dari perkalian elemen–elemen A baris i dengan elemen– elemen B kolom j.

3. Perkalian matriks dengan skalar

Suatu matriks dapat dikalikan suatu skalar k dengan aturan tiap –tiap elemen pada A dikalikan dengan k.

(5)

4. Transpose matriks

Transpose matriks A ( dinotasikan At ) didefinisikan sebagai matriks yang baris – barisnya merupakan kolom dari A.

(6)

Pertemuan 3: Latihan Mengoperasikan Matriks

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang mengoperasikan matriks menggunakan sifat-sifat matriks

Kompetensi Yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat mengoperasikan matriks dengan baik Waktu Pertemuan : 120 Menit

Diberikan beberapa soal latihan untuk mengavaluasi kemampuan peserta didik, sejauh mana mereka dapat mengoperasikan matriks dengan menggunakan sifat- sifat matriks yang telah dipelajari

(7)

Pertemuan 4: Matriks Invers

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang Matriks Invers Kompetensi Yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat mengenal dan mengoperasikan matriks invers Waktu Pertemuan : 120 Menit

Jika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B=A^-1 ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A=B^-

1 . Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular).

Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.

Matriks A = dapat di-invers apabila ad - bc ≠ 0, maka invers dari matriks A (ditulis ) adalah sebagai berikut:

Jika maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.

Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:

(8)

•

(9)

Pertemuan 5: Kuis 1

Mengevaluasi kemampuan peserta didik selama praktikum yang telah berlangsung Kompetensi Yang Diharapkan :

Dengan diadakannya kuis ini, diharapkan pengajar dapat mengetahui sejauh mana peserta didik memahami bahan perkuliahan yang telah diajarkan

Petunjuk Pengerjaan :

Contoh NPM David = 1417051032 Z=1, X=0, C=3, V=2 Ichwan= 1417051066 Z=1, X=0, C=6, V=6 Soal

No 1.

Apa yang kalian ketahui tentang Determinan dan Invers pada Matriks? (10 Point) No 2.

1. |A| = Z-2 X+2 C+3 V-1 2. |B| = C-V X*2 Z/2 V+3

(10)

3. |D| = Z*X Z/3 C+3 V*3-2

Tentukan Matriks Invers Matriks A B dan D (60 Point) No 3.

4. |F| = C-2 Z+X V+2 X/2 3+C X*3 V+1 C/2 Z+3

Tentukan Matriks Invers Matriks F (30 Point)

(11)

Pertemuan 6: Sistem Persamaan Linier

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang Sistem Persamaan Linier Kompetensi Yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui cara kerja Sistem Persamaan Linier (SPL)

Suatu persamaan linear yang mengandung n peubah x¹, x² ,…,xn dinyatakan dalam bentuk a¹x¹ + a²x²+ … + anxn = b dengan a¹, a², …, an , b adalah konstanta riil.

Dalam hal ini, peubah yang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri, fungsi logaritma ataupun fungsi exponensial.

Contoh 2.1.1 : a. x + y = 4 Æ persamaan linear dengan 2 peubah b. 2x – 3y = 2z +1 Æ persamaan linear dengan 3 peubah c. 2 log x + log y = 2 Æ bukan persamaan linear d. 2ex = 2x + 3 Æ bukan persamaan linear

(12)

Pertemuan 7: Operasi Baris Elementer

Tujuan Instruksional : Mengetahui Operasi Baris Elementer Kompetensi Yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui dan dapat menggunakan penyelesaian matriks menggunakan Operasi Baris Elementer

Operasi Baris Elementer (OBE) adalah salah satu alternatif dalam menyelesaikan suatu bentuk matriks seperti menentukan invers matriks dan penerapan matriks pada sistem persamaan linear menggunakan dua cara yaitu "Eliminasi Gauss" dan

"Eliminasi Gauss-Jordan".

Dalam operasi baris elementer ini ada beberapa operasi yang dapat digunakan , yaitu :

a. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol b. Mempertukarkan dua buah baris

c. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.

Dengan menggunakan operasi baris elementer , maka matriks eselon baris tereduksi yang didapatkan akan ekuivalen dengan matriks awalnya sehingga penyelesaian untuk matriks eselon baris tereduksi juga merupakan penyelesaian untuk matriks awalnya. Matriks awal yang dimaksud adalah matriks diperbesar.

(13)

Pertemuan 8: Determinan Matriks

Tujuan Instruksional : Mengetahui Determinan Matriks Kompetensi Yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui determinan matriks dan dapat mengaplikasikan cara kerja determinan matriks

Misalkan A matriks bujur sangkar , fungsi determinan A sering dituliskan sebagai determinan ( disingkat det(A) atau |A| ). Determinan matriks A adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.

det A = = ad – bc

Contoh Soal 1 :

Tentukan determinan matriks-matriks berikut.

(14)

a. A = b. B =

Penyelesaian :

a. det A = = (5 × 3) – (2 × 4) = 7

b. det B = = ((–4) × 2) – (3 × (–1)) = – 5

(15)

Pertemuan 9: Ujian Tengah Praktikum (UTP)

Mengevaluasi kemampuan peserta didik selama setengah semester praktikum berlangsung

Dengan diadakannya UTP ini, diharapkan pengajar dapat mengetahui sejauh mana peserta didik memahami bahan perkuliahan yang telah diajarkan hingga tengah semester ini

Penjelasan Singkat Soal :

1. Matriks adalah susunan segi empat siku – siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom. Perlu kalian ketahui, terdapat berbagai jenis matriks .Untuk itu, Tuliskan dan Jelaskan min.5 Jenis Matriks serta berikan contoh (gambarkan) matriks tersebut!

2. Determinan memiliki sifat-sifat yang dapat membantu anda dalam menyelesaikan operasi matriks. Apa saja sifat determinan tersebut? Tuliskan dan Jelaskan serta berikan contoh sifat determinan tersebut(min.5)!

(16)

3. Diketahui:

a − 3b + 4c = 13

− a − 2b − c= 1

− 5b + 2c =16

Carilah solusi dari SPL dengan menggunakan Eliminasi Gauss Jordan dan buat persamaanya dari bentuk eselon baris yang telah anda buat!

4. Diketahui:

x + 2y + c = 5 2x − y − 4c = 5

−x + 3y − c =7

Carilah solusi dari SPL dengan menggunakan Metode Crammer dan tentukan nilai untuk x,y, dan z!

5. Matriks P dan Q adalah matriks ordo 2x2 seperti di bawah. Agar determinan matriks P sama dengan dua kali determinan Q, maka nilai x yang memenuhi adalah...

P = Q = −

6. Matriks A dan B adalah matriks ordo 2x2 seperti di bawah. Agar determinan matriks A sama dengan setengah kali determinan B, maka nilai x yang memenuhi adalah...

(17)

A = − −

− B = − −

−

7. P = -3 7 2 4 Q = 5 6 -2 2 4 -4 3 2 9

Tentukan Matriks Invers Matriks P dan Q 8. A = -7 3

6 -4

B = 5 2 -3 -4 6 -2 3 4 8

Tentukan Matriks Invers Matriks A dan B

9. A = 2 -3 -3 4 D = 4 -2 6 3

Tentukan Determinan Matriks F Jika AD =F 10. A = 2 3

-2 4

(18)

B = -1 2 3 3

Tentukan Determinan Matriks D Jika AB =D

(19)

Pertemuan 10: Perhitungan Determinan (Ekspansi Kofaktor)

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang perhitungan determinan (ekspansi kofaktor)

Mahasiswa diharapkan mengetahui cara kerja dan dapat mengaplikasikan perhitungan determinan (ekspansi kofaktor)

Pada metode ini dikenal beberapa istilah , antara lain : Minor elemen aij ( Mij ) yaitu determinan yang didapatkan dengan menghilangkan baris i dan kolom j matriks awalnya. Kofaktor elemen aij ( Cij ) = (−1 )^i+j Mij Jika A matriks bujur sangkar berukuran nxn , maka dengan menggunakan metode ini perhitungan determinan dapat dilakukan dengan dua cara yang semuanya menghasilkan hasil yang sama yaitu : – ekspansi sepanjang baris i det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin – ekspansi sepanjang kolom j det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

(20)

Pertemuan 11: Metode Crammer

Pokok bahasan ini menjelaskan tentang definisi dan cara kerja metode crammer Kompetensi Yang Diharapkan :

Mahasiswa diharapkan dapat mengetahui metode crammer dan dapat menggunakannya untuk penyelesaian sistem persamaan linier

Metode Crammer didasarkan atas perhitungan determinan matriks. Suatu SPL yang berbentuk Ax = b dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat dikerjakan dengan metode Crammer jika hasil perhitugan menunjukkan bahwa det (A) ≠ 0.

Penyelesaian yang didapatkan dengan metode ini adalah penyelesaian tunggal.

Teorema :

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(A) 0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang uniq. Pemecahan ini adalah

x1 = , x2 = , …, xn =

dimana Aj adalah matriks yang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks.

(21)

B =

(22)

Pertemuan 12: Ujian Akhir Praktikum

Mengevaluasi kemampuan peserta didik dalam membuat program yang berkaitan dengan pembelajaran satu semester ini.

Dengan diadakannya Ujian Akhir Praktikum ini, diharapkan mahasiswa dapat membuat sebuah program untuk menghitung perhitungan matriks yang berkaitan dengan Aljabar Linier

Ujian Akhir Praktikum ini merupakan proyek membuat sebuah program mencari invers matriks 4x4 dengan menggunakan Bahasa C/C++. Program ini bertujuan agar Mahasiswa diharapkan dapat membuat sebuah program berdasarkan apa yang telah dia pelajari pada semester ini.