BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
A. Matriks
1. Pengertian Matriks Definisi 2.1
Matriks adalah kumpulan bilangan – bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk empat persegi panjang atau persegi yang ditulis di antara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ]. Matriks tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:
[
]
Matriks juga dapat dinyatakan sebagai: [ ]
dimana: = elemen atau unsur matriks
= 1,2,3,…m, indeks baris
2. Jenis – Jenis Matriks
Terdapat beberapa jenis matriks, diantaranya yaitu:
a. Matriks kuadrat/persegi adalah matriks dimana jumlah baris sama dengan jumlah kolom.
b. Matriks diagonal adalah matriks dimana semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol (0) dan minimal ada satu elemen pada diagonal
c. Matriks satuan/identitas adalah matriks dimana semua elemen pada diagonal utamanya bernilai satu (1) dan elemen di luar diagonal utama bernilai nol.
d. Matriks skalar adalah matriks diagonal dimana elemen pada diagonal utamanya bernilai sama tetapi bukan satu atau nol.
Contoh : 0 sebelah kiri diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh : 0
1, [
f. Matriks segitiga atas adalah matriks diagonal dimana elemen di sebelah kanan diagonal utama ada yang bernilai tidak sama dengan nol.
Contoh : 0
h. Matriks singular adalah matriks yang determinannya bernilai nol.
Contoh : 0
1, [
]
i. Matriks non singular adalah matriks yang determinannya bernilai tidak sama dengan nol.
k. Matriks Eselon adalah matriks yang memenuhi sifat
1. Setiap baris yang hanya terdiri dari bilangan nol terletak sesudah baris yang memuat elemen taknol.
2. Pada setiap baris dari matriks yang mempunyai elemen taknol, elemen taknol yang pertama harus terletak di kolom sebelah kanan elemen taknol dari baris sebelumnya.
Matriks eselon sering disebut juga matriks eselon baris. Elemen taknol pertama dari suatu baris disebut elemen pivot.
Contoh:
[
]
l. Matriks nol adalah matriks dimana semua elemennya mempunyai nilai nol (0).
Contoh : 0
1 [
]
3. Transpose Matriks
matriks berukuran dengan elemennya merupakan jumlah elemen
Tentukan jumlah dan selisih dari matriks – matriks berikut ini!
[
Diketahui matriks A dan c merupakan bilangan. Matriks cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari matriks A dengan c. Dalam hal ini ditulis
Contoh 2.3: Diketahui matriks
0 1
maka matriks
0 1 0 1
c. Perkalian Matriks Definisi 2.4
Jika ( ) adalah matriks dan ( ) adalah matriks , maka hasil kali ( ) adalah matriks yang entri
– entrinya didefinisikan oleh:
∑ Contoh 2.4:
Diketahui dua matriks
0 1 dan 0 1
Dalam hal ini Oleh karena itu, ukuran dari matriks adalah . Elemen dari matriks dapat dihitung sebagai berikut: Baris ke- ; kolom ke- : ( ) ( )
Oleh karena itu, matriks sama dengan 0 1
5. Determinan Misalkan:
[
]
maka notasi determinan dari matriks A ditulis:
( ) atau |
| atau | |
Definisi 2.5
Misalkan ( ) adalah matriks dan misalkan menyatakan matriks ( ) ( ) yang diperoleh dari dengan menghapus baris dan kolom yang mengandung . Determinan dari dsebut minor dari . Didefinisikan kofaktor dari dengan
( ) det ( )
Apabila terdapat matriks 0
Matriks terbentuk dari matriks dengan cara menghapus baris pertama dan kolom pertama, sedangkan terbentuk dari dengan cara menghapus baris pertama dan kolom kedua.
Definisi 2.6
Determinan dari suatu matriks berordo , dinyatakan sebagai ( ), adalah sebagai skalar yang diasosiasikan dengan matriks dan didefinisikan sebagai:
( ) {
dimana
( ) ( )
adalah kofaktor – kofaktor yang diasosiasikan dengan entri – entri dalam baris pertama dari
a. Menentukan Determinan suatu Matriks 1) Matriks ordo
Jika ( ) adalah matriks , maka ( ) 2) Matriks ordo
. /
( )
Contoh 2.5: . /
( ) | |
( ) | | ( ) ( ) | | ( ) (( ) ( ) )
3) Matriks ordo
Untuk matriks ordo , determinan dapat ditentukan dengan cara berikut:
( +
| |
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
| | | | | |
( ) ( ) ( )
( ) (
)
Contoh 2.6:
( +
| |
( ) | | ( ) | | ( ) | |
. ( ( ))/ .( ) (
( ))/ . ( ( ))/ ( ( )) (( ) ) ( )
( ) ( )
4) Matriks ordo
(
,
| |
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( )) (( ) ( ) )
( ( ) ( )) ( )
| | |
|
( ) ( ) | | ( ) ( ) | |
( ) ( ) | |
( ( )) (( ) ( ) )
( ( ) ( )) ( )
| | | |
( ) ( ) | | ( ) ( ) | |
( ) ( ) | |
( ( )) (( ) ( ) )
( ( ) ) ( )
| | |
|
( ) ( ) | | ( ) ( ) | |
( ) ( ) | |
( ) (( ) ( ) ( ))
( ( ) ) ( )
Kemudian diperoleh
| |
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b. Sifat – Sifat Determinan
1) Misalkan matriks B berukuran diperoleh dari matriks A dengan cara mengalikan semua baris dengan bilangan k maka
2) Misalkan matriks B berukuran diperoleh dari matriks A dengan cara menukar dua baris atau kolom sebanyak satu kali, maka
( ) ( )
3) Misalkan diketahui tiga matriks dan B yang mempunyai elemen yang sama kecuali pada baris ke-i, yaitu elemen baris ke-i dari matriks B merupakan jumlah dari elemen baris ke-i dari matriks dan . Maka
( ) ( ) ( )
4) Determinan matriks identitas adalah 1 (satu) 5) Misalkan maka
( ) ( )
6) Jika dan adalah matriks yang ukurannya sama, maka ( ) ( ) ( )
7) Jika dapat dibalik, maka
( )
( )
8) Misalkan diketahui ( ) maka ( ) (
6. Invers Matriks Persegi
Ada beberapa macam cara untuk menentukan suatu invers matriks yang berordo antara lain dengan aturan Cramer dan operasi baris elementer.
Definisi 2.7
Matriks persegi A berukuran mempunyai invers jika ada matriks B sehingga . Matriks B disebut matriks invers dari A.
a. Aturan Cramer
Metode ini dapat digunakan untuk menghitung invers dari suatu matriks yang non singular dengan menggunakan determinan. Misalkan adalah matriks , definisikan sebuah matriks baru yang disebut adjoint dari dengan:
(
,
Lemma 2.1
Misalkan adalah matriks . Jika menyatakan kofaktor dari untuk , maka:
{ ( )
Berdasarkan Lemma 2.1, mengakibatkan ( ) ( )
Jika non singular, maka ( ) adalah skalar taknol dan dapat dituliskan
( ( ) *
Jadi
( )
Contoh 2.8: Misalkan
( +
Hitunglah dan ! Jawab:
(
| | | | | | | | | | | |
(
+
(
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (
+ (
)
b. Operasi Baris Elementer
Untuk menentukan invers matriks dengan operasi baris elementer adalah dengan membentuk matriks yang diperbesar dari matriks dengan matriks identitas kemudian melakukan operasi baris elementer dengan mereduksi matriks menjadi matriks identitas dan melakukan operasi yang sama pada matriks untuk memperoleh matriks B.
Contoh 2.9:
[ ]
Cara mencari invers matriks dengan operasi baris elementer adalah dengan dikatakan operasi baris terlebih dahulu dengan cara:
persamaan yang digunakan yang dipenuhi oleh dan . Yaitu
(1)
( ) (2) ( ) (3)
(4)
(5)
Kesamaan (2) memakai kenyataan bahwa , kesamaan (3) memakai sifat asosiatif dari perkalian matriks yaitu
( ) ( )
dan kesamaan (4) memakai .
Karena matriks invers adalah tunggal, maka matriks invers dari ditulis .
Teorema 2.2 (Aljabar dari Matriks Invers)
Misalkan dan dua matriks berukuran sama yang masing – masing mempunyai invers, maka:
1. ( ) ; 2. ( )
Bukti
1. Karena merupakan matriks invers dari maka .
Dengan demikian merupakan matriks invers dari . 2. Terdapat kesamaan berikut
( )( ) ( )
dan
( )( ) ( )
`
Dengan demikian matriks merupakan matriks invers dari matriks .
3. Dengan menggunakan induksi matematika, akan dibuktikan bahwa ( ) ( ) untuk bilangan bulat tak negatif.
a. Akan ditunjukkan bahwa ( ) ( ) untuk . Jelas bahwa ( ) ( ) ( )
b. Asumsikan bahwa ( ) ( ) untuk , yaitu ( ) ( ) . Akan ditunjukkan bahwa ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Berdasarkan asumsi ( ) ( ) dan benar bahwa ( ) ( ) . Maka terbukti( ) ( ) . Dengan ini dapat disimpulkan bahwa ( ) ( ) untuk setiap bilangan bulat tak negatif.
B. Sistem Persamaan Linear
Suatu persamaan linear dalam peubah (variable) adalah persamaan dengan bentuk
dimana dan adalah bilangan – bilangan real dan adalah peubah. Dengan demikian maka suatu sistem linear dari persamaan dalam peubah adalah satu sistem berbentuk:
(1)
Berikut adalah contoh – contoh sistem persamaan linear:
Dalam penulisan matriks, sistem persamaan (1) dapat dinyatakan sebagai
C. Vektor
1. Ruang Vektor
Misalkan ̅ ( ) dan ̅ ( ) merupakan dua vektor di jumlah dari kedua vektor tersebut ditulis ̅ ̅ adalah vektor
̅ ̅ ( ).
Jadi penjumlahan dua vektor di dilakukan per komponen seperti pada dan . Perkalian skalar vektor dari ̅ ( ) dengan bilangan real ditulis ̅ adalah vektor
̅ ( ).
Operasi jumlah vektor dan perkalian skalar dari vektor di ataupun vektor di memenuhi definisi ruang vektor. Hal yang sama berlaku pula untuk operasi vektor di secara umum ruang vektor didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.8
Untuk setiap ̅ ̅ ̅ dan
a. ̅ ̅ ̅ ̅ (Sifat Komutatif)
b. ̅ ( ̅ ̅) ( ̅ ̅) ̅ (Sifat Assosiatif) c. Ada elemen ̅ di V sehingga ̅ ̅ ̅ (Unsur Identitas) d. Ada elemen ̅ sehingga ̅ ̅ ̅ (Elemen Invers) e. ( ̅ ̅) ̅ ̅ (Distributif) f. ( ) ̅ ̅ ̅
g. ( ̅) ( ) ̅ h. ( ̅) ̅
2. Kombinasi Linear
Jika ̅ ( ), maka dapat ditulis ̅ ̅ ̅ ̅ dengan ( ) ( ) ( ). Dalam hal ini disebut bahwa vektor ̅ dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari tiga vektor ̅ ̅ dan ̅. Secara umum, jika diketahui vektor ̅ ̅ , dan vektor ̅ maka kombinasi linear dapat didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.9
Vektor ̅ disebut kombinasi linear dari vektor – vektor ̅ ̅ jika ada bilangan – bilangan yang tidak semuanya nol sehingga
Contoh 2.10:
Matriks lengkap dari sistem persamaan ini adalah
[
Jadi, dalam hal ini vektor ̅ dapat ditulis sebagai kombinasi linear, yaitu ̅ ̅ ̅ ̅ .
3. Membangun / Merentang
Jika untuk setiap vektor ( )di dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor ̅ ( ) ̅ ( ) ̅ ( ) karena dapat ditulis seperti berikut atau
( ) ̅ ̅ ̅ .
Ini dikatakan bahwa vektor ̅ ( ) ̅ ( ) ̅ ( ) merentang di .
Definisi 2.10
Vektor ̅ ̅ disebut membangun atau merentang dari ruang vektor V jika setiap vektor dalam V dapat dituliskan sebagai kombinasi linear dari ̅ ̅
4. Kebebasan Linear Definisi 2.11
Himpunan vektor * ̅ ̅ + di ruang vektor V disebut bebas linear jika persamaan
̅ ̅ ̅
Contoh 2.11:
Selidiki sifat bebas linear dari vektor ̅ ( ) ̅ ( ) dan ̅ ( )
Jawab:
Untuk menyelidiki sifat bebas linear dari ketiga vektor tersebut, harus dicari nilai dan yang memenuhi
̅ ̅ ̅ ̅. Sistem persamaan yang muncul adalah
{
Matriks lengkap dari sistem persamaan tersebut dapat diubah menjadi matriks eselon berikut
[ ]
Ini berarti bahwa dan . Oleh karena itu, ketiga vektor bebas linear.
5. Basis
tertentu. Kumpulan vektor tersebut disebut basis dari ruang vektor yang dapat didefinisikan sebagai
Definisi 2.12
Himpunan vektor S yang terdiri dari berhingga banyaknya vektor di ruang vektor V disebut basis jika setiap vektor di V dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor di S secara tunggal.
Ini berarti jika * ̅ ̅ ̅ + merupakan basis di ruang vektor V, maka setiap vektor ̅ di V dapat ditulis sebagai kombinasi linear
̅ ̅ ̅
Secara tunggal. Artinya, untuk vektor ̅ di atas tak ada koefisien lain selain tersebut. dinamakan basis untuk jika (i) bebas linear; (ii) merentang .
6. Rank Misalkan
(
+
Dengan mereduksi menjadi bentuk eselon baris, maka diperoleh matriks
Jelas bahwa ( ) dan ( ) membentuk basis untuk ruang baris dari . Karena dan ekuivalen baris, maka matriks memiliki ruang baris yang sama sehingga dapat dikatakan bahwa rank dari adalah 2. Rank dapat didefinisikan sebagai berikut
Definisi 2.13
Rank adalah jumlah maksimum dari vektor baris (kolom) yang bebas linear. Rank dari suatu matriks merupakan dimensi dari vektor baris (kolom) pada matriks tersebut.
D. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
1. Pengertian Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi 2.14
Misalkan adalah suatu matriks . Skalar λ disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari matriks . Jika terdapat suatu vektor taknol ̅ sehingga ̅ ̅. Vektor ̅ disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari λ.
Contoh 2.12: Misalkan
. / dan ̅ . /
Maka ̅ .
Dari persamaan ini terlihat bahwa adalah nilai eigen dari dan ̅ ( ) merupakan vektor eigen dari . Sesungguhnya kelipatan taknol dari ̅ akan menjadi vektor eigen, karena
( ̅) ̅ ̅ ( ̅)
Jadi, sebagai contoh, ( ) juga vektor eigen dari . . / . / . / . /
2. Persamaan Karakteristik
Persamaan ̅ ̅ dapat dituliskan dalam bentuk
( λ ) ̅ (1)
Jadi adalah nilai eigen dari matriks jika dan hanya jika (1) memiliki suatu penyelesaian taktrivial. Persamaan (1) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika λ singular, atau secara ekivalen,
( λ ) (2)
Persamaan (2) disebut persamaan karakteristik.
Contoh 2.13:
Persamaan karakteristik dari
0 1
adalah
det( λ ) 0 λ
E. Diagonalisasi Matriks Definisi 2.15
Suatu matriks berordo , disebut dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks non singular dan suatu matriks diagonal sedemikian rupa sehingga
Teorema 2.3
Suatu matriks berordo , dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika mempunyai vektor eigen yang bebas linear.
Bukti
Misalkan matriks mempunyai vektor eigen bebas linear ̅ ̅ ̅ . Misalkan λ adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan ̅ untuk setiap . Misalkan adalah matriks dimana vektor kolom ke-adalah ̅ untuk . Selanjutnya terlihat bahwa ̅ λ ̅ adalah vektor kolom ke- dari . Maka
( ̅ ̅ ̅ ) (λ ̅ λ ̅ λ ̅ )
( ̅ ̅ ̅ ) (
λ λ
λ )
Karena mempunyai vektor kolom yang bebas linear, maka adalah non singular dan karena itu
Sebaliknya, misalkan dapat didiagonalisasi. Selanjutnya terdapat suatu matriks non singular sehingga . Jika ̅ ̅ ̅ adalah vektor – vektor kolom dari maka
̅ λ ̅ (λ )
untuk setiap . Jadi untuk setiap λ adalah nilai eigen dari dan ̅ adalah vektor eigen yang dimiliki λ. Karena vektor – vektor kolom adalah bebas linear, maka mempunyai buah vektor eigen yang bebas linear.
Dari bukti ini didapatkan prosedur berikut untuk mendiagonalisasi matriks yang berukuran dapat didiagonalisasi.
Langkah 1. Tentukan nilai eigen dari matriks .
Langkah 2. Carilah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dari matriks yang bebas linear, ̅ ̅ ̅ .
Langkah 3. Bentuklah matriks dengan ̅ ̅ ̅ sebagai vektor – vektor kolomnya.
Contoh 2.14:
Carilah matriks yang mendiagonalisasi
[ ]
Jawab:
Persamaan karakteristik dari adalah ( λ)( λ) sehingga nilai – nilai eigen adalah λ dan λ . Jadi diperoleh dua nilai eigen dari .
̅ [ ]
adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ jika dan hanya jika adalah pemecahan non trivial dari ( λ ) ̅ , yakni, dari
[ λ λ
λ] [ ] [ ]
Jika λ , maka
[
] [ ] [ ]
Dengan memecahkan sistem ini maka akan menghasilkan ,
Jadi vektor – vektor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah vektor – vektor taknol yang berbentuk
Karena
[ ] dan [ ]
adalah vektor – vektor bebas linear, maka vektor – vektor tersebut akan membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ .
Jika λ , maka
Dengan ini vektor – vektor eigen yang didapat adalah
Tidak ada orde yang diistimewakan untuk kolom – kolom . Karena entri diagonal ke- dari adalah nilai eigen untuk vektor kolom ke-dari , maka dengan mengubah orde kolom – kolom hanyalah mengubah orde nilai – nilai eigen pada diagonal . Jadi, seandainya dituliskan
[ ] maka akan diperoleh
[ ]
Contoh 2.15:
Persamaan karakteristik dari
0 1
adalah
( λ ) 0 λ λ1 (λ )
Jadi λ adalah satu – satunya nilai eigen ; vektor – vektor eigen yang
bersesuaian dengan λ adalah pemecahan – pemecahan dari ( λ ) ̅ yakni, dari
Pemecahan sistem ini adalah ; maka ruang eigen tersebut terdiri dari semua vektor berbentuk
Karena ruang berdimensi 1, maka tidak mempunyai dua vektor eigen bebas linear, sehingga tidak dapat didiagonalisasi.
F. Bentuk Normal Jordan
Matriks persegi ada yang dapat didiagonalisasi, ada pula yang tidak dapat didiagonalisasi. Tetapi, untuk matriks yang tidak dapat didiagonalisasi selalu dapat dibuat similar dengan matriks yang hampir diagonal yang disebut dengan Bentuk Normal Jordan.
Misalkan diketahui matriks dengan dua nilai eigen yang sama. Jika matriks tersebut mempunyai dua vektor eigen yang bebas linear, maka matriks tersebut similar dengan matriks diagonal. Tetapi dalam hal matriks yang hanya mempunyai sebuah vektor eigen, maka matriks tersebut similar dengan bentuk normal Jordan 0λ
λ1. Matriks tersebut hanya mempunyai
satu vektor eigen sebab jika mempunyai dua vektor eigen maka matriks tersebut dapat didiagonalisasi.
[λ λ
λ] [
λ
λ
λ]
Sedangkan untuk dua nilai eigen, mempunyai bentuk normal Jordan sebagai berikut
[λ λ
λ]
Matriks di atas mempunyai dua vektor eigen yang bebas linear, atau satu vektor eigen bebas linear yang berkaitan dengan nilai eigen ganda. Jadi jika matriks mempunyai tiga vektor eigen yang bebas linear, maka matriks tersebut dapat didiagonalisasi.
Definisi 2.16
Suatu blok Jordan ( ) adalah matriks segitiga atas dengan bentuk
( ) [
]
[
( )
( )
( )]
dengan .
G. Invers Moore Penrose Definisi 2.17
Invers Moore Penrose adalah invers dari matriks berukuran yang dinotasikan dengan , jika memenuhi kondisi
( )
( ) dengan adalah transpose konjugat dari matriks A.
Sifat – Sifat Dasar dari Invers Moore Penrose Teorema 2.4
Jika terdapat matriks yang berukuran , maka: 1. ( ) jika dan skalar,
2. ( ) ( ) , 3. ( ) ,
6. ( ) dan ( ) , 7. ( ) ( ) ,
8. ( ) dan jika rank ( ) , 9. ( ) dan jika rank ( )
