Rumus Cepat Matematika Vektor 2

(1)

(2)

A. Definisi Vektor

Vektor, adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor dinotasikan sebagai ruas garis berarah. Misal : ® AB artinya vektor AB, u ,u ,u ® adalah notasi untuk vektor u, a artinya vektor a dan lain-lain. Dengan demikian penulisan vektor dengan huruf

kecil garis di atas atau garis di bawah tidak menjadi soal.

B. Menyajikan Vektor (i) Vektor di R2

Jika a adalah sebuah vektor dan a

=

(a₁ ,a₂ ) berupa baris, sedang

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

2 1 a a a berupa vektor kolom. atau dalam vektor basis

j a i a a

=

₁

+

₂ (ii) Vektor di R3

Jika a adalah sebuah vektor dan a

=

(a₁ ,a₂ ,a₃ ) berupa baris, sedang

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

=

3 2 1 a a a a berupa vektor kolom. atau dalam vektor basis k a j a i a a

=

₁

+

₂

+

₃ C. Operasi Vektor

(i) Penjumlahan , Pengurangan Dan Perkalian. (versi Geometri) b a maka : a b a + b

hasil penjumlahan vektor a dan (cara segitiga)

a + b

hasil penjumlahan vektor a dan (cara jajar genjang)

b a maka : a b - b b

-hasil pengurangan vektor a dan b

a

a 2a ( dua kali vektor a)

(ii) Penjumlahan , Pengurangan Dan Perkalian. (versi Aljabar) 1 Penjumlahan dan Pengurangan . Jika

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

2 1 a a a dan

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

2 1 b b b maka :

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

=

+

2 2 1 1

b

a

b

a

b

a

÷

ø

ö

ç

è

æ

-=

-2 2 1 1

b

a

b

a

b

a

(3)

Jika

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

=

3 2 1 a a a a dan

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

=

3 2 1 b b b b maka :

1 Perkalian Skalar dengan vektor

Jika

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

=

3 2 1 a a a

a dan k skalar, maka :

Berlaku pula untuk vektor di R2

1 Perkalian Skalar dua vektor

Jika

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

=

3 2 1 a a a a dan

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

=

3 2 1 b b b b , maka : D. Vektor Khusus 1 Vektor Nol (0)

Adalah suatu vektor dimana titik awal dan titik ujungnya berimpit. Elemen-elemen vektor semuanya

nol.

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

=

0 0 0 o 1 Vektor Satuan

Adalah vektor yang panjangnya sa satuan vektor.

vektor satuan dari vektor a adalah :

1 Vektor Posisi

Adalah vektor yang titik pangkalny adalah O.

Penting untuk diingat, bahwa setia vektor dapat diganti dengan vektor posisi, dengan menggunakan prins

kesamaan dua vektor.

Jika A(a1 ,a2) suatu titik, maka titik

tersebut juga bisa dituliskan sebag vektor posisi, sebagai OA

=

a

®

Jika A

=

(a₁ ,a₂ ,a₃ )dan

) b , b , b ( B

=

₁ ₂ ₃ maka vektor posisi dari titik A dan B adalah :

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

=

+

3 3 2 2 1 1

b

a

b

a

b

a

b

a

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

-=

-3 3 2 2 1 1

b

a

b

a

b

a

b

a

ka = k

÷÷

÷

ö

çç

ç

è

æ

=

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

3 2 1 3 2 1 ka ka ka a a a | a | a e

=

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

-=

® ® ® 3 3 2 2 1 1

a

b

a

b

a

b

OA

OB

AB

3

2

1

1 b

a

b

a

b

a

b

.

a

=

+

(4)

1 Panjang Vektor Jika

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

2 1 a a

a maka panjang dari vektor a adalah : Jika

_÷

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

3 2 1 a a a

a maka panjang dari vektor a adalah :

Jika a dan b dua buah vektor maka :

Gunakan Teori di atas untuk

menyelesaikan soal-soal berikut ini :

1. Diberikan vektor-vektor sebagai berikut : a b c Gambarkan : a) a +b b) a +c c) a –b d) c –b e) a +b +c f) 2a +3c g) -3a +2b 2. Diketahui

_÷

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

4 2 1 a dan

_÷

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

0 4 5 b Tentukan : a) a +b b) 2a +3b

3. Pada gambar di bawah, M adalah titik tengah PQ. Nyatakan vektor-vektor berikut ini dengan a ,b ,dan

.

P M Q R S a _c b a) ® PR d) ® SM b) ® QP e) ® RM c) ® PM f) ® QS

4) Diketahui balok ABCD.EFGH diperlihatkan pada gambar di bawah, dengan AB = 8 cm, AD = cm, dan AE = 4 cm. Ruas-ruas gar berarah ® AB , ® AD , dan ® AE bertur turut mewakili vektor p , qdan r

A B C D E F G H r q p 2 2 2 1

a

|

a

|

=

+

2 3 2 2 2 1

a

|

a

|

=

+

2 2 2 2

|

b

a

|

b

|

2 |

a

|

2 |

b

a

|

+

=

+

-

(5)

-Tentukan : a) Panjang vektor-vektor p , qdan r b) | p+q| c) | p+ r | d) |q+ r | e) | p+q+ r | 5. Diketahui vektor-vektor : k 4 j 3 i 2 a

=

+

-

dan k 2 j 5 i b

=

-

. Tentukan a) a +b b) a –b c) 2a +5b d) |a +b| e) |3a -2b| 6. Diketahui vektor-vektor : k 4 j 3 i 2 a

=

+

-

dan k 2 j 5 i b

=

-

. k 2 j i 3 c

=

-

+

Tentukan panjang vektor d = 2a +b –c

7. Diketahui titik A(0, 6) dan B(-2, 4) Tentukan panjang ruas garis

(jarak) AB !

8. Tentukan x dan y dari :

÷

ø

ö

ç

è

æ

-=

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

1 8 3 y 3 4 4 x 2 9. Diketahui vektor-vektor : k 4 j 3 i 2 a

=

+

-

dan k 2 j 5 i b

=

-

. k 2 j i 3 c

=

-

+

Tentukan : a) a . b b) a . c c) b . c d) (3a)( 2b) e) (-2a).(3c)

10. Carilah nilai a, b dan c jika :

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

=

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ -+

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

+

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

1 1 1 1 0 1 c 0 1 2 b 1 2 0 a

11. Diketahui titik A(5, 4, 6) dan B(-2, 5,1). Tentukan jarak antara titik A dan B !

12. Diketahui segitiga ABC dengan A( -1, 5), B(4, 2, -5) dan C(-4,0,3). Jik D merupakan titik tengah sisi BC,

hitunglah panjang garis AD.

13. Diketahui | a | = 4 cm , | b | = 5 da | a –b| =

Ö

19 . Tentukan | a +b| 14. Diketahui | a | =

Ö

7 cm , | b | = 3 dan | a +b| =

Ö

23 . Tentukan | a -b| 15. Diketahui a

=

3i

-

2 j , j 4 i b

=

-

+

dan r

=

7 i

-

8 j . Jika b m a k r

=

+

, tentukan nilai k +m !

(6)

A. Perbandingan Bagian

(1) Titik P membagi Ruas garis AB

a) Jika P di dalam garis AB

®

APdan

®

PB memunyai arah yang sama dan n dan m mempunyai tanda yang sama.

A _P B

m

n

Rumus :

a) Jika P di luar garis AB

®

APdan

®

PB memunyai arah yang berlawanan dan n dan m mempunyai tanda yang

berlawanan.

A B P

m

n

Rumus :

(2) Pembagian dalam vektor

Jika p menyatakan vektor posisi titik P yang membagi AB

dengan perbandingan m : n O _A B n m b a p Rumus :

(3) Tiga titik Segaris (kolinier)

Jika terdapat titik A, B dan C maka ketiga titik tersebut akan segaris, jika :

Dengan k konstan (riel)

(4) Dua vektor segaris (kolinier)

Jika a adalah vektor posisi titi A dan b vektor posisi titik B, maka a da

b akan segaris jika memenuhi :

Dengan k konstan. AP : PB = m : n AP : AB = m :(m +n) AP : PB = m :- n AP : AB = m :(m -n) n m a n b m p

+

=

® ®

=

_k_AC AB b k a

=

(7)

B. Sudut antara dua vektor

q

b

a

Maka berlaku :

Perhatikan gambar diatas, jika:

(i) a dan b membentuk sudut 900 , artinya vektor a dan b

tegak lurus , maka :

(ii) a dan b membentuk sudut 1800 , artinya vektor a dan b berlawanan, maka :

(iii) a dan b membentuk sudut 00 , artinya vektor a dan b

sejajar atau berimpit , maka :

C. Proyeksi Orthogonal vektor

b

a

c

Vektor proyeksi dari vektor a pada vektor b adalah :

Panjang proyeksi dari vektor a pa vektor b adalah :

Gunakan Teori di atas untuk

menyelesaikan soal-soal berikut ini :

1. Vektor posisi titik A dan B masing-masing dinyatakan dengan a dan b Nyatakan vektor posisi titik P

dengan a dan b Jika :

a) titik P membagi AB di dalam dengan perbandingan 3 : 2 b) titik P membagi AB di luar dengan perbandingan 3 : 2

2. Diketahui titik A(2, 3, 4) dan B(9,-11,18). Tentukan koordinat titik P, jika titik P membagi AB di dalam

dengan perbandingan 5 : 2 1. a.b

=

|a|.|b|cos

q

2. | b | . | a | b . a cos

q

=

3. a(a

+

b)

=

|a|2

+

|a|.|b|cos

q

4. a(a

-

b)

=

|a|2

-

|a|.|b|cos

q

5. |a

+

b|2

=

|a|2

+

|b|2

+

2|a||b|cos

q

6. |a

-

b|2

=

|a|2

+

|b|2

-

2|a||b|cos

q

a .b = 0 a .b = -|a|.|b| a .b = |a|.|b| | b | b . a | c |

=

b . | b | b . a c

=

₂

(8)

3. Diketahui titik A(2, 1, -1) dan B(7,3,8). Tentukan koordinat titik

P, jika titik P membagi AB diluar dengan perbandingan 3 : 2

4. R adalah titik pada garis PQ. Tentukan koordinat R jika : a) P(1,0,2), Q(5,4,10) dan PR : RQ = 3 : -2 b) P(-3,-2,-1), Q(0,-5,2) dan PR : RQ = 4 : -2 5. Diketahui vektor

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

-=

3 1 2 a dan

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

-=

2 3 1

b . Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor

tersebut. 6. Diketahui vektor

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

-=

3 3 3 a dan

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

=

3 1 2

b . Tentukan sinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor

tersebut. 7. Diketahui vektor

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

-=

2 2 1 a dan

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

-=

4 2 4

b . Tentukan kosinus sudut yang dibentuk oleh kedua vektor

tersebut.

8. Diketahui segitiga ABC dengan A(2,-3,2), B(-1,0,2) dan C(0,1,4). Dengan menggunakan rumus sudu

antara dua vektor, tentukan besar setiap sudut dalam segitiga itu. 9. Diketahui vektor

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

1 2 a dan

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

4 3 b . Tentukan :

a) Proyeksi vektor a pada b b) Proyeksi vektor b pada a

c) Panjang Proyeksi vektor a pada d) Panjang Proyeksi vektor b pada 10. Diketahui vektor

_÷

÷

ø

ö

ç

è

æ

-=

3 6 2 a dan

÷

ø

ö

ç

è

æ

-=

2 12 b . Tentukan :

a) Proyeksi vektor a pada b b) Proyeksi vektor b pada a

c) Panjang Proyeksi vektor a pada d) Panjang Proyeksi vektor b pada 11. Diketahui segitiga ABC dengan

A(1,-1,2), B(5,-6,2), dan C(1,3,-1) Tentukan :

a) Panjang proyeksi vektor

®

AB pa vaektor

®

AC

b) Panjang proyeksi vektor

®

CA pa vaektor

®

CB

12. Diketahui A(2,3,-1), B(5,4,0) dan C(x,6,2). Tentukan x agar A, B dan C segaris.

(9)

13. Diketahui vektor u = (4 ,x , 1) dan vektor v = (2,x-1,y) . Tentukan nilai x dan y agar kedua vektor segaris. 14. Diketahui u

=

2i

-

3 j

+

4k dan k 2 j i v

=

-

+

. Tentukan tangens sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

15. Diketahui |u| = 3 dan |v| = 5. Jika sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v sebesar 3

p

. Tentukan nilai : a) u(u +v) b) u(u -v)

Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui a = 3i +2j +k ; b = 2i +j dan c = 3a -4b , maka | c | = ... A.

Å

7 B.

Å

5 C.

Å

14 D.

Å

10 E.

Å

15 2. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui a = 3i -2j ; b = -i +4j dan r = 7i -8j, jika r = ka +mb, maka k +m =.... A. 3 B. 2 C. 1 D. -1 E. -2 3. PREDIKSI UAN 2006

Diketahui Z adalah titik ber segitiga ABC dimana A(2 ,3 ,-2), 4, 1, 2) dan C(8 ,5 ,-3), ma panjang vektor posisi Z adalah... A.

Å

7 B.

Å

15 C.

Å

11 D.

Å

14 E.

Å

17 4. PREDIKSI UAN 2006

Diketahui A(2 ,-1, 4), dan B(3 , ,0). Titik P terletak pa perpanjangan AB sehingga :

AP = -2PB. Jika p vektor posisi ti P, maka p A. (1 ,3 ,5) B. (3 ,5, 4) C. (8 ,-5 ,4) D. (4 ,-3 ,-4) E. (8 ,5, -4) 5. PREDIKSI UAN 2006 Jika P(1 ½ , 2 ½ ,1), Q(1, 0, 0) d R(2 ,5, a) terletak pada satu ga

lurus, maka a adalah.... A. 0 B. ½ C. 1 D. 2 E. 2 ½ 6. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui | a | = 3, | b | = 5 dan | + b | = 6, maka |a – b| = .... A. 3

Å

2 B. 4

Å

2 C. 2

Å

3 D. 3

Å

2 E. 4

Å

2

(10)

7. PREDIKSI UAN 2006 Jika

÷

ø

ö

ç

è

æ

-=

2 3 a ,

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

0 1 b dan

÷

ø

ö

ç

è

æ -=

4 5

c . Maka panjang vektor d = a + b –c adalah.... A.

Å

5 B. 2

Å

13 C. 17 D. 3

Å

13 E. 2

Å

41 8. PREDIKSI UAN 2006

Panjang vektor a , b dan (a +b) berturut –turut adalah 12 , 8 dan 4

Å

7. Besar sudut antara a dan b adalah.... A. 45o B. 60o C. 90o D. 120o E. 150o 9. PREDIKSI UAN 2006 Jika a = (1 ,2 ,3) dan b = (3 ,2 ,1), maka (2a).(3b) = .... A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 E. 70 10. PREDIKSI UAN 2006

Jika vektor a dan b membentuk sudut 60o , | a | = 4 , | b | = 3, maka a (a – b) = .... A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10 11. PREDIKSI UAN 2006

Besar sudut antara vektor a = 2i +3k dan b = i +3j -2k adalah... A. 6 1 o B. 4 1 o D. 2 1 o C. 3 1 o E. 3 2 o 12. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui titik P(-3 ,-1 ,-5), Q(-1 ,0) dan R(1 ,2 ,-2). Jika PQ

=

a d b QR

=

, maka a . b =.. A. -6 B. -8 C. -10 D. -12 E. -14 13. PREDIKSI UAN 2006 Vektor-vektor p = 2i +aj +k d q = 4i -2j -2k saling tegak lur untuk a sama dengan...

A. 3 B. 4 C. 4,5 D. 5 E. 6 14. PREDIKSI UAN 2006

Vektor z = adalah proyeksi vektor = (-

Å

3, 3 ,1) pada vektor y = (

Å

2 , 3). Panjang vektor z adalah... A. 1/2

B. 1 C. 3/2 D. 2 E. 5/2

(11)

15. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

-=

1 2 3 a dan

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

=

2 y 2 b .

Bila panjang proyeksi a pada b sama dengan

2 1

panjang vektor b, maka nilai y adalah...

A. 2 -2

Å

3 atau 2 +2

Å

3 B. 1 -

Å

3 atau -1 +

Å

3 C. -2 -2

Å

3 atau -2 +2

Å

3 D. -4(1 -

Å

3) atau 4(1 -

Å

3) E. 4

Å

3 atau -4 16. PREDIKSI UAN 2006

Vektor yang merupakan proyeksi vektor (3 ,1 ,-1) pada vektor (2 ,5 ,1) adalah.... A. 2 1 (2 ,5 ,1) B. 3 1 (2 ,5 ,1) C. 3 1

_Å

30(2 ,5 ,1) D. 30 1 (2 ,5, 1) E. 4 1 (2 ,5 ,1) 17. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui | a | = 5 , | b | = 9 dan tg

É

(a ,b) = 4 3 , maka a (a +b) = .... A. 51 B. 52 C. 61 D. 108 E. 117

Bila ketiga titik (-5 ,4 ,4), (4 ,-2, dan (x ,2 ,y) segaris, maka nilai +y ) = ... A. -3 B. -2 C. 1 D. 2 E. 3 19. PREDIKSI UAN 2006 Diketahui P = (a ,0 ,3) , Q = (0 ,5) dan R = (2 ,7 ,c) . Agar vekt

PQ tegak lurus pada QR , harusl nilai a –c = .... A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 E. 5 20. PREDIKSI UAN 2006

Diketahui panjang proye

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

-=

3 2 1 a pada

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

3 p 3 b adal 1. Nilai p = ... A. 4 B. 2 C. 2 1 D. 4 1

E. -2 1

(12)

Jika a = 7i -6j -8k dan b = -2i +j +5k , maka proyeksi orthogonal a pada b adalah... A. -14i +2j +10k B. -3 4 i + 3 2 j + 3 10 k C. 3 4 i -3 2 j -3 10 k D. 4i -2j -10k E. 6i -3j -15k 22. PREDIKSI UAN 2006

Diketahui vektor a = 3i +j -5k dan b = -i +2j -2k, proyeksi vektor orthogonal a dan b adalah c. Vektor c adalah... A. -i -2j -2k B. -i -2j +2k C. -i +2j -2k D. i +2j -2k E. i +2j +2k 23. PREDIKSI UAN 2006

Diketahu titik A(-4 ,1 ,3) dan B(1 ,-4,3). Titik P(x,y ,z) pada AB sehingga AP : PB = 3 : 5. Vektor posisi titik P adalah....

A.

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

-15 10 1 B.

÷

ø

ö

ç

è

æ

-2 232 7 2 17 C.

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

-3 2 1 D.

÷÷

÷

ø

ö

çç

ç

è

æ

-

₃ 4 1 E.

÷

ø

ö

ç

è

æ

-8 248 7 8 17 24. PREDIKSI UAN 2006

Diketahui titik-titik A(2 ,-1, 4), B( 1 ,3) dan C(2 ,0 ,5). Kosinus sud antara AB dan AC adalah.... A. 6 1 B. 6 1