LINGKARAN DIDEFINISIKAN SEBAGAI
HIMPUNAN TITIK TITIK YANG
BERJARAK TETAP TERHADAP TITIK
TERTENTU, DIMANA TITIK TERTENTU
TERSEBUT DISEBUT SEBAGAI PUSAT
LINGKARAN DAN JARAK YANG TETAP
DISEBUT JARI - JARI
o
r
Persamaan Lingkaran
Persamaan Lingkaran Berpusat di
Persamaan Lingkaran Berpusat di
Titik O(0,0) dan Berjari-jari r
Titik O(0,0) dan Berjari-jari r
Persamaan Lingkaran Berpusat di
Persamaan Lingkaran Berpusat di
Titik P(a,b) dan Berjari-jari r
Titik P(a,b) dan Berjari-jari r
o
r
T (x,y)
OT
= r
x + y = r
2
2
2
( x
2- x
1) + ( y
2-
y
1) = r
2
2
( x - 0
) + ( y
- 0
)
= r
2
2
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat
di titik O (0,0) dan :
a. berjari-jari 2
b. melalui titik (3,4)
Soal Latihan
P (a,b )
r
T (x,y)
PT = r
(x-
a)
+ (y-b) = r
2
2
2
( x
2- x
1) + ( y
2-
y
1) = r
2
2
( x -
a
) + ( y
-
b
)
= r
2
2
O
X
Tentukan persamaan lingkaran jika :
a. Berpusat di titik P (3,2) dan berjari-jari 4
b. Berpusat di titik Q (2,-1) dan melalui titik R(5,3)
Soal Latihan
Elips
Indikator
1.
Menjelaskan pengertian elips. 2. Menentukan unsur-unsur elips. 3. Menentukan persamaan elips 4. Melukis grafik persamaan ellipsKompetensi dasar:
3. Menerapkan konsep elips
Standar Kompetensi
Elips
Indikator
1. Menjelaskan pengertian elips.
2. Menentukan unsur-unsur elips.
3. Menentukan persamaan elips.
Elips
Pengertian Elips
Elips adalah
tempat kedudukan titik-titik pada
bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua
Perhatikan Gambar Elips
Elips
Unsur-unsur pada elips:
1.F
1dan F
2disebut fokus.
Jika T sembarang titik pada elips
maka TF
1+ TF
2= 2a, F
1F
2= 2c,
dengan 2a > 2c.
2. A1A2 merupakan sumbu panjang
(mayor)= 2a. B1B2 merupakan
sumbu pendek (minor) = 2b,
karena itu a > b.
b B1
a
TA2
E D
A1
B2
(0,-b) (0,b)
F1 P (c, 0) F2 (- c, 0)
K
L
Lanjut
Elips
Lanjutan Elips
3. Latus Rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips, tegak lurus
sumbu mayor dan melalui fokus (DE dan KL), panjang Latus Rectum
DE = KL =
4. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor.
5. Titik puncak elips yaitu titik A
1, A
2, B
1, B
2.
a
b
2Elips
1. Persamaan Elips yang berpusat di O(0,0)
Persamaan Elips : TF
1+ TF2 = 2a
+ = 2a
= 2a -
Mengkuadratkan ruas kiri dan kanan
sehingga diperoleh ……
) 0 , ( 1 aA A2(a,0) ) , 0 ( 1 b B ) , 0 ( 2 b B ) , (x y T
(a
2- c
2) x
2+ a
2y
2= a
2(a
2-c
2) . . . (i), jika titik T pada titik puncak pada
sumbu minor (0,b) maka diperoleh … . b
2=a
2– c
2. . . . (ii)
2 2
)
(
x
c
y
2 2
)
(
x
c
y
2 2
)
(
x
c
y
(
x
c
)
2
y
2Elips
Contoh
Tentukan persamaan elips dengan titik puncak (13,0) dan fokus
F1(-12, 0) dan F2(12,0).
Jawab:
D
iketahui pusat elips O(0,0)
Titik puncak (13,0) a = 13
Titik fokus (-12,0) dan (12,0) c = 12
Sumbu utama adalah sumbu X, sehingga persamaannya:
1
25
169
1
5
13
2 2
2 2 2
2
y
atau
x
y
Elips
1 ) ( ) ( 2 2 2 2 b n y a m x 2.Persamaan elips yang bertitik pusat P (m,n)
a. Persamaan elips dengan
titik pusat (m, n):
b. Sumbu utamanya (sumbu) y = n,
dengan panjang
2a dan sumbu
minornya adalah sumbu x = n,
dengan panjang 2b.
3.Titik fokus F
1(m-c, n) dan F
2( m + c, n )
4. Titik puncak A(m-a, n) dan B ( m + a, n )
5. Panjang lactus rectum (LR) = dengan
2
b
2b
2
a
2
c
2O B C D P(m,n) X= m X Y
A F1 F2
m
Elips
Contoh:
Tentukan persamaan elips dengan fokus F
1(1,3) dan F
2(7,3) dan
puncaknya (10,3).
Fokus (1,3) dan (7,3) = m-c = 1, m + c = 7 dengan eliminasi
diperoleh m=4 dan c= 3
Pusat P (m,n) = P (4,3) m = 3
Puncak(10,3) m + a= 10 a= 6
b
2= a
2–c
2= 6
2- 3
2= 36 - 9 = 27
Sumbu utama y=3, sehingga persamaan elips menjadi:
Jawab:
1
27
)
3
(
36
)
4
(
1
27
)
3
(
6
)
4
(
2 2 22 2
x
y
atau
y
x
Elips
0
2
2 By CxDyE
Ax
Bentuk umum persamaan elips
Persamaan elips memiliki bentuk umum:
Hubungan antara persamaan dengan
persamaan adalah sebagai berikut:
0
2 2
By
Cx
Dy
E
Ax
1 ) ( ) ( 2 2 2 2 b n y a m x0
2 2
By
Cx
Dy
E
Ax
Jika A > B, maka A = a
2, B = b
2, C=-2a
2m, D= -2b
2n, E= a
2m
2+ b
2n
2- a
2b
2Elips
Contoh:
Tentukan titik pusat dan fokus dari elips yang memiliki persamaan 4x2+ 9y2 -16x+ 18y -11=0.
Jawab:
Diketahui persamaan elips: 4x
2+ 9y
2-16x+ 18y -11=0.
A=4, B= 9, C= -16, D=18, E= -11
b2 = A = 4 b = 2
A2 = B = 9 a = 3
C = -2 b2m D= -2a2m C2= a2 –b2 = 9 -4 = 5
-16=-2. 4. m 18= -2. 9.n C = -16= -8m 18= -18n
2= m -1 = n
Pusat P(m,n) P(2, -1)
FokusF2(m-c, n)=F2 dan F2(m+c, n)=F2
Elips
Persamaan garis singgung melalui titik (x
1, y
1) pada elips
atau
b
y
y
a
x
x
1
2 1 21
1.
Untuk persamaan elips persamaan garissinggung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah:
1 2 2 2 2 b y a x 2 2 1 2 1
2
x
x
a
y
y
a
b
b
2. Untuk persamaan elips persamaan garis
singgung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah:
1
)
(
)
(
2 2 2 2
b
n
y
a
m
x
2 1 21
)(
)
(
)(
)
(
b
n
y
n
y
a
m
x
m
x
Elips
Persamaan garis singgung dengan gradien p
1
2 2
2 2
b
y
a
x
Pada elips atau ,adalah
b
2x
2
a
2y
2
a
2b
2y= p
x
a
2p
2
b
2Untuk elips dengan persamaan:
Persamaan garis singgungnya adalah:
y - n = p(x-m)
1
)
(
)
(
2 2
2 2
b
n
y
a
m
x
2 2
2
p
b
a
Elips
Contoh:,
1
21
28
2 2
y
x
Tentukan persamaan garis singgung elips berikut.
a. pada titik (4, 3)
b. pada titik(5,-3)
Jawab:
,
1
9
)
2
(
18
)
1
(
2 2
y
x
a.
Diketahui :
(4,3) x
1= 4 dan y
1= 3
Persamaan garis singgung:
,
1
21
28
2 2
y
x
1
2 1 21
Elips
1 21 3 28 4 x y
1
7
7
x
y
7
x
y
b. Diketahui: pusat (m, n) = (1, -2)
( 5, -3) y
1= -3
Persamaan garis singgung:
1 9 ) 2 ( 18 ) 1
(x 2 y 2
dan
x
1
5
1
)
)(
(
)
)(
(
2 1 21
Elips
1
9
)
2
3
(
18
)
1
)(
1
5
(
x
1
9
)
2
(
18
)
1
(
4
x
y
1
9
)
2
(
9
)
1
(
2
x
y
9
)
2
(
)
1
(
2
x
y
13
2
Parabola
Persamaan parabola berpuncak 0(0,0)
y2 = 4px
a.Puncak (0,0)
b. Sumbu semetri = sumbu x c. Fokusnya F(p,0)
d. Direktriknya x = -p
(0,0) X
d:X=-P
F(P,0) Y
Parabola
Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di F(-p,0) adalah
Y2 = -4px
X
Y
(0,0) F(P,0)
d:X=-P
•
•
•
Parabola
Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di F(0,p) adalah
x2 = -4py
X
Y
•
•
•
F(0,p)
(0,0)
Parabola
Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di F(0,-p) adalah
x2 = -4py
X
Y
•
•
•
F(0,-p)
(0,0)
Parabola
Contoh:
1.Dari parabola-parabola berikut tentukan koordinat
fokus,persamaan sumbu semetri,persamaan direktris dan panjang lactus rectum
a. y2 = 4x c. x2 = -8y b. y2 = -12x d. x2 = 6y Jawab:
a. y2 =4px y2 = 4x, maka p = 1
Parabola ini merupakan parabola horizsontal ysng terbuka ke kanan.
(i) Koordinat titik fokus F(p,0) F(1,0)
(ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka persamaanya y = 0
(iii) Persamaan direktris: x = -p x = -1
Parabola
b. y2 =-p4x y2 = -12x, maka 4p = 12 p = 3
Parabola ini merupakan parabola horizsontal yang terbuka ke kiri
(i) Koordinat titik fokus F(-p,0) F(-3,0)
(ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka persamaanya y = 0
(iii) Persamaan direktris: x = -p x = 3
(iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 3= 12
c. x2 = -p4y x2 = -8y, maka 4p = 8 p = 2
Parabola ini merupakan parabola horizsontal ysng terbuka ke bawah (i) Koordinat titik fokus F(0,-p) F(0,-2)
(ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu y, maka persamaanya x = 0
(iii) Persamaan direktris: y = p y = 2
(iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 2 = 8
Parabola
Persamaan parabola berpuncak P(a,b)
(y – b)2 = 4p(x – a)
x
•
•
•
•
O(0,0) F(p,0)
•
•
•
y
P(a,b)
Fp(a+p,b)
a
•
•
a. Titik puncak P(a,b)
b. Titik fokus F(a+p,b)
c. Direktris x = -p+a
d. Sumbu semetri y = b
Parabola
Contoh:
Diberikan persamaan parabola 3x – y2 + 4y + 8= 0 Tentukan : a. Titik puncak c. Direktris
b. Titik fokus d. Sumbu semetri
Jawab:
Ubah persamaan parabola ke persamaan umum: 3x – y2 + 4y + 8= 0
y2 - 4y = 3x + 8
y2 - 4y + 4 = 3x + 8 + 4 (y – 2)2 = 3x + 12
(y – 2)2 = 3(x + 4)
Didapat persamaan parabola (y – 2)2 = 3(x + 4) yaitu
Parabola
Dari persamaan tersebut diperoleh:
a. Titik puncak P(-4,2)
b. 4p = 3 maka p =
Titik Fokus F(a+p,b)
c. Persamaan direktris :
d. Sumbu semetrinya : y = 2
Parabola
Soal untuk latihan:
a.Tentukan persaaman parabola yang
berpuncak di (2,4) dan fokusnys (-3,4)
b.Tentukan persamaan Parabola yang titik
Persamaan garis singgung parabola
A. Persamaan garis singgung parabola melaluhi titik A(x1,y1)
yy1 = 2p(x+x1)
x
y
•
•
Persamaan garis singgung parabola
Persamaan parabola melaluhi titik A(x1,y1) di sajikan pada
tabel berikut
Persamaan Parabola Persamaan Garis singgung
y2 = 4px yy
1 = 2p(x+x1)
y2 = -4px yy
1 = -2p(x+x1)
x2 = 4py xx
1 = 2p(y+y1)
x2 = -4py xx
1 = -2p(y+y1) (y – b)2 = 4p(x – a) (y-b)(y
1-b)=2p(x+x1-2a) (y – b)2 = -4p(x – a) (y-b)(y
1-b)=-2p(x+x1-2a) (x– a)2 = 4p(y – b) (x-a)(x
1-a)=2p(y+y1-2b) (x– a)2 = -4p(y – b) (x-a)(x
Persamaan garis singgung parabola
Contoh:
1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di titik (2,4)
jawab :
y2 = 8x 4p = 8 p = 2
Titik A(x1,y1) A(2,4)
Persamaan garis singgungnya adalah yy1 = 2p(x+x1)
Persamaan garis singgung parabola
2. Tentukan persamaan garis singgung parabola
(x+1)2 = -3(y-2) pada titik (2,-1)
Jawab :
a = -1 , b = 2, x1 = 2 dan y1 = 1
(x+1)2 = -3(y-2)
-4p = -3 p =
Persamaan garis singgung parabola di titik A(2,-1) adalah (x - a)(x1 - a) = -2p(y + y1 - 2b)
(x +1)(2 +1) = -2. (y - 1 – 2.2) (x + 1)(3) =
6(x + 1) = - 3(y – 5) 2(x + 1) = -(y – 5) 2x + 2 = -y + 5 y = -2x + 3
4 3
4 3
) 5 ( 2 3
Persamaan garis singgung parabola
B.Persamaan garis singgung parabola yang bergradien m
Persamaan parabola Persamaan garis singgung
y2 = 4px y = mx +
y2 =- 4px y = mx
x2 = 4py y = mx – m2p x2 = -4py y = mx + m2p
(y – b)2 = 4p(x – a) (y – b) = m(x – a) + (y – b)2 = -4p(x – a) (y – b) = m(x – a)
-(x– a)2 = 4p(y – b) (y – b) = m(x – a) – m2p (x– a)2 = -4p(y – b) (y – b) = m(x – a) + m2p
m p
m p
m p
Persamaan garis singgung parabola
Contoh:
1.Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x yang kergradien 2
Jawab:
Parabola y2 = 8x 4p = 8 p = 2
Maka persamaan garis singgungnya adalah: y = mx +
y = 2x + 1
Persamaan garis singgung parabola
2. Tentukan persamaan garis singgung parabola (y + 5)2 = -8(x – 2) yang bergradien 3
Jawab :
Parabola (y + 5)2 = -8(x – 2) -4x = -8
p = 2 Puncak P(2,-5)
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y – b = m(x – a) –
y + 5 = 3(x – 2) – 3y + 15 = 9(x – 2) -2 3y + 15 = 9x – 20 9x – 3y + 35 = 0 y = 3x
-m p
3 2
Hiperbola
A.Hiperbola adalah kedudukan titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap.
Kedua titik tertentu di sebut fokus(titik apai).
x
a bx
y
•
•
•
•
0•
Y = Y =
B A x a b F(C,0) F’(-C,0)
A.Persamaan Hiperbola Pusat(0,0)
N 1 2 2 2 2 b y a x
a. Pusat O(0,0)
b. Fokus F’(-C,0) dan F(C,0) c. Puncak A(-a,0) dan B(a,0) d. Sumbu semetri
- Sumbu Utama sumbu x
- Sumbu sekawan adalah sumbu y e. Sumbu nyata AB = 2a
f. Sumbu imajiner MN = 2b
K M
L
E D
Hiperbola
x
abx
y
•
•
•
•
•
0 Y = Y = B A x a b F(0,C) F’(0,-C)B. Persamaan Hiperbola
N
1
2 2 2 2
b
x
a
y
a. Pusat O(0,0)
b. Fokus F’(0,-C) dan F(0,C) c. Puncak A(0,-a) dan B(0,a) d. Sumbu semetri
- Sumbu Utama sumbu y
- Sumbu sekawan adalah sumbu x e. Sumbu nyata AB = 2a
f. Sumbu imajiner MN = 2b
K
M
L
E D
g. Asimtot , y = +
x
a
b
Hiperbola
Contoh :
1.Tentukan persamaan hiperbola jika titik fokusnya F’(-13,0) dan F(13,0) dengan puncak (-5,0) dan (5,0)
Jawab :
Pusat (0,0) a = 5 , c = 13 b2 = c2 – a2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144
Sumbu utama sumbu X, maka persamaan hiperbolanya adalah:
1
144
25
1
2 2
2 2
2 2
x
y
b
y
a
Hiperbola
2.Diketahui persamaan hiperbola dari
Jawab :
dan
Pusat(0,0)
Puncak(-a,0)=(-4,0) dan (a,0) = (4,0)
1
4
16
2 2
y
x
4
16
1
4
16
2 2 2
y
a
a
x
24
2
b
b
2
2
20
20
4
16
2 2 2
a
b
c
c
)
0
,
2
2
(
)
0
,
(
)
0
,
5
2
(
)
0
,
(
c
dan
C
Fokus
Persamaan
a
sin
tot
:
y
abx
Hiperbola
A. Persamaaan Hiperbola dengan pusat P(m,n)
x
a bx
y
•
•
•
•
•
0 Y = Y =B A x a b F(C,0) F’(-C,0) N 1 ) ( ) ( 2 2 2 2 b n y a m x
a. Pusat P(m,n)
b. Fokus F’(m-C,0) dan F(m+C,0)
c. Puncak A(m-a,0) dan B(m+a,0) d. Sumbu semetri
- Sumbu Utama sumbu y = n - Sumbu sekawan adalah y = m e. Sumbu nyata AB = 2a
f. Sumbu imajiner MN = 2b
K M
L
E D
g. Asimtot , y-n = + (x - a)
x
a
b
Hiperbola
Contoh:
1. Tentukan persamaan hiperbola jika titik fokus F’(-2,-3) dan F(8,-3) dan titik puncaknya (7,-3)
Jawab:
fokus F’(-2,-3) dan F(8,-3)
Jarak pusat ke fokus c = 8 – 3 = 5
Puncak (7,3)
Jarak pusat dengan puncak a = 7 – 3 = 4
b2 = c2 – a2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9
Jadi persamaan hiperbola adalah
atau
9(x-3)2 – 16(y+3)2 = 144
9x2 – 16y2 – 54x -96y – 207 = 0
) 3 , 3 ( 2 ) 3 ( 3 , 2 8 2 pusat
1
9
3
16
3
2 2
Hiperbola
2. Tentukan titik pusat,titik fokus, titik puncak, panjang lactus rectum dan persamaan asimtotnya dari
Jawab:
Titik pusat (4,-1)
1
225
1
64
4
2 2
y
x
1 225 1 644 2 2 y x 8 64
2 a
a
15 225
2 b
b 17 289 225 64 2 2
2 a b c
c ) 1 , 21 ( ) 1 , 17 4 ( ) 1 , 13 ( ) 1 , 17 4
( dan
Fokus tus PanjangLac
4
225
8
225
.
2
2
2
a
b
rectum
4
8 15 1
: y x
Persamaan Garis Singgung Hiperbola
Persamaan garis singgung hiperbola melelaluiT(x1,y1) Persamaan garis singgung
di titik T(x1,y1) yaitu
di titik T(x1,y1) yaitu
1
2 1 2
1
b y y a x x 1 ) ( ) ( 2 2 2 2 b n y a m x
1 2 2 2 2 b x a y 1 2 1 21
b x x a y y 1 2 2 2 2 b y a x
di titik T(x1,y1) yaitu ( )( ) ( )( ) 1
2 1
2
1
b n y n y a m x x x 1 ) ( ) ( 2 2 2 2 b m x a n
y ( )( ) ( )( ) 1
2 1
2
1
b m x m x a n y n y
Contoh 1 :
Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola pada titik (9, -4)
1
2
9
2 2
y
x
PERSAMAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA
Jawab
Persamaan garis singgung Hiperbola
1 2 2 2 2 b y a x
di titik T(x
1,y
1) yaitu
12 12
1
b y y a x x
Jadi persamaan garis singgungnya :
12 4 9 9 y x
Persamaan garis singgung Hiperbola
Contoh 2
Tentukan persamaan garis singgung hiperbola 1 12 ) 3 ( 36 ) 2
( 2 2
y
x
Pada titik (-4, -3)
Jawab :
Persamaan garis singgung hiperbola
( ) ( 2 ) 1 2 2 2 b n y a m xdi titik T(x
1,y
1) yaitu
1 12 ) 3 )( 3 3 ( 36 ) 2 )( 2 4 (
x y
Jadi persamaan garissinggungnya :
1 ) )( ( ) )( ( 2 1 2
1
b n y n y a m x x x 1 0 6 ) 2 ( x
6
2
x