ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika 29

(1)

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | 29

Indikator :

✓ Menggunakan operator diferensial

✓ Menentukan gradien fungsi skalar dan derivatif arah

✓ Menentukan divergen fungsi vektor

✓ Menentukan curl medan

vektor

(2)

➢ OPERATOR DIFERENSIAL VEKTOR DEL Dituliskan ∇, didefinisikan oleh:

∇≡ 𝜕

𝜕𝑥𝑖Ԧ + 𝜕

𝜕𝑦𝑗Ԧ + 𝜕

𝜕𝑧𝑘ሬԦ ≡ 𝑖Ԧ 𝜕

𝜕𝑥+ 𝑗Ԧ 𝜕

𝜕𝑦+ 𝑘ሬԦ 𝜕

𝜕𝑧

Operator vektor ini memiliki sifat-sifat yang analog dengan vektor-vektor biasa. Adalah bermanfaat untuk mendefinisikan tiga buah besaran berikut yang muncul dalam pemakaian praktis yang dikenal sebagai gradien, divergensi, dan curl.

Operator ∇ juga dikenal sebagai nabla.

➢ GRADIEN

Misalkan 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) terdefinisikan dan diferensiabel pada tiap-tiap titik (x, y, z) dalam suatu daerah tertentu dari ruang (yakni 𝜙 mendefinisikan sebuah medan scalar diferensiabel). Gradien 𝜙, didefinisikan ∇𝜙 atau grad 𝜙, didefinisikan oleh:

∇𝜙 = (𝜕

𝜕𝑥𝑖Ԧ + 𝜕

𝜕𝑦𝑗Ԧ + 𝜕

𝜕𝑧𝑘ሬԦ) 𝜙 =𝜕𝜙

𝜕𝑥𝑖Ԧ +𝜕𝜙

𝜕𝑦𝑗Ԧ +𝜕𝜙

𝜕𝑧𝑘ሬԦ Perhatikan bahwa ∇𝜙 mendefinisikan sebuah medan vektor.

Komponen dari ∇𝜙 dalam arah sebuah vektor satuan 𝑎 ሬሬሬԦdiberikan oleh ∆𝜙. 𝑎Ԧ dan disebut turunan arah dari 𝜙 pada arah 𝑎Ԧ. Secara fisis, ini adalah laju perubahan 𝜙 pada (x, y, z) dalam arah 𝑎Ԧ.

BAB IV

Gradien, divergensi, dan curl

MATERI-MATERI

(3)

➢ DIVERGENSI

Misalkan 𝑉ሬԦ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑉₁𝑖Ԧ + 𝑉₂𝑗Ԧ + 𝑉₃𝑘ሬԦ terdefinisikan dan diferensiabel dalam suatu daerah tertentu dari ruang (yakni, 𝑉ሬԦ mendefinisikan sebuah medan vektor).

Maka divergensi dari 𝑉ሬԦ, dituliskan ∇ ∙ 𝑉ሬԦ atau di 𝑉ሬԦ, didefinisikan oleh:

∇ ∙ 𝑉ሬԦ = (𝜕

𝜕𝑥𝑖Ԧ + 𝜕

𝜕𝑦𝑗Ԧ + 𝜕

𝜕𝑧𝑘ሬԦ) ∙ (𝑉1𝑖Ԧ + 𝑉2𝑗Ԧ + 𝑉3𝑘ሬԦ)

=𝜕𝑉₁

𝜕𝑥 +𝜕𝑉₂

𝜕𝑦 +𝜕𝑉₃

𝜕𝑧

Perhatikan analoginya dengan 𝐴Ԧ ∙ 𝐵ሬԦ = 𝐴₁𝐵₁+ 𝐴₂𝐵₂+ 𝐴₃𝐵₃. Juga perhatikan bahwa ∇ ∙ 𝑉ሬԦ ≠ 𝑉ሬԦ ∙ ∇.

➢ CURL

Jika 𝑉ሬԦ(𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah sebuah medan vektor diferensiabel maka curl atau rotasi dari 𝑉ሬԦ, dituliskan curl 𝑉ሬԦ atau rot 𝑉ሬԦ, didefinisikan oleh:

∇ × 𝑉ሬԦ = (𝜕

𝜕𝑥𝑖Ԧ + 𝜕

𝜕𝑦𝑗Ԧ + 𝜕

𝜕𝑧𝑘ሬԦ) × (𝑉₁𝑖Ԧ + 𝑉₂𝑗Ԧ + 𝑉₃𝑘ሬԦ)

= ||

𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧 𝑉1 𝑉2 𝑉3

||

= |

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧 𝑉₂ 𝑉₃

| 𝑖Ԧ − |

𝜕

𝜕𝑥

𝜕 𝑉₁ 𝜕𝑧𝑉₃

| 𝑗Ԧ + |

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦 𝑉₁ 𝑉₂

| 𝑘ሬԦ

= (𝜕𝑉₃

𝜕𝑦 −𝜕𝑉₂

𝜕𝑧) 𝑖Ԧ + (𝜕𝑉₁

𝜕𝑧 −𝜕𝑉₃

𝜕𝑥) 𝑗Ԧ + (𝜕𝑉₂

𝜕𝑥 −𝜕𝑉₁

𝜕𝑦) 𝑘ሬԦ

Perhatikan bahwa dalam penguraian determinan, operator-operator ^𝜕

𝜕𝑥, ^𝜕

𝜕𝑦, ^𝜕

𝜕𝑧

haruslah mendahului 𝑉₁, 𝑉₂, 𝑉₃

➢ RUMUS-RUMUS YANG MENGANDUNG ∇

Jika 𝐴Ԧ dan 𝐵ሬԦ adalah fungsi-fungsi vektor yang diferensiabel, dan 𝜙 dan 𝜓 fungsi-fungsi skalar dari kedudukan (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang diferensiabel, maka:

(4)

1. ∇(𝜙 + 𝜓) = ∇𝜙 + ∇𝜓 atau

grad(𝜙 + 𝜓) = grad 𝜙 + grad 𝜓

2. ∇ ∙ (𝐴Ԧ + 𝐵ሬԦ) = ∇ ∙ 𝐴Ԧ + ∇ ∙ 𝐵ሬԦ atau

div(𝐴Ԧ + 𝐵ሬԦ) = div 𝐴Ԧ + div 𝐵ሬԦ

3. ∇ × (𝐴Ԧ + 𝐵ሬԦ) = ∇ × 𝐴Ԧ + ∇ × 𝐵ሬԦ atau

curl(𝐴Ԧ + 𝐵ሬԦ) = curl 𝐴Ԧ + curl 𝐵ሬԦ 4. ∇ ∙ (𝜙𝐴) = (∇𝜙) ∙ 𝐴 + 𝜙(∇ ∙ 𝐴) 5. ∇ × (𝜙𝐴) = (∇𝜙) × 𝐴 + 𝜙(∇ × 𝐴) 6. ∇ ∙ (𝐴Ԧ × 𝐵ሬԦ) = 𝐵ሬԦ ∙ (∇ × 𝐴Ԧ) − 𝐴Ԧ ∙ (∇ × 𝐵ሬԦ)

7. ∇ × (𝐴Ԧ × 𝐵ሬԦ) = (𝐵ሬԦ ∙ ∇)𝐴Ԧ − 𝐵ሬԦ(∇ ∙ 𝐴Ԧ) − (𝐴Ԧ ∙ ∇)𝐵ሬԦ − 𝐴Ԧ(∇ ∙ 𝐵ሬԦ) 8. ∇(𝐴Ԧ ∙ 𝐵ሬԦ) = (𝐵ሬԦ ∙ ∇)𝐴Ԧ + (𝐴Ԧ ∙ ∇)𝐵ሬԦ + 𝐵ሬԦ × (∇ × 𝐴Ԧ) + 𝐴Ԧ × (∇ × 𝐵ሬԦ) 9. ∇ ∙ (∇𝜙) ≡ ∇²𝜙 ≡^𝜕²^𝜙

𝜕𝑥²+^𝜕²^𝜙

𝜕𝑦²+^𝜕²^𝜙

𝜕𝑧²

Dimana ∇²≡ ^𝜕²

𝜕𝑥²+ ^𝜕²

𝜕𝑦²+ ^𝜕²

𝜕𝑧² disebut operator Laplace 10. ∇ × (∇𝜙) = 0. Curl dari gradien 𝜙 adalah nol.

11. ∇ ∙ (∇ × 𝐴Ԧ) = 0. Divergensi dari curl 𝐴Ԧ adalah nol.

12. ∇ × (∇ × 𝐴Ԧ) = ∇(∇ ∙ 𝐴Ԧ) − ∇²𝐴Ԧ

Dari rumus-rumus 9 – 12, dianggap bahwa 𝜙 dan 𝐴Ԧ memiliki turunan-turunan parsial kedua yang kontinu.

➢ INVARIANS

Pandang dua buah system koordinat tegak-lurus atau kerangka-kerangka acuan xyz dan x’y’z’ yang memiliki titik asal 0 yang sama tetapi sumbu-sumbu system koordinat yang satu terotasikan (terputarkan) terhadap yang lainnya.

Sebuah titik P dalam ruang memiliki koordinat-koordinat (x, y, z) atau (x’, y’, z’) relative terhadap sistem-sistem koordinat ini. Persamaan-persamaan transformasi antara koordinat-koordinat atau transformasi koordinat diberikan oleh

𝑥^′ = 𝑙₁₁𝑥 + 𝑙₁₂𝑦 + 𝑙₁₃𝑧 𝑦^′= 𝑙₂₁𝑥 + 𝑙₂₂𝑦 + 𝑙₂₃𝑧 𝑧^′ = 𝑙₃₁𝑥 + 𝑙₃₂𝑦 + 𝑙₃₃𝑧 (1)

(5)

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | 33 Dimana 𝑙_{𝑖,𝑗,𝑘}− 1,2,3 menyatakan arah-arah cosinus dari sumbu-sumbu x’, y’, z’ terhadap sumbu-sumbu x, y, dan z. dalam hal dimana titik-titik asal dari kedua buah system koordinat tidaklah berimpitan, maka persamaan transformasinya menjadi.

{

𝑥^′ = 𝑙₁₁𝑥 + 𝑙₁₂𝑦 + 𝑙₁₃𝑧 + 𝑎₁′ 𝑦^′= 𝑙₂₁𝑥 + 𝑙₂₂𝑦 + 𝑙₂₃𝑧 + 𝑎₂′ 𝑧^′= 𝑙₃₁𝑥 + 𝑙₃₂𝑦 + 𝑙₃₃𝑧 + 𝑎₃′

Dimana titik asal 0 sistem koordinat x y z berada di (𝑎₁^′ , 𝑎₂^′ , 𝑎₃^′) relative terhadap system koordinat x’y’z’.

Persamaan-persamaan transformasi (1) mendefinisikan suatu rotasi murni sedangkan persamaan-persamaan (2) mendefinisikan suatu rotasi ditambah translasi.

Sebarang benda kaku memiliki efek translasi yang diikuti dengan rotasi. Transformasi (1) juga disebut transformasi orthogonal. Sebuah transformasi koordinat linear disebut suatu transformasi afin (affine transformation).

Secara fisis, sebuah fungsi scalar atau medan scalar 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) yang dihitung pada suatu titik tertentu haruslah tak bergantung pada koordinat-koordinat dari titik tersebut. Jadi temperature pada suatu titik tidaklah bergantung pada apakah koordinat- koordinat (x, y, z) atau (x’, y’, z’) yang dipergunakan. Maka bila 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) adalah temperatur pada titik P dengan koordinat (x, y, z) sedangkan 𝜙′(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) adalah temperature pada titik P yang sama dengan koordinat-koordinat (x’, y’, z’), haruslah kita peroleh 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜙′(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′). Jika 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜙′(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) dimana x, y, z dan x’, y’, z’ dihubungkan oleh persamaan-persamaan transformasi (1) atau (2), maka kita menyebut 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) sebuah invariant (invariant) terhadap transformasi ini.

Misalnya, 𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧² invarian dibawah transformasi rotasi (1), karena 𝑥²+ 𝑦²+ 𝑧² = 𝑥′²+ 𝑦′²+ 𝑧′².

Begitu pula, sebuah fungsi vektor atau medan vektor 𝑨ሬሬԦ(𝑥, 𝑦, 𝑧) disebut sebuah invariant jika 𝑨ሬሬԦ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑨′ሬሬሬԦ(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′). Ini akan benar, jika

𝐴₁(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑖Ԧ + 𝐴₂(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑗Ԧ + 𝐴₃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘ሬԦ

= 𝐴′₁(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)𝑖Ԧ′ + 𝐴^′₂(𝑥^′, 𝑦^′, 𝑧^′)𝑗Ԧ′ + 𝐴^′₃(𝑥^′, 𝑦^′, 𝑧^′)𝑘ሬԦ^′ (2)

(6)

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | 34 1. Jika 𝐴Ԧ = 2𝑦𝑧 𝑖 − 𝑥²𝑦 𝑗 + 𝑥𝑧³ 𝑘 ; 𝐵ሬԦ = 𝑥²𝑖 + 𝑦𝑧 𝑗 − 𝑥𝑦 𝑘 dan 𝜙 = 2𝑥²𝑦𝑧³.

Tentukanlah:

a. (𝐵ሬԦ ∙ ∇)𝐴Ԧ b. (𝐴Ԧ × ∇)𝜙 Jawab:

a. (𝐵ሬԦ ∙ ∇)𝐴Ԧ

= [(𝑥² 𝑖Ԧ + 𝑦𝑧 𝑗Ԧ − 𝑥𝑦 𝑘ሬԦ) ∙ (^𝜕

𝜕𝑥𝑖Ԧ + ^𝜕

𝜕𝑦𝑗Ԧ + ^𝜕

𝜕𝑧𝑘ሬԦ)] 𝐴Ԧ

= (𝑥^{2 𝜕}

𝜕𝑥+ 𝑦𝑧 ^𝜕

𝜕𝑦− 𝑥𝑦 ^𝜕

𝜕𝑧) 𝐴Ԧ

= 𝑥^{2 𝜕𝐴Ԧ}

𝜕𝑥+ 𝑦𝑧^𝜕𝐴Ԧ

𝜕𝑦− 𝑥𝑦^𝜕𝐴Ԧ

𝜕𝑧

= 𝑥²(−2𝑥𝑦 𝑗Ԧ + 𝑧² 𝑘ሬሬሬԦ) + 𝑦𝑧(2𝑧 𝑖Ԧ − 𝑥² 𝑗ሬሬԦ) − 𝑥𝑦(2𝑦𝑖Ԧ + 2𝑥𝑧 𝑘ሬԦ)

= (2𝑦𝑧²− 2𝑥𝑦²)𝑖Ԧ − (2𝑥³+ 𝑥²𝑦𝑧)𝑗Ԧ + (𝑥²𝑧²− 2𝑥²𝑦𝑧)𝑘ሬԦ b. (𝐴Ԧ × ∇)𝜙

= [(2𝑦𝑧 𝑖Ԧ − 𝑥²𝑦 𝑗Ԧ + 𝑥𝑧²𝑘ሬԦ) × (^𝜕

𝜕𝑥𝑖Ԧ + ^𝜕

𝜕𝑦𝑗Ԧ + ^𝜕

𝜕𝑧𝑘ሬԦ)] 𝜙

= [

𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ

2𝑦𝑧 −𝑥²𝑦 𝑥𝑧²

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

] 𝜙

= − (𝑥²𝑦^𝜕𝜙_𝜕𝑧+ 𝑥𝑧^{2 𝜕𝜙}_𝜕𝑦) 𝑖Ԧ + (𝑥𝑧^{2 𝜕𝜙}_𝜕𝑥− 2𝑦𝑧^𝜕𝜙_𝜕𝑧) 𝑗Ԧ + (2𝑦𝑧^𝜕𝜙_𝜕𝑦+ 𝑥²𝑦^𝜕𝜙_𝜕𝑥) 𝑘ሬԦ

= −(6𝑥⁴𝑦²𝑧²+ 2𝑥³𝑧⁵)𝑖Ԧ + (4𝑥²𝑦𝑧⁵− 12𝑥²𝑦²𝑧³)𝑗Ԧ + (4𝑥²𝑦𝑧⁴+ 4𝑥³𝑦²𝑧³)𝑘ሬԦ

2. Selesaikanlah!

a. Tentukanlah vektor satuan yang menyinggung lengkung 𝑥 = 𝑡²+ 1 , 𝑦 = 4𝑡 − 3 , 𝑧 = 2𝑡²− 6𝑡 di sebarang titik.

b. Tentukanlah vektor satuan yang menyinggung lengkung titik t = 2 Jawab:

CONTOH SOAL

(7)

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | 35 a. ^𝑑𝑟Ԧ

𝑑𝑡 = ^𝑑

𝑑𝑡{(𝑡²+ 1)𝑖Ԧ + (4𝑡 − 3)𝑗Ԧ + (2𝑡²− 6𝑡)𝑘ሬԦ}

= 2𝑡 𝑖Ԧ + 4𝑗Ԧ + (4𝑡 − 6)𝑘ሬԦ

Besarnya = |^𝑑𝑟Ԧ_𝑑𝑡| = √(2𝑡)²+ (4)²+ (4𝑡 − 6)² Maka unit tangent vektor yang diminta adalah:

𝑇ሬԦ = 2𝑡 𝑖Ԧ + 4 𝑗Ԧ + (4𝑡 − 6)𝑘ሬԦ

√(2𝑡)²+ (4)²+ (4𝑡 − 6)² b. Di t = 2, unit tangent vektor

𝑇ሬԦ = 4 𝑖Ԧ + 4 𝑗Ԧ + 2 𝑘ሬԦ

√(4)²+ (4)²+ (2)² 𝑇ሬԦ =2

3𝑖Ԧ +2 3𝑗Ԧ +1

3𝑘ሬԦ

1. Diketahui 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥²𝑦 − 𝑦³𝑧². Tentukan ∇𝜙 pada titik (1, −2, −1).

2. Buktikan bahwa ∇(𝐹 + 𝐺) = ∇𝐹 + ∇𝐺 dan ∇(𝐹𝐺) = 𝐹∇𝐺 + 𝐺∇𝐹 dimana 𝐹 dan 𝐺 adalah fungsi-fungsi skalar dari 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 yang diferensiabel.

3. Tentukan ∇𝜙 jika a. 𝜙 = ln|𝑟|

b. 𝜙 =¹_𝑟

4. Tunjukkan bahwa ∇𝑟^𝑛= 𝑛𝑟^𝑛−2𝑟Ԧ

5. Tunjukkan bahwa ∇𝜙 adalah sebuah vektor yang tegak lurus pada permukaan 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐 dimana nerupakan konstanta.

6. Tentukan normal satuan terhadap permukaan 𝑥²𝑦 + 2𝑥𝑧 = 4 pada titik (2, −2,3).

7. Tentukan persamaan untuk bidang singgung terhadap permukaan 2𝑥𝑧²− 3𝑥𝑦 − 4𝑥 = 7 pada titik (1, −1,2).

8. Tentukan turunan berarah dari 𝜙 = 𝑥²𝑦𝑧 + 4𝑥𝑧² pada (1, −2, −1) pada arah 2𝑖Ԧ − 𝑗Ԧ − 2𝑘ሬԦ.

LATIHAN SOAL

(8)

ANALISIS VEKTOR untuk Pendidikan Matematika | 36 9. Jika 𝐴Ԧ = 𝑥²𝑧𝑖Ԧ − 2𝑦³𝑧²𝑗Ԧ + 𝑥𝑦²𝑧𝑘ሬԦ maka tentukan ∇ ∙ 𝐴Ԧ (atau div 𝐴Ԧ) pada titik

(1, −1,1).

10. Diketahui 𝜙 = 2𝑥³𝑦²𝑧⁴.

a. Tentukan ∇ ∙ ∇𝜙 (atau div grad 𝜙)

b. Tunjukkan bahwa ∇ ∙ ∇𝜙 = ∇²𝜙, dimana ∇²=_𝜕𝑥^𝜕²₂+_𝜕𝑦^𝜕²₂+_𝜕𝑧^𝜕²₂ menyatakan operator Laplacian.

11. Buktikan bahwa ∇²(¹

𝑟) = 0 12. Buktikan bahwa

a. ∇ ∙ (𝐴Ԧ + 𝐵ሬԦ) = ∇ ∙ 𝐴Ԧ + ∇ ∙ 𝐵ሬԦ b. ∇ ∙ (𝜙𝐴Ԧ) = (∇𝜙) ∙ 𝐴Ԧ + 𝜙(∇ ∙ 𝐴Ԧ)

13. Jika 𝐴Ԧ = 𝑥𝑧³𝑖Ԧ − 2𝑥²𝑦𝑧𝑗Ԧ + 2𝑦𝑧⁴𝑘ሬԦ maka tentukan ∇ × 𝐴Ԧ (atau curl 𝐴Ԧ) pada titik (1, −1,1).

14. Jika 𝐴Ԧ = 𝑥²𝑦𝑖Ԧ − 2𝑥𝑧𝑗Ԧ + 2𝑦𝑧𝑘ሬԦ maka tentukan curl curl 𝐴Ԧ.

15. Buktikan bahwa:

a. ∇ × (𝐴Ԧ + 𝐵ሬԦ) = ∇ × 𝐴Ԧ + ∇ × 𝐵ሬԦ b. ∇ × (𝜙𝐴Ԧ) = (∇𝜙) × 𝐴Ԧ + 𝜙(∇ × 𝐴Ԧ)