Makalah Vektor Matematika - Makalah

(1)

Program Studi Pendidikan Matematika vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, sedangkan skalar adalah besaran yang memiliki nilai tetapi tidak memiliki arah.

Coba sebutkan apa saja yang termasuk vektor dan apa saja yang termasuk skalar? Ya, panjang, waktu, volume, serta usaha termasuk skalar, sedangkan yang termasuk vektor adalah kecepatan, gaya, perpindahan, dan percepatan. Selain contoh di atas, coba Anda sebutkan contoh vektor dan skalar yang lainnya!

Perpindahan merupakan salah satu contoh vektor. Apa itu perpindahan? Bagaimana menghitung besar perpindahan?

Sebelumnya, coba Anda perhatikan gambar berikut!

A : titik awal

C : titik akhir

Apakah yang dapat Anda lihat dari gambar di atas?

Dari gambar di atas, seorang anak berlari dengan lintasan dari titik A ke titik B, dan berakhir di titik C. Anak tersebut mengalami perpindahan, karena terjadi perubahan posisi dari titik A ke titik C. Jadi, perpindahan adalah perubahan posisi yang terjadi dalam selang waktu tertentu. Kemudian, bagaimanakah kita mengukur perpindahannya? Jika kita mengukur besar perpindahan, maka kita mengukur panjang dari titik awal ke titik akhir lintasan. Sehingga besar perpindahan yang dilakukan anak tersebut adalah

(2)

Program Studi Pendidikan Matematika sebuah vektor, dimana titik O adalah titik pangkal (titik awal) vektor dan titik P adalah titik akhir (titik ujung) vektor. Titik ujung vektor menunjukkan arah yang dituju.

Secara analisis

Vektor dilambangkan oleh sebuah huruf. Anak panah diletakkan di atas huruf atau dengan menebalkan huruf tersebut, yang menandakan bahwa vektor memiliki arah. Jadi, vektor OP dilambangkan dengan . Besar dinyatakan dengan .

Setelah Anda mengetahui definisi vektor secara grafik dan aljabar, maka selanjutnya akan dijelaskan mengenai aljabar vektor.

Aljabar Vektor

Vektor juga memiliki operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Penjelasannya sebagai berikut.

1. Dua buah vektor dan dikatakan sama jika vektor-vektor tersebut memiliki besar/panjang dan arah yang sama tanpa memandang titik-titik awalnya. Jadi seperti pada gambar dibawah ini.

O

P

(3)

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Created by: Rahima & Anny 3 2. Sebuah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor , tetapi

memiliki besar/panjang yang sama dinyatakan oleh , dinyatakan dalam gambar berikut.

3. Jumlah atau resultan dari vektor-vektor dan ditulis dengan , adalah sebuah vektor yang dibentuk dengan menempatkan titik pangkal vektor pada titik ujung vektor , dan kemudian menghubungkan titik pangkal vektor dengan titik ujung vektor .

Perhatikanlah contoh berikut.

Misalkan dan seperti gambar berikut.

Untuk mencari resultan, maka letakkan titik pangkal pada titik ujung , sehingga diperoleh gambar berikut.

Resultan yang diperoleh adalah dengan membuat garis yang menghubungkan titik pangkal dengan titik ujung . Jadi, resultan yang dihasilkan merupakan vektor dimana titik pangkalnya berada pada titik pangkal dan titik ujungnya berada pada titik ujung

.

(4)

Created by: Rahima & Anny 4

4. Selisih dari vektor-vektor dan ditulis dengan , dapat didefinisikan dengan resultan .

Perhatikan contoh berikut.

Untuk mencari sama juga artinya dengan mencari , maka Anda perlu mencari terlebih dulu. Berikut ini akan diperlihatkan .

Setelah itu, dapat dicari resultan dengan menggunakan cara no.3 di atas. Buat garis yang menghubungkan titik pangkal dengan titik ujung vektor , maka merupakan vektor dimana titik pangkalnya berada pada titik pangkal dan titik ujungnya berada pada titik ujung . Sehingga, dapat kita lihat pada gambar di bawah ini.

5. Hasil kali sebuah vektor dengan sebuah skalar adalah sebuah vektor yang besarnya kali besarnya . Arah vektor ini memiliki arah

(5)

Created by: Rahima & Anny 5 yang sama atau berlawanan dengan , bergantung pada apakah positif atau negatif. Jika , maka adalah sebuah vektor nol.

Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini

(6)

Program Studi Pendidikan Matematika

b. Pindahkan -2B dengan meletakkan titik pangkalnya pada titik ujung A c. Hubungkan titik pangkal A dengan titik ujung -2B yang baru

dipindahkan, maka didapat A– 2B

Contoh 2

Sebuah bus bergerak sejauh 50 km menuju arah timur, kemudian dilanjutkan sejauh 25 km menuju timur laut.

a. Gambarkanlah dengan grafik perpindahan yang dilakukan bus tersebut. Gunakan skala 1 cm mewakili 10 km.

b. Jika R adalah resultan dari perpindahan yang dilakukan bus tersebut, hitung panjang dan arah dari R dengan menggunakan grafik dan secara analitik.

Penyelesaian

a. Untuk menggambar grafik perpindahan yang dilakukan bus, pertama-tama buat sumbu koordinat dan namai masing-masing sesuai dengan arah mata angin. Gunakan skala 1:100.000, artinya untuk 1 cm mewakili 1 km. Kemudian, gambar perpindahan sejauh 50 km ke arah timur dengan membuat garis (OA) sepanjang 5 cm ke arah timur. Perpindahan 25 km kerah timur laut digambar dengan membuat garis (AB) sepanjang 2,5 cm ke arah timur laut. Lalu, hubungkan titik awal ke titik akhir setelah perpindahan, garis ini dinamakan resultan perpindahan (BO = R). Sehingga diperoleh gambar berikut ini.

A

B

A -2B

-2B

(7)

Besar resultan perpindahan dapat ditentukan dengan mengukur panjang R, panjang R setelah diukur ternyata 7 cm. Ini berarti |R| = 7 x menghitung panjang sisi sebuah segitiga berkenaan dengan dalil kosinus, yaitu:

|R|2_{= |}_OA_|2_{+ |}_AB_|2–_2|_OA_{| |}_AB_{| cos} = 2500 + 625 – 2500 cos

= 4892,7670 |R| = 69,9483

Selanjutnya menghitung arah R, gunakan dalil sinus. Misalkan

∠ yang merupakan arah R

(8)

Created by: Rahima & Anny 8 Latihan 1

Jika vektor-vektor A, B, dan C seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Gambarkan R = A– 2B–C

Penyelesaian

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

a. Buat vektor -2Bdimana panjangnya …… dan arahnya ……… dengan arah B

b. Pindahkan ……dengan meletakkan ……… di ………..A

c. Buat vektor ... dimana panjangnya …… dan arahnya ……….. dengan ……

d. Pindahkan C dengan meletakkan ………..di ujung ……

e. Hubungkan titik pangkal …… dengan titik …….……… …… sehingga

diperoleh A– 2B–C

Sehingga diperoleh gambar A + 2B–C berikut ini.

Latihan 2

Sederhanakanlah A

B

(9)

Misalkan titik-titik P(1, -2), Q(-3, 4), dan R(2, -3). Dapatkanlah (a) PQ, (b) QR, (c) PQ – QR, (d) -3RP pergeseran resultan a. secara grafis, b. secara analitis.

Penyelesaian menggunakan penggaris diperoleh resultan perpindahan R …… dan

U

B T

(10)

dengan menggunakan busur derajat diperoleh sudut ….. Maka R

besarnya …… dengan arah …… ke sebelah utara dari ……

b. Secara analitis

|R2_{| = |}_A2_{| + |}_B2_{| - 2|}_A_||_B cos ∠…… …… …… _- … … cos …… Jadi R ……

Dari hukum sinus maka

Sin ∠….. ….. ∠…. …..

jadi Cbesarnya …… km dan arahnya ... ke ..…………dari ………..

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia

Latihan 1

Dua buah sisi sebuah segitiga dibentuk oleh vektor-vektor V = 3i + 4j dan W = 5i +2j. Hitunglah panjang sisi-sisi segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.

Penyelesaian

Latihan 2

(11)

Created by: Rahima & Anny 11 Bentuklah

a. 3A– 2B– (C–D) b. C + (A–B + 2D) Penyelesaian

Latihan 3

Sebuah mobil bergerak sejauh 100 km menuju ke arah barat, kemudian dilanjutkan sejauh 60 km menuju barat laut, dan 80 km menuju timur.

A B

(12)

Created by: Rahima & Anny 12 a. Gambarkan dengan grafik perpindahan yang dilakukan bus tersebut.

Untuk itu gunakan skala 1 cm untuk mewakili 20 km

b. Jika R adalah perpindahan yang dilakukan oleh bus tersebut, hitunglah panjang dan arah R dengan menggunakan grafik dan secara analitik

(13)

Created by: Rahima & Anny 13 Kunci Jawaban

Latihan 1 : 5, , 10

Latihan 3 : b. besarnya 80 km, arahnya ke sebelah utara dari barat

Kesimpulan

(14)

Created by: Rahima & Anny 14 Vektor satuan

Vektor satuan adalah suatu vektor yang besarnya satu satuan. Jika sebuah vektor yang diketahui dan adalah sebuah vektor satuan, maka vektor satuannya dapat dituliskan dengan

dimana .

Vektor Basis Satuan

Vektor basis satuan dalam

Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam . Pilih dua vektor satuan dan sebagai basis yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x dan y positif dan berpangkal di O.

Vektor dan disebut dengan vektor-vektor basis di .

Vektor basis satuan dalam

Pada sistem koordinat dalam , terdapat tiga vektor satuan, yaitu vektor satuan , , dan yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x, y, dan z positif dan berpangkal di O.

Materi pokok pertemuan ke 2: 4. Vektor satuan

5. Komponen vektor dan vektor komponen 6. Himpunan vektor kolinear dan takkolinear

URAIAN MATERI

(15)

Vektor Posisi

Vektor posisi dalam

Jika dan adalah vektor-vektor basis di yaitu vektor satuan yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x dan sumbu y dan berpangkal di titik O dalam , maka sebarang vektor dari titik O ke titik P(x,y) dalam bidang XOY selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor basis

dan .

Sehingga, vektor posisi titik P diberikan oleh

dimana ; disebut vektor-vektor komponen. adalah komponen vektor pada sumbu x adalah komponen vektor pada sumbu y

Vektor disebut vektor posisi titik P, karena komponen-komponennya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P.

Panjang/besar dari dinyatakan oleh , dimana .

Vektor posisi dalam

Vektor-vektor basis dalam adalah vektor-vektor satuan , , dan yang masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu x, y, dan z positif dan berpangkal di titik O.

O

(16)

Created by: Rahima & Anny 16 Vektor posisi titik P(x,y,z) diberikan oleh

Panjang/besar dari dinyatakan oleh , dimana

Secara umum untuk sebarang vektor pada yang mempunyai komponen-komponen vektor , , dan dapat dituliskan dalam bentuk

, , dan disebut vektor-vektor komponen dari pada sistem koordinat tegak lurus X, Y, dan Z.

Panjang vektor diberikan oleh

... 1.1 y

z

x

(17)

Himpunan vektor yang bergantung linear dan bebas linear

Himpunan vektor disebut bergantung linear jika dan hanya jika ada himpunan skalar yang tidak semuanya nol, sehingga

.

Jika himpunan skalar semuanya nol, maka himpunan vektor tersebut dikatakan bebas linear.

Beberapa sifat dari himpunan vektor yang bergantung linear:

1. Jika dan adalah dua vektor kolinear/sejajar, maka kedua vektor tersebut bergantung linear.

(18)

Created by: Rahima & Anny 18 3. Jika , , , dan adalah empat buah vektor yang terletak dalam ruang

dimensi tiga, maka keempat vektor tersebut bergantung linear.

(19)

Created by: Rahima & Anny 19 Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong

(20)

Created by: Rahima & Anny 20 sehingga

…… + 2b …… = 0 (1)

…… ….. …… (2)

…… ….. …… (3)

Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh

4b …… ……

….. …… …… (4)

Eliminasi persamaan (2) dan (3) diperoleh

…… …… …… (5)

Eliminasi persamaan (4) dan (5) diperoleh b ……

Substitusi b …… ke persamaan diperoleh c ……

Substitusi b …… dan c …… ke persamaan (1) sehingga diperoleh a ……

Jadi, karena terdapat skalar a, b, c yang ……… sehingga aA + bB + cC = 0. Maka A, B, dan C……….. linear.

Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia

Latihan 1

Carilah vektor satuan yang sejajar dengan resultan dari vektor-vektor r1 = -5i + 4j + 2k dan r2 = 3i + 2j + k.

Penyelesaian

(21)

Latihan 2

Dalam tiap-tiap kasus berikut apakah vektor-vektornya bebas linear atau bergantung linear:

(22)

Created by: Rahima & Anny 22 Latihan 3

Jika a dan b adalah vektor-vektor takkolinear dan A = (x + 4y)a + (2x + y + 1)b dan B = (y – 2x + 2)a + (2x – 3y – 1)b, maka carilah x dan y

(23)

Created by: Rahima & Anny 23 Kunci Jawaban

Latihan 1 :

Latihan 2 : a. bebas linear, b. bergantung linear Latihan 3 : x = 2 dan y = -1

Kesimpulan