Jika ingin meng materi ini klik tulisan ini : Handout Matriks Vektor Terbaru 2

2 |SMA SANTA ANGELA

VEKTOR

A. Pengertian Vektor

Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah.

Dilambangkan dengan :

Keterangan :

Titik A disebut titik Pangkal

Titik B disebut titik Ujung

Dinotasikan : ⃗⃗⃗⃗⃗ atau

B. Vektor di R2 ( Ruang Dimensi Dua )

Panjang Vektor, Vektor Nol, Vektor Satuan dan Vektor Basis

1. Panjang Vektor

adalah jarak antara titik pangkal dan titik ujung vektor.

Misalkan diketahui titik ( ) dan titik ( ). Panjang vektor ⃗⃗⃗⃗⃗ dinotasikan | ⃗⃗⃗⃗⃗ |.

2. Vektor Nol

adalah suatu vektor yang ukurannya nol dan arahnya sembarang.

Dinotasikan : ⃗ ( )

𝐴 𝐵

3 |SMA SANTA ANGELA 3. Vektor Satuan

adalah suatu vektor yang panjangnya satu satuan. Hanya vektor nol

yang tidak memiliki satuan. Jika * ₊ maka vektor satuan ke arah

adalah ⃗⃗⃗⃗ _⃗ . Secara aljabar ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗ |

( )

√

+

dan | ⃗⃗⃗⃗ | ⃗ .

4. Vektor Basis

adalah vektor-vektor yang saling tegak lurus. Pada bidang koordinat

kartesius terdapat dua vektor basis yang dinyatakan dalam

̂

dan

̂

.

Secara aljabar vektor

̂

*

+

dan ̂ * +. Jika diketahui suatu vektor

*

+

maka kombinasi linear vektor dalam vektor basis _̂ dan

̂

adalah :

5. Vektor Posisi

Misalkan diketahui titik ( ). Vektor posisi yang diwakili oleh ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah vektor posisi dari titik . Vektor posisi dari titik ( )

adalah

*

+

.

𝑎

𝑥

𝑖

̂ +

𝑦

𝑗

̂

𝑌

𝑋 𝑂

𝐴(𝑥 𝑦 )

4 |SMA SANTA ANGELA Ruas Garis berarah

6. Operasi Pada Vektor a. Secara Geometri

1. Penjumlahan

Aturan segitiga : jumlah vektor dan ⃗ dapat ditentukan dengan cara memindah vektor ⃗ ( tanpa mengubah besar dan

arahnya )

Aturan jajarangenjang : jumlah vektor dan ⃗ dapat ditentukan dengan cara memindah vektor ⃗ ( tanpa mengubah besar dan arahnya ), tetapi titik pangkal vektor ⃗ berimpit dengan titik pangkal vektor

Aturan poligon : penjumlahan tiga buah vektor atau lebih.

Sifat – sifat operasi penjumlahan vektor

Sifat Bentuk

Komutatif

Asosiatif

Elemen identitas

Negatif ( lawan )

+ ⃗ ⃗ +

( + ⃗ ) + + ( ⃗ + ) ⃗ , dengan ⃗ + + ⃗

5 |SMA SANTA ANGELA 2. Pengurangan

Metode penyelesaiannya : sama seperti penjumlahan vektor

yaitu menggunakan aturan segitiga, jajarangenjang maupun

poligon.

b. Secara Aljabar

7. Perkalian Suatu Skalar dengan Vektor

Misalkan : diketahui suatu skalar dan vektor * +

Secara Aljabar vektor [ ]

Jika diketahui suatu skalar k, skalar l, vektor dan vektor ⃗ maka

berlaku sifat :

Penjumlahan dan pengurangan dua vektor secara aljabar

dilakukan dengan menjumlahkan maupun mengurangkan

masing-masing komponen yang bersesuaian.

Misalkan diketahui vektor 𝑎 *𝑥_𝑦 + dan 𝑏⃗ *𝑥_𝑦 + maka :

𝑎

+

𝑏

⃗ *

𝑥

𝑦

+ + *

𝑥

𝑦

+ *

𝑥

𝑦

+

+

𝑥

𝑦

+

𝑎

−

𝑏

⃗ *

𝑥

𝑦

+ − *

𝑥

𝑦

+ *

𝑥

𝑦

−

−

𝑥

𝑦

+

6 |SMA SANTA ANGELA 8. Perbandingan Vektor

Misalkan diketahui titik ( ) dan ( ). jika titik pada garis sedemikian sehingga

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

dengan p dan q

masing-masing-masing suatu skalar , maka vektor posisi titik

adalah :

9. Perkalian Titik dan Sudut antar Dua Vektor

Misalkan diketahui vektor * +, ⃗ * + dan sudut antara vektor

dan

⃗

adalah

.

Perkalian titik dua vektor

dan

⃗

(

biasa

disebut dot product

dan

⃗

) adalah :

Diketahui vektor dan skalar . Berlaku sifat–sifat perkalian skalar

dua vektor :

𝑐

𝑞𝑎

𝑝

+

+

𝑞

𝑝𝑏

⃗

𝑎 ∙𝑏⃗ |𝑎 | ∙ |𝑏⃗ | cos𝛼 |𝑎 +𝑏⃗ | |𝑎 | + |𝑏⃗ | + |𝑎 ||𝑏⃗ |𝑐𝑜𝑠𝛼

cos𝛼

|

𝑎

⃗ ∙

𝑏

⃗

𝑎

⃗ |∙|

𝑏

⃗ |

|𝑎 −𝑏⃗ | |𝑎 | + |𝑏⃗ | − |𝑎 ||𝑏⃗ |𝑐𝑜𝑠𝛼

1. 𝑎 ∙𝑎 |𝑎 | 2. 𝑎 ∙𝑏⃗ 𝑏⃗ ∙𝑎 3. ⃗ ∙𝑎 𝑎 ∙ ⃗ ⃗ 4. 𝑎 (𝑏⃗ +𝑐 ) 𝑎 ∙𝑏⃗ +𝑎 ∙𝑐 5. 𝑘(𝑎 ∙𝑏⃗ ) (𝑘𝑎 )𝑏⃗ 𝑎 (𝑘𝑏⃗ )

6. Jika vektor

𝑎

dan

𝑏

⃗ searah maka

𝑎

∙

𝑏

⃗ |

𝑎

| ∙ |

𝑏

⃗ |

7. Jika vektor

𝑎

dan

𝑏

⃗ saling tegak lurus maka

𝑎

∙

𝑏

⃗

7 |SMA SANTA ANGELA Contoh Soal :

1. Tentukan + ⃗ dan − ⃗ dari vektor-vektor di bawah ini !

2. Tentukan

a



b



c



d

_{dari vektor-vektor di bawah ini :}

3. Diketahui : titik ( ) dan ( − )

a. Nyatakan vektor posisinya dengan bentuk vektor kolom dengan

kombinasi linear ̂ dan ̂.

b. carilah panjang masing – masing vektornya.

4. Diketahui : vektor

*

− +

, vektor

⃗ * +

dan

*−

+

a. Tentukan + ⃗ dan ⃗ +

b. Periksalah apakah + ⃗ ⃗ + c. Tentukan ( + ⃗ ) + dan + ( ⃗ + ) d. Periksalah apakah ( + ⃗ ) + + ( ⃗ + )

5. Diketahui : vektor − ̂ + ̂, vektor − ̂ + ̂ dan vektor vektor ̂ + ̂ . Tentukan vektor-vektor berikut ini ( dalam ̂ dan ̂ ).

a. + + c. − +

b. − − d. + ⃗⃗⃗⃗ −

𝑎

𝑏

⃗

8 |SMA SANTA ANGELA 6. Diketahui : titik ( ) dan titik ( ). Titik adalah sebuah titik pada

garis hubung sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

a. Tentukanlah vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗

b. Tentukanlah vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗

c. Tentukan koordinat titik

7. Diketahui : vektor

* +

, vektor

⃗ *

− +

dan vektor

*−

+

. Tentukan :

a.

| |

b.

| + ⃗ |

8. Diketahui : vektor *

− +, tentukan vektor satuan dari vektor

.

9. Diketahui ruas garis AB dengan koordinat titik ( − ) dan koordinat titik

( ).

a. Tentukan koordinat titik C, jika

b. Tentukan koordinat titik D, jika −

10.Diketahui vektor * + dan vektor ⃗ *

− + maka tentukanlah ∙ ⃗ dan

⃗ ∙

.

11.Diketahui : vektor * + dan vektor ⃗ *

+ serta vektor orthogonal (tegak lurus) terhadap vektor ⃗ , hitunglah nilai .

Latihan 1

1. Diketahui : vektor-vektor * + dan ⃗ *

− +. Tentukanlah : a. | | b. | ⃗ | c. | + ⃗ | d. | − ⃗ | 2. Diketahui : *

9 |SMA SANTA ANGELA 3. Koordinat titik ( ) dan ( − ) . Titik R terletak pada garis

sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .

a. Tentukan vektor yang diwakili oleh ruas garis ⃗⃗⃗⃗⃗

b. Tentukan vektor yang diwakili oleh ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗

c. Tentukan koordinat titik .

4. Diketahui : titik _{( − )} dan titik _{(− )} maka tentukanlah koordinat titik

P, jika

5. Diketahui : titik (− − ) dan titik ( ) . Titik C terletak pada perpanjangan ruas garis AB, sehingga

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ . Tentukanlah koordinat

titik C.

6. Diketahui : vektor * +, vektor * + dan vektor + . Tentukan panjang vektor dan vektor satuan dari vektor .

7. Diberikan vektor-vektor ( − ) + ( + ) , ⃗ ( + ) + ( − ) dan + . Jika + ⃗ + maka tentukanlah kombinasi linear dari − ⃗ + dalam dan .

8. Diketahui : vektor ⃗ * + dan *−

− + maka tentukanlah ⃗ ∙ .

9. Tentukan sudut antara vektor dan ⃗ , jika diberikan | | , | ⃗ | dan

∙ ⃗ √ .

10.Diketahui : vektor ⃗ * + dan * + maka tentukan sudut antara vektor ⃗ dan .

11.Diberikan vektor ⃗ * + dan *

10 |SMA SANTA ANGELA

VEKTOR

C. Vektor di R3 ( Ruang Dimensi Tiga )

Pada dimensi 3 semuanya analog dengan vektor pada dimensi 2

Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor Ortogonal

Contoh :

1. Diketahui : ̂ − ̂ − ̂ dan ⃗ ̂ + ̂ − ̂. Berdasarkan vektor – vektor tersebut maka tentukan :

a. Tentukan proyeksi skalar orthogonal dari vektor pada arah vektor ⃗ b. Tentukan proyeksi skalar orthogonal dari vektor ⃗ pada arah vektor c. Tentukan proyeksi vektor orthogonal dari vektor pada arah vektor ⃗

2. Diketahui : vektor (− ) dan vektor (− ). Jika panjang vektor

pada adalah

maka tentukanlah nilai

.

1. Proyeksi skalar ortogonal dari vektor 𝑎 pada arah vektor 𝑏⃗ , ditentukan :

|

𝑐

|

𝑎

⃗ ∙

|

𝑏

⃗ |

𝑏

⃗

2. Proyeksi vektor ortogonal dari vektor 𝑎 pada arah vektor 𝑏⃗ , ditentukan :

𝑐

(

𝑎

⃗ ∙

𝑏

⃗

11 |SMA SANTA ANGELA Contoh Soal :

1. Diketahui : vektor ⃗ (− ), vektor (

− ) dan vektor ⃗⃗ (− ) a. Tentukan : ⃗ − + ⃗⃗

b. Tentukan : ⃗ _{− +} ⃗⃗

2. Diketahui : 3 buah titik yaitu titik _{( )}, _{( )} dan _{( − )}.

Ruas-ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ masing-masing mewakili vektor

,

⃗

dan

a. Nyatakan vektor

,

⃗

dan

dalam vektor kolom

b. Nyatakan ruas garis ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ dalam vektor kolom

c. Tunjukkan bahwa titik dan segaris atau kolinear.

d. Tentukan ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

3. Diketahui : titik ( − ) dan ( − ). Titik R adalah titik pada garis

hubung ⃗⃗⃗⃗⃗ sehingga ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

a. Tentukan vektor yang diwakili ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗

b. Tentukan vektor yang diwakili ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗

c. Tentukan koordinat titik

4. ABC adalh bangun geometri segitiga dengan koordinat titik sudutnya

( ), _{( − )} dan _{( − )}. Dengan menggunakan rumus jarak, perlihatkan bahwa segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di B.

5. Diketahui : vektor ₍− ), tentukan vektor satuan dari vektor

.

6. Diketahui : ruas garis dengan koordinat titik ( − ) dan ( − ). Titik R membagi ruas garis dengan perbandingan .

12 |SMA SANTA ANGELA 7. Diketahui : ( ), (− ) dan ( − ). Ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗

mewakili vektor ⃗ dan ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ mewakili vektor . Tentukan ( ⃗ ∙ ).

8. Diketahui : vektor ⃗ (₋ ) dan vektor ( − )

. Vektor

⃗ +

dan

vektor tegak lurus pada vektor ⃗ . Tentukan nilai yang mungkin.

9. Diketahui : vektor (

− ) dan vektor ⃗ ( −

− ). Tentukan besar sudut antara vektor dan ⃗ .

10.Diketahui : titik ( − ), (− − ) dan vektor ̂ − ̂ + ̂.

a. Tentukan proyeksi skalar vektor pada arah ⃗⃗⃗⃗⃗

13 |SMA SANTA ANGELA LATIHAN SOAL VEKTOR

1. _{Diketahui : vektor} ⃗ _{dan . Jika} | ⃗ | _, | | _dan | ⃗ + | maka nilai | ⃗ − | sama dengan……

a. √ d. √

b. _√ e.

c. _√

2. _{Diketahui : vektor-vektor} (

− ) , ⃗ ( ) dan (− ) maka + ⃗ − sama dengan……

a. (

− ) d. (− )

b. (−

− ) e. (− )

c. ( )

3. _{Diketahui : vektor-vektor} (

− ), ⃗ ( ) dan ( ). Besar vektor ⃗ − ( − ) adalah……

a. _√ d. _√

b. e. _√

c. _√

4. _{Diketahui : vektor-vektor} ̂ − ̂_, ̂ + ̂ − ̂ _dan ̂ + ̂ maka − + sama dengan……

a. _{̂ + ̂ − ̂} d. _{̂ − ̂ + ̂}

b. ̂ − ̂ + ̂ e. ̂ − ̂ + ̂

c. _{̂ − ̂ + ̂}

5. _{Diketahui : vektor} ( −

) dan ⃗ (− ) dan (− ) . Jika

⃗ − ⃗ + maka | ⃗ | adalah……

14 |SMA SANTA ANGELA

b. √ e. _√

c. √

6. _{Diketahui : vektor} (− − )

, ⃗ ( ) dan ( ). Nilai | − ⃗ + |

adalah……

a. √ d.

b. √ e.

c.

7. _{Diketahui :} ( ) _dan ( )_{. Titik} ( ) _{membagi AB} dengan perbandingan . Koordinat titik adalah……

a. ( ) d. ( )

b. ( ) e. ( )

c. (− )

8. _{Diketahui :} ( )_, ( ) _dan ( − )_{. Titik terletak} sehingga . Panjang adalah……

a. _√ d. _√

b. e. _√

c. _√

9. _{Diketahui : titik} ( )_, (− − − ) _{dan membagi di luar} dengan perbandingan , maka koordinat titik adalah……

a. (− − − ) d. ( )

b. (− − − ) e. ( )

c. (− − − )

10. _{Ditentukan koordinat} ( − ) _, ( − ) _dan ( ) _. membagi sehingga dan membagi di luar dengan perbandingan . Panjang vektor adalah……

a. _√ d. _√

15 |SMA SANTA ANGELA c. _√

11. _{Diketahui segitiga dengan} ( − ) ( − ) _dan ( )_. Koordinat titik berat adalah……

a. ( ) d. (− )

b. (− ) e. (− )

c. (− )

12. _{Diketahui : titik} – titik (− )_, ( ) _dan ( )_{. Jika} dan segaris maka koordinat adalah……

a. ( ) d. ( )

b. ( ) e. ( )

c. ( )

13. _{Jika vektor} ( )_, ( − )

dan ( ) dan ( − ⃗ ) ∙ ⃗ ∙ ,

maka nilai sama dengan……

a. − d.

b. ₋ e.

c.

14. _{Ditentukan vektor} – vektor ⃗ ̂ − ̂ + ̂ _dan ̂ + ̂ − ̂_. Jika vektor ⃗ + dan vektor ⃗ ⃗ − maka nilai ∙ ⃗ adalah…….

a. − d.

b. − e.

c.

15. _{Ditentukan : vektor} ( − )

; ⃗ (− − )

dan ( ⃗ ) maka nilai

bulat yang memenuhi adalah……

a. − d.

b. − e.

16 |SMA SANTA ANGELA 16. _{Sudut antara vektor} ⃗ ̂ + ̂ + ̂ _{dan vektor} ̂ + ̂ _{adalah .}

Maka nilai adalah……

a. atau d. − atau

b. atau − e. − atau −

c. − atau

17. _Vektor ⃗ ̂ + ̂ − ̂ _{tegak lurus terhadap vektor} ̂ − ̂ − ̂ maka nilai adalah……

a. − atau

d. −

atau

−

b. − atau e. atau

c. −

atau

18. _{Diketahui : dengan} ( − ) _, ( − ) _dan ( ) _. Tangen sudut antara ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah……

a. d.

b. √ e. √

c. √

19. _{Diketahui : dengan} ( − − )_, ( ) _dan ( )_{. Jika} adalah sudut antara ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ maka nilai dari

s

a. _√ d. − _√

b. _√ e. − _√

c. √

17 |SMA SANTA ANGELA a. − dan d. dan −

b. − dan e. dan −

c. dan

21. _{Diketahui :} ̂ + ̂ + ̂ _dan ⃗ ̂ + ̂ − ̂ _{maka proyeksi vektor} orthogonal vektor pada arah ⃗ adalah……

a. [ ] d. [

− ]

b. [

− ] e. [ ]

c. [ − ]

22. _{Diketahui : vektor} [ ] _dan [ −

]. Jika + dan − .

Proyeksi vektor pada vektor adalah……

a.

[ ] d.

[ ]

b. [ ] e.

[ ]

c. [ ]

23. _{Diketahui titik} (− ) ( ) _dan ( − )_{. Proyeksi} ⃗⃗⃗⃗⃗ _pada

⃗⃗⃗⃗⃗ adalah……

a.

( ̂ − ̂ + ̂) d. ( ̂ − ̂ + ̂)

b.

( ̂ − ̂ + ̂) e. ( ̂ − ̂ − ̂)

18 |SMA SANTA ANGELA 24. _{Diketahui dengan} ( − ) ( − ) _dan ( )_{. Proyeksi}

vektor orthogonal dari ⃗⃗⃗⃗⃗ pada arah ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah……

a.

[ ] d. [ ]

b.

[ ] e. [₋ ]

c.

[₋ ]

25. _{Panjang proyeksi} [− ] _pada ⃗ *

− + adalah √ . Nilai

a. − atau − d. atau

b. − atau e. atau

c. ₋ atau

26. _{Diketahui vektor} [ ] _; ⃗ *

− + dan panjang proyeksi vektor

pada ⃗ adalah √ . Jika sudut antara vektor dan ⃗ lancip, maka nilai adalah……

a. − d.

b. − e.

c.

27. _{Panjang proyeksi skalar orthogonal vektor} ̂ − ̂ + ̂ _{pada vektor} ⃗ ̂ − ̂ + ̂ adalah √ . Nilai yang memenuhi adalah……

a. d.

19 |SMA SANTA ANGELA c.

28. _{Diberikan vektor} [ −

√ ]

dengan dan vektor ⃗ [ √ ]

. Jika

dan ⃗ membentuk sudut , maka kosinus sudut antara vektor dan + ⃗ adalah……

a. _√ d.

√

b. _√ e. _√

c. _√

29. _{Diketahui :} + ⃗ ̂ − ̂ + ̂ _dan | − ⃗ | √ _{. Hasil dari} ∙ ⃗

a. d.

b. e.

c.

30. _Jika | | _, | ⃗ | _dan ( ⃗ ) _maka | + ⃗ |

a. d.

b. e.

c.

Daftar Pustaka

Suwah Sembiring dkk, 2012, Matematika Berbasis Pendidikan Karakter Bangsa untuk SMA / MA

Kelas XII IPA, YRAMA WIDYA Bandung.

Sukino, 2004. Matematika untuk SMA Kelas XII IPA, Erlangga.

Sartono Wirodikromo,2004. Matematika untuk SMA Kelas XII IPA, Erlangga.

20 |SMA SANTA ANGELA

Rignan Wargiyanto dkk, 2008, Buku Kerja Matematika Untuk SMA Kelas XII IPA Semester 1,

Erlangga.

Willa Adrian, 2008, Matematika Dasar untuk SMA, YRAMA WIDYA Bandung.

Joshua Sabandar,2009, Matematika untuk SMA kelas XI IPA, Bailmu Bumi Aksara.

Suwah Sembiring dkk, 2002, Rahasia Pintar Matematika untuk SMA / MA menembus SNM-PTN,