Pengertian Perbandingan Trigonometri
Nilai Sinus, Cosinus dan Tangen
Teorema Phytagoras
Aturan Sinus dan Cosinus
Pengertian Perbandingan Trigonometri
3 3 3 2 2 2 1 1 1OP
P
M
OP
P
M
OP
P
M
3 3 2 2 1 1OP
OM
OP
OM
OP
OM
3 3 3 2 2 2 1 1 1OM
P
M
OM
P
M
OM
P
M
M1 a0 o X A P1 P2 P3M2 M3
Titik P1, P2, dan P3 terletak pada garis OA. Titik M1, M2, dan M3 terletak pada garis OX. Jika titik-titik P1, P2, dan P3 dihubungkan dengan titik-titik M1, M2, dan M3 sedemikian sehingga P1M1, P2M2, dan P3M3 tegaklurus pada OX, maka akan terbentuk tiga buah segitiga siku-siku, yaitu ∆OM1P1, ∆OM2P2, dan ∆OM3P3 yang sebangun.
Akibatnya,
a.
b.
c.
yang disebut sinus
yang disebut cosinus
yang disebut tangen
ao
sisi mi
ring ( m i )
sisi depan ao ( de )
sisi samping ao ( sa )
O
P
M
Dengan mengacu gambar berikut, maka ketiga perbandingan trigonometri dapat didefinisikan sebagai berikut:
mide miring sisi a depan sisi o o
a
sin
misa miring sisi a samping sisi o oa
cos
sa de a samping sisi a depan sisi o o oa
tan
Contoh 1 :
Tentukan ketiga perbandingan trigonometri dari setiap segitiga siku-siku berikut untuk sudut do!
do c
a b
( i )
r
p
q do
( ii )
s
t r
do
Contoh 2:
Tentukan sin
θ
dan cos
θ
dari segitiga siku-siku pada
gambar berikut
θ
4
3
Daftar nilai sinus, cosinus, dan tangen sudut istimewa
a
o0
o30
o45
o60
o90
osin
a
o0
½
½ √2
½ √3
1
cos
a
o1
½ √3
½ √2
½
0
tan
a
o0
√3
1
√3
~
TEOREMA PHYTAGORAS
Pada segitiga siku-siku, luas persegi pada hypotenusa sama
dengan jumlah luas persegi pada kedua sisi siku-sikunya.
Jadi, jika pada segitiga siku-siku panjang hypotenusanya a, panjang
kedua sisi siku-sikunya
b
dan
c
, maka
a
2=
b
2+
c
2
Bentuk seperti
a
2=
b
2+
c
2atau disebut
rumus
phytagoras
A B
C
sisi siku-siku
sis
i s
ik
u-sik
u
hypo
tenus
a Pada segitiga ABC ini, sisi terpanjang atau sisi di
depan sudut siku-siku, yaitu AC disebut hypotenusa (sisi miring), sedangkan kedua sisi yang lainnya, yaitu AB dan BC disebut sisi siku-sikunya.
2
2
c
b
Contoh 1:
Diagonal suatu persegi panjang 20 cm dan lebarnya 12 cm.
Hitung panjangnya!
Contoh 2:
Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rusuk
AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan CG = 5 cm.
Hitung:
Contoh 3:
Seorang anak mengamati puncak pohon cemara yang berdiri tegak di
atas lapangan mendatar dengan sudut elevasi 30
o. Jika jarak antara anak
dan pohon tersebut 12 m dan tinggi dari tanah ke mata anak 1,5 m.
Hitunglah tinggi pohon tersebut!
Sudut elevasi adalah sudut yang dibentuk oleh arah pandang dan arah horisontal jika kita memandang ke atas.
Solusi : Tinggi pohon 8,4 m
Contoh 4:
Seorang pengamat berada di puncak menara yang tingginya 23 m. Pada suatu saat pengamat tersebut melihat sebuah perahu yang akan berlabuh. Jika sudut depresi perahu tersebut 30o. Hitunglah jarak antara perahu dan menara pada
saat itu!
Sudut depresi adalah sudut yang dibentuk oleh arah pandang dan arah horisontal jika kita memandang ke bawah.
Aturan Sinus
Pada setiap segitiga ABC berlaku
C
c
B
b
A
a
sin
sin
sin
Contoh 1:
Pada
∆ ABC, sisi
b
= 4,2 , A = 62
odan B = 46
o.
Hitunglah sisi
a
.
Contoh 2 :
Pada ∆ ABC, sisi c = 5,8, sisi b = 6,7, dan B = 48o.
Hitunglah C .
Aturan Kosinus
A
c
b
c
b
a
2 2 22
cos
Pada setiap segitiga ABC berlaku
A C (b,0)
B (c cos A, c sin A)
c
a
b X
Y
Contoh :
Pada ∆ ABC, a = 4,36, b = 3,84 dan C = 101o.
Hitunglah c.
Jawab :
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
= (4,36)2 + (3,84)2 – 2 (4,36) (3,84) cos 101o
Rumus perkalian dari sinus dan kosinus
cos
cos
sin
sin
cos
cos
cos
sin
sin
cos
sin
cos
cos
sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
………(1)
………(2)
………(3)
………(4)
Rumus (1) tambah (2) menghasilkan
cos
2
cos
cos
cos
Jadi
cos
cos
cos
cos
2
………..(A)Contoh 1:
2 cos 43o cos 35o = cos (43+35)o + cos (43-35)o
= cos 78o + cos 8o
Contoh 2:
2 cos 65o cos 25o = cos (65+25)o + cos (65-25)o
sin
sin
2
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
cos
cos
cos
sin
cos
cos
sin
2
sin
2
sin
cos
sin
Rumus (2) dikurangi (1) menghasilkan
Jadi
Contoh 3:
2 sin 27o sin 14o = cos (27-14)o – cos (27+14)o
= cos 13o – cos 41o
Contoh 4:
2 sin 1/3 π sin 1/6 π = cos 1/6 π – cos ½ π = ½ √3
Rumus (3) tambah (4) menghasilkan
Jadi
cos
sin
sin
sin
2
………..(B)
sin
sin
sin
cos
2
cos
2
cos
cos
cos
sin
2
cos
sin
sin
Rumus (3) dikurangi (4) menghasilkan
Jadi
Jumlah dan Selisih
cos
2
sin
sin
cos
sin
2
sin
cos
sin
sin
2
cos
sin
sin
Substitusikan
α + β = C yang menghasilkan α = ½ ( C + D )
α - β = D yang menghasilkan β = ½ ( C - D ) sehingga
cos C + cos D = 2 cos ½ ( C + D ) cos ½ ( C – D ) cos C - cos D = -2 sin ½ ( C + D ) sin ½ ( C – D ) sin C + sin D = 2 sin ½ ( C + D ) cos ½ ( C - D ) sin C - sin D = 2 cos ½ ( C + D ) sin ½ ( C - D )
Dari
Contoh 1 :
sin 32o + sin 28o = 2 sin 30o cos 2o
= cos 2o
Contoh 2 :
cos 5θ – cos 3θ = -2 sin 4θ sinθ
Rumus Penjumlahan
• cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b
• cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b
• sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b
• sin ( a-b) = sin a cos b – cos a sin b
b tg a tg b tg a tg b a tg 1
tg atgbb tg a tg b a tg 1
Rumus-rumus untuk sudut rangkap
sin 2a = 2 sin a cos acos 2a = cos2 a – sin2 a
= 2 cos2a -1
= 1 – 2 sin2 a
cos2 a = ½ (1 + cos 2a)
sin2 a = ½ (1 – cos 2a)
