• Tidak ada hasil yang ditemukan

vektor

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "vektor"

Copied!
41
0
0

Teks penuh

(1)

VEKTOR

VEKTOR

(2)

Setelah menyaksikan tayangan ini

Setelah menyaksikan tayangan ini

anda dapat

anda dapat

Menentukan penyelesaian

Menentukan penyelesaian

operasi aljabar vektor 

operasi aljabar vektor 

(3)

Vektor

Vektor

adalah

adalah

besaran

besaran

yang mempunyai

yang mempunyai

nilai dan arah

nilai dan arah

(4)

 Besar Besar vektor vektor 

artinya panjang vektor  artinya panjang vektor 

 Arah Arah vektor vektor 

artinya sudut yang dibentuk artinya sudut yang dibentuk

dengan sumbu X positif  dengan sumbu X positif 

Vektor disajikan dalam bentukVektor disajikan dalam bentuk ruas garis berarah

(5)

A A

B B

ditulis vektor AB atau u ditulis vektor AB atau u A disebut titik

A disebut titik pangkalpangkal

B

B disebut disebut titik titik ujungujung

u  u  45 45°° XX

Gambar Vektor

Gambar Vektor

(6)

Notasi Penulisan Vektor  Notasi Penulisan Vektor 

Bentuk vektor kolom:Bentuk vektor kolom:

                  == 44 33 uu                                − − = = 0 0 2 2 1 1  P  PQQ atau atau 

Bentuk vektor baris:Bentuk vektor baris:

( (

33,, 44

))

AB

AB

==

atauatau vv

==

( (

−−

22,, 33,, 00

))

Vektor ditulis dengan notasi:Vektor ditulis dengan notasi:

i, j

i, j

dandan

k

k

misal

(7)

VEKTOR DI R

VEKTOR DI R

22 Vektor di R Vektor di R22 adalah adalah

vektor yang terletak di satu bidang vektor yang terletak di satu bidang

atau atau

Vektor yang hanya mempunyai Vektor yang hanya mempunyai

dua komponen yaitu x dan y dua komponen yaitu x dan y

(8)

VEKTOR DI R

VEKTOR DI R

22 OA OA PA PA O OPP

+

+

=

=

O O ii PP  j  j X X ••A(x,y)A(x,y) Y Y OP = x OP = x

ii

; OQ= y; OQ= y

 j

 j

Jadi Jadi OA =x OA =xii + y+ y j j atau atau a = a = xxi +i + yy j j a a x x y y

ii vektor satuanvektor satuan searah

searah sumbu

sumbu XX

 j

 j vektor satuanvektor satuan searah

searah sumbu

sumbu YY

(9)

Vektor di R

Vektor di R

33

Vektor di R

Vektor di R

33

adalah

adalah

Vektor yang terletak diVektor yang terletak di ruang dimensi tiga

ruang dimensi tiga

atau

atau

Vektor yang mempunyai Vektor yang mempunyai

tiga komponen tiga komponen yaitu x, y dan z yaitu x, y dan z

(10)

Misalkan koordinat titik T di R Misalkan koordinat titik T di R33

adalah (x, y, z) maka OP = x adalah (x, y, z) maka OP = x

ii

;; OQ = y OQ = y

 j

 j

dan OS = zdan OS = z

k

k

X X Y Y Z Z ••T(x,y,z)T(x,y,z) O O x x ii y y  j  j z z k k ••PP ••QQ ••SS

(11)

X X Y Y Z Z ••T(x,y,z)T(x,y,z) O O tt •• P P Q Q ••R(x,y)R(x,y) S S x x ii y y  j  j z z k k OP + PR = OR atau OP + PR = OR atau OP + OQ = OR OP + OQ = OR OR + RT = OR + RT = OTOT atauatau OP + OQ + OS = OP + OQ + OS = OTOT Jadi Jadi OT = x OT = x

ii

+ y+ y

 j

 j

+ z+ z

k

k

atau atau

tt

= x= x

ii

+ y+ y

 j

 j

+ z+ z

k

k

(12)

Vektor Posisi

Vektor Posisi

Vektor posisi 

Vektor posisi 

adalah

adalah

Vektor yang

Vektor yang

titik pangkalnya O(0,0)

titik pangkalnya O(0,0)

(13)

X X  Y  Y O O Contoh: Contoh: A(4,1) A(4,1) B(2,4) B(2,4) Vektor posisi Vektor posisi

titik A(4,1) adalah titik A(4,1) adalah

    

  

  



  

  

==

==

11 44 aa O OAA

Vektor posisi titik B(2,4) adalah Vektor posisi titik B(2,4) adalah

 j  j ii 44 2 2  b  b OB OB

==

==

++

a a b b

(14)

Panjang vektor

Panjang vektor

Dilambangkan dengan

Dilambangkan dengan

tanda ‘harga mutlak

tanda ‘harga mutlak

’’

(15)

Di R

Di R22, panjang vektor:, panjang vektor:

    

  

  



  

  

==

22 11 aa aa aa atau a = a atau a = a11

ii

+ a+ a

 j

 j

22

Dapat ditentukan dengan Dapat ditentukan dengan

teorema Pythagoras teorema Pythagoras 22 22 22 11

aa

aa

aa

==

++

(16)

Di R

Di R33 , panjang vektor:, panjang vektor:

22 22 22

yy

xx

vv

==

++

++

  

  

  

  

  







  

  

==

 z   z   y  y  x  x vv atau atau

v

v

= x= x

ii

+ y+ y

 j

 j

+ z+ z

k

k

Dapat ditentukan dengan Dapat ditentukan dengan

teorema Pythagoras teorema Pythagoras

(17)

Contoh: Contoh: 1. Panjang vektor: 1. Panjang vektor:

    

  

  



  

  

==

44 33 aa adalah adalah aa == 3322 ++44 22 == √√25 = 525 = 5 2. Panjang vektor: 2. Panjang vektor: vv == 22ii ++ j j -- 22k k  adalah adalah vv

=

=

2222

+

+

1122

+

+

((

22))22 = = √√9 = 39 = 3

(18)

Vektor Satuan

Vektor Satuan

adalah suatu vektor yang

adalah suatu vektor yang

panjangn

(19)

Vektor satuan searah

Vektor satuan searah

sumbu

sumbu

X,

X,

sumbu Y

sumbu Y

, dan, dan

sumbu Z

sumbu Z

berturut-turut

berturut-turut adalah vektor 

adalah vektor 

i

i ,

, j

j dan

dan k

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

=

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

=

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

=

=

1 1 0 0 0 0 d daann 0 0 1 1 0 0 ,, 0 0 0 0 1 1 k  k    j   j ii

(20)

Vektor Satuan Vektor Satuan

dari

dari vektor a = avektor a = a11

ii

+

+

aa

 j

 j

22

+

+

a a33

k

k

adalah adalah 22 33 22 22 22 11 33 22 11

aa

aa

aa

aa

 j j

aa

ii

aa

aa

aa

ee

ee

aa aa

++

++

++

++

==

⇒⇒

==

(21)

Contoh:

Contoh: Vektor Satuan dariVektor Satuan dari

vektor a = vektor a =

i - 2j+

i - 2j+

2k

2k

adalah…. adalah…. Jawab: Jawab: a a a a

ee

aa

=

=

2 2 2 2 2 2 2 2 )) 2 2 (( 1 1 2 2 2 2

+

+

+

+

+

+

=

=

ii   j  j k k 

e

e

aa

(22)

2 2 2 2 2 2 2 2 )) 2 2 (( 1 1 2 2 2 2

+

+

+

+

+

+

=

=

ii  j j k k 

ee

aa 33 22 22 j j k k  ii

ee

aa

==

−−

++

k  k   j j ii

ee

aa 33 22 33 22 33 11

−−

++

==

(23)

ALJABAR VEKTOR

ALJABAR VEKTOR

Kesamaan vektor  Kesamaan vektor  Penjumlahan vektor  Penjumlahan vektor  Pengurangan vektor  Pengurangan vektor 

Perkalian vektor dengan Perkalian vektor dengan

bilangan real bilangan real

(24)

Kesamaan Vektor

Kesamaan Vektor

Misalkan: Misalkan: a = a a = a11

ii

+ a+ a2

 j

 j

2 + a+ a33

k

k

dandan b = b b = b11ii + b+ b 2 2

 j

 j

+ b+ b33

k

k

Jika: a = b , maka Jika: a = b , maka aa11 = b= b11 a a22 = b= b22 dandan a a33 = b= b33

(25)

Contoh

Contoh

Diketahui: Diketahui: a = a =

ii

+ x+ x

 j

 j

- 3- 3

k

k

dandan b = (x – y) b = (x – y)ii - 2- 2

 j

 j

- 3- 3

k

k

Jika a = b, maka x + y = .... Jika a = b, maka x + y = ....

(26)

Jawab: Jawab: a = a =

ii

++ xx

 j

 j

- 3- 3

k

k

dandan b = (x – y) b = (x – y)ii - 2- 2

 j

 j

- 3- 3

k

k

a = b a = b 1 = x - y 1 = x - y x = -2; disubstitusikan x = -2; disubstitusikan 1 = -2 – y; 1 = -2 – y; ⇒⇒y = -3y = -3 Jadi x + y = -2 + (-3) = -5 Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

(27)

Penjumlahan Vektor

Penjumlahan Vektor

aa aa aa aa 3 3 2 2 1 1                                = =  b  b  b  b  b  b  b  b 3 3 2 2 1 1                                = = Misalkan:

Misalkan: dandan

Jika: a + b = c , maka vektor  Jika: a + b = c , maka vektor 

  

  

  

  

  







  

  

++

++

++

==

33 33 22 22 11 11 cc b b a a b b a a b b a a

(28)

Contoh

Contoh

11 --22 pp --33 aa

  

  

  

  

  







  

  

==

33 66  p  p  b  b

  

  

  

  

  







  

  

==

Diketahui: Diketahui: Jika a + b = c , maka Jika a + b = c , maka p p –– qq =....=.... dan dan 22 44qq 55 --cc

  

  

  

  

  







  

  

==

(29)

  

  

  

  

  







  

  −−

==

  

  

  

  

  







  

  

++

−−

++

−−

++

22 44 55 33 )) 11 (( 66 22 33 q q  p  p  p  p   jawab:   jawab: a a + + b b = = cc

  

  

  

  

  







  

  −−

==

  

  

  

  

  







  

  

++

  

  

  

  

  







  

  

22 44 55 33 66  p  p 11 --22pp --33 q q

(30)

                              −− ==                                ++ −− ++ −− ++ 2 2 4 4 5 5 3 3 )) 1 1 (( 6 6 2 2 3 3 q q  p  p  p  p 3 + p = -5 3 + p = -5 ⇒⇒p = -8p = -8 -2p + 6 = 4q -2p + 6 = 4q 16 + 6 = 4q 16 + 6 = 4q 22 = 4q 22 = 4q ⇒⇒q = 5½;q = 5½; Jadi p – q = -8 – 5½ Jadi p – q = -8 – 5½ = -13½ = -13½

(31)

Pengurangan Vektor

Pengurangan Vektor

Jika: a - b = c , maka Jika: a - b = c , maka c =(a c =(a11 – b – b11))ii + (a+ (a22 – b – b22)) j j + (a+ (a33 - b- b33))kk Misalkan: Misalkan: a = a a = a11

ii

+ a+ a22

 j

 j

+ a+ a33

k

k

dan dan b = b b = b11ii + b+ b 2 2

 j

 j

+ b+ b33

k

k

(32)

X X  Y  Y O O A(4,1) A(4,1) B(2,4) B(2,4) a a b b Perhatikan gambar: Perhatikan gambar:

    

  

  



  

  

3 3 2 2 --vektor posisi: vektor posisi:

titik A(4,1) adalah: titik A(4,1) adalah:

                  == 11 44 aa titik B(2,4) adalah: titik B(2,4) adalah:                   == 44 22  b  b vektor AB = vektor AB =

(33)

Jadi secara umum:

Jadi secara umum:  AB AB

==

bb

−−

aa

==

      

  

  

  

−−

      

  

  

  

==

−−

1 1 4  4  4  4  2 2 a a b b

    

  

  



  

  

3 3 2 2

--    

  

  



  

  

==

11 44 aa

    

  

  



  

  

==

44 22  b  b

    

  

  



  

  

3 3 2 2 -- A  ABB

==

vektor AB = vektor AB =

(34)

Contoh 1 

Contoh 1 

Jawab: 

Jawab: 

Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan B(1,2,4). Tentukan B(1,2,4). Tentukan komponen-komponen vektor AB komponen vektor AB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

−−

−−

==

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

2 2 3 3 2 2 2 2 5 5 3 3 --4 4 2 2 1 1 a a b b  AB  AB

==

−−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

−−

−−

==

2 2 3 3 2 2 AB AB Jadi Jadi

(35)

Contoh 2 

Contoh 2 

Diketahui titik-titik P(-1,3,0) Diketahui titik-titik P(-1,3,0) dan Q(1,2,-2). dan Q(1,2,-2).

Tentukan panjang vektor PQ Tentukan panjang vektor PQ (atau jarak P ke Q)

(36)

Jawab: 

Jawab: 

P(1,2,-2)P(1,2,-2) Q(-1,3,0) Q(-1,3,0) PQ = q – p = PQ = q – p =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 −−

==

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

2 2 1 1 2 2 2 2 --2 2 1 1 --0 0 3 3 1 1 --                        −− == →→ 22 22 11  p  p                        −− == →→ 00 33 11 qq

(37)

  

  

  

  

  







  

  

−−

−−

==

22 11 22 PQ PQ 2 2 2 2 2 2 )) 2 2 (( )) 1 1 (( 2 2 PQ PQ

==

++

−−

++

−−

3

3

9

9

P

PQ

Q

Jadi

Jadi

=

=

=

=

(38)

Perkalian Vektor dengan Bilangan Perkalian Vektor dengan Bilangan

Real Real aa aa aa aa 33 22 11

  

  

  

  

  







  

  

==

Misalkan: Misalkan: Jika: c =

Jika: c =

m

m

.a.a, maka, maka

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

==

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 







 

 

 

 

==

33 22 11 33 22 11 .. .. .. cc a a m m a a m m a a m m a a a a a a m m dan dan m

(39)

Contoh 

Contoh 

Diketahui:

Diketahui:

Vektor 

Vektor  x 

 x yang memenuhi

yang memenuhi

a – 2

a – 2 x 

 x = 3b adalah....

= 3b adalah....

Jawab:

Jawab:

misal

misal

  

  

  

  

  







  

  

−−

==

  

  

  

  

  







  

  

−−

  

  

  

  

  







  

  

−−

44

11

22

33

22

66

11

22

3 3 2 2 1 1  x  x  x  x  x  x 66 11 --22 aa

  

  

  

  

  







  

  

==

44 11 --22  b  b

  

  

  

  

  







  

  

==

dan

dan

⇒⇒

  

  

  

  

  







  

  

==

xx 33 22 11  x  x  x  x  x  x

(40)

  

  

  

  

  







  

  

−−

==

  

  

  

  

  







  

  

−−

  

  

  

  

  







  

  

−−

44 11 22 33 22 66 11 22 33 22 11  x  x  x  x  x  x

  

  

  

  

  







  

  

−−

==

  

  

  

  

  







  

  

−−

  

  

  

  

  







  

  

−−

1122 33 66 22 22 22 66 11 22 33 22 11  x  x  x  x  x  x

2 – 2x

2 – 2x

11

= 6

= 6

-2x

-2x

11

= 4

= 4

x

x

11

= -2

= -2

-1 – 2x

-1 – 2x

22

= -3

= -3

-2x

-2x

22

= -2

= -2

x

x

22

= 1

= 1

6 – 2x

6 – 2x

33

= 12

= 12

-2x

-2x

33

= 6

= 6

x

x

33

= -3

= -3

Jadi

Jadi

33

11

22

xx

vektor 

vektor 

  

  

  

  

  







  

  

−−

−−

==

(41)

Referensi

Dokumen terkait

1) jumlah contoh semen Portland yang diperlukan untuk pengujian waktu ikat awal semen ditetapkan berdasarkan ketentuan yang berlaku;.. 2) jika suatu pekerjaan akan menggunakan

Menimbang, bahwa terhadap dalil-dalil gugatan Penggugat, kedua saksi Penggugat tersebut saling bersesuaian keterangannya pada intinya dapat mendukung

[r]

A developmental approach to training for intercultural sensitivity.. International Journal of Intercultural Relations, 10

Kode Etik IAI dimaksudkan sebagai panduan dan aturan bagi seluruh anggota IAI, baik yang berpraktik sebagai akuntan publik, bekerja di lingkungan dunia usaha, pada instansi

Kita berharap, implementasi CDM dari dana GCF ini sukses dilaksanakan di Kalbar untuk menunjukkan bahwa Kalbar Hebat dan Kalbar Bisa kepada masyarakat dunia, sekaligus juga

Penelitian tindakan kelas ini bertujuan untuk meningkatkan hasil belajar siswa kelas IV SD N 3 Tanjungrejo melalui penggunaan model pembelajaran Kooperatif Tipe