BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Besaran dibagi dalam dua kategori, pertama, besaran skalar yaitu besaran yang hanya mempunyai nilai/besar saja.

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang

Besaran dibagi dalam dua kategori, pertama, besaran skalar yaitu besaran yang hanya mempunyai nilai/besar saja. Kedua, adalah besaran vektor, yaitu besaran Fisika yang selain memiliki nilai, juga bergantung pada arah. Definisi vektor seperti ini sudah kita kenal sejak SMU. Definisi ini sebetulnya tidaklah cukup, karena arus listrik misalnya, memiliki nilai dan juga arah, akan tetapi kuat-arus bukanlah besaran vektor. Dengan demikian diperlukan definisi yang lebih lengkap untuk vektor sebagai berikut:

“Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah serta dapat memenuhi aturan-aturan operasi matematika vektor”.

Aturan-aturan operasi Matematika untuk vektor akan dijelaskan dalam bagian berikutnya. Dalam kehidupan sehari-hari volume air, massa benda, temperatur, banyak mahasiswa, waktu,temperatur dan lain lain merupakan contoh-contoh besaran skalar yang tidak bergantung arah dan hanya memiliki nilai/besar (magnitude), artinya dari arah manapun kita mengukurnya nilainya tetap sama, sedangkan hal-hal seperti kecepatan aliran sungai, gaya gravitasi, medan listrik adalah beberapa besaran yang tidak hanya mempunyai nilai tapi juga bergantung arah, maksud dari bergantung pada arah adalah bahwa nilai dari besaran tadi dapat berubah pada arah yang berbeda. Arah, dalam operasi vektor didefinisikan lebih khusus adalah sudut yang dibentuk terhadap sumbu x positif atau arah timur dengan arah putaran berlawanan jarum jam (Counter Clock Wise /CCW) Pengategorian besaran ke dalam dua jenis ini tidak semata-mata untuk tujuanklasifikasi, akan tetapi nantinya sangat berguna dalam perhitungan dan operasi matematika,dan juga bermanfaat dalam menjelaskan sifat-sifat sebuah besaran fisika. Dibandingkan dengan besaran skalar, besaran vektor memiliki banyak keunikan dankompleksitas dalam sifatnya, sehingga memerlukan pembahasan tersendiri yang(biasanya) terangkum dalam suatu kajian ANALISIS VEKTOR. Untuk tujuan itulah dalam awal kuliah Fisika Dasar, akan diberikan pengantar singkat analisis vektor.

Vektor adalah serangkaian instruksi matematis yang dijabarkan dalam bentuk, garis, dan bagian-bagainl ain yang saling berhubungan dalam sebuah

dibawah ini) kualitasnya tetap. Contoh file vektor adalah .wmf, swf , cdr dan .ai. Dan sering dipakai dalam membuat logo, animasi, ilustrasi, kartun, clipart dsb.

Besaran skalar adalah besaran yang mempunyai besar tetapi tanpa arah, seperti massa, panjang, waktu, suhu dan sebarang bilangan riil. Skalar dinyatakan oleh huruf-huruf biasa seperti dalam aljabar elementer. Operasi-operasi dalam skalar mengikuti aturan-aturan yang sama seperti halnya dalam aljabar elementer.

Aljabar Vektor adalah operasi-operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian yang lazim dalam aljabar dari bilangan-bilangan atau skalar-skalar, dengan definisi yang sesuai, dapat diperluas kedalam aljbar dari vektor-vektor.

Hukum-hukum aljabar vector, jika A, B dan C adalah vektor-vektor dan

m dan n skalar-skalar, maka

1. A + B = B + A Hukum Komutatif untuk Penjumlahan 2. A + (B + C) = (A +B) + C Hukum Asosiatif untuk Penjumlahan

3. mA = Am Hukum Komutatif untuk Perkalian

4. m (nA) = ( mn ) A Hukum Asosiatif untuk Perkalian

5. ( m + n ) A = mA + Na Hukum Distributif

6. m (A + B) = mA + mB Hukum Distributif B. Rumusan Masalah

1. Ada berapa jenis - jenis Perkalian Triple?

2. Ada berapa Hukum – Hukum Pada Perkalian Triple? C. Tujuan Penyusunan

1. Memahami materi analisis vektor tentang jenis – jenis perkalian triple.

2. Membantu memecahkan masalah yang berhubungan dengan dengan perkalian triple berdasar pada hukum – hukum perkalian triple.

D. Manfaat Penyusunan

1. Guru, sebagai bahan masukan dalam menggunakan strategi pembelajaran yang berguna dalam meningkatkan mutu pembelajaran matematika serta motivasi siswa.

2. Siswa, sebagai pengalaman belajar yang menyenangkan dan menstimulus kecerdasan siswa untuk membantu pemahaman konsep matematika.

3. Penulis, sebagai pengalaman dan wawasan yang akan menjadi bekal sebagai calon guru matematika.

BAB II

PEMBAHASAN PERKALIAN TRIPLE 1. Jenis – Jenis Perkalisn Triple

Ada tiga jenis perkalian Triple (Triple Product), yaitu:

i. (A ∙ B)C ,yang merupakan vektor, sebab A ∙ B skalar sedangkan C adalah vektor.

ii. A ∙(B × C) ,yang merupakan skalar, sebab A vektor sedangkan B × C juga vektor.

iii. A ×(B ×C) ,yang merupakan suatu vektor, sebab A suatu vektor dan B × C _{juga vektor.}

Hasil perkalian A ∙(B × C) disebut “Hasil Kali Triple Skalar” yang dituliskan dengan

[

ABC

]

_{kadang-kadang tanda kurung pada} A ∙(B × C) _{sering dihilangkan jadi cukup}

ditulis dengan A ∙ B ×C .

Hasil perkalian A ×(B ×C) disebut “Hasil Kali Triple Vektor”. Untuk perkalian ini

tanda kurung tidak boleh dihilangkan, sebab A ×(B ×C) dan (A × B)× C memberikan vektor-vektor yang (berlainan.

2. Hukum - Hukum Pada Perkalian Triple a. Hukum 1

(A ∙ B)C ≠ A(B ∙ C) Bukti:

Untuk membuktikannya kita harus mencari hasil perkalian dari masing-masing (A ∙ B)C _dan A(B ∙C) _. (A ∙ B)C=

₍

(

A1i+A2j+A3k

)

∙

(

B1i+B2j+B3k

)

)

(

C1i+C2 j+C3k

)

C (¿¿1i+C2 j+C3k) ¿(A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃)¿ A₁B₁C₃+A₂B₂C₃+A₃B₃C₃ ¿

₍

A₁B₁C₁+A₂B₂C₁+A₃B₃C₁

)

i+

₍

A₁B₁C₂+A₂B₂C₂+A₃B₃C₂

)

j+¿ )

A(B ∙ C)=

₍

A₁i+A₂j+A₃k

)

(

(

B₁i+B₂j+B₃k

)

∙

(

C₁i+C₂j+C₃k

)

)

¿

(

A₁i+A₂j+A₃k

)

(B₁C₁+B₂C₂+B₃C₃)

¿

(

A₁B₁C₁+A₁B₂C₂+A₁B₃C₃

)

i+

(

A₂B₁C₁+A₂B₂C₂+A₂B₃C₃

)

j+

(

A₃B₁C₁+A₃B₂C₂+A₃B₃C₃

)

k Dari perkalian diatas dapat dilihat bahwa hasil dari (A ∙ B)C ≠ A(B ∙ C)

b. Hukum 2 i. A ∙(B ×C)=B ∙(C × A)=C ∙(A × B) Bukti : Berdasar hukum A ∙ B ×C=

|

A₁ A₂ A₃ B₁ B₂ B₃ C₁ C₂ C₃

|

Menurut salah satu teorema dari determinan yang menyatakan bahwa pertukaran dua buah baris dari sebuah determinan mengubah tandanya, sehingga :

|

A₁ A₂ A₃ B₁ B₂ B₃ C₁ C₂ C₃

|

=−

|

B₁ B₂ B₃ A₁ A₂ A₃ C₁ C₂ C₃

|

=

|

B₁ B₂ B₃ C₁ C₂ C₃ A₁ A₂ A₃

|

= ´B∙( ´C ×A´)

|

A₁ A₂ A₃ B₁ B₂ B₃ C₁ C₂ C₃

|

=−

|

C₁ C₂ C₃ B₁ B₂ B₃ A₁ A₂ A₃

|

=

|

C₁ C₂ C₃ A₁ A₂ A₃ B₁ B₂ B₃

|

=C ∙(A × B)

ii.

|

A ∙(B ×C)

|

=¿ isi paralelepidedum dengan rusuk-rusuk A , B dan C

c. Hukum 3 Jika : A=A1i+A2j+A3k B=B₁i+B₂j+B₃k C=C₁i+C₂ j+C₃k n A h C B

Maka : A ∙ B ×C=

|

A₁ A₂ A₃ B₁ B₂ B₃ C₁ C₂ C₃

|

Bukti : A ∙(B ×C)=A ∙

|

i j k B₁ B₂ B₃ C₁ C₂ C₃

|

¿

₍

A₁i+A₂j+A₃k

₎

∙

[(

₍

B₂C₃

₎

i+

₍

B₃C₁

₎

j+

₍

B₁C₂

₎

k

₎

−(

₍

B₂C₁

₎

k+

₍

B₃C₂

₎

i+

₍

B₁C₃

₎

j)

]

¿

₍

A1i+A2j+A3k

)

∙

[

(

B2C3−B3C2

)

i+

(

B3C1−B1C3

)

j+

(

B1C2−B2C1

)

k

]

¿A₁

(

B₂C₃−B₃C₂

)

+A₂

(

B₃C₁−B₁C₃

)

+A₃

(

B₁C₂−B₂C₁

)

¿

|

A₁ A₂ A₃ B₁ B₂ B₃ C₁ C₂ C₃

|

d. Hukum 4 i. A ×(B× C)=(A ∙C)B−(A ∙ B)C ii. (A × B)× C=(A ∙C)B−(B ∙C)A Bukti : i. A ×(B× C)=A ×

|

i j k B₁ B₂ B₃ C₁ C₂ C₃

|

B ¿ (¿2C₃i+B₃C₁j+B₁C₂k¿)−(B₃C₂i+B₁C₃j+B₂C₁k) ¿ ¿A ׿ B ¿ (¿2C₃−B₃C₂¿)i+

₍

B₃C₁−B₁C₃

₎

j+(B₁C₂−B₂C₁)k ¿ ¿

(

A₁i+A₂j+A₃k

)

׿

¿

|

i j k A₁ A₂ A₃ B₂C₃−B₃C₂ B₃C₁−B₁C₃ B₁C₂−B₂C₁

|

(

(

A2B1C2−A2B2C1

)

i+

(

A3B2C3−A3B3C2

)

j+(A1B3C1−A1B1C3

)

k

)

−(A3B3C1−A3B1C3

)

i+

(

A1B1C2−A1B2C1

)

j+(A2B2C3−A2B3C2)k ¿ ¿ ¿

₍

A₂B₁C₂−A₂B₂C₁−A₃B₃C₁+A₃B₁C₃

)

i+

₍

A₃B₂C₃−A₃B₃C₂−A₁B₁C₂+A₁B₂C₁

)

j+

₍

A₁B₃C₁−A₁B₁C₃−A₂B₂C₃+A₂B₃C₂

)

k (A ∙C)B−(A ∙ B)C=

₍

A1C1+A2C2+A3C3

) (

B1i+B2 j+B3k

)

−(A1B1+A2B2+A3B3)(C1i+C2j+C3k) ¿(

₍

A1B1C1+A2B1C2+A3B1C3

)

i+

(

A1B2C1+A2B2C2+A3B2C3

)

j+

(

A1B3C1+A2B3C2+A3B3C3

)

k)−(

(

A1B1C1+A2B2C1+A3B3C1

)

i+

(

A1B1C2+A2B2C2+A3B3C2

)

j+

(

A1B1C3+A2B2C3+A3B3C3

)

k)¿ ¿

₍

A₂B₁C₂−A₂B₂C₁−A₃B₃C₁+A₃B₁C₃

)

i+

₍

A₃B₂C₃−A₃B₃C₂−A₁B₁C₂+A₁B₂C₁

)

j+

₍

A₁B₃C₁−A₁B₁C₃−A₂B₂C₃+A₂B₃C₂

)

k Dari hasil diatas dapat dibuktikan bahwa A ×(B× C)=(A ∙C)B−(A ∙ B)C

karena hasil dari keduanya sama.

e. Hukum 5

A ×(B× C)≠(A × B)× C

f. Hukum 6

Jika A , B dan C sebidang , maka A ∙(B ×C)=0

CONTOH SOAL : 1. Diketahui : A=2i−3 j B=i+j−k C=3i−k Tentukan A ∙(B × C) Penyelesaian :

A ∙(B ×C)=

|

2 −3 0 1 1 −1 3 0 −1

|

¿4

Atau dengan cara lain :

A ∙(B ×C)=(2i−3j)∙

|

1 1i j −k1 3 0 −1

|

¿(2i−3j)∙(−i−2j−3k)

¿(2)(−1)+(−3)(−2)+(0) (3)

¿4

2. Jika A=i−2j−3k , B=2i+j−k dan C=i+3j−2k . hitunglah a. A ∙(B ×C) b. (A × B)(B ∙ C) Penyelesaian : a. A ∙(B ×C)=(i−2j−3k)∙((2i+j−k)×(i+3j−2k)) ¿(i−2j−3k)∙

|

_{2 1}i j −k1 1 3 −2

|

¿(i−2j−3k)∙

(

(−2i−j+6k)−(−3i−4j+k)

)

¿(i−2j−3k)∙(i+3j+5k) ¿(1−6−15)=−20 b. (A × B) (B ∙ C)=(

₍

A₁i+A₂ j+A₃

₎

×

₍

B₁i+B₂j+B₃k

₎

)(

₍

B₁i+B₂j+B₃k

₎

∙

₍

C₁i+C₂j+C₃k

₎

) ¿

|

i j k 1 −2 −3 2 1 −1

|

((2i+j−k)∙(i+3j−2k)) ¿((2i−6j+k)−(−3i−j−4k))(2+3+2) ¿(5i−5j+5k)(7) ¿35i−35j+35k

3. Carilah volume sebuah Paralelepipedum yang sisi-sisinya dinyatakan oleh A=2i−3 j+4k , B=i+2j−k ,C=3i−j+2k Penyelesaian: V.paralelepipedum _{A ∙}(i(+B ×C2 j−)=(k)×2(i3−i3−jj++42kk))∙¿ ¿(2i−3j+4k)∙

|

1i 2j −k1 3 −1 2

|

=(2i−3j+4k)∙((4i−3j−k)−(1i+2j+6k)) ¿(2i−3j+4k)∙(3i−5j−7k) ¿6+15−28 ¿|−7|=7 BAB III PENUTUP 1. Kesimpulan

Yang terpenting dalam Perkalian Triple adalah kita harus paham hukum-hukum tentang Perkalian Triple yaitu:

a. (A ∙ B)C ≠ A(B ∙ C)

c.

|

A ∙(B ×C)

|

=¿ isi paralelepidedum dengan rusuk-rusuk A , B dan C d. A ∙ B ×C=

|

A1 A2 A3 B₁ B₂ B₃ C₁ C₂ C₃

|

e. A ×(B× C)=(A ∙C)B−(A ∙ B)C (A × B)× C=(A ∙C)B−(B ∙ C)A f. A ×(B× C)≠(A × B)× C

g. Jika A , B dan C sebidang , maka A ∙(B ×C)=0 2. Saran

 Sebaiknya dalam mempelajari materi analisis vektor tidak terpaku pada satu sumber referensi saja, sehingga harus mengacu lebih dari satu sumber referensi.

 Dalam mempelajari Analisis Vektor lebih ditekankan pada pemahaman konsep dasar terlebih dahulu sehingga mempermudah dalam pemahaman materi tersebut.