← Bahan Ajar Matematika – Power Point 42. vektor OK

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Vektor

adalah

besaran

_{Besar vektor}

artinya panjang vektor

_{Arah vektor}

artinya sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif

_{Vektor disajikan dalam bentuk}

A

B

ditulis vektor AB atau u

A disebut titik pangkal B disebut titik ujung

u

45 _X

Notasi Penulisan Vektor  _{Bentuk vektor kolom:}

      

4 3 u

     

   

 

0 2 1 PQ

atau

 _{Bentuk vektor baris:}



3, 4



AB  atau v 



 2, 3, 0



 _{Vektor ditulis dengan notasi:}

i, j dan k

VEKTOR DI R

2 Vektor di R2

adalah

vektor yang terletak di satu bidang atau

VEKTOR DI R

2

OA

PA

OP  

O _{i P}

j

X A(x,y) Y

OP = xi; OQ= yj Jadi

OA =xi + yj

atau

a = xi + yj a

x y

i vektor satuan searah

sumbu X

j vektor satuan searah

sumbu Y

Vektor di R

3

Vektor di R3

adalah

Vektor yang terletak di ruang dimensi tiga

atau

Vektor yang mempunyai tiga komponen

Misalkan koordinat titik T di R3 adalah (x, y, z) maka OP = x

i

; OQ = y

j

dan OS = z

k

X

Y Z

T(x,y,z)

O x i

y j z

k

P Q

X

Y Z

T(x,y,z)

O

t

 P

Q

R(x,y) S

x i

y j z

k

OP + PR = OR atau OP + OQ = OR

OR + RT = OT atau OP + OQ + OS = OT

Jadi

OT = x

i

+ y

j

+ z

k

Vektor Posisi

Vektor posisi

adalah

Vektor yang

X Y

O

Contoh:

A(4,1) B(2,4)

Vektor posisi

titik A(4,1) adalah

   

   

1 4 a

OA

Vektor posisi titik B(2,4) adalah

j i 4 2

b

OB    a

Panjang vektor

Di R2, panjang vektor:

   

  

2 1

a a a

atau a = a₁

i

+ a₂

j

Dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras

2 2 2

1

a

a

Di R3 , panjang vektor:

2 2

2

y

x

z

v







  

 

  

  

z y x

v

atau

v

= x

i

+ y

j

+ zk Dapat ditentukan dengan

Contoh:

1. Panjang vektor: _

     

4 3 a

adalah a  32  42 = _25 = 5

2. Panjang vektor: v 2i  j - 2k

adalah v  22 12  ( 2)2

Vektor Satuan

Vektor satuan searah

sumbu

X,

sumbu Y

, dan

sumbu Z

berturut-turut

adalah vektor

i , j dan k

Vektor Satuan

dari vektor a = a₁

i

+ a₂

j

+

a₃

k

adalah

2 3 2

2 2

1

3 2

1

a

a

a

k

a

j

a

i

a

a

a

e

e

_{a a}













Contoh: Vektor Satuan dari vektor a = i - 2j+ 2k

adalah…. Jawab:

e

_a  _aa

2 2

2 _{( 2) 2}

1

2 2

 



 

 i j k

2 2

2 _{( 2) 2}

1

2 2

 



 

 i j k

e

_a

3

2 2 j k i

e

_a   

k j

i

ALJABAR VEKTOR

Kesamaan vektor

Penjumlahan vektor Pengurangan vektor

Kesamaan Vektor

Misalkan:

a = a₁i + a₂j + a₃k dan b = b₁i + b₂j + b₃k

Jika: a = b , maka a1 = b1

Contoh

Diketahui:

a = i + xj - 3k dan b = (x – y)i - 2j - 3k

Jawab:

a = i + xj - 3k dan b = (x – y)i - 2j - 3k

a = b

1 = x - y

x = -2; disubstitusikan 1 = -2 – y;  y = -3

Penjumlahan Vektor

a a a a 3 2 1            b b b b 3 2 1            Misalkan: dan

Jika: a + b = c , maka vektor

Contoh

1 -2p -3 a            3 6 p b            Diketahui:

                            2 4 5 3 ) 1 ( 6 2 3 q p p

jawab: a + b = c

                           2 4 5 3 ) 1 ( 6 2 3 q p p

3 + p = -5 p = -8

-2p + 6 = 4q 16 + 6 = 4q

Pengurangan

Vektor

Jika: a - b = c , maka

c =(a₁ – b₁)i + (a₂ – b₂)j + (a₃ - b₃)k

Misalkan:

a = a₁i + a₂j + a₃k

dan

X Y

O

A(4,1) B(2,4)

a b

Perhatikan gambar:

   

 

3 2

-vektor posisi:

titik A(4,1) adalah:       

1 4 a

titik B(2,4) adalah: _

     

4 2 b

Jadi secara umum: AB b  a                 1 4 4 2 a b       3 2 -       1 4 a _       4 2 b       3 2 -AB 

Contoh 1

Jawab:

Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan B(1,2,4). Tentukan komponen-komponen vektor AB

                                 2 3 2 2 5 3 - 4 2 1 a b

AB  

Contoh 2

Diketahui titik-titik P(-1,3,0) dan Q(1,2,-2).

Jawab: P(1,2,-2)

Q(-1,3,0)

PQ = q – p =

  

 

  

 

  

2 1 2

PQ

2 2

2 _{( 1) ( 2)}

2

PQ     

3 9

PQ

Perkalian Vektor dengan Bilangan Real

a

a

a

a

3 2 1























Misalkan:

Jika: c =

m

.a, maka

                      3 2 1 3 2 1 . . . c a m a m a m a a a m dan

Contoh

Diketahui:

Vektor x yang memenuhi a – 2x = 3b adalah....

                                   4 1 2 3 2 6 1 2 3 2 1 x x x                                   12 3 6 2 2 2 6 1 2 3 2 1 x x x