http://meetabied.wordpress.com
SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel
Kesalahan terbesar yang dibuat manusia dalam
kehidupannya adalah terus-menerus merasa takut
bahwa mereka akan melakukan kesalahan (Elbert
Hubbad)
[
RUMUS CEPAT MATEMATIKA
]
Vektor
================================================================================ Materi ini dapat disebarluaskan secara bebas, untuk tujuan bukan komersial, dengan atau tanpa
A. Definisi Vektor
Vektor, adalah suatu besaran yang
mempunyai besar dan arah. Vektor dinotasikan sebagai ruas garis berarah. Misal : ® AB artinya vektor AB, u,u,u ® adalah notasi untuk vektor u, a artinya vektor a dan lain-lain. Dengan demikian penulisan vektor dengan huruf kecil garis di atas atau garis di bawah tidak menjadi soal.
B. Menyajikan Vektor (i) Vektor di R2
Jika a adalah sebuah vektor
dan a=(a1,a2)berupa baris,
sedang ÷ ø ö ç è æ = 2 1 a a a berupa vektor
kolom. atau dalam vektor basis
j a i a a= 1 + 2 (ii) Vektor di R3
Jika a adalah sebuah vektor dan a=(a1,a2,a3) berupa baris, sedang ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ = 3 2 1 a a a a berupa
vektor kolom. atau dalam vektor basis k a j a i a a= 1 + 2 + 3 C. Operasi Vektor
(i) Penjumlahan , Pengurangan Dan Perkalian. (versi Geometri) b a maka : a b a +b
hasil penjumlahan vektor a dan b
(cara segitiga) a +b
hasil penjumlahan vektor a dan b
(cara jajar genjang)
b a maka : a b -b b
-hasil pengurangan vektor a dan b a
a 2a ( dua kali vektor a)
(ii) Penjumlahan , Pengurangan Dan Perkalian. (versi Aljabar) 1 Penjumlahan dan Pengurangan . Jika ÷ ø ö ç è æ = 2 1 a a a dan ÷ ø ö ç è æ = 2 1 b b b maka :
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
=
+
2 2 1 1b
a
b
a
b
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
-2 2 1 1b
a
b
a
b
a
Jika ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ = 3 2 1 a a a a dan ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ = 3 2 1 b b b b maka :
1 Perkalian Skalar dengan vektor
Jika ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ = 3 2 1 a a a
a dan k skalar, maka :
Berlaku pula untuk vektor di R2
1 Perkalian Skalar dua vektor
Jika ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ = 3 2 1 a a a a dan ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ = 3 2 1 b b b b , maka : D. Vektor Khusus 1 Vektor Nol (0)
Adalah suatu vektor dimana titik awal dan titik ujungnya berimpit. Elemen-elemen vektor semuanya nol. ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ = 0 0 0 o 1 Vektor Satuan
Adalah vektor yang panjangnya satu satuan vektor.
vektor satuan dari vektor a adalah :
1 Vektor Posisi
Adalah vektor yang titik pangkalnya adalah O.
Penting untuk diingat, bahwa setiap vektor dapat diganti dengan vektor posisi, dengan menggunakan prinsip kesamaan dua vektor.
Jika A(a1,a2) suatu titik, maka titik A
tersebut juga bisa dituliskan sebagai vektor posisi, sebagai OA=a
®
Jika A=(a1,a2,a3)dan
B=(b1,b2,b3)maka vektor
posisi dari titik A dan B adalah :
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
+
=
+
3 3 2 2 1 1b
a
b
a
b
a
b
a
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-=
-3 3 2 2 1 1b
a
b
a
b
a
b
a
ka = k ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ = ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ 3 2 1 3 2 1 ka ka ka a a a | a | a e=÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ
-=
-=
® ® ® 3 3 2 2 1 1a
b
a
b
a
b
OA
OB
AB
3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
b
.
a
=
+
+
1 Panjang Vektor Jika ÷ ø ö ç è æ = 2 1 a a
a maka panjang dari
vektor a adalah : Jika ÷÷ ø ö ç ç è æ = 3 2 1 a a a
a maka panjang dari vektor
a adalah :
Jika a dan b dua buah vektor maka :
Gunakan Teori di atas untuk menyelesaikan soal-soal berikut ini : 1. Diberikan vektor-vektor sebagai
berikut : a b c Gambarkan : a) a +b b) a +c c) a –b d) c –b e) a +b +c f) 2a +3c g) -3a +2b 2. Diketahui ÷÷ ø ö ç ç è æ = 4 2 1 a dan ÷÷ ø ö ç ç è æ = 0 4 5 b Tentukan : a) a +b b) 2a +3b
3. Pada gambar di bawah, M adalah titik tengah PQ. Nyatakan vektor-vektor berikut ini dengan a ,b ,dan
.
P M Q R S a c b a) ® PR d) ® SM b) ® QP e) ® RM c) ® PM f) ® QS4) Diketahui balok ABCD.EFGH diperlihatkan pada gambar di bawah, dengan AB = 8 cm, AD = 6 cm, dan AE = 4 cm. Ruas-ruas garis berarah ® AB , ® AD , dan ® AE berturut turut mewakili vektor p, qdan r
A B C D E F G H r q p 2 2 2 1
a
a
|
a
|
=
+
2 3 2 2 2 1a
a
a
|
a
|
=
+
+
2 2 2 2|
b
a
|
|
b
|
2
|
a
|
2
|
b
a
|
+
=
+
-
-Tentukan : a) Panjang vektor-vektor p, qdan r b) | p+q| c) |p+ r | d) |q+ r | e) |p+q+ r | 5. Diketahui vektor-vektor : k 4 j 3 i 2 a= + - dan k 2 j 5 i b= - - . Tentukan a) a +b b) a –b c) 2a +5b d) |a +b| e) |3a -2b| 6. Diketahui vektor-vektor : k 4 j 3 i 2 a= + - dan k 2 j 5 i b= - - . k 2 j i 3 c= - + Tentukan panjang vektor d = 2a +b –c
7. Diketahui titik A(0, 6) dan B(-2, 4) Tentukan panjang ruas garis (jarak) AB !
8. Tentukan x dan y dari : ÷ ø ö ç è æ -= ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ 1 8 3 y 3 4 4 x 2 9. Diketahui vektor-vektor : k 4 j 3 i 2 a= + - dan k 2 j 5 i b= - - . k 2 j i 3 c= - + Tentukan : a) a . b b) a . c c) b . c d) (3a)( 2b) e) (-2a).(3c)
10. Carilah nilai a, b dan c jika :
÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ = ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ-+ ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ + ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ 1 1 1 1 0 1 c 0 1 2 b 1 2 0 a
11. Diketahui titik A(5, 4, 6) dan B(-2, 5,1). Tentukan jarak antara titik A dan B !
12. Diketahui segitiga ABC dengan A(3, -1, 5), B(4, 2, -5) dan C(-4,0,3). Jika D merupakan titik tengah sisi BC, hitunglah panjang garis AD.
13. Diketahui | a | = 4 cm , | b | = 5 dan | a –b| = Ö19 . Tentukan | a +b| 14. Diketahui | a | = Ö7 cm , | b | = 3 dan | a +b| = Ö23 . Tentukan | a -b| 15. Diketahui a=3i-2j, j 4 i b=- + dan r=7i-8j. Jika b m a k r= + , tentukan nilai k +m !
A. Perbandingan Bagian
(1) Titik P membagi Ruas garis AB
a) Jika P di dalam garis AB
® AP dan
®
PB memunyai arah yang sama dan n dan m mempunyai tanda yang sama.
A P B
m
n
Rumus :
a) Jika P di luar garis AB
® AP dan
®
PB memunyai arah yang berlawanan dan n dan m mempunyai tanda yang berlawanan.
A B P
m
n
Rumus :
(2) Pembagian dalam vektor
Jika p menyatakan vektor posisi titik P yang membagi AB dengan perbandingan m : n O A B n m b a p Rumus :
(3) Tiga titik Segaris (kolinier)
Jika terdapat titik A, B dan C maka ketiga titik tersebut akan segaris, jika :
Dengan k konstan (riel)
(4) Dua vektor segaris (kolinier)
Jika a adalah vektor posisi titik A dan b vektor posisi titik B, maka a dan b akan segaris jika memenuhi :
Dengan k konstan. AP : PB = m : n AP : AB = m :(m +n) AP : PB = m :- n AP : AB = m :(m -n) n m a n b m p + + = ® ® = ACk AB b k a=
B. Sudut antara dua vektor
q
b
a
Maka berlaku :
Perhatikan gambar diatas, jika: (i) a dan b membentuk sudut
900, artinya vektor a dan b tegak lurus , maka :
(ii) a dan b membentuk sudut 1800, artinya vektor a dan b berlawanan , maka :
(iii) a dan b membentuk sudut 00, artinya vektor a dan b sejajar atau berimpit , maka :
C. Proyeksi Orthogonal vektor
b
a
c
Vektor proyeksi dari vektor a pada vektor b adalah :
Panjang proyeksi dari vektor a pada vektor b adalah :
Gunakan Teori di atas untuk menyelesaikan soal-soal berikut ini : 1. Vektor posisi titik A dan B
masing-masing dinyatakan dengan a dan b Nyatakan vektor posisi titik P dengan a dan b Jika :
a) titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 3 : 2 b) titik P membagi AB di luar dengan perbandingan 3 : 2 2. Diketahui titik A(2, 3, 4) dan
B(9,-11,18). Tentukan koordinat titik P, jika titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 5 : 2 1. a.b=|a|.|b|cosq 2. | b | . | a | b . a cosq= 3. a(a+b)=|a|2+|a|.|b|cosq 4. a(a-b)=|a|2 -|a|.|b|cosq 5. |a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cosq 6. |a-b|2=|a|2+|b|2-2|a||b|cosq a .b = 0 a .b = -|a|.|b| a .b = |a|.|b| | b | b . a | c | = b . | b | b . a c= 2
3. Diketahui titik A(2, 1, -1) dan B(7,3,8). Tentukan koordinat titik P, jika titik P membagi AB diluar dengan perbandingan 3 : 2 4. R adalah titik pada garis PQ.
Tentukan koordinat R jika : a) P(1,0,2), Q(5,4,10) dan PR : RQ = 3 : -2 b) P(-3,-2,-1), Q(0,-5,2) dan PR : RQ = 4 : -2 5. Diketahui vektor ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ -= 3 1 2 a dan ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ -= 2 3 1
b . Tentukan besar sudut
yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. 6. Diketahui vektor ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ -= 3 3 3 a dan ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ = 3 1 2
b . Tentukan sinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. 7. Diketahui vektor ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ -= 2 2 1 a dan ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ -= 4 2 4
b . Tentukan kosinus sudut
yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
8. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,-3,2), B(-1,0,2) dan C(0,1,4). Dengan menggunakan rumus sudut antara dua vektor, tentukan besar setiap sudut dalam segitiga itu.
9. Diketahui vektor ÷ ø ö ç è æ = 1 2 a dan ÷ ø ö ç è æ = 4 3 b . Tentukan :
a) Proyeksi vektor a pada b b) Proyeksi vektor b pada a c) Panjang Proyeksi vektor a pada d) Panjang Proyeksi vektor b pada
10. Diketahui vektor ÷÷ ø ö ç ç è æ -= 3 6 2 a dan ÷ ÷ ø ö ç ç è æ -= 2 1 2 b . Tentukan :
a) Proyeksi vektor a pada b b) Proyeksi vektor b pada a c) Panjang Proyeksi vektor a pada d) Panjang Proyeksi vektor b pada 11. Diketahui segitiga ABC dengan
A(1,-1,2), B(5,-6,2), dan C(1,3,-1) Tentukan :
a) Panjang proyeksi vektor ® AB pada vaektor
®
AC
b) Panjang proyeksi vektor ®
CApada vaektor
®
CB
12. Diketahui A(2,3,-1), B(5,4,0) dan C(x,6,2). Tentukan x agar A, B dan C segaris.
13. Diketahui vektor u = (4 ,x , 1) dan vektor v = (2,x-1,y) . Tentukan nilai x dan y agar kedua vektor segaris. 14. Diketahui u=2i-3j+4kdan k 2 j i v=- + + . Tentukan tangens sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
15. Diketahui |u| = 3 dan |v| = 5. Jika sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v sebesar 3 p . Tentukan nilai : a) u(u +v) b) u(u -v)
Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui a = 3i +2j +k ; b = 2i +j dan c = 3a -4b , maka | c | = ... A. Å7 B. Å5 C. Å14 D. Å10 E. Å15 2. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui a = 3i -2j ; b = -i +4j dan r = 7i -8j, jika r = ka +mb, maka k +m =.... A. 3 B. 2 C. 1 D. -1 E. -2 3. PREDIKSI UAN 2006
Diketahui Z adalah titik berat segitiga ABC dimana A(2 ,3 ,-2), B( 4, 1, 2) dan C(8 ,5 ,-3), maka panjang vektor posisi Z adalah... A. Å7 B. Å15 C. Å11 D. Å14 E. Å17 4. PREDIKSI UAN 2006
Diketahui A(2 1, 4), dan B(3 ,-,0). Titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga : AP = -2PB. Jika p vektor posisi titik P, maka p A. (1 ,3 ,5) B. (3 ,5, 4) C. (8 ,-5 ,4) D. (4 ,-3 ,-4) E. (8 ,5, -4) 5. PREDIKSI UAN 2006 Jika P(1 ½ , 2 ½ ,1), Q(1, 0, 0) dan R(2 ,5, a) terletak pada satu garis lurus, maka a adalah....
A. 0 B. ½ C. 1 D. 2 E. 2 ½ 6. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui | a | = 3, | b | = 5 dan | + b | = 6, maka |a – b| = .... A. 3Å2 B. 4Å2 C. 2Å3 D. 3Å2 E. 4Å2
7. PREDIKSI UAN 2006 Jika ÷ ø ö ç è æ -= 2 3 a , ÷ ø ö ç è æ = 0 1 b dan ÷ ø ö ç è æ-= 4 5
c . Maka panjang vektor d = a + b –c adalah.... A. Å5 B. 2Å13 C. 17 D. 3Å13 E. 2Å41 8. PREDIKSI UAN 2006
Panjang vektor a , b dan (a +b) berturut –turut adalah 12 , 8 dan 4Å7. Besar sudut antara a dan b adalah.... A. 45o B. 60o C. 90o D. 120o E. 150o 9. PREDIKSI UAN 2006 Jika a = (1 ,2 ,3) dan b = (3 ,2 ,1), maka (2a).(3b) = .... A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 E. 70 10. PREDIKSI UAN 2006
Jika vektor a dan b membentuk sudut 60o, | a | = 4 , | b | = 3, maka a (a – b) = .... A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10 11. PREDIKSI UAN 2006
Besar sudut antara vektor a = 2i +3k dan b = i +3j -2k adalah... A. 6 1 o B. 4 1 o D. 2 1 o C. 3 1 o E. 3 2 o 12. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui titik P(-3 ,-1 ,-5), Q(-1 ,2 ,0) dan R(1 ,2 ,-2). Jika PQ=a dan
b QR= , maka a . b =.. A. -6 B. -8 C. -10 D. -12 E. -14 13. PREDIKSI UAN 2006
Vektor-vektor p = 2i +aj +k dan q = 4i -2j -2k saling tegak lurus untuk a sama dengan...
A. 3 B. 4 C. 4,5 D. 5 E. 6 14. PREDIKSI UAN 2006
Vektor z = adalah proyeksi vektor = (-Å3, 3 ,1) pada vektor y = (Å3 , 2 , 3). Panjang vektor z adalah... A. 1/2
B. 1 C. 3/2 D. 2 E. 5/2
15. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ -= 1 2 3 a dan ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ = 2 y 2 b .
Bila panjang proyeksi a pada b sama dengan
2 1
panjang vektor b, maka nilai y adalah...
A. 2 -2Å3 atau 2 +2Å3 B. 1 -Å3 atau -1 +Å3 C. -2 -2Å3 atau -2 +2Å3 D. -4(1 -Å3) atau 4(1 -Å3) E. 4Å3 atau -4 16. PREDIKSI UAN 2006
Vektor yang merupakan proyeksi vektor (3 ,1 ,-1) pada vektor (2 ,5 ,1) adalah.... A. 2 1 (2 ,5 ,1) B. 3 1 (2 ,5 ,1) C. 3 1 Å30(2 ,5 ,1) D. 30 1 (2 ,5, 1) E. 4 1 (2 ,5 ,1) 17. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui | a | = 5 , | b | = 9 dan tgÉ(a ,b) = 4 3 , maka a (a +b) = .... A. 51 B. 52 C. 61 D. 108 E. 117 18. PREDIKSI UAN 2006
Bila ketiga titik (-5 ,4 ,4), (4 ,-2,1) dan (x ,2 ,y) segaris, maka nilai (x +y ) = ... A. -3 B. -2 C. 1 D. 2 E. 3 19. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui P = (a ,0 ,3) , Q = (0 ,6 ,5) dan R = (2 ,7 ,c) . Agar vektor
PQ tegak lurus pada QR, haruslah nilai a –c = .... A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 E. 5 20. PREDIKSI UAN 2006
Diketahui panjang proyeksi
÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ -= 3 2 1 a pada ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = 3 p 3 b adalah 1. Nilai p = ... A. 4 B. 2 C. 2 1 D. 4 1 - E. - 2 1 21. PREDIKSI UAN 2006
Jika a = 7i -6j -8k dan b = -2i +j +5k , maka proyeksi orthogonal a pada b adalah... A. -14i +2j +10k B. -3 4 i + 3 2 j + 3 10 k C. 3 4 i -3 2 j -3 10 k D. 4i -2j -10k E. 6i -3j -15k 22. PREDIKSI UAN 2006
Diketahui vektor a = 3i +j -5k dan b = -i +2j -2k, proyeksi vektor orthogonal a dan b adalah c. Vektor c adalah... A. -i -2j -2k B. -i -2j +2k C. -i +2j -2k D. i +2j -2k E. i +2j +2k 23. PREDIKSI UAN 2006
Diketahu titik A(-4 ,1 ,3) dan B(1 ,-4,3). Titik P(x,y ,z) pada AB sehingga AP : PB = 3 : 5. Vektor posisi titik P adalah....
A. ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ -15 10 1 B. ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ -2 232 72 17 C. ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ -3 2 1 D. ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ - 3 4 1 E. ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ -8 248 78 17 24. PREDIKSI UAN 2006
Diketahui titik-titik A(2 ,-1, 4), B(4, 1 ,3) dan C(2 ,0 ,5). Kosinus sudut antara AB dan AC adalah.... A. 6 1 B. 6 1 Å2 D. 3 1 Å2 C. 3 1 E. 2 1 Å2
