Soal Babak Penyisihan OMITS 2011
BAGIAN I. PILIHAN GANDA
1. Hasil kali sebarang bilangan rasional dengan sebarang bilangan irasional selalu
merupakan anggota dari himpunan bilangan …
A. Bulat B. Asli C. Rasional D. Real E. Irasional
2. Adi dan Beni membersihkan rumah setiap 6 dan 9 hari sekali. Jika keduanya
membersihkan rumah pertama kali secara bersamaan pada hari senin tanggal 7 Februari
2011, maka keduanya akan membersihkan rumah secara bersamaan untuk kedua kalinya
pada hari senin tanggal …
A. 20 Maret 2011 B. 21 Maret 2011 C. 12 Juni 2011
D. 13 Juni 2011 E. 17 Oktober 2011
3.
Jika diketahui panjang 𝐴𝐵 = 20 cm, panjang 𝐵𝐶= 5 cm, dan besar sudut 𝐶𝐵𝐷 = 75°, maka nilai dari tan∠𝐵𝐴𝐶adalah …
A. 6− 2
16+ 6+ 2 B.
6+ 2
16+ 6− 2 C.
16+ 6− 2
6+ 2 D.
16+ 6+ 2
6− 2 E.
20+ 6− 2 6+ 2
4. Didefinisikan sebuah operasi bilangan ∗mengoperasikan 2 bilangan bulat 𝑎 dan 𝑏 dengan
definisi
𝑎 ∗ 𝑏= 𝑎2+𝑏2+𝑎𝑏
Jika𝑥 ∗(2∗ 𝑥) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat 𝑥yang memenuhi adalah …
A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5
A
C
5. Bentuk paling sederhana dari
49 + 2400
−14 2+ 2+ 2+⋯
adalah …
A. 3− 2 B. 3 + 2 C. 5 + 2 6 D. 2
5+2 6 E.
1 5+2 6
6. Bilangan 2011! memiliki digit 0 di posisi paling belakang pada representasi desimalnya
sebanyak …
A. 499 B. 500 C. 501 D. 502 E. 506
7. Dalam sebuah termasuk perguruan tinggi negeri, peluang Adi diterima 0,8, peluang Budi
diterima 0,75, peluang Edi diterima 0,7, dan peluang Tedi diterima 0,6. Tentukan peluang
paling sedikit 3 dari 4 siswa tersebut diterima di perguruan tinggi negeri !
A. 0,252 B. 0,486 C. 0,586 D. 0,638 E. 0,675
8. Sisa pembagian dari201120112011 oleh 14 adalah …
A. 2 B. 3 C. 5 D. 9 E. 11
9. Diberikan sebuah segitiga𝐴𝐵𝐶 dengan 𝐴𝐵 = 4 cm dan 𝐴𝐶 = 5 cm. Titik 𝐷 berada pada ruas garis 𝐵𝐶 dengan 𝐵𝐷 = 2 cm dan 𝐷𝐶 = 3 cm. Panjang 𝐴𝐷adalah …
A. 1
5 85 B.
2
5 85 C.
3
5 85 D.
4
5 85 E. 85
10.Diberikan sebuah himpunan garis-garis lurus𝑙1,𝑙2,…,𝑙2011 dengan 𝑙𝑖 ≠ 𝑙𝑗 untuk setiap 𝑖 ≠ 𝑗. Jika 𝑙𝑖 ⊥ 𝑙𝑖+1 untuk setiap 𝑖 = 1, 2,…, 2010, maka himpunan garis-garis tersebut membagi bidang koordinat-𝑥𝑦menjadi … bagian.
A. 1.009.020 B. 1.011.030 C. 1.013.042 D. 1.017.072 E. 1.021.110
11.Dalam sebuah turnamen sepak bola setiap tim bertemu dengan tim lain sebanyak tepat
satu kali. Tim yang kalah, seri dan menang masing-masing mendapatkan poin 0, 1, dan 3.
Poin-poin peserta membentuk barisan aritmatika dengan beda tidak sama dengan nol. Jika
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E. 7
12.Banyaknya bilangan 4 digit yang bersisa 2 jika dibagi oleh 3, bersisa 3 jika dibagi oleh 5,
bersisa 5 jika dibagi oleh 7 dan bersisa 7 jika dibagi oleh 11 adalah …
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10
13.Sebuah polynomial monik 𝑝(𝑥), berderajat 3, jika dibagi oleh 𝑥+ 1,𝑥+ 2, dan 𝑥 −3 memberikan sisa yang sama yaitu 6. Jika semua koefisien dari 𝑝(𝑥) merupakan bilangan bulat, maka banyaknya bilangan bulat 𝑥 yang menyebabkan 𝑝(𝑥) merupakan bilangan
prima adalah …
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
14.Jika bilangan-bilangan dari 1 sampai dengan 10 semua digitnya dijumlahkan, maka
hasilnya adalah 46. Jika bilangan-bilangan dari 1 sampai dengan 2011 semua digitnya
dijumlahkan, maka hasilnya adalah …
A. 27432 B. 27968 C. 28000 D. 28070 E. 28072
15.Diberikan sebuah trapezium 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷 dan ∠𝐴 =∠𝐷 = 90°. Sebuah lingkaran dengan diameter 𝐴𝐷 menyinggung 𝐵𝐶 di titik 𝑃. Jika panjang 𝐴𝐵 = 3 cm dan panjang 𝐴𝐷 = 8 cm maka luas trapesium 𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah …
A. 30 B. 32 C. 100
3 D.
203
6 E. 36
16.Diberikan vektor-vektor
𝑆= 4𝑖+ 5𝑗+ 6𝑘
𝑇= 7𝑖+ 8𝑗+ 9𝑘
𝑈 = 8𝑖+ 4𝑗+ 6𝑘 Nilai dari 𝑆×𝑇 ∙ 𝑈adalah …
A. −18 B. −12 C. 0 D. 12 E. 18
17.Sebuah segitiga ABC memiliki panjang sisi𝐴𝐵= 3 cm, 𝐵𝐶= 4 cm dan 𝐴𝐶 = 5 cm. Jarak antara pusat lingkaran dalam dan pusat lingkaran luar dari segitiga 𝐴𝐵𝐶 sama
dengan … cm
A. 1
4 5 B.
1
3 5 C.
1
18.Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (𝑚,𝑛) sedemikian sehingga 𝑚,𝑛 < 11 dan
menjadi sebuah lingkaran, sedangkan bagian yang lain dibentuk menjadi sebuah segitiga
sama sisi. Agar total luas kedua bangun tersebut minimum, berapakah panjang tali yang
menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan 𝑥, maka nilai dari
12−1 + 22−1 + 32−1 + 42−1 +⋯+ 20102 −1
+ 20112−1 adalah …
A. 1.011.030 B. 1.013.042 C. 2.022.060 D. 2.026.084 E. 2.030.112
22.Tentukan koefisien dari 𝑥3 pada polinomial
𝑝 𝑥 = 𝑥2+𝑥+ 1 11 !
A. 165 B. 176 C. 198 D. 245 E. 275
23.Misalkan 𝛼 menyatakan panjang garis singgung persekutuan dalam dan 𝛽 menyatakan
panjang garis singgung persekutuan luar dari 2 buah lingkaran yaitu lingkaran 𝑥2 +𝑦2 = 4 dan 𝑥2+𝑦2−8𝑥 −6𝑦= −24. Tentukan nilai dari 𝛽 !
24.11 orang duduk melingkar di dalam sebuah forum. Adi, Beni, dan Cepi merupakan
anggota dari forum tersebut. Jika Adi tidak mau duduk berdampingan dengan Beni
maupun Cepi, banyaknya posisi duduk dari 11 orang tersebut adalah …
A. 9! B. 6∙9! C. 56∙8! D. 60∙8! E. 8∙9!
25.Sani dan 3 adiknya sedang mengamati kartu keluarga mereka dan menemukan fakta
berikut
Umur Sani kurang dari 30 tahun
Umur Sani dan 3 adiknya membentuk barisan geometri dengan rasio tidak sama dengan
1.
Jika umur mereka merupakan bilangan bulat, berapakah jumlah terbesar dari umur
mereka?
A. 40 B. 45 C. 54 D. 60 E. 65
26.Di dalam sebuah peti terdapat 4 buah kotak kardus berbeda yang masing-masing berisi 5
bola dengan perincian
merah dan 1 bola putih?
A. 58
27.Jumlah semua bilangan polindrom 5 digit yang semua digitnya ganjil adalah …
A. 6.720.000 B. 6.888.820 C. 6.900.820 D. 6.940.800 E. 6.944.375
28.Tentukan nilai minimum dari𝑥2 +2
A. −1
35.Di dalam sebuah kelas terdapat beberapa siswa sedemikian sehingga setiap siswa
mengenal tepat setengah dari siswa lainnya. Banyaknya siswa pada kelas tersebut paling
sedikit adalah …
A. 3 B. 5 C. 7 D. 11 E. 13
36.Jumlah semua bilangan bulat 𝑥 sedemikian sehingga 3 𝑥3+ 2𝑥2 + 2𝑥+ 3 juga
merupakan bilangan bulat adalah …
A. −2 B. −1 C. 0 D. 1 E. 2
37.Banyaknya solusi bulat dari system persamaan
𝑥
38.Sebuah jam pasir berbentuk kerucut terbalik dengan jari-jari 50 cm dan tinggi 80 cm. Jam
tersebut menjatuhkan pasir dengan debit 1 cm3/detik. Berapakah kecepatan perubahan
kedalaman pasir saat kedalaman pasirnya 10 cm? (dalam cm/detik)
A. 2500𝜋
langkah, Adi diminta menghapus keduanya kemudian menggantinya dengan jumlah dan
selisih keduanya. Setelah 1000 langkah, hasil kali dua bilangan yang dihasilkan tidak
mungkin bernilai …
41.Suatu barisan bilangan 𝑈 = {𝑈𝑛}𝑛∞=1 didefinisikan sebagai
𝑈𝑛 = 𝑛2 +𝑛+ 1.
Jumlah 100 suku pertama dari barisan bilangan tersebut adalah …
A. 333.500 B. 334.500 C. 338.500 D. 343.500 E. 348.500
42.Misalkan𝑥,𝑦, dan 𝑧 merupakan bilangan real. Tentukan nilai terbesar dari 𝑧 sedemikian sehingga 𝑥+𝑦+𝑧= 2 dan 𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥 = 1 !
A. 0 B. 1
2 C.
3
4 D. 1 E.
4 3
43.Diberikan sebuah bilangan 4 digit. Bilangan tersebut jika dibaca dari belakang sama
dengan 3 kali bilangan itu sendiri. Banyaknya bilangan yang memenuhi kondisi ini adalah
…
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
44.𝑥,𝑦, dan 𝑧 merupakan bilangan real sedemikian sehingga
𝑥2+𝑦2 = 144 𝑥2 +𝑥𝑦 3 +𝑦2 = 25
𝑦2+𝑦𝑧+𝑧2 = 169
Nilai dari 𝑦𝑧 3 +𝑥𝑦+ 2𝑥𝑧adalah …
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 E. 180
45.Banyaknya himpunan bagian dari himpunan 𝑆= {1, 2, 3,…, 11} sedemikian sehingga
tidak memuat 7 bilangan berurutan adalah …
A. 1999 B. 2000 C. 2001 D. 2002 E. 2003
46.Tentukan banyaknya segitiga yang panjang setiap sisinya merupakan bilangan bulat dan
panjang sisi terpanjangnya 100 satuan!
A. 4951 B. 5000 C. 9902 D. 10000 E. 10050
47.Banyaknya solusi positif dari system persamaan
𝑥3 +𝑥4 =𝑥12 𝑥4+𝑥1 = 𝑥22 adalah …
A. 0 B. 1 C. 4 D. 8 E. Tak berhingga
48.Sisa pembagian 𝑥2010 −2𝑥1006 + 1 oleh 𝑥2 −1adalah …
A. 0 B. 2 C. 2𝑥 D. −2 E. −2𝑥
49.Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat 𝑂 dan jari-jari 6 cm. Sebuah garis melalui titik
𝑃, yang terletak di luar lingkaran, menyinggung lingkaran di titik 𝐴. 𝐵 dan 𝐶 titik titik pada lingkaran sedemikian sehingga 𝑃𝐵= 𝐵𝐶. Jika panjang 𝐴𝑃 = 6 cm dan titik 𝐵,𝐶 dan
𝑃 segaris, maka panjang 𝑃𝐵=… cm
A. 3 B. 2 3 C. 3 2 D. 3 3 E. 6
50.Sebuah lingkaran berpusat di titik 𝑂 dan berjari-jari 3 cm. Tali busur 𝐴𝐵 melewati titik 𝑂.
Tali busur 𝐶𝐷 memotong 𝐴𝐵 di titik 𝑀. 𝐸 adalah titik pada 𝐶𝐷 sedemikian sehingga
𝐴𝐸 ⊥ 𝐶𝐷. Jika panjang 𝐴𝐶 = 5 cm dan panjang 𝐴𝐷= 2 cm, maka panjang 𝐴𝐸 =… cm A. 6
5 B.
4
3 C.
3
2 D.
5
3 E. 2
BAGIAN II. ISIAN SINGKAT
1. Diberikan sebuah matriks 𝐴 = 1 0
2 2 . Nilai dari 𝐴
2011 adalah …
2. Suatu fungsi 𝑚 dan 𝑛 memetakan himpunan bilangan asli pada bilangan bulat dengan
𝑚(𝑥) dan 𝑛(𝑥) masing-masing menyatakan hasil kali dan penjumlahan digit-digit dari 𝑥. Jika 0 < 𝑥< 100, maka nilai maksimum dari 𝑚(𝑥)
𝑛(𝑥) adalah …
3. Jika setiap 2 dari 3 persamaan kuadrat
𝑥2− 𝑎2𝑥+𝑎+ 1 = 0 𝑥2− 𝑎+ 1 𝑥+𝑎= 0 𝑥2−3𝑎𝑥+𝑥+𝑎2+ 2 = 0
selalu memiliki tepat satu akar real yang sama, maka nilai dari 𝑎adalah …
4. Diberikan suatu barisan bilangan 𝑎𝑛 𝑛∞=1. Jika𝑎1 = 2,𝑎2 = 3, dan 𝑎𝑛+2 = 5𝑎𝑛+1−6𝑎𝑛.
5. Diberikan sebuah segienam beraturan 𝐴1 dengan panjang sisi 1 cm. Untuk setiap bilangan
asli 𝑖 yang lebih dari 1, 𝐴𝑖 merupakan segienam beraturan yang titik-titik sudutnya
merupakan titik tengah sisi-sisi segienam beraturan 𝐴𝑖−1. Tentukan nilai terkecil dari 𝑛
sedemikian sehingga luas 𝐴𝑛 kurang dari 1
15 kali luas 𝐴1 !
6. Tentukan banyaknya bilangan 5 digit yang jumlah digit-digitnya samadengan 10 !
7. 4 pasang suami istri beserta anaknya masing-masing 1 orang hadir dalam sebuah jamuan
makan. Jika mereka duduk melingkar, tentukan banyaknya posisi duduk mereka sehingga
setiap anak duduk diapit oleh kedua orang tuanya !
8. Diberikan sebuah segitiga sama sisi 𝐴𝐵𝐶 dengan panjang sisi 6 cm. Sebuah lingkaran
dengan jari-jari 3 cm melewati titik 𝐵dan 𝐶. Lingkaran ini memotong sisi 𝐴𝐵 dan 𝐴𝐶
masing-masing di titik 𝑃 dan 𝑄. Di dalam bidang 𝐴𝑃𝑄 dibuat sebuah lingkaran. Jari-jari
lingkaran terpanjang yang bisa dibuat adalah … cm.
9. Banyaknya cara menyusun 7 benteng pada papan catur berukuran 8 × 8 sedemikian
sehingga tidak ada benteng yang bisa saling memangsa adalah …
10.Diberikan sebuah segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan 𝐴𝐵 = 12 cm, 𝐴𝐶 = 13 cm dan ∠𝐴𝐵𝐶= 90°. Sebuah lingkaran menyinggung sisi 𝐵𝐶, perpanjangan garis 𝐴𝐵 dan perpanjangan garis
