SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2013 (SKL 2.11 SUDUT ANTARA DUA VEKTOR)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL

TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA

(Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 73 2. 11. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara

dua vektor.

Sudut

Antara Dua Vektor

Diketahui

Komponen Vektor

Titik Koordinat

Panjang dan ResultanVektor

⃗ = ⃗ + ⃗ + �⃗⃗

⃗⃗ = ⃗+ ⃗+ �⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ − ⃗⃗ | ⃗ + ⃗⃗| = | ⃗| + |⃗⃗| + | ⃗||⃗⃗| cos �_{| ⃗ − ⃗⃗| = | ⃗| + |⃗⃗| − | ⃗||⃗⃗| cos �}

Kosinus Sudut

Kosinus Sudut

Antara Dua Vektor

Antara Dua Vektor

cos � =

_{|⃗⃗⃗||⃗⃗⃗|}⃗⃗⃗∙⃗⃗⃗

cos � =

|⃗⃗⃗+⃗⃗⃗| − |⃗⃗⃗| +|⃗⃗⃗| |⃗⃗⃗||⃗⃗⃗|

atau

cos � = |⃗⃗⃗| +|⃗⃗⃗| −|⃗⃗⃗−⃗⃗⃗|

|⃗⃗⃗||⃗⃗⃗|

Besar Sudut

Antara Dua Vektor

“Sudut b�rapa yang nilai cosnya �"

cos � = � ⇒ � = cos

−

�

� = ∠(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) �

|⃗⃗| | ⃗|

� = ∠(⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗)

Halaman 74 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)}

TRIK SUPERKILAT:

Tentukan dua vektor

Cek Perkalian titik

Perkalian titik = 0 ��rkalian titik ≠

� = ° Gunakan rumus cos �

Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal sudut antara dua vektor, jelas bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah besar sudut yang dibentuk antara dua vektor. Nah, vektor yang diketahui ada tiga jenis, pertama diketahui komponen vektor, kedua diketahui vektor yang dibentuk oleh dua titik, dan yang terakhir adalah panjang atau resultan vektor.

Langkah TRIK SUPERKILAT:

 Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan dua vektor yang membentuk sudut �.

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 75 LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras:

Masih ingat tripel Pythagoras? Asyik….!

Misal vektor ⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗, maka tentukan panjang vektor ⃗?

Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut:

| ⃗| = √ + − + = √ + + = √ =

Apabila kita ingat bagaimana pola bilangan pada tripel Pythagoras, maka pengerjaan kita seperti berikut:

⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗

3 4 12 (ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5)

5 12 (ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13)

13

Keterangan:

 Pertama, abaikan tanda negatif pada setiap komponen vektor. Jadi kita hanya fokus untuk melihat komponen vektor ⃗ yaitu 3, 4, 12.

 Karena kita ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5. Maka 3, 4 kita sederhanakan menjadi 5.

 Jadi, sekarang komponen vektor semula 3, 4, 5 kini menjadi 5, 12.

Nah, karena kita ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13. Maka 5 dan 12 bisa kita sederhanakan menjadi 13.

 Selesai! Panjang vektor ⃗ adalah 13! Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras yang sering muncul 3 4 5

5 12 13 7 24 25 9 40 41

8 15 17

Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras

Khusus bilangan ganjil s�p�rti , , , , dst… maka trip�l �ythagorasnya adalah bilangan t�rs�but dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut!

Contoh:

= maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5. Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.

Halaman 76 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)}

LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras Bentuk Akar:

Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar?

Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini.

Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan.

Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu????? Lihat konsepnya pada gambar di bawah:

Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah √ dan √ , dan misal sisi miring segitiga siku-siku adalah �, maka nilai � bisa ditentukan oleh:

� = ( √ ) + ( √ ) ⇒ � = √ +

⇒ � = √ +

⇒ � = √ √ + ⇒ � = √ +

Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini:

Tripel Pythagoras bentuk akar

√ √ √ +

Contoh:

Sekarang mari cermati contoh soal panjang vektor di bawah ini!

Misal vektor ⃗ = ⃗ − ⃗ + �⃗⃗, maka tentukan panjang vektor ⃗?

Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut: | ⃗| = √ + − + = √ + + = √ = √ √ = √

Apabila kita ingat pola bilangan pada tripel Pythagoras bentuk akar, maka pengerjaan kita seperti berikut:

⃗ = ⃗ − ⃗ + ��⃗⃗ (hanya lihat pada komponen vektor saja, abaikan tanda negatif)

4 2 6 F�B dari , , dan adalah . Ubah bilangan , , m�njadi dikali akar b�rapa gitu…

√ √ √� (jumlahkan + + )

√ + + �

√

√

√ √ +

bilangannya harus sama, kalau nggak sama cari FPBnya

jumlahkan saja bilangan di dalam akar

√

√ �

√

√ √

 Cari FPB dari 12 dan 8.  FPBnya adalah 4.

 Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4.  Artinya = √ dan = √ ,

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 77

Tipe Soal yang Sering Muncul

Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui komponen dua vektor.

Contoh Soal:

Diketahui vektor ⃗ = ⃗ + ⃗ + �⃗⃗ dan ⃗⃗ = ⃗+ ⃗. Besar sudut antara vektor ⃗ dan ⃗⃗ adalah …. a. 30

b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 Penyelesaian:

⃗ = ⃗ + ⃗ + �⃗⃗ = ( ) ⇒ | ⃗| = √ + + = √ + + = √ = √ √ = √

⃗⃗ = ⃗+ ⃗ = ( ) ⇒ |⃗⃗| = √ + + = √ + + = √ = √ √ = √

Dengan demikian diperoleh:

cos � = ⃗ ∙ ⃗⃗ | ⃗||⃗⃗|

=

( ) ∙ ( )

√ ∙ √

= + +

√

= + +

√ √ =

√ =

√ × √ √

= √

= √

Jadi karena cos � = √ , maka besar sudut � = °

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Lihat bahwa ⃗ ∙ ⃗⃗ ≠ , maka jelas jawaban D (90°) pasti salah!

Segera cari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:

⃗ = ⃗ + ⃗ + �⃗⃗ = ( )= √_√ √

⇒ | ⃗| = √ + + = √

⃗⃗ = ⃗+ ⃗ = ( )= √_√ ⇒ |⃗⃗| = √ + = √

Lanjutkan dengan menghitung nilai cos � menggunakan rumus:

cos � = ⃗ ∙ ⃗⃗ | ⃗||⃗⃗|=

( ) ∙ ( )

Halaman 78 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)}

Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui beberapa titik koordinat.

Contoh Soal:

Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika ⃗⃗ mewakili ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗ mewakili ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, maka sudut yang dibentuk oleh vektor ⃗⃗ dan ⃗ adalah …

a. 30 b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 Penyelesaian:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗ − ⃗ = ( ) − ( ) = ( ) ⇒ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √ + + = √ + + = √ =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ − ⃗ = ( ) − ( ) = ( ) ⇒ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √ + + = √ + + = √ = √

Dengan demikian diperoleh:

cos � = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗||⃗⃗⃗⃗⃗⃗|

=

( ) ∙ ( )

∙ √

= + +

√

= + +

√ =

√ =

√ =

√ × √ √ = √

Jadi karena cos � = √ , maka besar sudut � = °

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:

Lihat bahwa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ , maka jelas jawaban D (90°) pasti salah!

Lanjutkan segera dengan mencari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗ − ⃗ = ( ) − ( ) = ( ) ⇒ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = kar�na kompon�n yang lain nol

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗ − ⃗ = ( ) − ( ) = ( ) = √_√ ⇒ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √ + = √

serta hasil kali titik dari ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tidak mungkin memuat bilangan bentuk akar.

Karena panjang memuat bilangan √ . Jadi feeling kita mengatakan bahwa nilai cos � = √ , dan

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 79

Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui panjang dan resultan vektor.

Contoh Soal:

Diketahui| ⃗| = , |⃗⃗| = , dan | ⃗ + ⃗⃗| = √ . Besar sudut antara vektor ⃗ dan ⃗⃗ adalah …. a. 30

b. 45 c. 60 d. 90 e. 120 Penyelesaian:

Ingat _{| ⃗ + ⃗⃗| = | ⃗| + |⃗⃗| + | ⃗||⃗⃗| cos �}

Dengan demikian diperoleh:

|⃗⃗

+

⃗⃗|

=

|⃗⃗|

+

|⃗⃗|

+

|⃗⃗||⃗⃗|

cos �

⇔

(√ )

= + + cos �

⇔ = + + cos �

⇔ = + cos �

⇔ − = cos �

⇔ = cos �

⇔ = cos �

⇔ = cos �

⇔ cos � =

Jadi, karena cos � = , maka besar sudut � = °

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:

Ingat kalau diketahui jumlah kedua vektor maka kosinus sudut antara dua vektor adalah:

cos � =| ⃗ + ⃗⃗| − | ⃗| + |⃗⃗| | ⃗||⃗⃗|

= − +

= −

=

=

Halaman 80 _{Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)}

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Diketahui vektor

























3

3

2

a



dan

.

4

2

3



























b



Sudut antara vektor

a

dan

b

adalah ....

A.

135°

B.

120°

C.

90°

D.

60°

E.

45°

2.

Diketahui titik A (1, 0, −2), B (2, 1, −1), C (2, 0, −3). Sudut antara vektor

AB

dengan

AC

adalah ....

A.

30°

B.

45°

C.

60°

D.

90°

E.

120°

Jika adik-

adik butuh ’bocoran’

butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

.

Semua

soal

tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal

20November 2012 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

.

Pak Anang.

cos ∠( ⃗, ⃗⃗) =_{| || |}⃗ ∙ ⃗⃗

= + −

√ √ =

∴ cos � = ⇒ � = °

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − = , , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − = , , −

cos ∠(⃗⃗⃗⃗⃗⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗||⃗⃗⃗⃗⃗⃗|

= + −

√ √ =

∴ cos � = ⇒ � = °

TRIK SUPERKILAT:

Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?.

Kalau nol pasti siku-siku.

Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.



TRIK SUPERKILAT:

Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?.

Kalau nol pasti siku-siku.

Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.