MATEMATIKA TEKNIK 1

MATEMATIKA TEKNIK 1

3 SKS

TEKNIK ELEKTRO UDINUS

BAB I

BILANGAN KOMPLEKS

Dengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x2 _{+1=0. Jadi}

BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA

Definisi 1

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 ₌ –_1.

Notasi

Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z.

Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).

OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS

DEFINISI 2

Bilangan kompleks z₁=x₁+iy₁ dan bilangan kompleks z₂=x₂+iy₂ dikatakan sama, z₁=z₂, jika dan hanya jika x₁=x₂ dan y₁=y₂.

DEFINISI 3

Untuk bilangan kompleks z₁=x₁+iy₁ dan z₂=x₂+iy₂ jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:

Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ

Jadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.

Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi

bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan

khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . Jika

Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan

dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner

murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan

imajiner.

Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks

Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z₁,z₂ dan z₃ adalah sebagai

berikut:

1. z₁+z₂∈ℂ dan z₁•z₂∈ℂ . (sifat tertutup)

2. z₁+z₂= z₂+z₁ dan z₁•z₂= z₂•z₁ (sifat komutatif) 3. (z₁+z₂)+z₃= z₁+(z₂+z₃) dan (z₁•z₂) •z₃= z₁•(z₂•z₃)

(sifat assosiatif)

4. z₁•(z₂+z₃)=(z₁•z₂)+(z₁•z₃) (sifat distribtif)

6. Ada 1=1+i0∈ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netral perkalian

7. Untuk setiap z=x+iy_ℂ, ada –z=–x–iy) sehingga z+(–z)=0

8. Untuk setiap z=x+iy_ℂ, ada z-1_=sehingga

z•z-1_=1.

Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definsi yang telah diberikan.

Contoh soal:

1. Jika z₁=x₁+iy₁ dan z₂=x₂+iy₂,

buktikan bahwa: z₁ – z₂= (x₁ – x₂)+i(y₁ – y₂) 2. Diketahui: z₁=2+3i dan z₂=5–i.

tentukan z₁ + z₂, z₁ – z₂ , z₁z₂, dan

2 1

Kompleks Sekawan

Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan

kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai = (x,–y) = x – iy.

Contoh:

sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan dari 5i adalah –5i.

Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di

dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut :

9

Teorema 1 :

a. Jika z bilangan kompleks, maka :

1.

2.

3.

4. z z



Re(z)

 

2 Im(z)



2

) z Im( 2

z z

) z Re( 2

z z

z z

 



 

 

Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks

Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama

untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks

13

Re Im

) y , x ( z



O

Argan Bidang

Im

Re

2

z

1

z

O

2 1 z

15

Re Im

2

z

2

z



1

z

2 1 z

Tugas :

Diketahui z₁ = 2 + 3i dan z₂ = 5 – i. Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand), z₁, z₂, z₁+ z₂, z₁- z₂,



2 1

2 1

2

1, z , z z , z z

Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks Definisi 4 :

Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis z = x+iy =

Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks z₁ =x₁+iy₁ dan z₂ = x₂+iy₂ adalah

17 2

2 _y

x 

2 2 1

2 2

1 x ) (y y )

x

Selanjutnya apabila z₁ =x₁+iy₁ dan r real positif,

maka z – z₁ = r merupakan lingkaran yang berpusat di

titik z₁ dengan jari-jari r.

Bagaimanakah dengan z – z₁ < r dan z – z₁ > r

Teorema 2 :

B. Jika z₁, z₂ bilangan kompleks, maka berlaku :

Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !

Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks

Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).

25

Im

Re ) , r ( ) y , x (

z   



r z 

Adapun hubungan antara keduanya, dan adalah :

x = r cos , y = r sin,

sehingga  = arc tan

 adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz

didapat juga

Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah z = (r, ) = r(cos  + i sin ) = r cis .

dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos  ).

     

x y

z y

x

r  2  2 

) y , x

Definisi 5 :

Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos  + i sin ), sudut  disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut  dengan 0  < 2 atau - <    disebut argument

utama dari z, ditulis  = Arg z. Pembatasan untuk sudut  tersebut dipakai salah satu saja.

Definisi 6 :

Dua bilangan kompleks z₁ = r₁(cos ₁ + i sin ₁) dan z₂ = r₂(cos ₂ + i sin ₂) dikatakan sama, jika r₁ = r₂, dan ₁ = ₂.

Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) = r(cos  + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei_{, dan} sekawannya adalah re-i_.

Tugas: Buktikan bahwa ei = cos  + i sin , dengan

Contoh :

Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !

Contoh :

Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !

Jawab :

z = 1 + i, r = , tan  = 1, sehingga  = 45⁰=  Jadi z = (cos 2 + i sin ) = cos  =

4 1

41

2

41

2 e4i



Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks Perkalian dan Pemangkatan

Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos  + i sin ).

Jika z₁ = r₁(cos ₁ + i sin ₁) & z₂ = r₂(cos ₂ + i sin ₂), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut :

z₁ z₂ = [r₁(cos ₁ + i sin ₁)][r₂(cos ₂ + i sin ₂)] z₁ z₂ = r₁ r₂ [(cos ₁ cos ₂ - sin₁sin ₂) +

i (sin ₁ cos ₂ + cos ₁sin ₂)]

z₁ z₂ = r₁ r₂ [cos (₁ + ₂ ) + i sin (₁ + ₂)]

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh: arg(z₁ z₂) = ₁ + ₂ = arg z₁+ arg z₂

Pertanyaan :

Bagaimanakah jika kita perkalikan z₁ z₂ . . . z_n dan

Jika diketahui:

z₁ = r₁(cos ₁ + i sin ₁) z₂ = r₂(cos ₂ + i sin ₂)

z_n = r_n(cos _n + i sin _n), untuk n asli,

maka secara induksi matematika, diperoleh rumus

perkalian z₁ z₂ … z_n = r₁ r₂ …r_n[cos (₁ + ₂+…+_n) + i sin (₁ +

₂+…+_n)] .

Akibatnya jika, z = r(cos  + i sin ) maka

zn _{= r}n _{(cos n} _{+ i sin n}_{). . . . .1}

Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre

(cos  + i sin )n _{= cos n} _{+ i sin n}_{, n asli.}

33

Pembagian:

Sedangkan pembagian z₁ dan z₂ adalah sebagai

berikut:

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan

sekawan penyebut, yaitu r₂(cos ₂ - i sin ₂), maka

diperoleh : [cos (₁ - ₂ ) + i sin (₁ - ₂)]

Dari rumus di atas diperoleh:

Akibat lain jika z = r(cos  + i sin ),

maka:

Untuk: .

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka didapat :

Dari 1 dan 2 diperoleh:

, Dalil De-Moivre

berlaku untuk semua n bilangan bulat. )

n sin( i

) n cos( r

Contoh: Hitunglah :

Jawab :

Misalkan maka

Akar Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika zn _{= w, dan ditulis .} Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan

kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn _{= w diperoleh:} n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n _{= r dan} n= +2k , k bulat.

Akibatnya dan

Jadi . . .

n 1

w z 

n 1

r



Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin) adalah:

z = [cos( ) + i sin ( )],

k bulat dan n bilangan asli.

Dari persamaan zn _{= w, ada n buah akar berbeda yang} memenuhi persamaan itu.

Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);

0  < 2, sehingga diperoleh z

1,z2,z3,…,zn sebagai akar ke-n dari z.

39

n 1

r  _n2k  _n2k

n k 2 

Contoh :

Hitunglah (-81)1/4

Jawab :

Misalkan z = (-81)1/4_{, berarti harus dicari penyelesaian}

persamaan z4 _{= -81.}

Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800_{+i sin180}0_),

sehingga 4_(cos4 _{+i sin4}_{) = 81(cos180}0_{+i sin180}0_),

diperoleh 4 _{= 81, atau}  _{= 3 dan .}

Jadi z = 3[cos( )+i sin( )]

Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan

4 k 2 

   

4 k 2 

 

4 k 2 

Latihan Soal Bab I

1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan

z = (x,y) = x + iy.

2. Diketahui z₁ = 6 + 5i dan z₂ = 8 – i.

Tentukan z₁ + z₂, z₁ - z₂ , z₁z₂, dan z₁ / z₂

3. Jika z = -1-i, buktikan z2 _{+ 2z + 2 = 0.}

4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi

sifat: a. z-1 _{= z dan b.}

5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks

berlaku : z₁. + .z₂ = 2Re(z₁. )

6. Hitung jarak antara z₁ = 2 + 3i dan z₂ = 5 – i.

41

z

z





1

z

2

7.Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva yang terjadi : a. z – 5 = 6 dan z – 5 > 6

b. z + i = z – i c. 1 < z – i < 3

8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam bentuk polar dan eksponen !

9. Hitunglah (-2+2i)15