vektor

(1)

VEKTOR

(2)

Setelah menyaksikan tayangan ini

anda dapat

Menentukan penyelesaian

operasi aljabar vektor

(3)

Vektor

adalah

besaran

yang mempunyai

nilai dan arah

(4)



 Besar Besar vektor vektor

artinya panjang vektor artinya panjang vektor



 Arah Arah vektor vektor

artinya sudut yang dibentuk artinya sudut yang dibentuk

dengan sumbu X positif dengan sumbu X positif



Vektor disajikan dalam bentukVektor disajikan dalam bentuk ruas garis berarah

(5)

A A

B B

ditulis vektor AB atau u ditulis vektor AB atau u A disebut titik

A disebut titik pangkalpangkal

B

B disebut disebut titik titik ujungujung

u u 45 45°° _X_X

Gambar Vektor

(6)

Notasi Penulisan Vektor Notasi Penulisan Vektor



 _{Bentuk vektor kolom:}_{Bentuk vektor kolom:}

             == 44 33 uu                  − − = = 0 0 2 2 1 1 P PQQ atau atau 

 _{Bentuk vektor baris:}_{Bentuk vektor baris:}

( (

33,, 44

))

AB

==

_atau_atau vv

==

( (

−−

22,, 33,, 00

))



 _{Vektor ditulis dengan notasi:}_{Vektor ditulis dengan notasi:}

i, j

dandan

k

misal

(7)

VEKTOR DI R

22 Vektor di R Vektor di R22 adalah adalah

vektor yang terletak di satu bidang vektor yang terletak di satu bidang

atau atau

Vektor yang hanya mempunyai Vektor yang hanya mempunyai

dua komponen yaitu x dan y dua komponen yaitu x dan y

(8)

VEKTOR DI R

22 OA OA PA PA O OPP

+

=

O O _i_i _P_P j j X X ••A(x,y)A(x,y) Y Y OP = x OP = x

ii

; OQ= y; OQ= y

j

Jadi Jadi OA =x OA =xii + y+ y j j atau atau a = a = xxi +i + yy j j a a x x y y

ii vektor satuanvektor satuan searah

searah sumbu

sumbu XX

j

j vektor satuanvektor satuan searah

searah sumbu

sumbu YY

(9)

Vektor di R

33

Vektor di R

33

adalah

Vektor yang terletak diVektor yang terletak di ruang dimensi tiga

ruang dimensi tiga

atau

Vektor yang mempunyai Vektor yang mempunyai

tiga komponen tiga komponen yaitu x, y dan z yaitu x, y dan z

(10)

Misalkan koordinat titik T di R Misalkan koordinat titik T di R33

adalah (x, y, z) maka OP = x adalah (x, y, z) maka OP = x

ii

;; OQ = y OQ = y

j

dan OS = zdan OS = z

k

X X Y Y Z Z ••T(x,y,z)T(x,y,z) O O x x ii y y j j z z k k ••PP ••QQ ••SS

(11)

X X Y Y Z Z ••T(x,y,z)T(x,y,z) O O tt •• P P Q Q ••R(x,y)R(x,y) S S x x ii y y j j z z k k OP + PR = OR atau OP + PR = OR atau OP + OQ = OR OP + OQ = OR OR + RT = OR + RT = OTOT atauatau OP + OQ + OS = OP + OQ + OS = OTOT Jadi Jadi OT = x OT = x

ii

+ y+ y

j

+ z+ z

k

atau atau

tt

= x= x

ii

+ y+ y

j

+ z+ z

k

(12)

Vektor Posisi

Vektor posisi

adalah

Vektor yang

titik pangkalnya O(0,0)

(13)

X X Y Y O O Contoh: Contoh: A(4,1) A(4,1) B(2,4) B(2,4) Vektor posisi Vektor posisi

titik A(4,1) adalah titik A(4,1) adalah

   

 

 



 

 

==

11 44 aa O OAA

Vektor posisi titik B(2,4) adalah Vektor posisi titik B(2,4) adalah

j j ii 44 2 2 b b OB OB

==

++

a a b b

(14)

Panjang vektor

Dilambangkan dengan

tanda ‘harga mutlak

’’

(15)

Di R

Di R22_{, panjang vektor:}_{, panjang vektor:}

   

 

 



 

 

==

22 11 aa aa aa atau a = a atau a = a₁₁

ii

+ a+ a

j

₂₂

Dapat ditentukan dengan Dapat ditentukan dengan

teorema Pythagoras teorema Pythagoras 22 22 22 11

aa

==

++

(16)

Di R

Di R33 _{, panjang vektor:}_{, panjang vektor:}

22 22 22

yy

xx

z

vv

==

++

 

 

 



 

 

==

z z y y x x vv atau atau

v

= x= x

ii

+ y+ y

j

+ z+ z

k

Dapat ditentukan dengan Dapat ditentukan dengan

teorema Pythagoras teorema Pythagoras

(17)

Contoh: Contoh: 1. Panjang vektor: 1. Panjang vektor:

_{   }

 

 



 

 

==

44 33 aa adalah adalah aa == 3322 ++44 22 == √√25 = 525 = 5 2. Panjang vektor: 2. Panjang vektor: vv == 22ii ++ j j -- 22k k adalah adalah vv

=

2222

+

1122

+

((

−

22))22 = = √√9 = 39 = 3

(18)

Vektor Satuan

adalah suatu vektor yang

panjangn

(19)

Vektor satuan searah

sumbu

X,

sumbu Y

, dan, dan

sumbu Z

berturut-turut

berturut-turut adalah vektor

adalah vektor

i

i ,

, j

j dan

dan k

k













=













=













=

1 1 0 0 0 0 d daann 0 0 1 1 0 0 ,, 0 0 0 0 1 1 k k j j ii

(20)

Vektor Satuan Vektor Satuan

dari

dari vektor a = avektor a = a₁₁

ii

+

aa

j

₂₂

+

a a₃₃

k

adalah adalah 22 33 22 22 22 11 33 22 11

aa

k

aa

j j

aa

ii

aa

ee

_aa _aa

++

==

⇒⇒

==

(21)

Contoh:

Contoh: _{Vektor Satuan dari}_{Vektor Satuan} _dari

vektor a = vektor a =

i - 2j+

2k

adalah…. adalah…. Jawab: Jawab: a a a a

ee

_a_a

=

2 2 2 2 2 2 2 2 )) 2 2 (( 1 1 2 2 2 2

+

−

+

−

=

ii j j k k

e

_a_a

(22)

2 2 2 2 2 2 2 2 )) 2 2 (( 1 1 2 2 2 2

+

−

+

−

=

ii j j k k

ee

_a_a 33 22 22 j j k k ii

ee

_a_a

==

−−

++

k k j j ii

ee

_a_a 33 22 33 22 33 11

−−

++

==

(23)

ALJABAR VEKTOR

Kesamaan vektor Kesamaan vektor Penjumlahan vektor Penjumlahan vektor Pengurangan vektor Pengurangan vektor

Perkalian vektor dengan Perkalian vektor dengan

bilangan real bilangan real

(24)

Kesamaan Vektor

Misalkan: Misalkan: a = a a = a₁₁

ii

+ a+ a₂

j

₂ + a+ a₃₃

k

dandan b = b b = b₁₁ii _{+ b}_{+ b} 2 2

j

+ b+ b33

k

Jika: a = b , maka Jika: a = b , maka aa11 = b= b11 a a₂₂ = b= b₂₂ dandan a a₃₃ = b= b₃₃

(25)

Contoh

Diketahui: Diketahui: a = a =

ii

+ x+ x

j

- 3- 3

k

dandan b = (x – y) b = (x – y)ii _{- 2}_{- 2}

_j

_{- 3}_{- 3}

_k

Jika a = b, maka x + y = .... Jika a = b, maka x + y = ....

(26)

Jawab: Jawab: a = a =

ii

++ xx

j

- 3- 3

k

dandan b = (x – y) b = (x – y)ii _{- 2}_{- 2}

_j

_{- 3}_{- 3}

_k

a = b a = b 1 = x - y 1 = x - y x = -2; disubstitusikan x = -2; disubstitusikan 1 = -2 – y; 1 = -2 – y; ⇒⇒y = -3y = -3 Jadi x + y = -2 + (-3) = -5 Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

(27)

Penjumlahan Vektor

aa aa aa aa 3 3 2 2 1 1                  = = b b b b b b b b 3 3 2 2 1 1                  = = Misalkan:

Misalkan: dandan

Jika: a + b = c , maka vektor Jika: a + b = c , maka vektor

 

 

 



 

 

++

==

33 33 22 22 11 11 cc b b a a b b a a b b a a

(28)

Contoh

11 --22 pp --33 aa

 

 

 



 

 

==

33 66 p p b b

 

 

 



 

 

==

Diketahui: Diketahui: Jika a + b = c , maka Jika a + b = c , maka p p –– qq =....=.... dan dan 22 44qq 55 --cc

 

 

 



 

 

==

(29)

 

 

 



 

  −−

==

 

 

 



 

 

++

−−

++

−−

++

⇒

22 44 55 33 )) 11 (( 66 22 33 q q p p p p jawab: jawab: a a + + b b = = cc

 

 

 



 

  −−

==

 

 

 



 

 

++

 

 

 



 

 

22 44 55 33 66 p p 11 --22pp --33 q q

(30)

                 −− ==                  ++ −− ++ −− ++ 2 2 4 4 5 5 3 3 )) 1 1 (( 6 6 2 2 3 3 q q p p p p 3 + p = -5 3 + p = -5 ⇒⇒p = -8p = -8 -2p + 6 = 4q -2p + 6 = 4q 16 + 6 = 4q 16 + 6 = 4q 22 = 4q 22 = 4q ⇒⇒q = 5½;q = 5½; Jadi p – q = -8 – 5½ Jadi p – q = -8 – 5½ = -13½ = -13½

(31)

Pengurangan Vektor

Jika: a - b = c , maka Jika: a - b = c , maka c =(a c =(a₁₁ – b – b₁₁))ii + (a+ (a₂₂ – b – b₂₂)) j j + (a+ (a₃₃ - b- b₃₃))kk Misalkan: Misalkan: a = a a = a₁₁

ii

+ a+ a₂₂

j

+ a+ a₃₃

k

dan dan b = b b = b₁₁ii _{+ b}_{+ b} 2 2

j

+ b+ b₃₃

k

(32)

X X Y Y O O A(4,1) A(4,1) B(2,4) B(2,4) a a b b Perhatikan gambar: Perhatikan gambar:

   

 

 



 

 

3 3 2 2 --vektor posisi: vektor posisi:

titik A(4,1) adalah: titik A(4,1) adalah:

             == 11 44 aa titik B(2,4) adalah: titik B(2,4) adalah: _{   }          == 44 22 b b vektor AB = vektor AB =

(33)

Jadi secara umum:

Jadi secara umum: AB AB

==

bb

−−

aa

==

     

 

 

 

−−

     

 

 

 

==

−−

1 1 4 4 4 4 2 2 a a b b

   

 

 



 

 

3 3 2 2

--   

 

 



 

 

==

11 44 aa

_{   }

 

 



 

 

==

44 22 b b

   

 

 



 

 

3 3 2 2 -- A ABB

==

vektor AB = vektor AB =

(34)

Contoh 1

Jawab:

Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan B(1,2,4). Tentukan B(1,2,4). Tentukan komponen-komponen vektor AB komponen vektor AB













−−

==

























2 2 3 3 2 2 2 2 5 5 3 3 --4 4 2 2 1 1 a a b b AB AB

==

−−













−−

==

2 2 3 3 2 2 AB AB Jadi Jadi

(35)

Contoh 2

Diketahui titik-titik P(-1,3,0) Diketahui titik-titik P(-1,3,0) dan Q(1,2,-2). dan Q(1,2,-2).

Tentukan panjang vektor PQ Tentukan panjang vektor PQ (atau jarak P ke Q)

(36)

Jawab:

P(1,2,-2)P(1,2,-2) Q(-1,3,0) Q(-1,3,0) PQ = q – p = PQ = q – p =













 −−

==

























2 2 1 1 2 2 2 2 --2 2 1 1 --0 0 3 3 1 1 --                 −− == →→ 22 22 11 p p                  −− == →→ 00 33 11 qq

(37)

 

 

 



 

 

−−

==

22 11 22 PQ PQ 2 2 2 2 2 2 )) 2 2 (( )) 1 1 (( 2 2 PQ PQ

==

++

−−

++

−−

3

9

9 P

PQ

Q

Jadi

=

(38)

Perkalian Vektor dengan Bilangan Perkalian Vektor dengan Bilangan

Real Real aa aa aa aa 33 22 11

 

 

 



 

 

==

Misalkan: Misalkan: Jika: c =

Jika: c =

m

.a.a, maka, maka













==













==

33 22 11 33 22 11 .. .. .. cc a a m m a a m m a a m m a a a a a a m m dan dan m

(39)

Contoh

Diketahui:

Vektor

Vektor x

x yang memenuhi

yang memenuhi

a – 2

a – 2 x

x = 3b adalah....

= 3b adalah....

Jawab:

misal

 

 

 



 

 

−−

==

 

 

 



 

 

−−

 

 

 



 

 

−−

44

11

22

33

22

66

11

22

3 3 2 2 1 1 x x x x x x 66 11 --22 aa

 

 

 



 

 

==

44 11 --22 b b

 

 

 



 

 

==

dan

⇒⇒

 

 

 



 

 

==

xx 33 22 11 x x x x x x

(40)

⇒

 

 

 



 

 

−−

==

 

 

 



 

 

−−

 

 

 



 

 

−−

44 11 22 33 22 66 11 22 33 22 11 x x x x x x

 

 

 



 

 

−−

==

 

 

 



 

 

−−

 

 

 



 

 

−−

1122 33 66 22 22 22 66 11 22 33 22 11 x x x x x x

2 – 2x

₁₁

= 6

⇒

-2x

₁₁

= 4

⇒

x

₁₁

= -2

-1 – 2x

₂₂

= -3

⇒

-2x

₂₂

= -2

⇒

x

₂₂

= 1

6 – 2x

₃₃

= 12

⇒

-2x

₃₃

= 6

⇒

x

₃₃

= -3

Jadi

33

11

22 xx

vektor

 

 

 



 

 

−−

==

(41)