1 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] TRANSLASI
1. PENGERTIAN TRANSLASI
Translasi adalah Transformasi yang memindahkan titik – tiik dengan jarak dan arah tertentu.
Dengan rumus umum :
x y P
x a y b
P b
T a
,
, '
2. TRANSLASI TITIK
Pada dasarnya prinsip translasi dapat digunakan dalam semua bentuk baik bangun datar maupun bangun ruang. Hal yang perlu diingat adalah benda yang akan ditranslasikan itu mempunyai bentuk yang tetap, sehingga menghasilkan bayangan yang semula.
Contoh:
1. Tentukan bayangan dari titik – titik berikut jika ditranslasikan oleh a. P = (1, 4)
b. Q = (-1,1) c. R = (2, -4) Penyelesaian :
2,4
4, 1
.
4 , 1 1
, 1 .
7 , 3 3
4 , 2 1 4
, 1 .
3 ' 2 3 ' 2
' 3 '
2
R R
Titik c
Q Q
Titik b
P P
P Titik a
T T T
3 T 2
2 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ]
2. Jika translasi T memetakan titik A(1,-2) ketitik A’(4,3), tentukan translasi itu?
Penyelesaian:
Misalkan T adalah
b T a
1,2 A;
1 a, 2 b
A'
4,3 b AT a
Dari persamaan diatas diperoleh :
5 3
2
3 4
1
b b
a a
Jadi translasi T adalah
5 T 3
3. TRANSLASI TITIK PADA RUANG DIMENSI TIGA (3D) Contoh:
3 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] Diketahui sebuah titik R(2, 1, 2) dan ditranslasikan ke
2 1 1 T
tentukan bayangan R’!!
) 4 , 2 , 3 ( ' )
2 , 1 , 2
( 2
1 1
R R
T
4. TRANSLASI SUATU GARIS Contoh :
Jika diketahui garis lurus y = 4x + 1, maka tentukan bayangan dari persamaan garis tersebut setelah ditranslasikan oleh !
2 1
T
Penyelesaian:
Y = 4x + 1 Jika :
4 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ]
1 4
7 8 4
2 4 7
2 3
2 7
11 7
9 , 2 ( , 9 ,
2
5 , 1 ,
5 ,
1
1 2
1
1 2
1
x y
x y
x y
x y
x x
x x y y
y y
titik dua lurus garis persamaan
Q y
maka x
P y
maka x
5. TRANSLASI SUATU BANGUN
' ' '
' ' '
' '
'
' ' '
, ,
C B A ABC Sehingga
C A AC C B BC B A AB
C B A
ABC b
T a
Contoh :
A (2,3), B(0,6), C(1,4) ditranslasikan oleh
3
T 4 , tentukan koordinat translasi
dan gambarkan !
Penyelesaian :
1,4
5,7 9 , 4 6, 0
6 , 6 3
, 2
3 ' 4 3 ' 4 3 ' 4
C C
B B
A A
T T T
5 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] 6. KOMPOSISI DUA TRANSLASI BERURUTAN
Misalkan T1 adalah transformasi yang memetakan titik P’ (x’, y’), kemudian dilanjutkan transformasi T2 yang memetakan titik P” (x”,y”). Dapat di notasikan sebagai berikut :
Transformasi yang ditulis dalam T1oT2 (Dibaca : T2 komposisi T1), dinamakan komposisi transformasi atau transformasi majemuk, yaitu suatu transformasi yang didalamnya melibatkan dua atau lebih transformasi tunggal secara berurutan.
Note :
Notasi T1oT2 menyatakan transformasi T2 dikerjakan terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan transformasi T1
Notasi T2oT1 menyatakan transformasi T1 dikerjakan terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan transformasi T2
Contoh :
Jika diketahui titik A(1,6) dan , 5 , 3
3 2
2
1
T
T Maka tentukanlah :
a. T1 (1,6) b. T2 (1,6) c. T1oT2 (1,6) d. T2oT1 (1,6) Penyelesaian :
1,6
3,3
6,8
1,6 6,8.
8 , 6 6 , 1 8
, 6 11
, 4 6
, 1 .
11 , 4 6 , 1 ,
11 , 4 6
, 1 .
3 , 3 6 , 1 ,
3 , 3 6
, 1 .
1 2 5 ''
3 '
2 3 2
2 1 3 ''
2 '
2 5 3
2 '
2 5 3
1 '
1 3 2
oT T jadi A
A A
d
oT T jadi A
A A
c
T jadi A
A b
T jadi A
A a
T T
T T
T T
P(x , y) T2 P’(x’ , y’) T1 P’’(x’’ , y’’)
6 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ]
Hasil dari perhitungan pada contoh tersebut menunjukkan berlakunya sifat komutatif.
7. TRANSLASI PADA LINGKARAN
Lingkaran adalah himpunan titik – titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang tetap. Titik tetap tersebut disebut titik pusat lingkaran dan jarak tetap tersebut disebut jari – jari lingkaran.
a. Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari –jari r
Untuk menentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 0 (titik – titik asal koordinat) dan berjari- jari r, perhatikan
lingkaran yang dilukiskan pada diagram cartesius seperti ditunjukkan pada gambar.
7 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ]
Dengan menerapkan Teorema Pytagoras pada segitiga OP’P, diperoleh hubungan:
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
' ,
' ,
; ' '
r y x
y x r
y PP dan x OP r OP sebab y
x r
PP OP
OP
Oleh karena pengambilan titik P (x,y) tadi dilakukan sembarang, maka persamaan
2 2
2 y r
x berlaku untuk semua titik P (x,y) yang terletak pada keliling lingkaran itu. Dengan demikian, kita dapat mengambil kesimpulan persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari – jari r adalah: x2 + y2 = r2
Notasi pembentuk himpunan dengan pusat 0 dan jari –jari r dapat ditulis sebagai berikut :
( , ) 2 2 2
x y x y r
L
Contoh :
1. Jika diketahui jari – jari lingkaran 5 cm. Maka tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat dititik asal ditranslasikan terhadap
4
T 3 maka
tentukan persamaan bayangannya.
Penyelesaian : x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 52 x2 + y2 = 25
jadi persamaan lingkaran yang berpusat di titik 0 dan berjari – jari 5 cm adalah :
x2 + y2 = 25
8 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ]
Jika persamaan lingkaran yang berpusat dititik (0,0) di translasikan sejauh ,
y
T x maka diperoleh :
0,0 '
0, 0
y x P
P y
T x
jika persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0,0) dan berjari – jari 5cm pada contoh sebelumnya ditranslasikan oleh ,
4 3
T maka akan diperoleh:
5,0
2,4 4 , 8 0, 5
1 , 3 5
, 0
9 , 3 5
, 0
4 , 3 0
, 0
4 ' 3 4 ' 3 4 ' 3 4 ' 3 4 ' 3
P D
P C
P B
P A
P P
T T
T T T
9 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] b. Persamaan lingkaran yang berpusat dititik (a,b)
Misalkan P (x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran.
Buatlah garis g yang melalui titik pusat A (a,b) dan sejajar dengan sumbu X, P’
adalah proyeksi P pada garis g sehingga segitiga AP’Q merupakan segitiga siku- siku di P’ dengan AP’ = (x – a),PP’ = (y – b) dan AP = r (jari – jari lingkaran).
Dengan menggunakan teorema pytagoras pada segitiga AP’Q, maka kita akan mendapatkan hubungan
2
22 2 2
2 2
2 '
'
b y a x r
b y a x r
QP AQ
AP
Karena titik P (x , y) kita ambil sembarang, maka persamaan (x - a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik P (x , y) yang terletak pada keliling lingkaran sendiri. Persa maan lingkaran dengan pusat A(a , b) dan jari –jari r adalah (x - a)2 + (y – b)2= r2 Lingkaran dalam bentuk persamaan L = (x - a)2 + (y – b)2 = r2 sering dikatakan sehingga persamaan berlaku baku. Dalam arti jika persamaan.
c. Bentuk umum persamaan lingkaran
Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) yaitu : x2 + y2– 2ax + c = 0
P(x , y)
P’(x , y) A(a, b)
a
b Q
10 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ]
persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari – jari r dapat diuraikan kedalam bentuk aljabar sebagai berikut :
x2 + y2– 2ax + 2by + c = 0 x2 + y2– 2ax + 2by = – c
x2– 2ax + a2 + y2– 2by + b2 = – c + a2 + b2 (x – a)2 + (y – b)2 = a2 + b2– c
Dengan memperhatikan bentuk diatas, maka jari – jari lingkaran tersebut adalah : a. Pusat lingkaran : (a , b)
b. Jari – jari lingkaran : a2 b2 c Contoh :
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di titik (3,1) dan melalui titik (6,-3) dan ditranslasikan sejauh
3 T 2
Penyelesaian :
Tentukan kuadrat jari – jari terlebih dahulu r2 = (x - a)2 + (y – b)2
r2 = (6 - 3)2 + (-3 – 1)2 r2 = (3)2 + ( -4)2
r2 = 9 + 16 r2 = 25
(x - a)2 + (y – b)2 = r2 (x - 3)2 + (y – 1)2 = 25
Dari persamaan lingkaran (x - 3)2 + (y – 1)2 = 25 di translasikan sejauh
