• Tidak ada hasil yang ditemukan

← Bahan Ajar Matematika – Power Point Irisan kerucut Indo

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "← Bahan Ajar Matematika – Power Point Irisan kerucut Indo"

Copied!
58
0
0

Teks penuh

(1)
(2)
(3)

LINGKARAN DIDEFINISIKAN SEBAGAI

HIMPUNAN TITIK TITIK YANG

BERJARAK TETAP TERHADAP TITIK

TERTENTU, DIMANA TITIK TERTENTU

TERSEBUT DISEBUT SEBAGAI PUSAT

LINGKARAN DAN JARAK YANG TETAP

DISEBUT JARI - JARI

(4)

o

r

(5)

Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran Berpusat di

Persamaan Lingkaran Berpusat di

Titik O(0,0) dan Berjari-jari r

Titik O(0,0) dan Berjari-jari r

Persamaan Lingkaran Berpusat di

Persamaan Lingkaran Berpusat di

Titik P(a,b) dan Berjari-jari r

Titik P(a,b) dan Berjari-jari r

(6)

o

r

T (x,y)

OT

= r

x + y = r

2

2

2

( x

2

- x

1

) + ( y

2

-

y

1

) = r

2

2

( x - 0

) + ( y

- 0

)

= r

2

2

(7)
(8)

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat

di titik O (0,0) dan :

a. berjari-jari 2

b. melalui titik (3,4)

Soal Latihan

(9)

P (a,b )

r

T (x,y)

PT = r

(x-

a)

+ (y-b) = r

2

2

2

( x

2

- x

1

) + ( y

2

-

y

1

) = r

2

2

( x -

a

) + ( y

-

b

)

= r

2

2

O

X

(10)
(11)

Tentukan persamaan lingkaran jika :

a. Berpusat di titik P (3,2) dan berjari-jari 4

b. Berpusat di titik Q (2,-1) dan melalui titik R(5,3)

Soal Latihan

(12)
(13)
(14)

Elips

Indikator

1.

Menjelaskan pengertian elips. 2. Menentukan unsur-unsur elips. 3. Menentukan persamaan elips 4. Melukis grafik persamaan ellips

Kompetensi dasar:

3. Menerapkan konsep elips

Standar Kompetensi

(15)

Elips

Indikator

1. Menjelaskan pengertian elips.

2. Menentukan unsur-unsur elips.

3. Menentukan persamaan elips.

(16)

Elips

Pengertian Elips

Elips adalah

tempat kedudukan titik-titik pada

bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua

(17)

Perhatikan Gambar Elips

Elips

Unsur-unsur pada elips:

1.F

1

dan F

2

disebut fokus.

Jika T sembarang titik pada elips

maka TF

1

+ TF

2

= 2a, F

1

F

2

= 2c,

dengan 2a > 2c.

2. A1A2 merupakan sumbu panjang

(mayor)= 2a. B1B2 merupakan

sumbu pendek (minor) = 2b,

karena itu a > b.

b B1

a

T

A2

E D

A1

B2

(0,-b) (0,b)

F1 P (c, 0) F2 (- c, 0)

K

L

Lanjut

(18)

Elips

Lanjutan Elips

3. Latus Rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips, tegak lurus

sumbu mayor dan melalui fokus (DE dan KL), panjang Latus Rectum

DE = KL =

4. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor.

5. Titik puncak elips yaitu titik A

1

, A

2

, B

1

, B

2

.

a

b

2
(19)

Elips

1. Persamaan Elips yang berpusat di O(0,0)

Persamaan Elips : TF

1

+ TF2 = 2a

+ = 2a

= 2a -

Mengkuadratkan ruas kiri dan kanan

sehingga diperoleh ……

) 0 , ( 1 a

AA2(a,0) ) , 0 ( 1 b B ) , 0 ( 2 b B  ) , (x y T

(a

2

- c

2

) x

2

+ a

2

y

2

= a

2

(a

2

-c

2

) . . . (i), jika titik T pada titik puncak pada

sumbu minor (0,b) maka diperoleh … . b

2

=a

2

– c

2

. . . . (ii)

2 2

)

(

x

c

y

2 2

)

(

x

c

y

2 2

)

(

x

c

y

(

x

c

)

2

y

2
(20)

Elips

Contoh

Tentukan persamaan elips dengan titik puncak (13,0) dan fokus

F1(-12, 0) dan F2(12,0).

Jawab:

D

iketahui pusat elips O(0,0)

Titik puncak (13,0) a = 13

Titik fokus (-12,0) dan (12,0) c = 12

Sumbu utama adalah sumbu X, sehingga persamaannya:

1

25

169

1

5

13

2 2

2 2 2

2

y

atau

x

y

(21)

Elips

1 ) ( ) ( 2 2 2 2     b n y a m x  

2.Persamaan elips yang bertitik pusat P (m,n)

a. Persamaan elips dengan

titik pusat (m, n):

b. Sumbu utamanya (sumbu) y = n,

dengan panjang

2a dan sumbu

minornya adalah sumbu x = n,

dengan panjang 2b.

3.Titik fokus F

1

(m-c, n) dan F

2

( m + c, n )

4. Titik puncak A(m-a, n) dan B ( m + a, n )

5. Panjang lactus rectum (LR) = dengan

2

b

2

b

2

a

2

c

2

O B C D P(m,n) X= m X Y

A F1 F2

m

(22)

Elips

Contoh:

Tentukan persamaan elips dengan fokus F

1

(1,3) dan F

2

(7,3) dan

puncaknya (10,3).

Fokus (1,3) dan (7,3) = m-c = 1, m + c = 7 dengan eliminasi

diperoleh m=4 dan c= 3

Pusat P (m,n) = P (4,3) m = 3

Puncak(10,3) m + a= 10 a= 6

b

2

= a

2

–c

2

= 6

2

- 3

2

= 36 - 9 = 27

Sumbu utama y=3, sehingga persamaan elips menjadi:

Jawab:

 

1

27

)

3

(

36

)

4

(

1

27

)

3

(

6

)

4

(

2 2 2

2 2

x

y

atau

y

x

(23)

Elips

0

2

2 By CxDyE

Ax

Bentuk umum persamaan elips

Persamaan elips memiliki bentuk umum:

Hubungan antara persamaan dengan

persamaan adalah sebagai berikut:

0

2 2

By

Cx

Dy

E

Ax

1 ) ( ) ( 2 2 2 2     b n y a m x

0

2 2

By

Cx

Dy

E

Ax

Jika A > B, maka A = a

2

, B = b

2

, C=-2a

2

m, D= -2b

2

n, E= a

2

m

2

+ b

2

n

2

- a

2

b

2
(24)

Elips

Contoh:

Tentukan titik pusat dan fokus dari elips yang memiliki persamaan 4x2+ 9y2 -16x+ 18y -11=0.

Jawab:

Diketahui persamaan elips: 4x

2

+ 9y

2

-16x+ 18y -11=0.

A=4, B= 9, C= -16, D=18, E= -11

b2 = A = 4 b = 2

A2 = B = 9 a = 3

C = -2 b2m D= -2a2m C2= a2 –b2 = 9 -4 = 5

-16=-2. 4. m 18= -2. 9.n C = -16= -8m 18= -18n

2= m -1 = n

Pusat P(m,n) P(2, -1)

FokusF2(m-c, n)=F2 dan F2(m+c, n)=F2

(25)

Elips

Persamaan garis singgung melalui titik (x

1

, y

1

) pada elips

atau

b

y

y

a

x

x

1

2 1 2

1

1.

Untuk persamaan elips persamaan garis

singgung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah:

1 2 2 2 2   b y a x 2 2 1 2 1

2

x

x

a

y

y

a

b

b

2. Untuk persamaan elips persamaan garis

singgung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah:

1

)

(

)

(

2 2 2 2

b

n

y

a

m

x

2 1 2

1

)(

)

(

)(

)

(

b

n

y

n

y

a

m

x

m

x

(26)

Elips

Persamaan garis singgung dengan gradien p

1

2 2

2 2

b

y

a

x

Pada elips atau ,adalah

b

2

x

2

a

2

y

2

a

2

b

2

y= p

x

a

2

p

2

b

2

Untuk elips dengan persamaan:

Persamaan garis singgungnya adalah:

y - n = p(x-m)

1

)

(

)

(

2 2

2 2

b

n

y

a

m

x

2 2

2

p

b

a

(27)

Elips

Contoh:

,

1

21

28

2 2

y

x

Tentukan persamaan garis singgung elips berikut.

a. pada titik (4, 3)

b. pada titik(5,-3)

Jawab:

,

1

9

)

2

(

18

)

1

(

2 2

y

x

a.

Diketahui :

(4,3) x

1

= 4 dan y

1

= 3

Persamaan garis singgung:

,

1

21

28

2 2

y

x

1

2 1 2

1

(28)

Elips

1 21 3 28 4  

x y

1

7

7

x

y

7

x

y

b. Diketahui: pusat (m, n) = (1, -2)

( 5, -3) y

1

= -3

Persamaan garis singgung:

     1 9 ) 2 ( 18 ) 1

(x 2 y 2

dan

x

1

5

1

)

)(

(

)

)(

(

2 1 2

1

(29)

Elips

1

9

)

2

3

(

18

)

1

)(

1

5

(

x

1

9

)

2

(

18

)

1

(

4

x

y

1

9

)

2

(

9

)

1

(

2

x

y

9

)

2

(

)

1

(

2

x

y

13

2

(30)
(31)

Parabola

Persamaan parabola berpuncak 0(0,0)

y2 = 4px

a.Puncak (0,0)

b. Sumbu semetri = sumbu x c. Fokusnya F(p,0)

d. Direktriknya x = -p

(0,0) X

d:X=-P

F(P,0) Y

(32)

Parabola

Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di F(-p,0) adalah

Y2 = -4px

X

Y

(0,0) F(P,0)

d:X=-P

(33)

Parabola

Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di F(0,p) adalah

x2 = -4py

X

Y

F(0,p)

(0,0)

(34)

Parabola

Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di F(0,-p) adalah

x2 = -4py

X

Y

F(0,-p)

(0,0)

(35)

Parabola

Contoh:

1.Dari parabola-parabola berikut tentukan koordinat

fokus,persamaan sumbu semetri,persamaan direktris dan panjang lactus rectum

a. y2 = 4x c. x2 = -8y b. y2 = -12x d. x2 = 6y Jawab:

a. y2 =4px y2 = 4x, maka p = 1

Parabola ini merupakan parabola horizsontal ysng terbuka ke kanan.

(i) Koordinat titik fokus F(p,0) F(1,0)

(ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka persamaanya y = 0

(iii) Persamaan direktris: x = -p x = -1

(36)

Parabola

b. y2 =-p4x y2 = -12x, maka 4p = 12 p = 3

Parabola ini merupakan parabola horizsontal yang terbuka ke kiri

(i) Koordinat titik fokus F(-p,0) F(-3,0)

(ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka persamaanya y = 0

(iii) Persamaan direktris: x = -p x = 3

(iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 3= 12

c. x2 = -p4y x2 = -8y, maka 4p = 8 p = 2

Parabola ini merupakan parabola horizsontal ysng terbuka ke bawah (i) Koordinat titik fokus F(0,-p) F(0,-2)

(ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu y, maka persamaanya x = 0

(iii) Persamaan direktris: y = p y = 2

(iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 2 = 8

(37)

Parabola

Persamaan parabola berpuncak P(a,b)

(y – b)2 = 4p(x – a)

x

O(0,0) F(p,0

)

y

P(a,b)

Fp(a+p,b)

a

a. Titik puncak P(a,b)

b. Titik fokus F(a+p,b)

c. Direktris x = -p+a

d. Sumbu semetri y = b

(38)

Parabola

Contoh:

Diberikan persamaan parabola 3x – y2 + 4y + 8= 0 Tentukan : a. Titik puncak c. Direktris

b. Titik fokus d. Sumbu semetri

Jawab:

Ubah persamaan parabola ke persamaan umum: 3x – y2 + 4y + 8= 0

y2 - 4y = 3x + 8

y2 - 4y + 4 = 3x + 8 + 4 (y – 2)2 = 3x + 12

(y – 2)2 = 3(x + 4)

Didapat persamaan parabola (y – 2)2 = 3(x + 4) yaitu

(39)

Parabola

Dari persamaan tersebut diperoleh:

a. Titik puncak P(-4,2)

b. 4p = 3 maka p =

Titik Fokus F(a+p,b)

c. Persamaan direktris :

d. Sumbu semetrinya : y = 2

(40)

Parabola

Soal untuk latihan:

a.Tentukan persaaman parabola yang

berpuncak di (2,4) dan fokusnys (-3,4)

b.Tentukan persamaan Parabola yang titik

(41)

Persamaan garis singgung parabola

A. Persamaan garis singgung parabola melaluhi titik A(x1,y1)

yy1 = 2p(x+x1)

x

y

(42)

Persamaan garis singgung parabola

Persamaan parabola melaluhi titik A(x1,y1) di sajikan pada

tabel berikut

Persamaan Parabola Persamaan Garis singgung

y2 = 4px yy

1 = 2p(x+x1)

y2 = -4px yy

1 = -2p(x+x1)

x2 = 4py xx

1 = 2p(y+y1)

x2 = -4py xx

1 = -2p(y+y1) (y – b)2 = 4p(x – a) (y-b)(y

1-b)=2p(x+x1-2a) (y – b)2 = -4p(x – a) (y-b)(y

1-b)=-2p(x+x1-2a) (x– a)2 = 4p(y – b) (x-a)(x

1-a)=2p(y+y1-2b) (x– a)2 = -4p(y – b) (x-a)(x

(43)

Persamaan garis singgung parabola

Contoh:

1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di titik (2,4)

jawab :

y2 = 8x 4p = 8 p = 2

Titik A(x1,y1) A(2,4)

Persamaan garis singgungnya adalah yy1 = 2p(x+x1)

(44)

Persamaan garis singgung parabola

2. Tentukan persamaan garis singgung parabola

(x+1)2 = -3(y-2) pada titik (2,-1)

Jawab :

a = -1 , b = 2, x1 = 2 dan y1 = 1

(x+1)2 = -3(y-2)

-4p = -3 p =

Persamaan garis singgung parabola di titik A(2,-1) adalah (x - a)(x1 - a) = -2p(y + y1 - 2b)

(x +1)(2 +1) = -2. (y - 1 – 2.2) (x + 1)(3) =

6(x + 1) = - 3(y – 5) 2(x + 1) = -(y – 5) 2x + 2 = -y + 5 y = -2x + 3

4 3

4 3

) 5 ( 2 3

(45)

Persamaan garis singgung parabola

B.Persamaan garis singgung parabola yang bergradien m

Persamaan parabola Persamaan garis singgung

y2 = 4px y = mx +

y2 =- 4px y = mx

x2 = 4py y = mx – m2p x2 = -4py y = mx + m2p

(y – b)2 = 4p(x – a) (y – b) = m(x – a) + (y – b)2 = -4p(x – a) (y – b) = m(x – a)

-(x– a)2 = 4p(y – b) (y – b) = m(x – a) – m2p (x– a)2 = -4p(y – b) (y – b) = m(x – a) + m2p

m p

m p

m p

(46)

Persamaan garis singgung parabola

Contoh:

1.Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x yang kergradien 2

Jawab:

Parabola y2 = 8x 4p = 8 p = 2

Maka persamaan garis singgungnya adalah: y = mx +

y = 2x + 1

(47)

Persamaan garis singgung parabola

2. Tentukan persamaan garis singgung parabola (y + 5)2 = -8(x – 2) yang bergradien 3

Jawab :

Parabola (y + 5)2 = -8(x – 2) -4x = -8

p = 2 Puncak P(2,-5)

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y – b = m(x – a) –

y + 5 = 3(x – 2) – 3y + 15 = 9(x – 2) -2 3y + 15 = 9x – 20 9x – 3y + 35 = 0 y = 3x

-m p

3 2

(48)

Hiperbola

A.Hiperbola adalah kedudukan titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap.

Kedua titik tertentu di sebut fokus(titik apai).

x

a b

x

y

0

Y = Y =

B A x a bF(C,0) F’(-C,0)

A.Persamaan Hiperbola Pusat(0,0)

N 1 2 2 2 2   b y a x

a. Pusat O(0,0)

b. Fokus F’(-C,0) dan F(C,0) c. Puncak A(-a,0) dan B(a,0) d. Sumbu semetri

- Sumbu Utama sumbu x

- Sumbu sekawan adalah sumbu y e. Sumbu nyata AB = 2a

f. Sumbu imajiner MN = 2b

K M

L

E D

(49)

Hiperbola

x

ab

x

y

0 Y = Y = B A x a bF(0,C) F’(0,-C)

B. Persamaan Hiperbola

N

1

2 2 2 2

b

x

a

y

a. Pusat O(0,0)

b. Fokus F’(0,-C) dan F(0,C) c. Puncak A(0,-a) dan B(0,a) d. Sumbu semetri

- Sumbu Utama sumbu y

- Sumbu sekawan adalah sumbu x e. Sumbu nyata AB = 2a

f. Sumbu imajiner MN = 2b

K

M

L

E D

g. Asimtot , y = +

x

a

b

(50)

Hiperbola

Contoh :

1.Tentukan persamaan hiperbola jika titik fokusnya F’(-13,0) dan F(13,0) dengan puncak (-5,0) dan (5,0)

Jawab :

Pusat (0,0) a = 5 , c = 13 b2 = c2 – a2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144

Sumbu utama sumbu X, maka persamaan hiperbolanya adalah:

1

144

25

1

2 2

2 2

2 2

x

y

b

y

a

(51)

Hiperbola

2.Diketahui persamaan hiperbola dari

Jawab :

dan

Pusat(0,0)

Puncak(-a,0)=(-4,0) dan (a,0) = (4,0)

1

4

16

2 2

y

x

4

16

1

4

16

2 2 2

y

a

a

x

2

4

2

b

b

2

2

20

20

4

16

2 2 2

a

b

c

c

)

0

,

2

2

(

)

0

,

(

)

0

,

5

2

(

)

0

,

(

c

dan

C

Fokus

Persamaan

a

sin

tot

:

y

ab

x

(52)

Hiperbola

A. Persamaaan Hiperbola dengan pusat P(m,n)

x

a b

x

y

0 Y = Y =

B A x a bF(C,0) F’(-C,0) N 1 ) ( ) ( 2 2 2 2     b n y a m x

a. Pusat P(m,n)

b. Fokus F’(m-C,0) dan F(m+C,0)

c. Puncak A(m-a,0) dan B(m+a,0) d. Sumbu semetri

- Sumbu Utama sumbu y = n - Sumbu sekawan adalah y = m e. Sumbu nyata AB = 2a

f. Sumbu imajiner MN = 2b

K M

L

E D

g. Asimtot , y-n = + (x - a)

x

a

b

(53)

Hiperbola

Contoh:

1. Tentukan persamaan hiperbola jika titik fokus F’(-2,-3) dan F(8,-3) dan titik puncaknya (7,-3)

Jawab:

fokus F’(-2,-3) dan F(8,-3)

Jarak pusat ke fokus c = 8 – 3 = 5

Puncak (7,3)

Jarak pusat dengan puncak a = 7 – 3 = 4

b2 = c2 – a2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9

Jadi persamaan hiperbola adalah

atau

9(x-3)2 – 16(y+3)2 = 144

9x2 – 16y2 – 54x -96y – 207 = 0

) 3 , 3 ( 2 ) 3 ( 3 , 2 8 2               pusat

1

9

3

16

3

2 2

 

(54)

Hiperbola

2. Tentukan titik pusat,titik fokus, titik puncak, panjang lactus rectum dan persamaan asimtotnya dari

Jawab:

Titik pusat (4,-1)

1

225

1

64

4

2 2

y

x

1 225 1 64

4 2 2     y x 8 64

2 a

a

15 225

2 b

b 17 289 225 64 2 2

2 a b c

c ) 1 , 21 ( ) 1 , 17 4 ( ) 1 , 13 ( ) 1 , 17 4

(      dan    

Fokus tus PanjangLac

4

225

8

225

.

2

2

2

a

b

rectum

4

8 15 1

: y   x

(55)

Persamaan Garis Singgung Hiperbola

Persamaan garis singgung hiperbola melelaluiT(x1,y1) Persamaan garis singgung

di titik T(x1,y1) yaitu

di titik T(x1,y1) yaitu

1

2 1 2

1

b y y a x x 1 ) ( ) ( 2 2 2 2      b n y a m x

1 2 2 2 2    b x a y 1 2 1 2

1

b x x a y y 1 2 2 2 2   b y a x

di titik T(x1,y1) yaitu ( )( ) ( )( ) 1

2 1

2

1   

b n y n y a m x x x 1 ) ( ) ( 2 2 2 2      b m x a n

y ( )( ) ( )( ) 1

2 1

2

1    

b m x m x a n y n y

(56)

Contoh 1 :

Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola pada titik (9, -4)

1

2

9

2 2

y

x

PERSAMAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA

Jawab

Persamaan garis singgung Hiperbola

1 2 2 2 2   b y a x

di titik T(x

1

,y

1

) yaitu

12 1

2

1

b y y a x x

Jadi persamaan garis singgungnya :

1

2 4 9 9    y x

(57)

Persamaan garis singgung Hiperbola

Contoh 2

Tentukan persamaan garis singgung hiperbola 1 12 ) 3 ( 36 ) 2

( 2 2

 

y

x

Pada titik (-4, -3)

Jawab :

Persamaan garis singgung hiperbola

( ) ( 2 ) 1 2 2 2     b n y a m x

di titik T(x

1

,y

1

) yaitu

1 12 ) 3 )( 3 3 ( 36 ) 2 )( 2 4 (       

x y

Jadi persamaan garissinggungnya :

1 ) )( ( ) )( ( 2 1 2

1   

b n y n y a m x x x 1 0 6 ) 2 (      x

6

2

x

(58)

Gambar

tabel berikut

Referensi

Dokumen terkait